北师大版九年级数学下册《1.4解直角三角形》同步测试题-附答案

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页北师大版九年级数学下册《1.4解直角三角形》同步测试题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．在中，，则的长为（）A．8 B．12 C．13 D．182．已知在中，，，则的值为（

）A． B． C． D．3．厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的中柱（为底边中点）长10米，，则跨度的长是（

）

A．米 B．米 C．米 D．米4．在Rt△ABC中，，，则的三边、、之比：：为（）A．2：：3 B．1：： C．1：2：3 D．2：：5．如图，在4×4正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值为（

）

A． B． C． D．6．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（

）A． B．12 C． D．67．已知在中，，，，则的长（

）A．7 B．8 C．8或17 D．7或178．如图，等腰△ABC的面积为2，AB=AC，BC=2．作AE∥BC且AE=BC．点P是线段AB上一动点，连接PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（

）A． B．3 C． D．49．如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则CD的长为（

）

A． B．3 C． D．210．已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则cos∠CDB的值为（

）A． B． C． D．211．在Rt△ABC中，，，若，则AB的长为（

）．A． B． C． D．12．如图，已知正方形，延长至点E使，连接，，与交于点N，取得中点F，连接，，交于于点M，交于点O，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题13．在中，，已知和b，那么．14．在中，，，则的值为.15．如图：两张宽度都为的纸条交叉重叠在一起，两张纸条交叉的夹角为α（见图中的标注），则重叠（阴影）部分的面积表示为．16．如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为．17．如图，把一个长方形卡片放在每格宽度为的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知，则长方形卡片的周长为．（参考数据）三、解答题18．如图，在中，已知，，，解这个直角三角形．19．如图，在中，，，，求的度数．20．如图，在中，于D，，，，求的值．

21．已知：如图在中，是边上的高，为边的中点，，，．求：(1)线段的长；(2)的值．22．一天小明与父亲爬山，在停车场附近看到了一棵树，小明想测量这棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上（如图所示），此时测得地面上的影长为12米，坡面上的影长为5米、斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米垂直于地面放置的拐杖在地面上的影长为2.5米，求这棵树的高度（结果精确到0.1米）．23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x-2的图象分别与x轴，y轴交于D、C两点，与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点，点D为线段AC的中点，且tan∠ACO＝；(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)点C关于原点的对称点为点E，连接AE、BE，求△ABE的面积；(3)请直接写出y2＞y1的解集．24．如图，在矩形中，，，点E在上，且，过点D作于点F．(1)求的三角函数值；(2)求的三角函数值．参考答案题号12345678910答案CDBACBDBCB题号1112答案AC1．C【分析】在中，，求出，由勾股定理求出的长即可．【详解】解：在中，∵，∴，∴，故选：C．【点睛】此题考查了解直角三角形、勾股定理，熟练掌握锐角三角形函数是解题的关键．2．D【分析】根据正弦三角函数的定义，设，则，，再根据正切三角函数的定义，即可求解．【详解】∵在中，，，∴，设，则，，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查三角函数的定义，根据三角函数的定义，用未知数表示出直角三角形的各边长，是解题的关键．3．B【分析】根据等腰三角形的性质可得，再由锐角三角函数，即可求解．【详解】解：根据题意得：米，∴，∵，∴米，∴米．故选：B【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数，等腰三角形的性质是解题的关键．4．A【分析】利用余弦的定义得到，则可设，，利用勾股定理计算出，然后计算：：的值．【详解】∵，∴，设，，∴，∴．故选：A【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．合理使用勾股定理和锐角三角函数是解决问题的关键．5．C【分析】在网格图中，将置于适当的直角三角形中，通过解直角三角形求解．【详解】如图，∴．故选C．【点睛】本题考查勾股定理、三角函数定义；在网格图中确定合适的直角三角形，通过解直角三角形知识解决边、角问题是解题的关键．6．B【分析】过点作的垂线，垂足分别为，在，中，求得的长，进而证明是等腰三角形，即可求解．【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足分别为，在中，，在中，，∵中，，，∴，∵是的角平分线，∴，∴，∴，∴．故选:B．【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形．7．D【分析】①过作交于，可求，，从而可求，，即可求解；②过作交的延长线于，由即可求解．【详解】解：①如图，过作交于，

，，，，，，，；②如图，过作交的延长线于，

，，；综上所述：的长为7或17．故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握解法是解题的关键．8．B【分析】当P与A重合时，点F与C重合，此时点M在N处，当点P与B重合时，如图，点M的运动轨迹是线段MN．求出CF的长即可解决问题．【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D，连接CE，∵AB=AC，∴BD=DC=BC=1，∵AE=BC，∴AE=DC=1，∵AE∥BC，∴四边形AECD是矩形，∴S△ABC=BC×AD=×2×AD=2，∴AD=2，则CE=AD=2，当P与A重合时，点F与C重合，此时点M在CE的中点N处，当点P与B重合时，如图，点M的运动轨迹是线段MN．∵BC=2，CE=2，由勾股定理得BE=4，cos∠EBC=，即，∴BF=8，∴CF=BF-BC=6,∵点N是CE的中点，点M是EF的中点，∴MN=CF=3，∴点M的运动路径长为3，故选：B．【点睛】本题考查点的轨迹、矩形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，学会利用起始位置和终止位置寻找轨迹，属于中考填空题中的压轴题．9．C【分析】先根据锐角三角函数值求出，再由勾股定理求出过点D作于点E，依据三角函数值可得从而得，再由得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=，从而可求出CD．【详解】解：在中，，，∴∴由勾股定理得,过点D作于点E，如图，

∵，，∴∴∴∴∵∴∴∴,在中,∴∵∴故选：C【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE的长是解答本题的关键．10．B【分析】由已知条件，可得，设，由题意可得，即可算出，在中，根据勾股定理可得，由余弦定义进行计算即可得出答案．【详解】解：，，设，，，在中，，．故选：B【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．11．A【分析】根据题意，利用三角函数中涉及的边角关系得出等式，求解即可．【详解】解：如图所示，在Rt△ABC中，，，若，则根据∴，∴,故选：A．【点睛】本题考查锐角三角函数求线段长，根据题意作出直角三角形，结合已知角度、已知边长和所求边长，找准三角函数关系是解决问题的关键．12．C【分析】证明，根据相似三角形的性质列出比例式，得到，故①正确；由直角三角形的性质可得，即可得，故②错误；通过证明，可得，作于G，根据等腰直角三角形的性质，正切的定义求出，可求，故③正确；根据三角形的面积公式计算，可判断④正确，设，，可求，，可得，故⑤正确；即可求解．【详解】解：∵四边形为正方形，，∴，，∴，∴，∴，，故①正确；如图，连接，∵，，∴，∵，，∴，故②错误；∵，，F是的中点，∴，，，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，如图，作于G，则，∴，∴，∴，故③正确；∵，∴，∴，∴，∵F是的中点，∴，∴，故④正确；∵，∴设，，∴，∴，∴，∴，故⑤正确；故选C．【点睛】本题是四边形综合题，考查的是相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，三角形的面积等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．13．【分析】根据正弦的定义得到，即可得到用和表示．【详解】解：，，．故答案为：．

【点睛】本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值．14．【分析】根据题意设，则，得出，再利用正切的定义求解即可．【详解】解：∵在中，，，设，则，∴，∴

故答案为：．【点睛】本题考查了一个锐角的正弦与正切值，解题关键是理解正弦与正切的定义．15．【分析】过点作于点E．由题意即得出四边形为菱形，从而得出，．再根据正弦的定义可求出，最后由菱形的面积公式计算即可．【详解】如图，过点作于点E．由题意可知四边形为菱形，∴，．∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查菱形的判定和性质，解直角三角形．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键．16．【分析】如图所示，过点E作EF⊥AB于F，先解直角三角形求出AF，EF，从而求出BF，利用勾股定理求出BE的长，证明△ABD≌△BCE得到∠BAD=∠CBE，AD=BE，再证明△BDP∽△ADB，得到，即可求出BP，PD，从而求出AP，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点E作EF⊥AB于F，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABD=∠BAC=∠BCE=60°，∵CE=BD=2，AB=AC=6，∴AE=4，∴，∴BF=4，∴，又∵BD=CE，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，AD=BE，又∵∠BDP=∠ADB，∴△BDP∽△ADB，∴，∴，∴，∴，∴△ABP的周长，故答案为：．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．17．/200毫米【分析】求的周长就是求和的长，可分别过作垂线垂直于l，通过构造直角三角形根据和的四个顶点恰好在横格线且每个横格宽等条件来求出的长．【详解】解：作于点于点F．∵，，∴．根据题意，得．在中，，∴．在中，，∴．∴矩形的周长．故答案为200．【点睛】本题考查了矩形对边相等的性质，直角三角形中三角函数的应用，锐角三角函数值的计算．通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．18．，，【分析】根据勾股定理求出b，并求出，再由特殊角的三角函数值即可求解三角形.【详解】解：在中，∵，，，∴∵∴∴【点睛】本题侧重考查了解直角三角形，掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题的关键．19．【分析】本题考查的是解直角三角形的相关计算，如图，过点A作，交的延长线于点D．设，则．再利用勾股定理求解，再进一步求解可得答案．【详解】解：如图，过点A作，交的延长线于点D．设，则．在和中，由勾股定理，得，即，化简得，解得．∴．在中，∵，∴．20．【分析】先解求出，则由勾股定理可得，即可求出，则．【详解】解：∵，∴，在中，，，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟知正弦和正切的定义是解题的关键．21．(1)5(2)【分析】此题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识点．（1）在中，根据已知条件求出边的长，再由的长，可以求出的长；（2）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出，从而求出∠C的正切值即求出了的值．【详解】（1）解：∵是边上的高，和是，在中，∵，，∴，∴，又∵，∴；（2）解：在中，∵E为斜边的中点，∴，∴，∴．22．9.0米【分析】延长AC、BF交于点D，过点C作CE⊥BD于E，根据直角三角形的性质求出CE，根据余弦的定义求出EF，根据题意求出DE，进而求出BD，计算即可．【详解】解：延长AC、BF交于点D，过点C作CE⊥BD于E，在Rt△CEF中，∠CEF=90°，∠CFE=30°，CF=5，∴CE=2.5（米），EF=5cos30°=（米），∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2.5米，∴，∴DE=2.5CE=（米），∴BD=BF+EF+DE=12++6.25=18.25+（米），，，∴AB=BD÷2.5=（18.25+）≈9.0（米），答：这棵树的高度约为9.0米．【