苏科版九年级数学下册《6.2黄金分割》同步测试题-附答案

第第页苏科版九年级数学下册《6.2黄金分割》同步测试题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一．选择题（共10小题）1．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点（其中AC＞BC），AB＝4，则线段AC的大小是（）A．5−1 B．25−2 C．3−2．形状与大小都确定的一个锐角三角形ABC，点D是边BC上一点，下列条件不能唯一确定△ABD与△ADC面积的比值的是（）A．点D是边BC的黄金分割点 B．点D是边BC的中点 C．AD是边BC上的高 D．AD是∠BAC的平分线3．我们把宽与长的比等于黄金比（5−12）的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD（AB＜BC）中，∠ABC的平分线交AD边于点E，EF⊥BC于点A．AEAD=DEAE B．CFBF=4．如图，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝2，则AP的长为（）A．5+1 B．5−1 C．3−55．已知点C在线段AB上，且满足AC2＝BC•AB，那么下列式子成立的是（）A．ACBC=5−1C．BCAB=56．校园里一片小小的树叶蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为8cm，那么叶片的长度为（）cm．A．5−12 B．5−1 C．47．把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值为黄金分割，比值为5−12，它被公认为是最能引起美感的比例，如图1为世界名画蒙娜丽莎．如图2，点E是正方形ABCD的AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，以AE为边作正方形AEHF，延长EH交CD于点I，连结BF交EI于点G，连结BI，则S△BCI：S△A．1：1 B．5+13 C．5−18．校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），若PBAP=⊗，则A．APAB B．ABAP C．ABBP9．已知线段AB＝1，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则线段AC的长是（）A．5−12 B．2−52 C．10．点P，点Q是线段AB的黄金分割点，若AB＝2，则PQ长度是（）A．1 B．3−5 C．25−4二．填空题（共5小题）11．在“国旗在心中”活动中，同学们近距离观赏五星红旗，聆听红旗的故事．如图，在国旗上的任意一个五角星中，若AD＝2，则AN的长为．12．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），如果AB＝1，那么BP的长是．13．若线段AB＝10，且点C是AB的黄金分割点，且BC＞AC，则BC的长为．14．如图，一架小提琴中AC、BC、AB各部分长度的比满足ABBC=BCAC，则15．秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”，实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点P是AB的黄金分割点（AP＞BP），如果AB的长为(45+4)cm，那么AP的长为三．解答题（共5小题）16．如图，我们知道，如果点P是线段AB上的一点，将线段分割成AP，BP两条线段（AP＞BP），且满足BP：AP＝AP：AB，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段AP与AB的比值或线段BP与AP的比值叫做黄金分割数．已知比例的基本性质：对于长度为a，b，c，d的四条线段，如果a：b＝c：d，则ad＝bc．求黄金分割数（结果保留根号）．17．【例题呈现】化简：12思路点拨：将原式的分子、分母同乘一个代数式，使得分母不含根号，实现分母有理化．解：将分子、分母同乘2+1，得2【类比应用】（1）化简：45+1（2）宽与长的比为5−12的矩形叫做黄金矩形．如图，已知黄金矩形ABCD（AB＜BC）的边AB＝2，剪掉一个以AB为边的正方形ABEF后，得到新的矩形①求BC的长；②通过计算说明矩形CDFE是否为黄金矩形．18．以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM，DM的长；（2）求证：AM2＝AD•DM；（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？19．已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP）．（1）求线段AP的长；（2）以AB为三角形的一边作△ABQ，使得BQ＝AP，连接QP，若QP平分∠AQB，求AQ的长．20．如图，点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，计算线段AB的黄金比ACAB参考答案与试题解析题号12345678910答案BACBBCDAAC一．选择题（共10小题）1．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点（其中AC＞BC），AB＝4，则线段AC的大小是（）A．5−1 B．25−2 C．3−【解答】解：根据题意得AC=5−12AB=故选：B．2．形状与大小都确定的一个锐角三角形ABC，点D是边BC上一点，下列条件不能唯一确定△ABD与△ADC面积的比值的是（）A．点D是边BC的黄金分割点 B．点D是边BC的中点 C．AD是边BC上的高 D．AD是∠BAC的平分线【解答】解：A、点D是边BC的黄金分割点，而BC的黄金分割点有两个，所以△ABD与△ADC面积的比值不唯一，故A符合题意；B、∵点D是边BC的中点，∴BD＝CD，∴△ABD与△ADC面积的比值为1，故B不符合题意；C、∵AD是边BC上的高，∴△ABD与△ADC面积的比值为BD：CD，故C不符合题意；D、∵AD是∠BAC的平分线，∴△ABD与△ADC面积的比值为AB：AC，故D不符合题意；故选：A．3．我们把宽与长的比等于黄金比（5−12）的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD（AB＜BC）中，∠ABC的平分线交AD边于点E，EF⊥BC于点A．AEAD=DEAE B．CFBF=【解答】解：∵矩形ABCD（AB＜BC）为黄金矩形，∴设AB=5−1，∵BF平分∠ABC，而∠ABC＝90°，∴四边形ABFE为正方形，∴AE＝AB，∵DE＝2﹣（5−1）＝3∴DEEF而AEAD∴AEAD=DE∵CFBF=DE∴CFBF=BF∵AEBE=2∴AEBE≠BE∵DEEF=5∴DEEF=AB故选：C．4．如图，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝2，则AP的长为（）A．5+1 B．5−1 C．3−5【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝2，∴AP=5−12AB=∴AP的长为5−故选：B．5．已知点C在线段AB上，且满足AC2＝BC•AB，那么下列式子成立的是（）A．ACBC=5−1C．BCAB=5【解答】解：∵点C在线段AB上，且满足AC2＝BC•AB，∴点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，∴ACAB故选：B．6．校园里一片小小的树叶蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为8cm，那么叶片的长度为（）cm．A．5−12 B．5−1 C．4【解答】解：∵P为AB的黄金分割点，AP＞PB，∴APAB∵AB的长度为8cm，∴AP8∴AP=5故选：C．7．把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值为黄金分割，比值为5−12，它被公认为是最能引起美感的比例，如图1为世界名画蒙娜丽莎．如图2，点E是正方形ABCD的AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，以AE为边作正方形AEHF，延长EH交CD于点I，连结BF交EI于点G，连结BI，则S△BCI：S△A．1：1 B．5+13 C．5−1【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝DA＝AB．∵点E是正方形ABCD的AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，∴AEAB∵四边形AEHF是正方形，∴EH＝HF＝FA＝AE，FH∥AE，∴△FHG∽△BEG，∴GHGE∴GHHE∴GH=5−12HE∵∠C＝∠CBE＝∠BEI＝90°，∴四边形BCIE是矩形，∴IC＝BE，∴S△BCI：S△FGH=12BC⋅IC12FH⋅HG=故选：D．8．校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），若PBAP=⊗，则A．APAB B．ABAP C．ABBP【解答】解：根据黄金分割的定义可得：PBAP故选：A．9．已知线段AB＝1，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则线段AC的长是（）A．5−12 B．2−52 C．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，∴AC=5−12故选：A．10．点P，点Q是线段AB的黄金分割点，若AB＝2，则PQ长度是（）A．1 B．3−5 C．25−4【解答】解：如图：∵点P，点Q是线段AB的黄金分割点，AB＝2，∴AQAB∴AQ＝BP=5∴PQ＝AQ+BP﹣AB=5−1+5故选：C．二．填空题（共5小题）11．在“国旗在心中”活动中，同学们近距离观赏五星红旗，聆听红旗的故事．如图，在国旗上的任意一个五角星中，若AD＝2，则AN的长为3−5【解答】解：∵点N是AD的黄金分割点（DN＞AN），AD＝2，∴DN=5−12AD=∴AN＝AD﹣DN＝2﹣（5−1）＝3−故答案为：3−512．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），如果AB＝1，那么BP的长是3−52【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝1，∴AP=5−12∴BP＝AB﹣AP＝1−5故答案为：3−513．若线段AB＝10，且点C是AB的黄金分割点，且BC＞AC，则BC的长为55−5【解答】解：∵点C是AB的黄金分割点，且BC＞AC，AB＝10，∴BC=5−12AB=故答案为：55−14．如图，一架小提琴中AC、BC、AB各部分长度的比满足ABBC=BCAC，则ABBC【解答】解：一架小提琴中AC、BC、AB各部分长度的比满足ABBC∴点B是线段AC的黄金分割点，∴ABBC即ABBC的值为5故答案为：5−115．秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”，实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点P是AB的黄金分割点（AP＞BP），如果AB的长为(45+4)cm，那么AP的长为8【解答】解：由题意可得：AB的长为(45∴AP=5故答案为：8．三．解答题（共5小题）16．如图，我们知道，如果点P是线段AB上的一点，将线段分割成AP，BP两条线段（AP＞BP），且满足BP：AP＝AP：AB，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段AP与AB的比值或线段BP与AP的比值叫做黄金分割数．已知比例的基本性质：对于长度为a，b，c，d的四条线段，如果a：b＝c：d，则ad＝bc．求黄金分割数（结果保留根号）．【解答】解：设线段AB＝1，AP的长为x，则BP＝AB﹣AP＝1﹣x，∵BP：AP＝AP：AB，∴（1﹣x）：x＝x：1，∴x2＝1﹣x，整理得：x2+x﹣1＝0解得：x1=−1+52∴黄金分割数＝AP：AB=5−12∴黄金分割数为5−117．【例题呈现】化简：12思路点拨：将原式的分子、分母同乘一个代数式，使得分母不含根号，实现分母有理化．解：将分子、分母同乘2+1，得2【类比应用】（1）化简：45+1=（2）宽与长的比为5−12的矩形叫做黄金矩形．如图，已知黄金矩形ABCD（AB＜BC）的边AB＝2，剪掉一个以AB为边的正方形ABEF后，得到新的矩形①求BC的长；②通过计算说明矩形CDFE是否为黄金矩形．【解答】解：（1）45故答案为：5−1（2）①∵四边形ABCD是黄金矩形（AB＜BC），AB＝2，∴ABBC解得：BC=2AB∴BC的长为5+②∵四边形ABEF是正方形，∴AB＝BE＝2，∵BC=5∴CE＝BC﹣BE=5+1﹣2∵四边形CDFE是矩形，∴CD＝AB＝2，∴CECD∴矩形CDFE是黄金矩形．18．以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM，DM的长；（2）求证：AM2＝AD•DM；（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？【解答】（1）解：在Rt△APD中，PA=12AB＝1，∴PD=A∴AM＝AF＝PF﹣PA＝PD﹣PA=5DM＝AD﹣AM＝2﹣（5−1）＝3−（2）证明：∵AM2＝（5−1）2＝6﹣25，AD•DM＝2（3−5）＝6﹣2∴AM2＝AD•DM；（3）点M是AD的黄金分割点．理由如下：∵AM2＝AD•DM，∴AMAD∴点M是AD的黄金分割点．19．已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄