2023届高考数学一轮复习-助学培优12-立体几何最值问题的函数模型解法

助学培优12立体几何最值问题的函数模型解法[学生用书P200]模型一求体积最值(2022·广东深圳二模)在三棱锥P­ABC中，平面PBC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BC＝PC＝2，若AC＝PB，则三棱锥P­ABC体积的最大值为()A.eq\f(4\r(2),3) B.eq\f(16\r(3),9)C.eq\f(16\r(3),27) D.eq\f(32\r(3),27)【解析】如图，取PB的中点M，连接CM.因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，AC⊂平面ABC，AC⊥BC，所以AC⊥平面PBC.则点A到平面PBC的距离为AC，设AC＝2x.由于BC＝PC＝2，PB＝2x(0＜x＜2)，M为PB的中点，所以CM⊥PB，CM＝eq\r(4－x2).可得S△PBC＝eq\f(1,2)·2x·eq\r(4－x2)＝x·eq\r(4－x2)，VP­ABC＝VA­PBC＝eq\f(1,3)·(x·eq\r(4－x2))·2x＝eq\f(2x2\r(4－x2),3).设t＝eq\r(4－x2)(0＜t＜2)，则x2＝4－t2.所以VA­PBC＝eq\f(2t（4－t2）,3)＝eq\f(8t－2t3,3)(0＜t＜2)，记V(t)＝eq\f(8t－2t3,3)(0＜t＜2)，则V′(t)＝eq\f(8－6t2,3).令V′(t)＝0，解得t＝eq\f(2\r(3),3).由V′(t)＞0得0＜t＜eq\f(2\r(3),3)，所以V(t)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)))上单调递增；由V′(t)＜0得eq\f(2\r(3),3)＜t＜2，所以V(t)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，2))上单调递减．所以当t＝eq\f(2\r(3),3)时，VA­PBC取得最大值eq\f(32\r(3),27).故选D.【答案】D本题求体积的最值时，可以建立函数模型求解．由于函数式较复杂，采用了换元法进行化简，进而利用导数法求最值，计算较为简便，换元时要注意新元的取值范围．模型二求空间向量有关最值(2022·石家庄市第十七中学月考)如图，三棱锥V­ABC中，底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，且侧面VAC垂直底面ABC，设E为线段AC的中点，F为直线AB上的动点，若平面VEF与平面VBC的夹角为θ，则cosθ的最大值是________．【解析】底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面VAC垂直底面ABC，且由VE⊥AC，得VE⊥底面ABC，又EB⊥AC，以E为原点，EB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴，EV所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设AB＝2，则Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(2)，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，0，0))，Veq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\r(2)))，设Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，x－\r(2)，0))，eq\o(VC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(2)，－\r(2)))，eq\o(VB,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，0，－eq\r(2))，eq\o(EV,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\r(2)))，eq\o(VF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，x－\r(2)，－\r(2)))，设平面VBC的法向量为m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，y1，z1))，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(VC,\s\up6(→))＝0,m·\o(VB,\s\up6(→))＝0))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(2)y1－\r(2)z1＝0,\r(2)x1－\r(2)z1＝0))，取x1＝1.所以m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，1)).设平面VEF的法向量为n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，y2，z2))，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(EV,\s\up6(→))＝0,n·\o(VF,\s\up6(→))＝0))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\r(2)z2＝0,x·x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\r(2)))·y2－\r(2)z2＝0)))，解得z2＝0，令y2＝1，则x2＝eq\f(\r(2),x)－1，所以n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),x)－1，1，0))，因为平面VEF与平面VBC的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m·n)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(n)))＝eq\f(\f(\r(2),x),\r(3)\r(\f(2,x2)－\f(2\r(2),x)＋2))＝eq\f(\r(2),\r(3)\r(2－2\r(2)x＋2x2))＝eq\f(\r(3),3)·eq\f(1,\r(x2－\r(2)x＋1))，当x＝eq\f(\r(2),2)时，cosθ的最大值为eq\f(\r(6),3).【答案】eq\f(\r(6),3)和空间向量有关的最值问题，可以通过建立空间直角坐标系，用坐标表示要求的最值，结合函数求解最值．模型三探索型问题如图，在呈空间四边形的支撑架ABCD上安装一块矩形太阳能吸光板EFGH，矩形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边上，且AC＝a，BD＝b.求E，F，G，H在什么位置时，吸光板的吸光量最大？【解】要使吸光板的吸光量最大，则矩形EFGH的面积最大．设EH＝x，EF＝y.因为FG∥EH，EH⊂平面ABD，FG⊄平面ABD，所以FG∥平面ABD.又因为FG⊂平面BCD，平面BCD∩平面ABD＝BD，所以FG∥BD.同理可证EF∥HG∥AC.则eq\f(AE,AB)＝eq\f(EH,BD)＝eq\f(x,b)，eq\f(BE,BA)＝eq\f(EF,AC)＝eq\f(y,a).两式相加，得eq\f(AE,AB)＋eq\f(BE,AB)＝eq\f(x,b)＋eq\f(y,a)＝1.①矩形EFGH的面积S＝xy.②由①②得S＝－eq\f(a,b)x2＋ax(0<x<b)，故当x＝－eq\f(a,