高考理科数学总复习第1轮911球省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

第九章直线、平面、简单几何体球第讲1111/34考点搜索●球面、球体概念，球截面性质●地球经纬度，球面距离●球表面积和体积高考高考猜测1.考查相关球表面积、体积和球面距离等计算.2.考查球截面问题分析与计算.22/341.与定点距离_______________点集合,叫做球体,简称球,定点叫做球心,定长叫做球半径,与定点距离__________点集合叫做球面.2.用一个平面截一个球,所得截面是________,且球心与截面圆心连线________截面.3.设球心到截面距离为d,球半径为R,截面圆半径为r,则三者关系是____________.等于或小于定长等于定长一个圆垂直于R2=r2+d233/344.球面被__________平面截得圆叫做大圆，被____________平面截得圆叫做小圆.5.经过球面上两点大圆在这两点间_________长度,叫做这两个点球面距离.6.过球面上一点从北极到南极半个大圆,与子午面所成________度数就是这个点经度;过球面上一点球半径与_______所成角度数就是这个点纬度.

7.半径为R球体积是V=_____，表面积是S=_____.经过球心不经过球心一段劣弧二面角赤道面44/341.长方体一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它八个顶点都在一个球面上，这个球表面积是(

)A.

B.

C.

D.

解：设球半径为R，则(2R)2=32+42+52=50，所以R=

.所以S球=4πR2=50π.C55/342.已知过球面上A、B、C三点截面和球心距离等于球半径二分之一，且AB=BC=CA=2，则球面面积是()A.B.C.D.解：因为AB=BC=CA=2，所以△ABC外接圆半径为r=.设球半径为R，则

所以

，所以

D66/343.球面上有3个点，其中任意两点球面距离都等于大圆周长16，经过这3个点小圆周长为4π，那么这个球半径为(

)A.

B.

C.2

D.

解法1：设球面上3个点分别为A，B，C，球心为O.过O作OO′⊥平面ABC，O′是垂足，则O′是△ABC中心，则O′A=r=2.又因为∠AOC=θ=

，OA=OC知OA

=

AC

<

2

O′A.其次，OA是Rt△OO′A斜边，B77/34故OA>O′A,所以O′A<OA<2O′A.

因为OA=R，所以2<R<4.所以，排除A、C、D，故选B.解法2：设球面上3个点分别为A，B，C，球心为O.

在正三角形ABC中，△ABC外接圆半径r=2.应用正弦定理，得AB=2rsin60°=

.

因为∠AOB=θ=

，所以侧面AOB是正三角形，得球半径R=OA=AB=

.88/34解法3：设球面上3个点分别为A，B，C，球心为O.因为正三角形ABC外接圆半径r=2，故高AD=r=3，D是BC中点.在△OBC中，BO=CO=R，∠BOC=，所以BC=BO=R，BD=BC=R.在Rt△ABD中，AB=BC=R，所以由AB2=BD2+AD2，得

，解得R=.99/341.球面上有三点A、B、C，其中任意两点间球面距离都等于大圆周长

，经过这三个点小圆周长为4π，求这个球表面积.解：设O为球心，球半径为R，经过A、B、C三点小圆半径为r.题型1

球表面积计算1010/34由已知，2πr=4π，所以r=2.又因为A、B、C中任意两点球面距离都是大圆周长

，即

，所以∠AOB=∠AOC=∠BOC=.又OA=OB=OC=R，所以AB=BC=AC=R.在△ABC中，由正弦定理，得AB=2rsin60°=，所以R=，所以S球=4πR2=48π.1111/34点评：求球表面积关键是求球半径.求半径时，普通是依据截面圆圆心与球圆心连线段、截面圆弦长、球半径三者之间关系，经过解三角形来求得.1212/34

如图，A、B、C是表面积为48π球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC

=60°，O为球心.求直线OA与截面ABC所成角大小.解：连结AC，设O在截面ABC上射影是O′，则O′为截面三角形ABC外接圆圆心，1313/34连结AO′，则∠OAO′为直线OA与截面ABC所成角.设球半径为R，小圆半径为r.因为球表面积为48π，所以R=.在△ABC中，由余弦定理，得AC2

=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=4+16-16cos60°=12由正弦定理，得，即

，所以r=2.所以.故所求角大小为arccos.1414/342.设A、B、C为球面上三点，AC=BC=6，AB=4，球心O到平面ABC距离等于球半径二分之一，求这个球体积.解：过球心O作OO1⊥平面ABC，则点O1为过点A、B、C截面圆圆心，即O1是△ABC外心.连结CO1，延长交AB于M点.题型2

球体积计算1515/34因为AC=BC，所以M是AB中点，且CM⊥AB.设O1M=x.因为O1A=O1C，而，O1C=CM-O1M=所以，解得x=.所以O1A=设球O半径为R.由已知OO1=R2，OA=R.在Rt△AO1O中，因为AO2=OO21+AO21，所以

解得R=.1616/34所以

点评：球体积是关于半径函数，故求体积必须先求半径.包括到截面问题时，普通是化球为圆，再解直角三角形可求得半径.1717/34

球面上有三点A、B、C，A和B及A和C之间球面距离是大圆周长

，B和C之间球面距离是大圆周长

，且球心到截面ABC距离是

，求球体积.解：设球心为O，由已知，易得∠AOB

=

∠AOC=

，∠BOC=

.过O作OD⊥BC于D，连结AD，再过O作OE⊥AD于E，则OE⊥平面ABC于E，所以OE=.1818/34因为OA⊥OB，OA⊥OC，所以OA⊥平面BOC，所以OA⊥OD.设OA=R,则AB=AC=2R,BC=R，AD=R,OD=R.在Rt△AOD中，由AD·OE=OA·OD,得OA=R=1.所以.1919/343.在地球北纬30°圈上有A、B两点，点A在西经10°，点B在东经110°，设地球半径为R，求A、B两点球面距离.解：如图，设O为球心，C为北纬30°圈所在小圆圆心.由已知，∠ACB=120°，∠AOC=∠BOC=60°，OA=OB=R，OC⊥平面ABC，所以AC=BC=Rsin60°=

.题型3

球面距离分析与计算2020/34在△ACB中，所以AB=R.在△AOB中，所以∠AOB=arccos().故A、B两点球面距离是Rarccos().2121/34点评：普通地，求球面上两点A、B间球面距离详细步骤是：①计算线段AB(公共弦)长；②计算A、B到球心O张角；③计算球大圆上A、B间劣弧长.2222/34正三棱锥P-ABC内接于半径为R球，其底面三顶点在同一个大圆上.某质点从点P出发沿球面运动，经过A、B、C三点后返回P点，求所经旅程最小值.

解：设球心为O，据题意，O为正三角形ABC中心，且PO⊥平面ABC，所以∠POA=∠POC=，∠AOB=∠BOC=.因为球面上任意两点球面距离是经过这两点最短旅程，其中P与A、P与C球面距离是

，A与B、B与C球面距离是

，所以所求旅程最小值是2323/341.正三棱锥P-ABC外接球半径为R，两侧棱夹角为α，求这个正三棱锥侧棱长.

解：如图，过点P作PD⊥平面ABC，垂足为D，则D为△ABC中心.延长PD交球面于E，则PE为球直径.连结AD、AE，则PA⊥AE，AD⊥PE.2424/34设∠PAD=θ，则∠AED=θ.设正三棱锥P-ABC侧棱长为a，由已知，从而

又AD=PAcosθ=acosθ，所以所以在Rt△PAE中，PA=PEsinθ=.故这个正三棱锥侧棱长为.2525/342.如图，AC是四面体ABCD外接球直径，BC是经过B、C、D三点截面圆直径，球心O到截面BCD距离等于球半径.(1)若∠CBD=60°，求异面直线AC和BD夹角;(2)若BD∶DC=∶2，求二面角B-AC-D大小.2626/34解：(1)过点C作CE∥DB交球面于E，连结AE，则∠ACE为所求角.因为∠CBD=60°，所以∠BCE=60°.

取BC中点O′，则O′为截面圆圆心.设球O半径为R，由已知OO′=.在Rt△CO′O中所以BC=R.因为BE⊥CE，所以CE=BCcos60°=.2727/34因为AC是球直径，所以AE⊥EC.在Rt△AEC中，.故异面直线AC和BD夹角为arccos

.(2)过点D作DF⊥BC，垂足为F.

因为OO′⊥DF，所以DF⊥平面ABC.过点F作FH⊥AC，垂足为H，连结DH.依据三垂线定理，有DH⊥AC.所以∠DHF为二面角B-AC-D平面角.2828/34因为BD∶DC=∶2，BC=R，BD2+DC2=BC2，所以则DC=R，所以BD=DC=R.因为DF·BC