2025高考数学二轮复习-拉档提分解析几何231-240-专项训练【含答案】

所以因为代入上面的方程得即,存在点使得已知双曲线，过点的直线交双曲线于两点，问，在轴上是否存在一点，使得斜率解析如图，设.设直线可得于是因为所以，从而代入得整理得即故所以存在,点.满足题意.例29已知抛物线，直线过点，并交抛物线于两点，若直线与轴交于点，问与的夹角是否为定值?解析如图，设代入，得根据韦达定理有.作点关于轴的对称点.故﹐即,,三点共线.作过点垂直于轴的直线,分别交轴于点,由得.因为,所以,即,所以,所以为定值.例30过点作拋物线的切线(斜率不为0),为焦点,研究斜率与的关系.解析如图，设由得整理得,由得解得.所以【例31】过抛物线上一点作直线,,交抛物线于两点.且斜率.问:直线的斜率是否为定值？△PAB的面积是否有最大值？解析：（1）设,,代入得.所以对于所以,即，所以所以（2）如图,设直线的倾斜角为则.$$而因为所以,故①点处切线:,即.当与切线重合时,,;②点在点同侧时,即时,没有最大值;③点在点异侧时,,,此时所以点在点异侧时,有最大值【例32】已知椭圆的动弦的中点为.问:斜率是否为定值(为原点)?解析如图,设点，O为坐标原点.的斜率为的斜率为.则有得即由于所以即因为所以.【例33】已知为椭圆上的动点,设过点的切线斜率为,问:是否为定值?(为原点)【解析】如图,设点,因为是椭圆在点处的切线,所以,所以又因为,所以【例34】已知椭圆的动弦的中垂线交轴于点,垂足为,求的取值范围、解析如图设.得(5)(3)(4)代入（5）得因为所以.又因为必在椭圆内,且不垂直于轴，所以例35对于给定的椭圆，怎样用圆规和直尺作出椭圆的中心，对称轴，顶点，焦点，准线？解析如图，作法如下：1.任意作两条与椭圆有交点的平行线作出被椭圆截得的平行弦的中点,并连接两中点.2.另作两条与椭圆有交点的平行线,连接被椭圆截得的平行弦的中点.两条中点连线交于点O,O即为椭圆中心.3.以O为圆心,以为半径画圆,与椭圆交于点.4.取中点并连接,此直线即为一条对称轴.取中点并连接,此直线即为另一条对称轴.椭圆与坐标轴交于点,则即为椭圆顶点.5.用圆规截取OC长,以OC长为半径,B为圆心画弧,交轴于点,则点即为椭圆焦点.6.用圆规截取长,以为圆心,长为半径画弧,交轴于点S.作线段OS的中垂线,记为.7.连接并延长,以为圆心,长为半径画弧,交射线于点T.作线段DT的中垂线,交于点J8.以为半径,为圆心,交于点,作线段的中垂线即为椭圆的右准线.左准线同理.[例36]过点的直线交拋物线于两点,求中点的轨迹方程.解析如图，设点中点则两式相减，因为四点共线,所以.把（2）代入（1）可得.【例37】已知椭圆,直线过焦点交椭圆于两点,在轴上是否存在一定点,使得为定值?【解析】如图39,设设直线的方程为.联立,得.于是将代入得整理得即当时为定值,即.故存在定点使得为定值.【例38】已知椭圆,直线过点交椭圆于两点,是否存在一定点,使得为定值?【解析】如图,设点.设,代入得于是故因为所以因为为定值，所以得.故存在定点.【例39】要测试一只音响的声音效果,请你设计出一个测试房间,使测试效果尽可能准确.【解析】由声波反射原理可知,只要做一个旋转椭球体(绕长轴)形状的房间,把待测试音响放在一个焦点上,测量仪放在另一个焦点上,即可精确测出设备音质的好坏.【例40】如图41,已知抛物线上一点,是以为切点的切线上一点,点满足过点的直线交曲线于两点,过点的直线交抛物线于点,过点的直线交抛物线于点,求证:.解析因为所以切线为.设与联立得由韦达定理得.把与联立,得,于是即.可理得.即由于则,整理得所以.即例41已知抛物线上一点是抛物线上另两点,且（1）求点的轨迹方程;（2)问:直线是否过定点?【解析】(1)如图,设,,与联立得,所以.因为,即,所以,.因为,所以.即,,即为点的轨迹方程.(2),所以直线过定点(2,-1).【例42】如图,设椭圆过,两点,为坐标原点.求椭圆的方程；是否存在圆心在坐标原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,且?若存在,写出该圆的方程,并求的取值范围；若不存在，请说明理由.解析：（1）因为椭圆过两点,所以,解得所以椭圆E的方程为.（2）解法1假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点且设该圆的切线方程为解方程组得即,则即.于是要使需使即，所以所以.又所以所以即或.因为直线为圆心在原点,的圆的一条切线，所以圆的半径所求的圆的方程为.此时圆的切线满足或.而当切线的斜率不存在时,切线为与椭圆的两个交点为或满足综上,存在圆心在原点的圆使得该圆的任意一条切线与稍圆恒有两个交点.且.解法2假设存在圆心为的圆,切线的切点为.设与轴所成的角为又因为所以因为为切点,所以,所以即.因为,所以等号成立时,等号成立时或,所以例43如图，已知双曲线的离心率为，右准线方程为(1)求双曲线的方程;(2)设直线是圆上动点处的切线,与双曲线交于不同的两点，求证的大小为定值.解析(1)由题意,得,解得,所以所求双曲线的方程为.(2)点在圆上,圆在,点处的切线方程为化简得.由得因为切线与双曲线交于不同的两点,且,所以且设两点的坐标分别为,则因为且所以的大小为例44已知定点，动点满足直线的斜率,求点的轨迹方程.解析如图，令因为,所以化简得所以点的轨迹方程为，点轨迹为椭圆（不包括端点）例45如图，已知椭圆的动弦垂直交轴于点椭圆的长轴端点分別为,试探求直线与交点的轨迹方程.解析设，直线与交于点则(1)×(2)得.（3）又因为在抛物线上,所以有.所以代入(3)得.经化简得即.所以所求直线与交点的轨迹方程为.【