2025高考数学二轮复习-拉档提分解析几何81-90-专项训练【含答案】

十八、奇妙的最美椭圆离心率的椭圆称为最美椭圆，因为这种椭圆具有很多神奇的性质，故而单独对其进行研究.【例26】如图1，从椭圆上一点向轴作垂线，恰好过椭圆的左焦点，且它的长轴端点及短轴端点的连线满足求证：椭圆的离心率.【解析】由于，所以，于是，故.【例27】设椭圆长轴端点为，中心为，如果椭圆上存在一点，使得,求证：椭圆的离心率的取值范围为.【解析】如图2，设则，即于是则，得,即故.【例28】如图3，已知椭圆方程，若E，C分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足，连接EM，交椭圆于点P，在轴上有异于点E的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线CP，MQ的交点，求证：当定点Q与原点重合时，椭圆的离心率恰好是.【解析】设则即，当定点与原点重合时,故.【例29】如图4，在平面直角坐标系中，M，N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，过点P作轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B.若，求证：椭圆离心率.【解析】解法1由题意设则因为三点共线,所以.又因为点在椭圆上,所以得，两式相减得.因为所以即从而.解法2设的中点则因为三点共线,所以.又因为点在椭圆上,所以.两式相减得.因为所以，即即，即从而.【例30】如图5,直线过椭圆的右焦点交椭圆于两点.若面积达到最大值时,恰好垂直长轴,求证:椭圆离心率的范围是【解析】设直线代入椭圆方程，得整理得:.令则上式化为由于最大值在时达到,故有即,故故【例31】如图6，设椭圆(1)求直线被椭圆截得的线段长(用表示)；(2)若以点为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.【解析】（1）设直线被椭圆截得的线段为,由得.故.因此.（2）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点，满足.记直线的斜率分别为且.由(1)知,,故所以由得,因此 ①因为①式关于的方程有解的充要条件是所以.因此,以点为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为,由得,所求离心率的取值范围为.十九、圆高考热点问题聚焦本节提升圆的拓展创新能力，对圆的十七种典型问题，以例题的形式展开，每个例题均给出了快速有效的解法.为了让同学们消除错误及巩固知识，部分例题还设置了与例题有关联的“变式训练”.为满足不同层次同学的需求，还给出了“拓展提升”，有一定难度.(一)直径圆的存在问题【例32】已知圆，是否存在斜率为-1的直线，使得以被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【解析】设直线的方程为，联立方程得.整理得由题意知于是即.从而即即故或【评注】本题用通法解方程组，也可用圆系方程或用几何法.（二）正交弦四边形面积【例33】 已知点动点满足设动点的轨迹是曲线,直线与曲线交于两点.（1）求曲线C的方程;（2）若，求实数的值；（3）过点作垂直于的直线，且直线与曲线交于两点，求四边形面积的最大值.【解析】（1）设为曲线上任意一点，则由，化简整理得所以曲线的方程为.(2)因为所以.所以圆心到直线的距离所以(3)当时,圆心到直线的距离所以.又同理得所以整理得当且仅当时取等号.所以当时,.综上,当时,四边形PMQN面积有最大值7.【变式训练】已知圆,过点P（0，1）的两条互相垂直的直线分别交圆于A，B，C，D四点，求四边形ABCD面积的最大值与最小值.（三）圆的弦长最值问题【例34】已知圆直线(1)求证:对直线与圆总有两个不同的交点(2)设与圆交于两点,若，求的倾斜角；(3)在直线中,是否存在使得直线截圆所得的弦最长或最短?(4)设与圆交于两点,求中点的轨迹方程.【解析】（1）解法1代数法联立方程得.整理得.因为，所以直线与圆总有两个不同的交点.解法2几何法圆心(0,1)到直线的距离为，所以直线与圆总有两个不同的交点.(2)因为过定点且与圆交于两点.当时,圆心到直线的距离为解得.所以直线的方程为或故的倾斜角为或(3)存在使得所得的弦最长,不存在使所得弦最短.(4)与圆交于两点,由于且过定点,故中,点的轨迹是以为直径端点的圆,即(四)内切圆系列的最值【例35】如图1，已知与圆相切的直线分别交轴，轴于点，，为原点.当切线绕圆转动时，求之间的关系式，并探究如下问题：问题1.若的内切圆半径为定值.(1)求面积的最小值;(2)求周长的最小值.问题2.若为定值S.求周长的最小值和内切圆半径的最大值.问题3.若的周长为定值.求面积的最大值和内切圆半径的最大值.问题4.若的内切圆半径为定值,求长的最小值.问题5.若的内切圆半径为定值,求的最小值.问题6.若的内切圆半径为定值,求中点的轨迹方程.问题7.若的内切圆半径为定值,求证：的中点与圆心为对角顶点的矩形（边与坐标轴平行或垂直）的面积为定值.【解析】已知点，则直线的方程为即.由于与圆相切,故有,即即.问题1当内切圆半径为定值时,,解得或舍去),所以:(2).由于而即,从而周长.问题2若为定值，即而由于可得即即,即从而.因为所以.问题3若周长为定值,则即从而.所以.又所以问题4因为又所以.从而.问题5由于所以,即与上述问题达到最值的情形相同,均为直线方程为：注问题6设中点为,由于则故有,即中点的轨迹方程为问题7由于所以矩形面积为因为即,所以（定值）.（五）切割线张角的最值【例36】如图2，已知圆直线,的顶点在直线上，顶点都在圆上，且边过圆心，.求点横坐标的取值范围.【解析】过点做圆的切线（为切点），则，所以.设，则有，所以，所以.（六）圆的动弦等长问题【例37】如图3，在平面直角坐标系中，已知圆和圆.（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程.（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆。相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.【解析】(1)设直线的方程为即由垂径定理,得圆心到直线的距高,结合点到直线距离公式,得，化简得或.故直线的方程为或即或（2)设点的坐标为,直线的方程分别为:即因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等.由垂径定理,得圆心到直线与到直线的距离相等.故有化简得或要使关于的方程有无穷多解，则或解得点坐标为或.【评注】第（2）文也可用优化设线的方法：设点的坐标为，直线的方程分别为不要解方程组，直接用点(圆心)线距离求解.或用向量方法:因为向量与的夹角为，又故或求出的值即可.（七）直线分圆比例问题【例38】设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1.在满足条件①，②的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程.【解析】解法1设圆心为，半径为，则点到轴，轴的距离分别为，.由题设圆截轴所得劣弧所对的圆心角为，知圆截轴的弦长为，故.又圆截轴所得的弦长为2,所以有.从而得.又,点到直线的距离为,所以,当且仅当时上式等号成立,此时从而取得最小值.由知.于是,所求圆的方程是或解法同解法1得.所以.两边平方得， ①将代入①式,整理得. ②把②式看作关于的一元二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即得.所以有最小值1,从而有最小值.将其代入②式得解得.将其代入将代入得由得.综上.由知同号,于是,所求圆的方程是或.（八）包络圆的灵活应用【例39】设，求证：不论如何变化，经过两点的直线都与某定圆相切.【解析】由于所以两点均在直线上.又因为原点到直线的距离等于1,故知直线与圆相切.【变式训练】已知两点,设集合，求集合所构成的面积.（九）圆的光程最短问题【例40】 一束光线从点发出,经直线上的点处反射后与圆相切于点，则光程长【答案】【解析】如图4，由题意，可得点关于直线的对称点的坐标为由切线长