2025高考数学二轮复习-拉档提分解析几何151-160-专项训练【含答案】

当时取最大值为3,所以的取值范围为.又当不存在,即轴时取值为所以的取值范围为.例57.已知椭圆的左右焦点为离心率短轴长为2.（1）求椭圆的方程;(2)如图,点为椭圆上一动点(非长轴端点的延长线与椭圆交于点,AO的延长线与椭圆交于点,求面积的最大值.解析(1)由题意得解得.因为所以.故椭圆的标准方程为(2)当直线AB的斜率不存在时,不妨取.故(2)当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为联立方程组化简得设则.点到直线的距离.因为是线段AC的中点,所以点到直线AB的距离为.所以当且仅当时等号成立.十八、圆与椭圆珠联壁合本节精选了10个圆与椭圆“珠联璧合”的典型例题,每个例题内涵丰富,并具有代表性,解法精巧，难度中上.对于具有一般意义的“蒙日圆”给出了系列问题,并作了拓展提升.例58如图,已知椭圆的一个焦点为离心率为.（1）求椭圆的标准方程(2)若动点为椭圆外一点,且点到椭圆的两条切线相互垂直.求点的轨迹方程.解析(1)可知又所以故椭圆的标准方程为.(2)设两切线为,(1)轴或轴时,对应轴或轴,可知;(2)当与轴不垂直且不平行时,设设的斜率为k,则的斜率为,的方程为与椭圆方程联立,得因为直线与椭圆相切,所以得所以即所以是方程的一个根.同理是方程的另一个根.所以得其中.所以,点的轨迹方程为.因为满足上式,综上知:点的轨迹方程为评注本题背景是很美的蒙日圆.拓展提升已知A,B是椭圆上两动点,分别以A,B为切点作椭圆的切线当与的夹角为定值时,求两直线交点的轨迹方程,并说明轨迹的形状.(解析]如图,设切线与的交,点斜率分别为则切线的方程为于是,故即同理由切线的方程得于是是方程的两根,故.(1)当时,所求的方程为.(2)当时，故所求的方程是:我们有下面的定理:定理1(1)椭圆正交切线交点轨迹为圆(蒙日圆;（2）椭圆正交切线的斜率之积为定值（3）椭圆正交切线的A,B切点弦包络的椭圆与原椭圆公焦点问题探究已知半经为的圆是圆心在椭圆上的动圆,过椭圆中心作圆的两条切线,分别交椭圆于A,B两点,问是否存在定值为，使得为定值[解析1如图4,设.圆心到的距离为整理得因为所以因为定值,则分子分母关于的系数必成比例,即故所以.所以存在定值,使得为定值.问题探究如图已知动点A,B在椭圆上,当面积达最大时,A,B是定点吗？若A,B还是动点,则是否为定值?解析设,则此时即,所以.问题探究3如图,已知半径为圆心在椭圆上的动圆,过椭圆中心作圆的两条切线,分别交杜圆于A,B两点,问是否为定值?解法如图先由特例设联立方程消去得.从而圆心到直线的距离为由已知得化简并整理得从而.因为.解法由解法1知解法由得.综上,我们得到下面的定理:定理直线交椭圆于两点A,B,当面积达最大值时.(2)为定值;圆心在椭圆上与射线OA,OB都相切的圆的半径为定值;(4)直线的包络是椭圆;(5)A,B两点的切线交点的轨迹是椭圆.上述五条任意一条为条件均可推出其余四条.[例59]已知直线与椭圆交于A,B两点,且以AB为直径的圆恰过原点,求弦AB长的取值范围.解析解法1联立方程消去得,整理得设由AB过原点得,所以,即由于令,则上式化为.再令则上式化为即法2设.分别代入椭圆方程即以上两式相加得为常数.由知即则所以.拓展提升椭圆的正交中心角系列：已知为椭圆上A,B两点，(1);(2)(3;(4)椭圆上任意一点对圆的极线包络为椭圆解析如图,设,由以上两式相加得为常数.由知即则故(1)(2)(3)的结论得证.(4)如图设则极线CD为.令得.令得.极线包络为椭圆2.在平面直角坐标系xO中,椭圆的离心率为直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程(2)直线是圆的任意一条切线,与粗圆交于A,B两点,若以AB为直径的圆恒过原点,求圆的方程,并求|AB|的取值范围.[解析已知稍圆方程因为所以所以.设直线与稍圆交于P,Q两点,不妨设点为直线和桶圆在第一象限的交点,又弦长为,所以所以.又解得.所以椭圆方程为.(2)(i)当切线的斜率不存在时,设或代入椭圆方程得,所以因为以AB为直径的圆恒过原点,所以.所以解得.所以圆的方程为.此时(同理当时,上述结论仍然成立)$;$（ii当切线的斜率存在时,设方程为.因为与圆相切，所以即.将直线方程代入椭圆方程并整理得:(2)设则是方程(1)的两个根,由韦达定理得.故因为以AB为直径的圆恒过原点,所以.所以,所以，即.又因为，所以,所以.此时代入2式后成立.所以圆的方程为.此时当时,当时,.综上,圆的方程为的取值范围是.例60．已知椭圆，圆过椭圆上任意一个不与顶点重合的点引圆的两条切线,切点分别为A,B,直线AB分别与轴,y轴交于点M,N,则[答案I则对应圆的切点弦所在直线的方程为.变形得,故从[例61)如图是椭圆的左、右焦点,M,N是以为直径的圆上关于轴对称的两个动点.(1)设直线的斜率分别为求（2)直线和与椭圆的交点分别为A,B和C,D.问:是若存在实数使得恒成立？若存在,求实数的值;若不存在,请说明理由.(解析）(1)由椭圆知，故以为直径的圆的方程为.设则且所以直线的斜率直线的斜率故（2)设直线的方程为,直线的方程为.将代入整理得设,则由韦达定理得.所以同理由得所以,所求实数的值为.定理对偶焦弦，倒和定值.如图已知椭圆圆是圆上关于椭圆长轴对称的两个动点，弦与共线，弦与共线,