2025高考数学二轮复习-拉档提分数列201-210-专项训练【含答案】

猜想:当时,不等式恒成立.证明:因为，所以存在实数使得恒成立,即的最小值为.解法2:由,当时，当时有,所以的最大值为所以.所以存在实数使得恒成立,即的最小值为.【例26】已知数列满足且.(1)求证(2)设数列的前项和为求证【解析】(1)由题意得即故，由得,由得,所以.（2）由题意得,累加可得①,由和得,所以,因此②,由①②得.【例27】已知等差数列的公差为，前项和为且(1)求数列的通项公式与前项和(2)将数列的前四项抽取其中一项后,剩下三项按原来顺序恰为等比数列的前三项，记数列的前项和为,若存在,使得对任意总有成立,求实数的取值范围.【解析】(1)因为为等差数列,且,所以即又因为公差，所以,由(1)知数列的前4项为4,3,2,1,所以等比数列的前3项为4,2,1,所以,①，②，①②得，所以.，所以,所以时.，因为存在,使得对任意总有成立，所以，所以实数的取值范围为.【例28】已知公差不为0的等差数列的首项前项和为且成等比数列.(1)求数列的通项公式及(2)记当时,比较与的大小;（3）是否存在实数,使得对任意的正整数都有成立?若存在,求的最大值;若不存在,请说明理由.【解析】（1）设公差为由成等比数列得即,求得或(舍去)，所以，(2)，因为当时即所以(3)要使恒成立,只需恒成立,即，因为又因为,所以当且仅当时等号成立),所以时,对任意的正整数不等式都成立，即实数存在，最大值为.注:本章周阳锋老师提供了不少好题，在此深表感谢!详解详析第一章等差数比，题型梳理一、等差数列，经典题例1.紧扣定义、活用公式例2【变式训练】【答案】A【解析】令，是等差数列,设公差为则故选.2.等差和式、形式多变例4【变式训练】【解析】（1）由题知，，所以解得所以（2)解法1:因为,所以，即因为关于的一元二次方程有解,所以解得或.解法2:因为,所以，即,故故的取值范围为或.例5【变式训练】【答案】C【解析】得故选C.（2）【答案】A【解析】因为所以.由,得,故选.3.等差性质,灵活应用例7【变式训练】1.【答案】B【解析】故选2.【答案】C【解析】解法1:将代得解之得故选.解法2:根据等差数列性质知也成等差数列,从而有.所以,故选C.解法3:因为所以所以点是直线上的一串点,由三点共线易知故选解法4:令得从而得到所以故选C4.和式特征，二次函数例8【变式训练】1.【解析】解法1：设等差数列的公差为.由题意得,即.因为所以.所以.因为所以有最小值.又因为,所以或时,取最小值.解法2:同解法1,由得.由得解得.故取10或11时,取最小值.解法3:因为所以所以,所以因为,所以前10项或前11项和最小.2.【答案】5或6【解析】由题意知因为,所以根据二次函数图象的性质,由于,所以当或时取最大值.3.【答案】B【解析】解法1:因为，所以，且所以由得所以所以故选解法2:因为，所以且,所以所以所以前6项之和取最大值，故选4.【答案】C【解析】由数列递减,知数列递减.故选C.5.【答案】B【解析】因为有最大值,所以,因为,所以所以,所以，又故选.5.证明等差，回到定义例9【变式训练】1.【解析】（1）因为所以时又,所以数列是以一为首项,1为公差的等差数列.(2)由(1)知则,设函数,易知在区间和上为减函数.故当时取得最小值;当吋取得最大值3.得,则,所以是以即为首项,以2为公差的等差数列.解法2:当时，.则是以即为首项,以2为公差的等差数列.(2)由(1)知,即,当时,；当时不适合故6.数列最值，差商比值例11【变式训练】1.【解析】(1)设等差数列的公差为,因为,所以所以,所以,得所以,所以或21时最小,最小值为630.由（1）知的前20项小于0,第21项等于0,以后各项均为正数,当时,当时综上,2,【解析】证明:将整理得,所以数列是以1为首项,3为公差的等差数列.(2)由(1)可得所以(3)对的整数恒成立,即，对的整数恒成立,整理得令则因为,所以,即数列为单调递增数列,所以最小.所以的取值范围为8.抽象数列，拓展提升例14【变式训练】【解析】不妨设则则于是故，所以.例14【拓展提升】【答案】D【解析】因为是公差为的等差数列，且，即所以即记则即在上为增函数,有唯一零点,所以所以.故选二、等比数列，典型题例1、紧扣定义，活用公式例1【拓展提升】【解析】由题意知,设,公差为,公比为,由所以,解得，由得,由得,即,则即【例2】【变式训练】1.【解析】設的公差为,则，解得又则设的公比为q,则,解得,则2.【解析】（1）设数列的公比为,由成等差数列,得即由得解得(舍去)所以(2)证法1:对任意,所以对任意成等差数列.证法2:对任意,因此,对任意成等差数列.例2【拓展提升】【答案】B【解析】取三个方程都有实根,排除取则满足条件；取则方程①无实根,方程②有实根,但方程③有实根,排除C;取则方程①无实根,且方程②无实根,但方程③有实根,排除D.故选B.【评注】若则方程①无实根,且方程②无实根,方程③也无实根,所以在得到B可能满足条件后还要排除其他情况.2.等比和式,形式多变例3【变式训练】【答案】例4【拓展提升】【答案】C【解析】即,由得则,则,则则有【评注】这里必须同时满足多个条件.例5【变式训练】1.【解析】由条件知是方程的两根。解得或.又所以所以,从而(2)令得故2.【答案】B【解析】设的公比为,由已知得，即因为所以解得或舍去则,所以故选.3.等比性质，灵活应用例7【变式训练】1.【答案】A【解析】由等比数列的性质知，，所以.所以.故选2.【答案】D【解析】由题意知，，，又是等比数列，故为等比数列，即为等比数列，所以,即,即故选4.证明等比,回到定义例9【变式训练】1.【解析】(1)设成等差数列的三个正数分别为,依题意,得解得所以中的依次为由解得或舍去),故的第3项为5,公比为2,由即解得.所以是以为首项,2为公比的等比数列,其通项公式为(2)证明:数列的前项利，即所以因此是以为首项，公比为2的等比数列.2.【解析】（1）证明：数列中，，，習时,即当时,即所以是以为首项,以为公比的等比数列.(2)由(1)知,故，，，累加得,所以所以.例11【变式训练】1.【解析】（1）因为对任意的点均在函数且均为常数)的图象上,所以得当时，当时又因为为等比数列,所以,公比为b.所以(2)当时,则,，相减得所以,2.【解析】由题设知公差,由成等比数列，得解得或舍去).故的通项(2)由(1)知由等比数列前项和公式，得【例12】【变式训练】1.【答案】C【解析】因为所以所以数列是以为公比的等比数列.因为所以所以故选C.2.【答案】D【解析】解法1:由等比数列前项和公式可知，，而对照两式可知选解法2:若当时当时,两式相减,得,符合题意,故选D.3.【答案】；【解析】解得,故该等比数列的前项和为【例13】【变式训练】【解析】（1）设等比数列的公比为,其前项和为①将①式两边分别乘以得：②①②得当时,当时(2)证法假设数列为等比数列,那么+1)即得或,均与题设矛盾,故数列不可能为等比数列.证法假设数列为等比数列,那么1)即得或,均与题设矛盾，故数列不可能为等比数列.【例13】【拓展提升】【解析】在中，令可得,当时,故，，即即,又所以,即当时又,所以数列是首项和公差均为1的等差数列，于是所以，【例15】【拓展提升】【解析】由已知得,所以,因为,所以,两边同时取对数得即所以是以为首项，公比为2的等比数列.六、选择、填空拉档提分经典题【变式训练】一、选择题1.【答案】A2.【答案】A3.【答案】A4.【答案】A5.【答案】A6.【答案】B【解析】提示：.7.【答案】C【解析】由已知得所以又推出所以又由上面关系式推得故选8.【答案】B【解析】提示9.【答案】A10.【答案】A【解析】最小数为,最大数为,故选A.11.【答案】A12.【答案】C二、填空题1.【答案】【解析】（2），，从而,所以2.【答案】3.【答案】4.【答案】5.【答案】6.【答案】7.【答案】8.【答案】9.【答案】10.【答案】7111.【答案】12.【答案】13.【答案】14.【答案】15.【答案】16.【答案】充分不必要17.【答案】18.【答案】②④19.【答案】20.【答案】21.【答案】22.【答案】23.【答案】24.【答案】25.【答案】【解析】由题意知由得,因此26.【答案】27.【答案】【解析】即得，28.【答案】【解析】,故29.【答案】【解析】设等比数列的公比为,由题意得所以所以新数列的前10项的和为.30.【答案】【解析】解法1:解法2：（1）若为偶数,则为偶数，故,①当仍为偶数时故②当为奇数时故(2)若为奇数,则为偶数,故必为偶数,进而得所以可得.综上,或5或3231.【答案】②③【解析】①当时，,不等式成立，②当时，,但假设时等式成立，则成立，故②满足条件;③，但假设成立,则成立,故③满足