平行四边形单元测试综合卷检测试题

平行四边形单元测试综合卷检测试题

一、选择题

1.如图，已知平行四边形ABCD,A8=6,BC=9,ZA=120°,点尸是边AB上一

动点，作PE上BC于点E,作NEP/=120。（P/在PE右边）且始终保持

PE+PF=yji，连接。尸、。尸，设机=。尸+£）尸，则机满足（）

2.如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O,AB=4,BD=4，i，E为AB的中点,

点P为线段AC上的动点，则EP+BP的最小值为（）

3.将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△48C）的长直角边与含45°角的三角尺

（△4CD）的斜边恰好重合.已知46=46，P、Q分别是4C、8c上的动点，当四边形。P8Q

为平行四边形时，平行四边形。P8Q的面积是（）

4.如图，正方形ABCD的边长为2a,点E从点A出发沿着线段AD向点D运动（不与点

A、D重合），同时点F从点D出发沿着线段DC向点C运动（不与点D、C重合），点E与点F

的运动速度相同.BE与AF相交于点G,H为BF中点，则有下列结论：①NBGF是定值；

②BF平分NCBE：③当E运动到AD中点时，GH=x5〃；④当绘AGB=（6+2）。时，S四边形

2

GEDF=5M,其中正确的是（）

6

ID

\l

----'c

A.①③B.①②③C.①③④D.①④

5.如图，正方形ABCD中，AB=12,点E在边CD上，且CD=3DE,将AADE沿AE对折至

△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG、CF,下列结论：①4ABGgZ\AFG；

②BG=GC；③AG〃CF；④SAFGC=28.8.其中正确结论的个数是（）

6.已知：如图，在正方形ABCD外取一点E,连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交DE

于点P.若AE=AP=LPD=2,下列结论：①EB_LED；②NAEB=135°；③S正方形ABCD=

5+20；④PB=2；其中正确结论的序号是（）

A.①③®B.②③④C.①②④D.①②③

7.线段AB上有一动点C（不与A,B重合），分别以AC,BC为边向上作等边AACM和等

边ABCN,点D是MN的中点，连结AD,BD,在点C的运动过程中，有下列结论：

①4ABD可能为直角三角形；②AABD可能为等腰三角形；③△CMN可能为等边三角形；

④若AB=6,则AD+BD的最小值为3枚.其中正确的是（）

A.②③B.①②③④C.①③④D.②③④

8.如图，点P,Q分别是菱形ABCD的边AD,BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为

8石，最小值为8,则菱形ABCD的边长为（）

D

A.4mB.10C.12D.16

9.如图，△48iG中，4i8i=4,4cl=5,81cl=7.点4、&、Cz分别是边&G、4J、

48i的中点;点小、83、C3分别是边82c2、42c2、6282的中点；……;以此类推，则第2019

个三角形的周长是（）

A.22014B.2刈5C.D.

10.如图，己知正方形ABCD的边长为4,P是对角线BD上一点，PE_LBC于点E,

PF_LCD于点F,连接AP,EF,给出下列结论：①PD=0EC；②四边形PECF的周长为8：

③4APD一定是等腰三角形：④AP=EF；⑤EF的最小值为2应；®AP±EF,其中正确结论

的序号为（）

C.②④⑤D.②④

二、填空题

11.在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4,48=5,AC=2石，则平行四边形ABCD

的周长等于.

12.如图，在矩形ABCD中，NBAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,点G

是EF的中点，连接CG,BG,BD,DG,下列结论：①BC=DF；②NOG尸=135°;

325

③BG-LDG；④AB=—AD,则S血;=SFDG，正确的有•

13.如图，在△48C中，48=3,AC=4,BC=5,P为边8c上一动点，PE_L48于E,

3,点尸在直线8C上，点。在直线CD上，且

人尸_1尸。,当从尸=尸。时，AP=

15.如图，正方形A8CD的边长为6,点E、F分别在边4D、8c上.将该纸片沿EF折叠，

使点A的对应点G落在边0C上，折痕EF与4G交于点。，点K为G，的中点，则随着折

痕EF位置的变化，AGQK周长的最小值为一.

16.如图，在菱形ABCD中，AC交BD于P,E为BC上一点，AE交BD于F,若AB=AE,

NEAD=2/BAE,则下列结论：①AF=AP；②AE=FD；③BE=AF.正确的是,（填

序号）.

17.如图，已知在AABC中，AB=AC=13,BC=1O,点M是AC边上任意一点，连接MB,以

MB、MC为邻边作平行四边形MCNB,连接MN,则MN的最小值是

18.已知：如图，在长方形48。。中，AB=4,AD=6.延长BC到点E,使

CE=2,连接OE,动点P从点5出发，以每秒2个单位的速度沿BC—8—04向终

点A运动，设点P的运动时间为/秒，当f的值为秒时，A48P和AOCE全等.

19.如图，正方形ABC。面积为1,延长DA至点G,使得AG=A。，以。G为边在正

方形另一侧作菱形OG/E,其中NER7=45°，依次延长A&BC,C。类似以上操作再

作三个形状大小都相同的菱形，形成风车状图形，依次连结点£”，M,N,则四边形

FHMN的面积为.

20.如图，四边形ABCP是边长为4的正方形，点E在边C尸上，Pf=l；作EF〃8C,分别

交AC、48于点G、F,M.N分别是4G、8E的中点，则M/V的长是.

三、解答题

21.已知，在△48C中，ZBAC^r,乙48c=45°,。为直线8c上一动点(不与点8,C

重合)，以4。为边作正方形2DEF,连接CF.

图1图2图3

(1)如图1,当点。在线段8c上时，8c与CF的位置关系是,8C、CF、CD三条线

段之间的数量关系为;

(2)如图2,当点。在线段8c的延长线上时，其他条件不变，请猜想8c与CF的位置关

系8C,CD,CF三条线段之间的数量关系并证明；

(3)如图3,当点。在线段8c的反向延长线上时，点4F分别在直线8c的两侧，其他

13

条件不变.若正方形4DEF的对角线4E,DF相交于点0,，DB=5,则△ABC的面积

2

为.(直接写出答案)

22.(1)如图①，在正方形ABCD中，AAEF的顶点E,F分别在BC,CD边上，高AG与

正方形的边长相等，求NE4F的度数；

(2)如图②，在放AA8O中，NB4D=90",4O=AB,点M,N是BD边上的任意两

点，且NK4N=45°，将A4W绕点A逆时针旋转90度至&4O”位置，连接NH,试判

断MN,ND,DH之间的数量关系，并说明理由；

(3)在图①中，连接BD分别交AE,AF于点M,N,若正方形ABCD的边长为12,

(图①)(图②)

23.如图，在平面直角坐标系中，已知刀。48c的顶点4(10,0)、C(2,4),点D是

的中点，点P在8c上由点8向点C运动.

(1)求点B的坐标；

(2)若点P运动速度为每秒2个单位长度，点P运动的时间为t秒，当四边形PCO4是平

行四边形时，求t的值；

(3)当△OOP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标.

24.直线修友心是同一平面内的一组平行线.

(1)如图1.正方形A8C。的4个顶点都在这些平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距

离都是1,其中点A,点。分别在直线4和乙上，求正方形的面积；

⑵如图2,正方形A8CO的4个顶点分别在四条平行线上，若四条直线中相邻两条之间的

距离依次为%%%.

①求证：丸=%；

②设正方形A8CO的面积为S,求证S=2酥+2h也+考.

25.在平面直角坐标中，四边形OCNM为矩形，如图1,M点坐标为(m,0),C点坐标

为（0,n）,已知m,n满足-5+|5—时=0.

(2)①如图1,P,Q分别为OM,MN上一点，若NPCQ=45。，求证：PQ=OP+NQ：

②如图2,S,G,R,H分别为OC,OM,MN,NC上一点，SR,HG交于点D.若NSDG=

135°,HG=^~，则RS=；

2

(3)如图3,在矩形0ABe中，0A=5,OC=3,点F在边BC上且OF=OA,连接AF,动

点P在线段OF是(动点P与0,F不重合)，动点Q在线段0A的延长线上，且AQ=

FP,连接PQ交AF于点N,作PMJ_AF于M.试问：当P,Q在移动过程中，线段MN的

长度是否发生变化？若不变求出线段MN的长度；若变化，请说明理由.

26.如图，点A的坐标为(-6,6)：轴，垂足为B,AC-Ly轴，垂足为C,点

分别是射线BO、OC上的动点，且点。不与点5、。重合，ZDAE=45.

（1）如图1,当点。在线段3。上时，求AOOE的周长；

（2）如图2,当点力在线段3。的延长线上时，设A4DE的面积为，，ADOE的面积为

S一请猜想S1与S?之间的等量关系，并证明你的猜想.

27.在正方形48C0中，连接BD,P为射线CB上的一个动点（与点C不重合），连接4P,

AP的垂直平分线交线段8°于点已连接4邑PE.

提出问题：当点P运动时，乙4PE的度数是否发生改变？

探究问题；

（1）首先考察点P的两个特殊位置：

①当点P与点B重合时，如图1所示，乙4PE=°

②当BP=BC时，如图2所示，①中的结论是否发生变化？直接写出你的结论：

:（填"变化"或"不变化"）

（2）然后考察点P的一般位置：依题意补全图3,图4,通过观察、测量，发现：（1）中

①的结论在一般情况下;（填“成立"或“不成立”）

图3图1

（3）证明猜想：若（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图3和图4中任选一个进行

证明；若不成立，请说明理由.

28.如图，在四边形0A8C是边长为4的正方形点P为04边上任意一点（与点0、A不

重合），连接CP,过点P作PM_LCP,且PM=CP,过点M作MN〃A0,交B0

于点N,联结BM、CN,设OP=x.

（1）当工=1时，点、M的坐标为（,一）

（2）设S四边形c“MB=y，求出）'与工的函数关系式，写出函数的自变量的取值范围.

（3）在1轴正半轴上存在点。，使得QMN是等腰三角形，请直接写出不少于4个符合

条件的点。的坐标（用X的式子表示）

29.阅读下列材料，并解决问题：

如图1,在RI&4BC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,点。为4c边上的动点（不与

An

A、C重合），以40,8。为边构造ADBE,求对角线OE的最小值及此时二片的值

AC

是多少.

图1

在解决这个问题时，小红画出了一个以AO,BD为边的ADBE（如图2）,设平行四

边形对角线的交点为。，则有4。=30.于是得出当OO_L4c时，O。最短，此时

OE取最小值，得出OE的最小值为6.

图2

参考小红的做法，解决以下问题:

AD

(1)继续完成阅读材料中的问题：当OE的长度最小时,---=■

AC

(2)如图3,延长DA到点尸，使4F=D4.以OF,Q6为边作FDBE,求对角线

与边AB交于点E,连接CE,

过点C作交PQ于点尸，连接Ab.

⑴求证：四边形AEC尸是菱形：

⑵若AC=8,AE=5,则求菱形4EC尸的面积.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.D

解析：D

【解析】

【分析】

设PE=x,则PB=冬叵x,PF=36x,AP=6-冬叵x,由此先判断出AF_L2户，然后可分

33

析出当点P与点B重合时，CF+DF最小；当点P与点A重合时，CF-DF最大.从而求出m

的取值范围.

【详解】

如上图：设PE=x,则PB=冬叵x,PF=3&x，AP=6-冬叵x

33

/BPE=30°,/EPF=120°

••・NAPE=30°

由AP、PF的数量关系可知ZPAF=60°

D

如上图，作NR4M=60°交BC于M,所以点F在AM上.

当点P与点B重合时，CF+DF最小.此时可求得b=3A/5,DF=3小

如上图，当点P与点A重合时，CF+DF最大.此时可求得Cb=3x/7,D尸=9

・•・3g+3币<m<3币+9

故选：D

【点睛】

此题考查几何图形动点问题，判断出4尸_12尸，然后可分析出当点P与点B重合时,

CF+DF最小；当点P与点A重合时，CF+DF最大是解题关键.

2.C

解析：c

【解析】

【分析】

连结DE交AC于点P,连结BP,根据菱形的性质推出A。是BD的垂直平分线，推出

PE+PB=PE+PD=DE且值最小，根据勾股定理求出DE的长即可.

【详解】

如图，设AC,BD相交于0,

A

・・•四边形ABCD是菱形,

；BD=26

AAC1BD,A0=-AC,B0=

2

VAB=4,

AA0=2,

连结DE交AC于点P,连结BP,作EM_LBD于点M,

•・•四边形ABCD是菱形，

AAC1BD,且D0=B。，即A0是BD的垂直平分线,

，PD=PB,

/.PE+PB=PE+PD=DE且值最小，

•・・E是AB的中点,EM1BD,

11/-

/.EM=yAO=l,BM=yBO=V2»

/.DM=DO+OM=|BO=3石,

7

,DE=VEAFTDM=肝+(3病2=2币,

故选C.

【点睛】

此题考查了轴对称•最短路线问题，关键是根据菱形的判定和一角函数解答.

3.D

解析：D

【解析】

【分析】

由于四边形DP8Q为平行四边形，则8C〃DP,即DPJ_AC,P为4c中点，作出平行四边

形，再利用平行线的距离相等可知：PC就是口。。8。的边P。所对应的高，代入面积公式求

出面积即可.求得面积.

【详解】

当点P运动到边AC中点（如图），即CP=3时，

以。，P,8,Q为顶点的平行四边形的顶点。恰好在边8c上.

•・•四边形DPBQ为平行四边形，

：.BC//DP,

/.ZDPC=90°,BPDP±AC.

而在R348C中，48=468c=2技

・•・根据勾股定理得：AC=6,

•••△04C为等腰直角三角形，

1

：.DP=CP=-AC=3

2t

*：BC//DP,

工PC是平行四边形OP8Q的高，

:.S平行四边杉DPBQ=DP9CP=3X3=9.

故选D.

【点睛】

本题是四边形的综合题，考查了一副三角板所形成的四边形的边和角的关系；根据动点P

的运动路线确定其所形成的边和角的关系，利用三角函数和勾股定理求边和角的大小，得

出结论.

4.A

解析：A

【解析】

【分析】

根据题意很容易证得△BAE0ZXADF,即可得到AF=BE,利用正方形内曲为90。，得出

AF_L.DE,即可判断①，②无法判断，③根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解.

④根据△BAE@Z\ADF,即可得到S四边形GEDF=SMG，即可求解.

【详解】

①证明：：£在八D边上（不与A.D重合），点F在DC边上（不与D.C重合）.

又二点E.F分别同时从A.D出发以相同的速度运动，

：.AE=DF,

•・•四边形48CD是正方形，

・•・AB=DA.ZBAE=ZD=90,

在AME和"OF中,

AE=DE

<ZBAE=ZADF=90

AB=AD,

：.^BAE^^ADF(SAS)f

AZ1=Z2,

,:N2+N3=90

:.Zl+Z3=90

即ZAGB=90

NBGF=9。,

NBGF是定值；正确.

②无法判断NG8尸与NC8尸的大小，BF平分NCBE；错误.

③当E运动到AD中点时，

点F运动到CD中点，

CF=-CD=a

21

BF=^BC2+CF2=6,

GH==2B"=好正确.

22

@hBAE^^ADF,

则S四边形GEDF=SABG,

当CAAGB=(6+2)Q时，

AG+GB=y[6a,

(AG+GB)2=AG2-^2AGGB+GB2=6a\

AG2+BG2=AB2=4a2,

:.2AGGB=2a2,

SA/IO[Otc=-2AGGB2=-a"\

S四边形GEDF=Ha?，®Smff$GEDF=-a2,错误•

26

故选A.

【点睛】

考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，掌握全等三角形的判定定理

是解题的关键.

5.B

解析：B

【分析】

由正方形的性质和折叠的性质得出AB=AF,ZAFG=9Q°,由HL证明RtA^BG^RtA4FG,得

出①正确；

设8G=FG=x,则CG=12-x.由勾股定理得出方程，解方程求出BG，得出GC,即可得出②

正确；

由全等三角形的性质和三角形内角和定理得出N4G8=/GCF,得出AG〃CF,即可得出③正

确；

通过计算三角形的面积得出④错误；即可得出结果.

【详解】

①正确.理由如下：

•・•四边形48CD是正方形，・・・48=8C=C0=4D=12,ZB=ZGCE=ZD=90°,由折叠的性质

得：AF=AD,ZAF£=ZD=90°,AZ4FG=90°,AB=AF.在RtA48G和RtA4FG

AG=AG

中,〈,.\RtA>A8G^RtA/4FG(HL)；

AB=AF

②正确.理由如下：

由题意得：EF=DE=jCD=4,设BG=FG=x,则CG=12-x.

在直角△ECG中，根据勾股定理，得(12-x)2+82=(x+4)2,解

得：x=6,・*.8G=6,：,GC=12-6=6,：.BG=GC；

③正确.理由如下：

'：CG=BG,BG=GF,・・・CG=GF,•••△FGC是等腰三角形，/GFC=NGCF.

又

VRtA^fiG^RtA>4FGz/.ZAGB=^AGF,ZAGB+ZAGF=2ZA6B=1300-NFGC=NGFC+NGC

F=2ZGFC=2ZGCF,/.NAGB二NGCF,.\AG//CF；

④错误.理由如下：

11

VSAGCE=-GC・CE=-X6X8=24.

22

372

VGF=6,EF=4,ZXGFC和△FCE等高，:$GFC：S^FCE=3:2,/.5AGFC=-X24=—W28.8.

55

故④不正确，，正确的有①®@.

故选B.

【点睛】

本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行

线的判定，三角形的面积计算等知识；本题综合性强，有一定的难度.

6.D

解析：D

【分析】

先证明4APDgAAEB得出BE=PD,NAPD=NAEB,由等腰直角三角形的性质得出NAPE

=NAEP=45。，得出NAPD=NAEB=135。，②正确；得出NPEB=NAEB-NAEP=90。，

EB1ED,①正确；作BF_LAE交AE延长线于点F,证出EF=BF=0,得出AF=AE+EF=

1+0,由勾股定理得出AB=J八产+8产={5+2及，得出S正方彩ABCD=AB2=

5+20,③正确；EP=0AE=0\由勾股定理得出BP=JBE?+E产=瓜，④错

误；即可•得出结论.

【详解】

解：VZEAB+ZBAP=90°,ZPAD+ZBAP=90°,

/.ZEAB=ZPAD,

AP=AF

在4APD和AAEB中，＜NPAD二NEAB,

AD=AB

/.△APD^AAEB(SAS),

,・.BE=PD,ZAPD=ZAEB,

VAE=AP,ZEAP=90°,

/.ZAPE=ZAEP=45°,

/.ZAPD=135°,

.\ZAEB=135O,②正确;

AZPEB=ZAEB-ZAEP=135°-45°=90°,

AEB±ED,①正确；

作BFJ_AE交AE延长线于点F,如图所示：

VZAEB=135°,

AZEFB=45°,

AEF=BF,

VBE=PD=2,

・・・EF=BF=0',

/.AF=AE+EF=1+V2，

AB=VAF+BF7=7(1+V2)2+(V2)2=J5+2夜,

AS正方形ABCD=AB2=(&+2&)』5+2立,③正确；

EP=V2AE=V2»

BP=」BE?+EP2=，2+(&)2=n,④错误；

故选：D.

D

【点睛】

本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角

形的判定、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关

键.

7.D

解析：D

【分析】

根据题意并结合图形，我们可以得出当C为AB的中点时，可判断所给结论正确与否.

【详解】

解：

当C为AB中点时，有图如下，

,/ACM与BCN为等边三角形，

IC为AB中点,

.*.AM=AC=MC=NC=BC=NB,MD=ND,

V/MCN=60°

・•・/CMN=/CNM=60°

・・・CMN为等边三角形，③正确；

V/AMD=/BND=120。

・•・AMD=BND

AAD=BD,Z\ABD此时为等腰三角形，②正确;

当C为AB中点时，AD+BD值最小，

•••D为MN的中点,

・・・CD为MN的垂直平分线，

/.=VAB=6,

4

VAD=BD

・・・AD+BD=3j7,④正确；

若AABD可能为直角三角形，则NADB=90。，

・・・CD为AB的垂直平分线

・•・NADC=45°

・・・AC=CD,与所求结论不符，①错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查的知识点是等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理及性质，弄清题意，画

出当C为AB中点时的图形是解题的关键.

8.B

解析：B

【分析】

当点P和点A重合时，当点C和点Q重合时，PQ的值最大，当PQ_LBC时，PQ的值最

小，利用这两组数据，在R14ABQ中，可求得答案.

【详解】

当点P和点A重合时，当点C和点Q重合时，PQ的值最大，PQ=8石

D

当PQ_LBC时，PQ的值最小，

,PQ=8,ZQ=90°,

在RtAACQ中，

CQ=J(8扃-8?=16.

在RtAABQ中，设AB=BC=x,则BQ=16-x,

.・・AQ2+BQ2=AB2即82+(16-x)2=x2

解之:x=10.

故答案为：B.

【点睛】

本题考查菱形的性质和勾股定理的运用，解题关键是根据菱形的性质，判断出PQ最大和最

小的情况.

9.A

解析：A

【分析】

由三角形的中位线定理得：B2C2,4c2，分别等于44、Bg、GA的g,所

以4432G的周长等于△AB£的周长的一半，以此类推可求出结论.

【详解】

解：△A51G中，4片=4,AG=5,BjCj=7,

A4G的周长是16,

4,B2f。2分别是边用G，AG，4旦的中点，

-B2C2,4G，分别等于A4、gG、GA的g，

以此类推,则△为推的周长是）X16=2；

△A“B“C”的周长是2“_:，

241

当〃=2019时，第2019个三角形的周长=4^=$

故选：A.

【点睛】

本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线

段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用.

10.A

解析：A

【分析】

①根据正方形的对角线平分对角的性质，得APDF是等腰直角三角形，在RSDPF中，

DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,求得DP=>/2EC.

②先证明四边形PECF为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为2BC,则四

边形PECF的周长为8：

③根据P的任意性可以判断4APD不一定是等腰三角形；

④由②可知，四边形PECF为矩形，则通过正方形的轴对称性，证明AP=EF；

⑤当AP最小时，EF最小，EF的最小值等于2夜；

⑥证明NPFH+NHPF=90°,则AP_LEF.

【详解】

G,连PC,延长AP交EF与H,

AZDPF=ZDBC,

:四边形ABCD是正方形

AZDBC=45°

/.ZDPF=ZDBC=45°,

.•.ZPDF=ZDPF=45°,

.-.PF=EC=DF,

,在RtADPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,

.*.DP=V2EC.故①正确；

②・.・PE_LBC,PF±CD,ZBCD=90\

J四边形PECF为矩形，

工四边形PECF的周长=2CE+2PE=2CE+2BE=2BC=8,故②正确；

③•・•点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，ZADP=45度,

，当/PAD=45度或67.5度或90度时，AAPD是等腰三角形，

除此之外，AAPD不是等腰三角形，

故③错误.

④•・•四边形PECF为矩形，

/.PC=EF,

由正方形为轴对称图形，

，AP=PC,

/.AP=EF,

故④正确；

⑤由EF=PC=AP,

・••当AP最小时，EF最小,

则当AP_LBD时，即AP=gBD=gx40=2J5时，EF的最小值等于20,故⑤正确;

©VGF/7BC,

/.ZAGP=90°,

/.ZBAP+ZAPG=90o,

VZAPG=ZHPF,

.,.ZPFH+ZHPF=90°,

AAPXEF,

故⑥正确；

本题正确的有：①②④⑤®;

故选：A.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用.本题难度

较大，综合性较强，在解答时要认真审题.

二、填空题

11.12或20

【分析】

根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出

即可.

【详解】

解：情况一：当BC边上的高在平行四边形的内部时，如图1所示：

在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4,AB=5,AC=2«，

在ACE中，由勾股定理可知：CE=A/AC2-AE2=7(2>/5)2-42=2»

在ABE中，由勾股定理可知：BE=VAB2-AE2=\J52-42=3/

.\BC=BE+CE=3+2=5,

此时平行四边形ABCD的周长等于2X(AB+BC)=2x(5+5)=20：

情况二：当BC边上的高在平行四边形的外部时，如图2所示：

在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE=4,AB=5,AC=2j5

在RSACE中，由勾股定理可知：CE=dAC2・厉=J(2石>一42=2,

在ABE中，由勾股定理可知：BE=x/AB2-AE2=>/52-42=3/

.\BC=BE-CE=3-2=1,

平行四边形ABCD的周长为2X(AB+BC)=2x(5+l)=12,

综上所述，平行四边形ABCD的底长等于12或20.

故答案为：12或20.

【点睛】

此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，分高在平行四边形内部还是外部

讨论是解题关键.

12.①©④

【分析】

由矩形的性质可得AB=CD,AD=BC,ZBAD=ZABC=ZBCD=ZADC=90°,AC=BD,由角平分

线的性质和余角的性质可得NF=/FAD=45。，可得AD=DF=BC,可判断①；通过证明

△DCG^ABEG,可得NBGE=NDGC,BG=DG,即可判断②③；过点G作GHJ_CD于H,设

AD=4x=DF,AB=3x,由勾股定理可求BD=5x,由等腰直角三角形的性质可得

HG=CH=FH=^-x,DG=GB=-^x,由三角形面积公式可求解，可判断④.

22

【详解】

解：•.•四边形ABCD是矩形，

AAB=CD,AD=BC,ZBAD=ZABC=ZBCD=ZADC=90°,AC=BD,

VAE平分NBAD,

/.ZBAE=ZDAE=45°,

AZF=ZFAD,

/.AD=DF,

・・・BC=DF,故①正确；

VZEAB=ZBEA=45°,

/.AB=BE=CD,

VZCEF=ZAEB=45°,ZECF=90%

•••△CEF是等腰直角三角形，

•・•点G为EF的中点,

，CG=EG,ZFCG=45°,CG1AG,

AZBEG=ZDCG=1350,

在ADCG和aBEG中，

BE=CD

,NBEG=NDCG,

CG=EG

AADCG^ABEG(SAS).

.\ZBGE=ZDGC,BG=DG,

VZBGE<ZAEB,

/.ZDGC=ZBGE<45°,

VZCGF=90°,

/.ZDGF<135°,故②错误：

VZBGE=ZDGC,

/.ZBGE+ZDGA=ZDGC+ZDGA,

AZCGA=ZDGB=90°,

ABG1DG,故③正确；

过点G作GH_LCD于H,

3

•••AB=-ADt

4

工设AD=4x=DF,AB=3x,

ACF=CE=x,BD=J.+Af)2=5。，

•••△CFG,AGB。是等腰直角三角形，

]Sx/?

AHG=CH=FH=—x,DG=GB=l-2—x,

22

1,125,

••SADGF=—xDFxHG=x2,SABDG=—DGxGB=—x2,

224

25

•**sBDG=彳5的，故④正确；

故答案为：①③④.

【点睛】

本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练

掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键.

13.4

【分析】

根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形4EPF是矩形，根据矩形的对角线相等，

得£F=4P,则EF的最小值即为4P的最小值，根据垂线段最短，知：4P的最小值即等于

直角三角形4BC斜边上的高.

【详解】

解：连接八P，

.•在Aa8C中，48=3,AC=4,fiC=5,

/.AB2+AC2=BC2,

BPZBAC=90°.

又•「PE_L48于E,PF±AC于F,

••・四边形4EPF是矩形，

EF=AP,

AP的最小值即为直角三角形4BC斜边上的高，

设斜边上的高为h,

则SAABC=L8C〃=，A8AC

22

1-1一

/.—x5-w=-x3x4

22

Ah=2.4,

・•.£F的最小值为2.4,

【点睛】

本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质的应用，要能够把

要求的线段的最小值转化为便于求的最小值得线段是解此题的关键.

14.▲衣或之屈

22

【分析】

根据点尸在直线8C上，点。在直线CO上，分两种情况：LP、Q点位于线段上；2.P、Q

点位于线段的延长上，再通过三角形全等得出相应的边长，最后根据勾股即可求解.

【详解】

解：当P点位于线段BC匕Q点位于线段CD上时：

•「四边形ABCD是矩形

APA.PQ,

：.ZBAP=ZCPQ,ZAPB=ZPQC

AP=PQ

ABP=PCQ

333

/.PC=AB=一，BP=BC-PC=3-一=一

222

AP=J(-)2+(-)2=

V222

当P点位于线段BC的延长线上，Q点位于线段CD的延长线上时：

•「四边形ABCD是矩形

APLPQ.

：.ZBAP=ZCPQ,ZAPB=ZPQC

•「AP=PQ

ABP=PCQ

339

PC=AB=-,BP=BC+PC=3+—=-

222

2

AP=J（1）+（2）2=|V[O

V222

故答案为：不＞/^或不Jid

【点睛】

此题主要考查三角形全等的判定及性质、勾股定理，熟练运用判定定理和性质定理是解题

的关键.

15.3+3y/5-

【分析】

取AB的中点M,连接DQ,QM,DM.证明QM=QK,QG=DQ,求出DQ+QM的最小值

即可解决问题.

【详解】

取48的中点连接OQ,QM,DM.

•••四边形48C。是正方形，

：.AD=AB=6,ZDAM=ZADG=90°,

'：AM=BM=3t

•*­OM=^AEP+AM2=A/62+32=35

,:GK=HK,AB,GH关于EF对称.

：.QM=QK,

VZADG=90°,AQ=Q6,

/.DQ=AQ=QG,

「△QGK的周长=GK+QG+QJ=3+DQ+QM.

又•・・Da+QMeOM,

•••0Q+QM23逐，

•••△QGK的周长的最小值为3+3芯,

故答案为3+3逐.

【点睛】

本题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、最值问题，解题的关键是取AB的中

点M,确定QG+QK=QD+QM,属于中考常考题型.

16.@@

【分析】

根据菱形的性质可知ACJ_BD,所以在RtZkAFP中，AF一定大于AP,从而判断①；设

ZBAE=x,然后根据等腰三角形两底角相等表示出NABE,再根据菱形的邻角互补求出

ZABE,根据三角形内角和定理列出方程，求出x的值，求出NBFE和NBE的度数，从而

判断②©.

【详解】

解：在菱形ABCD中，AC1BD,

，在Rt^AFP中，AF一定大于AP,故①错误；

•・•四边形ABCD是菱形，

AAD/7BC,

/.ZABE+ZBAE+ZEAD=180°,

设NBAE=x0,

则NEAD=2x°,ZABE=180°-x°-2x°,

VAB=AE,ZBAE=x°,

NABE=NAEB=180°-x°-2x°,

由三角形内角和定理得：x+180-x-2x+180-x-2x=180,

解得：x=36,

BPZBAE=36°,

ZBAE=180°-36°-2x36°=70°,

•・•四边形ABCD是菱形，

1

/.ZBAD=ZCBD=—ZABE=36°,

2

/.ZBFE=ZABD+ZBAE=360+36°=72%

/.ZBEF=180o-36o-72o=72°,

，BE=BF=AF.故③正确

VZAFD=ZBFE=72°,ZEAD=2x0=72°

.\ZAFD=ZEAD

AAD=FD

又・.・AD=AB=AE

AAE=FD,故②正确

，正确的有②③

故答案为：②③

【点睛】

本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟记各性质并列出关于NBAE的方程是解题

的关键，注意：菱形的对边平行，菱形的对角线平分一组对角.

120

17.—

13

【分析】

设MN与BC交于点。，连接40,过点。作0HJ_4C于H点，根据等腰三角形的性质和勾

股定理可求40和0〃长，若M/V最小，则M。最小即可，而。点到AC的最短距离为0H

长，所以最小值是20H.

【详解】

解：设MN与8c交于点。，连接A0,过点。作0H_L4C于H点，

，。为8c中点，MN=2M0.

\,AB=AC=13,8c=10,

：.AOLBC.

在RtZXAOC中，利用勾股定理可得

A0=VAC2-co2=Vi32-52=

利用面积*去：AOXCO-ACXOH,

即12X5=13XOH,解得。"=一.

13

当M。最小时，则MN就最小，。点到4C的最短距离为。〃长,

所以当M点与H点重合时，M。最小值为0〃长是指.

120

所以此时MN最小值为20H=—

…生“120

故答案为：n.

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短、勾股定理、等腰三角形的性质，解题的

关键是分析出点到某线段的垂线段最短，由此进行转化线段，动中找静.

18.1或7.

【分析】

存在2种情况满足条件，一种是点P在BC上，只需要BP=CE即可得全等；另一种是点P

在AD上，只需要AP=CE即可得全等

【详解】

设点P的运动时间为/秒，

当点P在线段BC上时，则=

•・•四边形ABC。为长方形，

:・AB=CD,NB=NOCE=90。，

此时有AABP^ADCE,

；・BP=CE,即2z=2,解得f=l；

当点P在线段A。上时，则3C+CZ）+OP=2f,

VAB=4,AD=6f

:.BC=6,CD=4,

・•・A尸=（3。十8十DA）一（6C十CD十。2）=6十4+6—2，=16—2，，

・・・AP=16-2r,

此时有,

/.AP=CE,即16—2f=2,解得，=7；

综上可知当f为1秒或7秒时，AABP和ACOE全等.

故答案为：1或7.

【点睛】

本题考查动点问题，解题关键是根据矩形的性质可得，要证三角形的全等，只需要还得到

一条直角边相等即可

19.13+8立

【分析】

如图所示，延长CD交FN于点P,过N作NK_LCD于点K,延长FE交CD于点Q,交NS于

点R,苜先利用正方形性质结合题意求出AD=CD=AG=DQ=1,然后进一步根据菱形性质得出

DE=EF=DG=2,再后通过证明四边形NKQR是矩形得出QR=NK=J^,进一步可得

FN?=FR?+NR2=13+8&再延长NS交ML于点Z,利用全等三角形性质与判定证

明四边形FHMN为正方形，最后进一步求解即可.

【详解】

如图所示，延长CD交FN于点P,过N作