2023年人教版高中数学第八章立体几何初步考点题型与解题方法

(名师选题)2023年人教版高中数学第八章立体几何初步考点题型与解题方法

单选题1、《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，AC⊥CD，AC＝BC＋CD＝2，当△BCD的面积最大时，鳖臑ABCD的表面积为（

）A．B．C．D．答案：D分析：根据题意可证明，从而说明三角形BCD是直角三角形，求得，进而求得四个直角三角形的面积，可得答案.由题意可知：AB⊥平面BCD，平面BCD，故AB⊥

,又AC⊥CD，平面ABC，

故平面ABC，平面ABC，故,所以

,当且仅当时取得等号，故

,由AB⊥平面BCD，可知,故

,所以

,,所以鳖臑ABCD的表面积为

，故选：D2、设是两个不同平面，是两条直线，下列命题中正确的是（

）A．如果，，，那么B．如果，，，那么C．如果，，，那么D．如果，与所成的角和与所成的角相等，那么答案：C分析：A.由，，得到或，再利用平行于同一直线的两平面的位置关系判断；B.

由，，得到或，再利用面面垂直的判定定理判断；

C.

由，，得到，再利用垂直于同一直线的两平面平行判断；D.利用空间直线的位置关系判断．A.因为，，所以或，又，则位置不确定，故错误；B.因为，，所以或，又，所以，故错误；C.

因为，，所以，又，所以，故正确；D.如果，与所成的角和与所成的角相等，那么，相交或异面，故错误．故选：C3、如图，在一个正方体中，E，G分别是棱，的中点，F为棱靠近C的四等分点.平面截正方体后，其中一个多面体的三视图中，相应的正视图是（

）A．B．C．D．答案：D分析：根据条件可得平面经过点，然后可得答案.连接因为E，G分别是棱，的中点，F为棱靠近C的四等分点所以，所以平面经过点所以多面体的正视图为故选：D4、已知是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（

）A．如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行B．过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直C．平面不垂直平面，但平面内存在直线垂直于平面D．若直线不垂直于平面，则在平面内不存在与垂直的直线答案：B分析：举特例说明判断A；由平面的基本事实及线面垂直的性质推理判断B；推理说明判断C；举例说明判断D作答.正方体中，直线、直线都平行于平面，而直线与相交，A不正确；如图，直线是平面的斜线，，点P是直线l上除斜足外的任意一点，过点P作于点A，则直线是斜线在平面内射影，直线与直线确定平面，而平面，则平面平面，即过斜线有一个平面垂直于平面，因平面的一条斜线在此平面内的射影是唯一的，则直线与直线确定的平面唯一，所以过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直，B正确；如果平面内存在直线垂直于平面，由面面垂直的判断知，平面垂直于平面，因此，平面不垂直平面，则平面内不存在直线垂直于平面，C不正确；如图，在正方体中，平面为平面，直线为直线，显然直线不垂直于平面，而平面内直线都垂直于直线，D不正确.故选：B5、如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（

）A．直线与直线垂直，直线平面B．直线与直线平行，直线平面C．直线与直线相交，直线平面D．直线与直线异面，直线平面答案：A分析：由正方体间的垂直、平行关系，可证平面，即可得出结论.连，在正方体中，M是的中点，所以为中点，又N是的中点，所以，平面平面，所以平面.因为不垂直，所以不垂直则不垂直平面，所以选项B,D不正确；在正方体中，，平面，所以，，所以平面，平面，所以，且直线是异面直线，所以选项C错误，选项A正确.故选：A.小提示：关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.6、在三棱锥中分别是边的中点，且，则四边形是（

）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形答案：B分析：根据中位线的性质及平行公理可得四边形是平行四边形，再利用可得四边形是矩形.因为分别是边的中点，所以，所以；同理可得，所以四边形是平行四边形；又因为，所以，即四边形是矩形.故选：B.7、已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（

）A．B．C．D．答案：C分析：求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积．解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，由，得，又，所以，解得；所以圆锥的高为，所以圆锥的体积为．故选：C．8、过半径为4的球表面上一点作球的截面，若与该截面所成的角是，则到该截面的距离是（

）A．4B．C．2D．1答案：C分析：作出球的截面图，根据几何性质计算，可得答案.作出球的截面图如图：设A为截面圆的圆心，O为球心，则截面，AM在截面内，即有，故,所以

,即到该截面的距离是2，故选：C9、若直线和没有公共点，则与的位置关系是（

）A．相交B．平行C．异面D．平行或异面答案：D分析：根据直线与直线的位置关系即可判断因为两直线相交只有一个公共点，两直线平行或异面没有公共点，故选：D.10、在直三棱柱中，点M是侧棱中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A．B．C．D．答案：B分析：可以取的中点，连接，将异面直线与转化为直线与所成的角，在连接，通过解三角形即可完成求解.如图所示，取的中点，连接，分别为、的中点，所以为的中位线，所以，所以异面直线与就是直线与所成的角，即或其补角，因为，所以，，，在中，，，，所以.故选：B.11、若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是（

）A．一定平行B．一定相交C．平行或相交D．以上判断都不对答案：C分析：利用面面平行的判定即得.一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，若这两条直线相交且这两条直线平行于另一个平面，则可得这两个平面平行；若这两条直线平行，则这两个平面可能相交也可能平行；故选：C.12、足球运动成为当今世界上开展最广、影响最大、最具魅力、拥有球迷数最多的体育项目之一，2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛．比赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场举行．已知某足球的表面上有四个点A，B，C，D满足，二面角的大小为，则该足球的体积为（

）A．B．C．D．答案：A分析：画出图形，为线段的中点，则可得为二面角的平面角，取分别是线段上靠近点的三等分点，则可得分别为和的外心，过分别作平面和平面的垂线，交于点，则点为三棱锥外接球的球心，即为足球的球心，所以线段为球的半径，然后结已知数据求出，从而可求出足球的体积根据题意，三棱锥如图所示，图中点为线段的中点，分别是线段上靠近点的三等分点，因为，所以和均为等边三角形，因为点为线段的中点，所以，所以为二面角的平面角，所以，因为和均为等边三角形，点为线段的中点，所以分别为和的中线，因为分别是线段上靠近点的三等分点，所以分别为和的外心，过分别作平面和平面的垂线，交于点，则点为三棱锥外接球的球心，即为足球的球心，所以线段为球的半径，因为，，所以，则，因为，所以≌，所以，在直角中，，因为平面，平面，所以，因为是的外心，所以，所以,所以，所以足球的体积为，故选：A小提示：关键点点睛：此题考查三棱锥外接球问题，考查计算能力，解题的关键是由题意求出三棱锥外接球的球心，从而可确定出球的半径，然后计算出半径即可，考查空间想象能力，属于较难题双空题13、球面几何是几何学的一个重要分支，在刚海､航空､卫星定位等方面都有广泛的应用.如图，A，B，C是球而上不在同一大圆(大圆是过球心的平面与球面的交线)上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为AB，BC，CA，由这三条劣弧组成的图形称为球面△ABC.已知地球半径为R，北极为点N，P､Q是地球表面上的两点.①若P，Q在赤道上，且经度分别为东经40°和东经100°，则球面△NPQ的面积为___________.②若，则球面的面积___________.答案：

分析：利用所在的经度求出球面三角形面积，再利用已知可得三角形为等边三角形，进而可以求解．解：在赤道上，且经度分别为和，上半球面面积为，球面面积为，当时，为等边三角形，根据题意构造一个正四面体，如图所示：其中心为，是高的靠近的四等分点，则，由余弦定理可得：，解得，正好为题目所给的长度，所以球面的面积为，所以答案是：；．14、一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高（两底面之间的距离）和底面边长分别是______和______．答案：

2

4解析：直接根据三视图求三棱柱的高和底面边长即可.由侧视图得三棱柱的高为2，又底面正三角形的高为，故底面边长为.所以答案是：；.小提示：本题主要考查根据几何体的三视图棱长，是基础题.15、等角定理：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别____________并且____________，那么这两个角相等．答案：

平行

方向相同分析：按照等角定理填空即可.由等角定理可知:

如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等故答案为:

平行，方向相同.16、在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为___________；若动点M在该三棱锥外接球上，且，则点M的轨迹长为___________.答案：

分析：由题，先得出三棱锥为直三棱锥，则其外接球相当于以为棱的长方体的外接球，则直径为长方体的体对角线，则可求外接球表面积；要使，则M在的角平分面上，则M的轨迹为圆，利用长方体的性质，求出球心到角平分面的距离，即可求出M的轨迹圆的半径，即可求M的轨迹长由平面，得，三棱锥为直三棱锥，其外接球相当于以为棱的长方体的外接球，故外接球半径为，故三棱锥外接球的表面积为；如图，中点为F，则易得以为棱的正方体，由正方体的对称性，要使，则M在的角平分面上，即面，故M的轨迹为面与外接球相交出的圆.取AP、HE中点I、J，由正方体的对称性易得面面，且，故，故IJ上的高，故M的轨迹圆的半径，故轨迹长为.所以答案是：；17、如图，平面平面______；平面平面______．答案：

EG

FH分析：数形结合，求出面面相交的交线.平面平面

EG，平面平面

FH.所以答案是：EG，FH解答题18、已知一长方体的底面是边长为3cm的正方形，高为4cm，试用斜二测画法画出此长方体的直观图．答案：作图见解析.分析：根据斜二测法的作图步骤即可得到此长方体的直观图.1

.画轴：画出轴，轴，轴，三轴相交于点，使得；2

.画底面：以点为中点，在轴上画，在轴上画，分别过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，设它们的交点分别为，则四边形即为该四棱柱的底面；3

.画侧棱：过点分别作轴的平行线，并在这些平行线上分别截取长的线段，如图（1）所示；4

.成图：连接，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到该棱柱的直观图，如图（2）所示.图（1）

图（2）19、如图所示，在三棱柱中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点．求证：平面平面BCHG．答案：证明见解析分析：证明，进而证明出平面BCHG，再证明，得到平面BCHG，从而证明面面平行.证明：∵E，F分别是AB，AC的中点，∴．∵平面BCHG，平面BCHG，∴平面BCHG．∵，且∴四边形是平行四边形，∴．∵平面BCHG，平面BCHG，∴平面BCHG．∵，∴平面平面BCHG．20、如图，已知三棱锥P­ABC，∠ACB＝90°，D为AB的中点，且是正三角形，PA⊥PC.求证：(1)PA⊥平面PBC；(2)平面PAC⊥平面ABC.答案：(1)证明见解析(2)证明见解析分析：（1）根据题意在可说明PA⊥PB，结合PA⊥PC即可证明结论.（2）由（1）可得PA⊥BC.则可证明