《非齐次线性微分方程的常数变易法分析》2700字（论文）

———非齐次线性微分方程的常数变易法分析目录TOC\o"1-2"\h\u28555一、引言 123667二、微分方程的基本概念 11811三、一阶非齐次线性微分方程的常数变易法 228026四、高阶非齐次线性微分方程的常数变易法 717740五、结论 14引言常微分方程是大学数学的一门基础课程，在其他领域也有着广泛的应用．常微分方程可以分为一阶方程和高阶方程，非线性方程和线性方程，非齐次方程和齐次方程，其中非齐次线性方程是一类非常重要的微分方程．求解非齐次线性微分方程，常数变易法是典型的一种常用方法．本文从常微分方程的基本概念出发，分别介绍了一阶非齐次线性微分方程和高阶非齐次线性微分方程的常数变易法，并结合相关典型例题进行详细阐述．微分方程的基本概念定义2.1由自变量、未知函数及函数的导数构成的等式称为微分方程．只有一个自变量的微分方程称为常微分方程，含有两个及两个以上自变量的微分方程称为偏微分方程．阶线性微分方程的形式为，其中、是上的连续函数，当时，式称为齐次方程，当时，式称为非齐次方程．定义2.2在微分方程中，微分的最高阶数叫做微分方程的阶．定义2.3如果将代入方程后，方程恒成立，则称为方程的解．如果解中含有个独立的常数，即方程的解的形式为，则该解就称为方程的通解．定理2.1（叠加原理）如果是阶齐次线性微分方程，的个解，则他们的线性组合也是的解，这里是任意常数．定理2.2若已知是阶线性微分方程的一个特解．是对应齐次方程的通解，则是方程的通解．一阶非齐次线性微分方程的常数变易法定义3.1形如，的方程，称为一阶非齐次线性微分方程（上述等式中、为区间上的连续函数）．一阶非齐次方程一般为．首先，求微分方程相对应的齐次方程，的通解，在中，将常数用未知函数进行替换，即变形为，将代入原方程中，可得待定函数．(上式中c常数)再把上式代入式中，即求得一阶非齐次线性微分方程，的通解为任意常数．注1实际上，常数变易法就是将那些不能用分离变量法求解的一阶非齐次线性微分方程转化成为两个可用分离变量法求解的一阶微分方程，使得问题得以简化，方便我们解决问题．例3.1求解方程．解对应齐次微分方程为，对其进行积分，可得其通解：(上式中为积分常数)，将常数换成待定函数，得，并将其代入原方程中．可得，对其积分，得(上式中为常数)，则通解为．例3.2求解微分方程．解由题意可得，对应的齐次方程为，对其积分，得，令，代入方程得．即得．例3.3求微分方程的解．解首先将该方程化为非齐次线性方程的形式，变换成为，可得其中，，可直接利用公式得=．例3.4求微分方程的解．解首先将该微分方程化为非齐次线性方程的形式，变换成为，可以得到，，可直接利用公式，得，其中为任意常数．例3.5求微分方程(为常数）的解．解首先将该微分方程化为非齐次线性方程的形式，变换成为，可以得到，，可直接利用公式得，其中为任意常数．例3.6求微分方程的解．解首先将该微分方程化为非齐次线性方程的形式，变换成为，可以得到，，可直接利用公式得，其中为任意常数．例3.7求微分方程的解．解首先将该微分方程化为非齐次线性方程的形式，变换成为，其中，，可直接利用公式得，其中为任意常数．例3.8求微分方程的解．解首先将该微分方程化为非齐次线性方程的形式，变换成为，其中，，可直接利用公式得 ，其中为任意常数．例3.9求微分方程的解．解首先将该微分方程化为非齐次线性方程的形式，变换成为，其中，，可直接利用公式得，其中为任意常数．例3.10求微分方程的解．解首先将该微分方程化为非齐次线性方程的形式，变换成为，其中，，可直接利用公式得，其中为任意常数．注2除去上面题目类型，当我们在微分方程研究中可能会遇到的情况，这时我们可以转化为来进行求解．高阶非齐次线性微分方程的常数变易法定义4.1形如，且的微分方程称为高阶非齐次线性微分方程，其中及在上都是连续函数，并且对任意，．上式称为高阶非齐次线性微分方程的标准形式．高阶非齐次线性微分方程的一般形式：，在中及在上都是连续函数，并且对任意，．方程对应的齐次方程为，设方程的一个基本解组为，那么方程的通解可表达为．在中，将任意常数用关于的未知函数进行替换则变为，为了使得式满足方程，就需要求出相对应的待定函数，现在采用如下方法来求．同时对两边求导可得，在上式中令，由上可得关于的微分方程变为．同上，对式两边进行求导可得 ，在上式中令．则的表达式可变为 ，重复上述过程，我们得到第个方程，以及的表达式．最后对式两边关于求导可得现在把，，，这个式子代入方程，并且注意到，是方程的解，于是可得．由上，我们得到含有个未知数的个微分方程，，，将其构成一个线性方程组由于是微分方程的一个基本解组，所以方程组的系数行列式．由高等代数有关知识，我们可以得知方程组有唯一解，并且此解可以表示为：，，其中，是把中的第列换成后所得到的行列式．对式积分可求得，其中是任意常数．把所求代入可得，则式即为微分方程的通解，并且式被称为方程的常数变易法公式．注1已知齐次线性微分方程的基本解组的条件下，非齐次线性微分方程的任一解都可由积分法得到．那么求解线性微分方程的关键，就是求出相对应的齐次线性微分方程的基本解组．例4.1已知微分方程对应的齐次线性微分方程的一个基本解组为，，求该方程的解．解由题知，，是原方程基本解组，所以，注意到，所以，，进一步有，，故，，由公式可得原方程的通解为，其中是任意常数．例4.2已知的基本解组为，，求的解．解令，代入方程，得，，解得，，，，故通解为，其中是任意常数．例4.3求解方程，．解对应齐次方程为，得到基本解组为．令，代入原方程及，于是，，故通解为，其中是任意常数．例4.4已知基本解组为，，求解．解设是方程的一个特解，，，将其代入非齐次微分方程得，，．即特解为．且非齐次线性微分方程的通解为，其中是任意常数．例4.5已知对应的基本解组为，，求的解．解由题意，解方程组，得，积分得．则求得通解为，其中是任意常数．例4.6已知对应的基本解组为，．求方程的解．解令，解方程组得，．积分得，．故通解为，其中是任意常数．例4.7已知对应的基本解组为，，求方程的解．解令，联合求解有解，．积分得，，其通解为，其中为任意常数．例4.8求方程的解．解上述方程对应齐次方程的通解为．令，则，满足方程组用克莱姆法则可得，，进而，，故通解为，其中是任意常数．注2对于线性方程，我们用常数变易法总能将通解表达出来，这是具有一般性的方法．但在用常数变易法求特解的过程