人教版 九年级 数学 下册 第28章 锐角三角函数 第3课时 利用方向角、坡度解直角三角形 教案

28.2.2应用举例第3课时利用方向角、坡度解直角三角形教学内容第3课时利用方向角、坡度解直角三角形课时1核心素养目标1.经历探索学习测量中方位角、坡角、坡度的概念，培养学生的抽象能力与几何直观；可以从现实世界的客观现象中发现数量关系与空间形式，理解自然现象背后的数学原理.2.通过学习利用方向角、坡度解直角三角形并解决实际问题，培养用数学的基本方法去分析、解决数学或实际问题的习惯，逐步形成理性精神.3.通过应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题，形成构建数学模型的意识和观念，能够精确地描述日常生活中的数量关系与空间形式.知识目标1．知道测量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度与坡角的关系；2．能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题．教学重点知道测量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度与坡角的关系.教学难点能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题.教学准备课件教学过程主要师生活动设计意图一、新课导入二、探究新知当堂练习一、复习回顾导入新知复习引入以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方向角.如图：二、探究新知知识点一：解与方向角有关的问题例1如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01nmile）？师生活动：教师引导学生，共同分析解题思路，学生独立完成计算，教师巡视.解：如图，在Rt△APC中，PC=PA·cos(90°－65°)=80×cos25°≈72.505.在Rt△BPC中，∠B=34°，因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约129.66nmile.例2如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果渔船不改变航向继续向东航行，有没有触礁的危险？师生活动：教师引导学生共同分析解题思路，学生独立计算，教师巡视.解：过A作AF⊥BC于点F，则AF的长是A到BC上所有点中的最短距离.∵BD∥CE∥AF，∴∠DBA=∠BAF=60°，∠ACE=∠CAF=30°．∴∠BAC=∠BAF－∠CAF=60°－30°=30°.又∵∠ABC=∠DBF－∠DBA=90°－60°=30°=∠BAC，∴BC=AC=12海里．∴AF=AC·cos30°=6≈10.392＞8，故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．练习1.如图，A，B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：)？师生活动：学生独立完成计算，教师巡视；学生完成后教师适当讲解.知识点二：解与坡度有关的问题观察与思考如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，哪条路比较陡？如何用数量来刻画哪条路更陡呢？3.坡度与坡角的关系即坡度等于坡角的正切值.练习1.斜坡的坡度是，则坡角α=____度.2.斜坡的坡角是45°，则坡比是_____.3.斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______.师生活动：学生独立完成计算，教师巡视；选一名学生作答，其他同学判断正误.例3如图，一山坡的坡度为i=1∶2.小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？师生活动：学生独立完成计算，跟随教师引导师生共同完成例题.例4如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：(1)斜坡CD的坡角α(精确到1°)；(2)坝底AD与斜坡AB的长度(精确到0.1m).师生活动：学生独立思考完成计算，选一名学生板书，教师巡视.三、当堂练习1.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1:，坝高BC=3m，则坡面AB的长度是2.如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB等于°．3.如图所示，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上．航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需的时间是.4.一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基左右两边坡面的坡角分别是45°和30°，求路基下底的宽(精确到0.01米，1.732，1.414).

5.如图，有一个古建筑A，它周围800米内有古建筑群，乡村路要由西向东修筑，在B点处测得古建筑A在北偏东60°方向上，向前直行1200米到达D点，这时测得古建筑A在D点北偏东30°方向上，如果不改变修筑的方向，你认为古建筑群会不会遭到破坏？设计意图：通过复习回顾方位及方向角的概念，为学习利用方向角解直角三角形并解决实际问题做准备.设计意图：通过解决例题，进一步巩固方位角的概念；锻炼自主学习能力和解题能力，在解题过程中自发感悟方法与经验.设计意图：通过例题，进一步帮助掌握方位角的概念；感受解直角三角形在解决实际问题中的作用；提高解题能力.设计意图：锻炼学生利用方位角的概念解直角三角形，从而解决简单实际问题的的能力.设计意图：通过实际情境问题，引发学生思考，发展空间观念；教师顺势引出坡角与坡度的概念以及坡度与坡角的关系，提高抽象能力、形成构建数学模型的意识和观念.设计意图：通过练习帮助学生掌握坡角与坡度的概念及关系；学会应用坡角与坡度的概念及关系解直角三角形.设计意图：通过例题，锻炼学生应用坡角与坡度的概念及关系解直角三角形；提高解题能力.设计意图：考查学生应用坡角与坡度的概念及关系解直角三角形的能力，以及对这类题型解题方法的掌握.设计意图：考查学生应用坡角与坡度的概念及关系解直角三角形的能力.设计意图：考查学生应用方位角的概念解直角三角形的能力.设计意图：考查综合应用方位角的概念和方程思想，解决简单实际问题的能力.设计意图：考查学生对坡角与坡度的概念及关系的掌握；锻炼应用解直角三角形的知识解决与坡度有关的问题.设计意图：考查学生对方位角的概念的掌握；锻炼应用解直角三角形的知识解决与方位角有关的问题.板书设计第3课时利用方向角、坡度解直角三角形1.坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角，如图中的角α.2.坡度(或坡比)如图所示，坡面的铅垂高度(h)和水平宽度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即i=h∶l.坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.3.坡度与坡角的关系即坡度等于坡