专题07 《共点力的平衡》压轴培优题型训练【八大题型】（解析版）-2024-2025学年高中物理《压轴挑战》培优专题训练（人教版2019必修第一册）

专题07《\o"5.共点力的平衡"共点力的平衡》压轴培优题型训练【八大题型】一．共点力的平衡问题及求解（共22小题）二．利用平衡推论求解受力问题（共3小题）三．解析法求共点力的平衡（共6小题）四．图解法解决动态平衡问题（共3小题）五．相似三角形法解决动态平衡问题（共2小题）六．辅助圆法解决动态平衡问题（共3小题）七．自锁问题（共3小题）八．力矩的平衡条件（共4小题）一．共点力的平衡问题及求解（共22小题）1．如图所示，粗糙的水平地面上放置一物块，物块左边受到弹簧的斜向上且与水平面成θ角的拉力作用，右侧受到水平向右的拉力F作用，物块处于静止状态。若将水平向右的拉力大小变为F+ΔF，物块仍保持静止，则下列说法正确的是（）A．弹簧的弹力一定变大 B．物块受到地面的摩擦力的大小可能不变 C．地面对物块的支持力可能变大 D．弹簧弹力和地面对物块的支持力以及拉力F的合力一定变大【答案】B【解答】解：A、因为拉力变为F+ΔF时，物块仍处于静止状态，所以弹簧的伸长量不变，则弹簧的弹力不变，故A错误；B、如果静摩擦力方向向右，对物块受力分析如图：小物块在水平方向上：F+f＝F弹cosθ，即：f＝F弹cosθ﹣F，随着F的增大f逐渐减小为零，F再增大后摩擦力将反向增大，这时静摩擦力方向向左，大小可以增大到和初始摩擦力大小相等，故B正确；C、在竖直方向上：mg＝F弹sinθ+FN；可见地面的支持力FN与拉力F无关，F弹不变化，支持力保持不变，故C错误；D、弹簧弹力和地面对物体的支持力以及拉力F的合力，这三个力的合力与地面给物块的静摩擦力和物块的重力的合力相平衡，由B可知摩擦力大小可能不变，故摩擦力和重力的合力大小可能不变，弹簧弹力和地面对物块的支持力以及拉力F的合力大小可能不变，故D错误。故选：B。2．轻细绳两端分别系上质量为m1和m2的两小球A和B，A在P处时两球都静止，如图所示，O为球心，∠COP＝60°，碗对A的支持力为N，绳对A的拉力为T，则（）A．N＞T B．N＜T C．N＝m1g D．m1＝m2【答案】D【解答】解：m2球保持静止状态，对其受力分析，受重力和拉力，二力平衡，故：绳子上的弹力：T＝m2g…①对m1球受力分析，如图：根据共点力平衡条件：x方向：Tcos60°﹣Ncos60°＝0…②得：N＝m2g；y方向：Tsin60°+Nsin60°﹣m1g＝0…③由①②③代入数据解得：＝A、B、由于T＝m2g，N＝m2g，故N＝T，故AB错误；C、由于N＝m2g，＝，故N＝m1g，故C错误；D、由于＝，故m1＝m2，故D正确；故选：D。3．质量为的小球置于倾角为30°的光滑固定斜面上，劲度系数为k＝200N/m的轻弹簧一端系在小球上，另一端固定在竖直墙上的P点，小球静止于斜面上，弹簧轴线与竖直方向的夹角为30°，如图所示。取g＝10m/s2。则（）A．弹簧对小球的拉力大小为 B．小球对斜面的压力的大小为10N C．弹簧的伸长量为10cm D．弹簧被剪断的瞬间，小球受到的支持力不变【答案】C【解答】解：小球静止于斜面上，设小球受的弹簧拉力为T，设斜面对小球的支持力为FN，设弹簧的伸长量为x，对小球受力分析如图，则：FNsin30°＝Tsin30°FNcos30°+Tcos30°＝mgT＝kx联立解得：FN＝T＝20N、x＝0.1m＝10cmA、小球受的弹簧拉力为T＝20N．故A错误。B、斜面对小球的支持力为FN＝20N，据牛顿第三定律，小球对斜面的压力的大小为20N．故B错误。C、弹簧的伸长量x＝0.1m＝10cm，故C正确。D、弹簧被剪断的瞬间，小球受重力、斜面对小球的支持力，有F'N＝mgcos30°，解得：F'N＝10N．支持力发生变化，故D错误。故选：C。4．如图所示，小圆环A系着一个质量为m2的物块并套在另一个竖直放置的大圆环上，有一细线一端拴在小圆环A上，另一端跨过固定在大圆环最高点B的一个小滑轮后吊着一个质量为m1的物块。如果小圆环、滑轮、绳子的大小和质量以及相互之间的摩擦都可以忽略不计，绳子又不可伸长，若平衡时弦AB所对应的圆心角为α，则两物块的质量比m1：m2应为（）A．cos B． C． D．【答案】C【解答】解：如图对小环进行受力分析，如图所示，小环受上面绳子的拉力m1g，下面绳子的拉力m2g，以及圆环对它沿着OA向外的支持力，将两个绳子的拉力进行正交分解，它们在切线方向的分力应该相等：m1gsin＝m2gcos（α﹣90）即：m1cos＝m2sinαm1cos＝2m2sincos得：m1：m2＝2sin故选：C。5．（多选）如图所示，长度相同的光滑圆柱体甲、乙质量分别为m1、m2，半径分别为r1、r2，甲放在两竖直墙壁之间，甲、乙均处于静止状态．已知两墙壁的距离刚好等于甲的直径，且r1＝4r2，重力加速度为g，则下列说法正确的是（）A．甲对左侧墙壁的压力为零 B．乙对左侧墙壁的压力为零 C．甲对地面的压力为m2g D．甲对右侧墙壁的压力为【答案】AD【解答】解：A、对甲受力分析，甲一定受到乙给的指向右下过圆心的作用力，则水平方向甲一定有向右的分力，当右侧墙壁对甲的作用力等于该分力时，恰好左侧墙壁对甲没有作用力，故A正确；B、对于乙，若撤去左侧接触部分墙壁，乙无法保持静止，说明左侧墙壁对乙有弹力，故B错误；C、对甲、乙整体进行受力分析如图（2）所示，可知甲对地面的压力F＝（m1+m2）g，故C错误；D、对乙进行受力分析，其受力如图（1）所示，则有FN＝m1gtanθ，由几何关系知，由图（2）可知m1g，故D正确。故选：AD。6．（多选）如图所示，倾角为α＝30°的粗糙斜劈放置在水平面上，连接物体a、c的轻质细线绕过两个光滑小滑轮，其中a和滑轮1间的细线平行于斜面，滑轮1固定在斜劈上，滑轮2下吊物体b，c穿在水平横杆上，系统静止。物体a受到斜劈的摩擦力大小为Ff1，c受到横杆的摩擦力大小为Ff2，a，b，c三物体的质量均为m，a与斜面c与横杆之间的动摩擦因数μ＝，β＝60°，若将c向右缓慢移动，a物体仍处于静止状态，则在该过程中，以下说法正确的是（）A．Ff1和Ff2，都将变大 B．Ff1由沿斜面向上改为沿斜面向下，Ff2始终沿横杆向右 C．图中的β≤120° D．斜劈受到地面的摩擦力和横杆受到物体c的摩擦力都变大【答案】ACD【解答】解：1．以滑轮2为研究的对象，受力如图1：若将c向右移动少许，两个绳子之间的夹角β增大。由于b对滑轮的拉力不变，两个绳子之间的夹角变大，所以看到绳子的拉力F一定变大。2．斜面的倾角为α，设物体a的质量为m，以a为研究的对象。初状态：a的重力沿斜面向下的分力为mgsinα＝0.5mg，绳子拉力大小为F，则有：2Fcos30°＝mg，解得：F＝＞0.5mg，所以开始a受到的摩擦力方向沿斜面向下；当F逐渐增大时，Ff1也逐渐增大；3．以c为研究的对象，受力如图2则沿水平方向：Fsin﹣Ff2＝0。由于将c向右移动少许，细线的拉力将变大，β增大，所以Ff2＝Fsin一定增大。4．以物体a与斜劈组成的整体为研究的对象，整体受到重力、地面的支持力、绳子对a的拉力、两根绳子对滑轮1的向下的压力以及地面的摩擦力的作用，其中是水平方向上系统受到的摩擦力与a受到的绳子在水平方向的分力是相等的，即：f′＝Fsin。由于将c向右移动少许，细线对a的拉力F变大，所以地面对斜劈的摩擦力增大。5．以b为研究对象，绳子拉力F＝；当c打滑时，以c为研究对象，水平方向根据平衡条件可得：Fsin＝μ•（mg+Fcos），解得：β＝120°；当a打滑时，F＝mgsinα+μmgcosα，解得β＝120°，所以图中的β≤120°综上所述，可知B错误，ACD正确。故选：ACD。7．（多选）一名杂技演员在两幢高10m的楼之间表演“高空走钢丝”。当他缓慢经过钢丝的中点时，钢丝与水平方向的夹角为10°，已知演员及横杆的总质量为60kg，钢丝重量不计。重力加速度为10m/s2，sin10°＝0.17，下列说法正确的有（）A．演员经过解丝中点时，钢丝上的力约为3530N B．演员经过钢丝中点时，钢丝上的张力约为1765N C．演员经过中点后又向右走了几步停下来，此时钢丝对演员的作用力方向朝左上方 D．如果更换一根更长的钢丝表演，演员经过钢丝中点时，钢丝绳上的张力会减小【答案】BD【解答】解：AB、以脚与绳子的接触点为研究对象，分析受力情况，作出力图，根据平衡条件：2Fsinθ＝mg得：F＝＝N≈1765N，故A错误，B正确；C、演员经过中点后又向右走了几步停下来，此时钢丝对演员的作用力方向仍朝竖直向上，与自身重力平衡，故C错误；D、演更换一根更长的钢丝表演，演员经过钢丝中点时，导致两绳子的夹角减小，因两绳子的合力不变，依据力的平行四边形定则，则钢丝绳上的张力会减小，故D正确。故选：BD。8．（多选）将一个半球体置于水平地面上，半球的中央有一光滑小孔，上端有一光滑的小滑轮，柔软光滑的轻绳绕过滑轮，两端分别系有质量为m1、m2的物体（两物体均可看成质点，m2悬于空中）时，整个装置处于静止状态，如图所示。已知此时m1与半球的球心O的连线与水平线成53°角（sin53°＝0.8，cos53°＝0.6），m1与半球面的动摩擦因数为0.5，并假设m1所受到的最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力。则在整个装置处于静止的前提下，下列说法正确的是（）A．无论的比值如何，地面对半球体的摩擦力都不为零 B．当＝时，半球体对m1的摩擦力为零 C．当＜≤5时，半球体对m1的摩擦力方向垂直于图中的虚线向上 D．当1≤＜时，半球体对m1的摩擦力方向垂直于图中的虚线向下【答案】BCD【解答】解：A、对半球体m1、m2整体进行受力分析，只受重力和支持力一对平衡力，相对地面并无运动趋势，故不受摩擦力，故A错误；B、若半球体对m1的摩擦力为零，对m1受力分析，如图所示，将重力正交分解，根据共点力平衡条件得到：x方向：T﹣m1gcos53°＝0y方向：N﹣m1gsin53°＝0据题意：T＝m2g解得：＝，故B正确；C、当≤＜5时，有m2g＜m1gcos53°，即绳子的拉力小于重力的下滑分量，m1有下滑趋势，摩擦力沿切线向上，故C正确；D、当1≤＜时，有m2g＞m1gcos53°，即绳子的拉力大于重力的下滑分力，m1有上滑趋势，摩擦力沿切线向下，故D正确；故选：BCD。9．如图所示，质量为m的物块A被轻质细绳系住斜吊着放在倾角为30°的静止斜面上，物块A与斜面间的动摩擦因数μ（μ＜），细绳绕过定滑轮O，左右两边与竖直方向的夹角α＝30°、β＝60°，细绳右端固定在天花板上，O′为细绳上一光滑动滑轮，下方悬挂着重物B．整个装置处于静止状态，重力加速度为g，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，不考虑动滑轮重力，求：（1）重物B的质量为多少时，A与斜面间恰好没有摩擦力作用？（2）A与斜面间恰好没有摩擦力作用时，水平地面对斜面的摩擦力为多大？（3）重物B的质量满足什么条件时，物块A能在斜面上保持静止？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）对物体A受力分析，受拉力T、重力、支持力，根据平衡条件，沿斜面方向，有：T′cos30°＝mgsin30°解得：T′＝mg再物体B和动滑轮整体分析，受两个拉力和重力，根据平衡条件，有：m′g＝T＝mg故m′＝m（2）再对物体A和斜面体整体受力分析，受重力、拉力、支持力和静摩擦力，根据平衡条件，有：f＝Tsin30°＝mg，方向向左（3）如果物体A恰好不上滑，则对A，有：平行斜面方向：T1cos30°﹣mgsin30°﹣f＝0垂直斜面方向：N+T1sin30°﹣mgcos30°＝0又有：f＝μN解得：T1＝；如果物体A恰好不下滑，则对A，有：平行斜面方向：T2cos30°﹣mgsin30°+f＝0垂直斜面方向：N+T2sin30°﹣mgcos30°＝0又有：f＝μN解得：T2＝；因μ＜，故T2＞0由于绳子的拉力等于物体B的重力，故物体B的质量范围为：≥m′≥答：（1）重物B的质量为m时，A与斜面间恰好没有摩擦力作用；（2）A与斜面间恰好没有摩擦力作用时，水平地面对斜面的摩擦力为mg；（3）重物B的质量满足条件≥m′≥时，物块A能在斜面上保持静止．10．如图所示，质量为M的斜面体A置于粗糙水平地面上，用轻绳拴住质量为m的小球B置于斜面上，整个系统处于静止状态。已知斜面倾角θ＝30°，轻绳与斜面平行且另一端固定在竖直墙面上，不计小球与斜面间的摩擦，求：（1）斜面体A对小球B的支持力N的大小；（2）轻绳对小球B拉力T的大小；（3）地面对斜面体A的摩擦力f。【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）（2）对球受力分析，如图所示：由平衡条件得：，；（3）对A、B整体受力分析可得：方向水平向右答：（1）面体A对小球B的支持力N的大小为；（2）轻绳对小球B拉力T的大小为；（3）地面对斜面体A的摩擦力f为。11．某同学表演魔术时，将一小型条形磁铁藏在自己的袖子里，然后对着一悬挂的金属小球指手画脚，结果小球在他神奇的功力下飘动起来．假设当隐藏的小磁铁位于小球Q的左上方某一位置C（CQ与竖直方向的夹角为θ）时，金属小球偏离竖直方向的夹角也是θ，如图所示．已知小球的质量为m，该同学（含磁铁）的质量为M，重力加速度为g．求此时：（1）悬挂小球的细线的拉力大小为多少？（2）该同学受到地面的支持力和摩擦力大小各为多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）对小球受力分析：重力、细线的拉力和磁铁的引力．设细线的拉力和磁铁的引力分别为F1和F2．根据平衡条件得：水平方向：F1sinθ＝F2sinθ竖直方向：F1cosθ+F2cosθ＝mg解得，F1＝F2＝．（2）以人为研究对象，分析受力情况：重力Mg、地面的支持力N、静摩擦力f和小球的引力F2′，F2′＝F2＝．根据平衡条件得f＝F2′sinθN＝F2′cosθ+Mg解得：N＝Mg+mgf＝mgtanθ答：（1）悬挂小球的细线的拉力大小为．（2）该同学受到地面的支持力和摩擦力大小分别为Mg+mg、mgtanθ．12．物体A放在台式测力计上，通过跨过定滑轮的轻绳与物体B相连，B下端与轻弹簧粘连，弹簧下端与地面接触（未拴接），整个系统处于平衡状态，此时台式测力计的示数为8.8N；已知mA＝2mB＝1kg，物块A、B间水平距离s＝20cm，倾斜绳与水平方向的夹角θ＝37°，物块A与台式测力计间摩擦因数μ＝0.5．最大静摩擦力等于滑动摩擦力，A、B和滑轮视为质点，不计其余摩擦，弹簧始终处于弹性限度内，g＝10m/s2（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）（1）求物块A受到的摩擦力和绳对物块A的拉力；（2）沿竖直方向向上移动滑轮至某个位置时，物块A刚好要运动，且此时弹簧刚好离开地面．求：①此时轻绳与水平方向的夹角θ′＝？②滑轮移动的距离和弹簧的劲度系数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由台秤示数知物块此时所受支持力N＝8.8N，物块受力示意图如下：根据平衡条件，水平方向：，竖直方向：，解得：，；（2）①分析知，此时弹簧恢复原长，弹力为0．对B受力分析，有：T1﹣mBg＝0所以：T1＝5N；设此时细线与水平方向夹角为θ′，对A，水平方向：，竖直方向：，其中：，得：sinθ′+2cosθ′＝2结合cos2θ′+sin2θ′＝1得：θ′＝53°cosθ′＝0.6，sinθ′＝0.8；②滑轮上升的高度，分析知，右端绳所短，由几何关系知，弹簧伸长量Δx＝Δh+Δl＝20cm；由（1），对B受力分析，有T0+F0＝mBg，初始时刻弹簧处于压缩状态，弹力F0＝3N，末状态弹簧恢复原长，弹力为0，所以；答：（1）物块A受到的摩擦力为1.6N，绳对物块A的拉力为2N；（2）①此时轻绳与水平方向的夹角θ′＝53°②滑轮移动的距离为cm，弹簧的劲度系数为15N/m．13．如图所示，重为12N的物块G1在三根细绳悬吊下处于静止状态，细绳BP在水平方向，细绳AP偏离竖直方向37°角，且连在重为50N的物块G2上，物块G2静止于倾角为37°的斜面上（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），取g＝10m/s2．求：（1）绳PB和绳PA对P点的拉力分别为多大？（2）斜面对物块G2的摩擦力和支持力分别为多大．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）分析P点受力，如图甲所示：由平衡条件可得：FAcos37°＝G1，FAsin37°＝FB，联立并代入数据解得：FB＝9N，FA＝15N，（2）再分析物块G2的受力情况，如图乙所示．由物体的平衡条件可得：Ff＝G2sin37°+F′B•cos37°，FN+F′Bsin37°＝G2cos37°，F′B＝FB，由以上三式并代入数据解得：Ff＝37.2N，FN＝34.6N．答：（1）绳PB和绳PA对P点的拉力分别为9N，15N，（2）斜面对物块G2的摩擦力和支持力分别为37.2N，34.6N．14．如图所示，物重30N，用OC绳悬挂在O点，OC绳能承受最大拉力为20N，再用一绳系OC绳的A点，BA绳能承受的最大拉力为30N，现用水平力拉BA，可以把OA绳拉到与竖直方向成多大角度？【答案】见试题解答内容【解答】解：当OA绳与竖直方向的夹角θ逐渐增大时，OA和BA绳中的拉力都逐渐增大．当其中某一根的拉力达到它本身能承受的最大拉力时，就不能再增大角度了．结点A的受力如图所示．由图可知，OA绳的拉力总是大于AB绳的拉力，若OA绳的拉力先达到断裂的临界值，应用OA的承受的最大拉力作为临界条件求解．此时：NFAC＝G＝30N，N＜30N，所以一定是OA绳先断．此时：即：OA偏离竖直方向的最大角度θ＝30°答：可以把OA绳拉到与竖直方向成30°角．15．如图所示，质量为mB＝24kg的木板B放在水平地面上，质量为mA＝22kg的木箱A放在木板B上．一根轻绳一端拴在木箱上，另一端拴在天花板上，轻绳与水平方向的夹角为θ＝37°．已知木箱A与木板B之间的动摩擦因数μ1＝0.5．现用水平向右、大小为200N的力F将木板B从木箱A下面匀速抽出（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，重力加速度g取10m/s2），则木板B与地面之间的动摩擦因数μ2的大小为多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：对A受力分析如图甲所示：由题意得：FTcosθ＝Ff1①FN1+FTsinθ＝mAg②Ff1＝μ1FN1③由①②③得：FT＝100N对A、B整体受力分析如图乙所示，由题意得：FTcosθ+Ff2＝F④FN2+FTsinθ＝（mA+mB）g⑤Ff2＝μ2FN2⑥由④⑤⑥得：μ2＝0.3答：木板B与地面之间的动摩擦因数μ2的大小为0.3．16．如图所示，AC和BC两轻绳共同悬挂一质量为m的物体，若保持AC绳的方向不变，AC与竖直方向的夹角为60°，改变BC绳的方向，试求：（1）物体能达到平衡时，θ角的取值范围。（2）θ在0～90°的范围内，求BC绳上拉力的最大值和最小值。【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）改变BC绳的方向时，AC绳的拉力TA方向不变，两绳拉力的合力F与物体的重力平衡，重力大小和方向均保持不变，如图所示，经分析可知，θ最小为0°，此时TA＝0；且θ必须小于120°，否则两绳的合力不可能竖直向上。所以θ角的取值范围是0°≤θ＜120°。（2）θ在0～90°的范围内，由图知，当θ＝90°时，TB最大，。当两绳垂直，即θ＝30°时，TB最小，。答：（1）物体能达到平衡时，θ角的取值范围为0°≤θ＜120°；（2）θ在0～90°的范围内，BC绳上拉力的最大值和最小值分别。17．如图所示，AB、BC、CD和DE为质量可忽略的等长细线，长度均为5m，A、E两端悬挂在水平天花板上，AE＝14m，B、D是质量均为m＝7kg的相同小球，质量为M的重物挂于C点，平衡时C点离天花板的垂直距离为7m，试求重物质量M．【答案】见试题解答内容【解答】解：设AB与竖直方向的夹角为θ，则由几何关系可知：（7﹣5sinθ）2+（7﹣5cosθ）2＝52解得：sinθ+cosθ＝解得：sinθ＝0.6；或sinθ＝0.8由图可知，夹角应小于45°，故0.8舍去；则由几何关系可知，BC与水平方向的夹角也为θ；设AB绳的拉力为T，则对整体分析可知：2Tcos37°＝Mg+2mg设BC绳的拉力为N；则有：N＝对B球分析可知：Tsinθ＝Ncosθ联立解得：M＝18kg；答：M的质量为18kg．18．如图所示，两滑块放在光滑的水平面上，中间用一细线相连，轻杆OA、OB搁在滑块上，且可绕铰链O自由转动，两杆长度相等，夹角为θ，当竖直向下的力F作用在铰链上时，求：（1）沿OA、OB方向杆受到的压力是多大？（2）滑块间细线的张力为多大？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）对O点受力分析，如图．对两个细杆的作用力进行合成，则由平衡条件有：2Ncos＝F得：N＝由牛顿第三定律知：沿OA、OB方向杆受到的压力为：F1＝N＝（2）滑块间细线的张力为：F2＝F1sin＝tan；答：（1）沿OA、OB方向杆受到的压力是．（2）滑块间细线的张力为tan．19．如图甲所示，一根轻质且伸长量不计的细长绳两端系在竖直墙上A、D两点，绳上B点下端挂两个各为G＝10N的重物，AB、BD绳和墙的夹角α＝30°，β＝60°。（1）求图甲中AB、BD两段绳中的拉力T1、T2各是多大？（2）如把图甲改成图乙，B、C两点处各悬挂G＝10N的重物，AB、CD绳和墙的夹角仍是α＝30°，β＝60°，求BC绳中的拉力T3多大？BC绳与竖直方向的夹角θ是多大？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）图甲中，以结点B为研究对象，由平衡条件得竖直方向有T1cosα+T2cosβ＝2G水平方向有T1sinα＝T2sinβ解得T1＝10N，T2＝10N（2）图乙中，设AB、BD两段绳中的拉力分别为T4、T5。以两个物体和BC绳整体为研究对象，分析受力情况，由平衡条件得：竖直方向有T4cosα+T5cosβ＝2G水平方向有T4sinα＝T5sinβ解得T4＝10N，T5＝10N以B点为研究对象，由平衡条件得：T4sinα＝T3sinθT4cosα＝T3cosθ+G解得T3＝10N，θ＝60°答：（1）AB、BD两段绳中的拉力T1、T2各是10N和10N。（2）BC绳中的拉力T3是10N；BC绳与竖直方向的夹角θ是60°。20．如图所示，三个物块叠放在水平桌面上，小球P重20N，挂在c绳下端，a绳一端系在物块3上，b绳一端系在水平天花板上，现用水平向左的拉力F作用在物块2上，整个系统处于静止状态时，a绳水平，b绳与水平方向成45°角．求：（1）物块1与物块2间的摩擦力大小；（2）a、b绳中的拉力各是多大．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）对物体1受力分析，受重力和支持力，假如受水平方向的摩擦力，则不能保持平衡，故物体1与物体2间的摩擦力为0；（2）取绳子的连接点受力分析，受到三根绳子的三个拉力，如图根据平衡条件，有：x方向：T2cos45°＝T1y方向：T2sin45°＝mg解得：T1＝mg＝20N，T2＝20．即a绳中的拉力为20N，b绳中的拉力为20N．答：（1）物块1与物块2间的摩擦力大小为零；（2）a绳中的拉力为20N，b绳中的拉力为20N．21．如图所示，质量为2kg的直角三棱柱A放在水平地面上，三棱柱的斜面是光滑的，且斜面倾角θ为37°．质量为1kg的光滑球放在三棱柱和光滑竖直墙壁之间，A和B都处于静止状态，求地面对三棱柱的支持力和摩擦力各为多少？（g＝10m/s2，sin37°＝cos37°＝）【答案】见试题解答内容【解答】解：选取A和B整体为研究对象，它受到重力（M+m）g，地面支持力N，墙壁的弹力F和地面的摩擦力f的作用（如图所示），整体处于平衡状态．根据平衡条件有：竖直方向：N﹣（M+m）g＝0…①水平方向：F＝f…②解得：N＝（M+m）g＝（2+1）×10＝30N…③再以B为研究对象，它受到重力mg，三棱柱对它的支持力NB，墙壁对它的弹力F的作用（如图所示），B球处于平衡状态，根据平衡条件有：NBcosθ＝mg…④NsinθB＝F…⑤解得F＝mgtanθ…⑥所以有：f＝F＝mgtanθ＝1×10×0.75＝7.5N．答：地面对三棱柱支持力为30N，摩擦力为7.5N．22．如图所示，质量M＝2kg的木块套在水平杆上，并用轻绳与质量m＝kg的小球相连。今用跟水平方向成α＝30°角的力F＝10N拉着小球带动木块一起向右做匀速直线运动，运动中M、m相对位置保持不变，g取10N/kg。求：（1）运动过程中轻绳对小球的拉力大小及轻绳与水平方向夹角θ；（2）木块与水平杆间的动摩擦因数μ。【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）以球为研究对象，其受力如图所示据共点力平衡条件得Fcos30°﹣FTcosθ＝0①Fsin30°+FTsinθ＝mg②联立①②式，代入数据解得：FT＝N，θ＝30°。（2）以木块M为研究对象，其受力如图所示据共点力平衡条件得FTcos30°﹣Ff＝0③FN﹣Mg﹣FTsin30°＝0④Ff＝μFN⑤联立③④⑤式，代入数据解得：μ＝0.35答：（1）运动过程中轻绳对小球的拉力大小为N，轻绳与水平方向夹角θ为30°；（2）木块与水平杆间的动摩擦因数μ为0.35。二．利用平衡推论求解受力问题（共3小题）23．（多选）如图所示，一木板B放在粗糙的水平地面上，木板A放在B的上面，A的右端通过轻质弹簧秤固定在直立的墙壁上，用F向右拉动B，使它以速度v运动，这时弹簧秤示数为T，下面的说法中正确的是（）A．木块A给木板B的滑动摩擦力的大小等于T B．木块A给木板B的滑动摩擦力的大小等于F C．若木板以2v的速度运动，木块A受到的摩擦力的大小等于T D．若2F的力作用在木板上，木块A受到的摩擦力的大小等于2T【答案】AC【解答】解：A、木板在抽出过程中相对于地面做直线运动，这时弹簧秤示数为T，因木块是处于平衡，那么木块A给木板B的滑动摩擦力的大小等于T，故A正确，B错误；BC、若长木板以2v的速度运动时，根据滑动摩擦力公式，木块A受滑动摩擦力的大小跟木板运动的速度大小和所受的其它力的大小无关，受到的摩擦力大小仍等于T，故C正确；D、若用2F的力作用在长木板上，此时木块A仍受到是滑动摩擦力，根据滑动摩擦力大小公式Ff＝μFN，动摩擦因数与压力均不变，所以此时A所受的摩擦力的大小仍等于T，故D错误。故选：AC。24．如图所示，物体A重40N，物体B重20N，A与B、A与地面的动摩擦因数均为0.5，当用水平力F向右匀速拉动物体A时，试求：（1）B物体所受的滑动摩擦力的大小和方向；（2）地面所受滑动摩擦力的大小和方向。（3）求拉力F的大小。【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）物体B相对物体A向左滑动，物体A给物体B的滑动摩擦力方向向右，由平衡条件：竖直方向：N＝GB所以：F1＝µGB＝0.5×20N＝10N（2）地面相对物体A向左运动，物体A给地面的滑动摩擦力方向向右，由平衡条件：竖直方向：N＝GA+GB所以：F2＝μ（GA+GB）＝0.5（20+40）N＝30N；方向向右；（3）地面对A的摩擦力水平向左，F2＝30N，B对A的摩擦力水平向左，f＝F1﹣10N，A做匀速直线运动，由平衡条件得：F＝F2+f＝30+10＝40N答：（1）B物体所受的滑动摩擦力的大小为10N，方向向右；（2）地面所受滑动摩擦力的大小为30N，方向向右。（3）拉力F的大小为40N。25．如图所示，原长分别为L1＝0.1m和L2＝0.2m、劲度系数分别为k1＝100N/m和k2＝200N/m的轻质弹簧竖直悬挂在天花板上。两弹簧之间有一质量为m1＝0.2kg的物体，最下端挂着质量为m2＝0.1kg的另一物体，整个装置处于静止状态。g＝10N/kg（1）这时两个弹簧的总长度为多大？（2）若用一个质量为M的平板把下面的物体竖直缓慢地向上托起，直到两个弹簧的总长度等于两弹簧的原长之和，求这时平板施加给下面物体m2的支持力多大？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）劲度系数为k1轻质弹簧设它的伸长量为x1，根据胡克定律有（m1+m2）g＝k1x1劲度系数为k2轻质弹簧设它的伸长量为x2，根据胡克定律有：m2g＝k2x2这时两个弹簧的总长度为：L＝L1+L2+x1+x2代入数据得：L＝0.335m；（2）用一个平板把下面的物体竖直缓慢地向上托起，直到两个弹簧的总长度等于两弹簧的原长之和时，下面的弹簧应被压缩x，上面的弹簧被拉伸x。以m1为对象，根据平衡关系有（k1+k2）x＝m1g以m2为对象，设平板对m2的支持力为FN，根据平衡关系有FN＝k2x+m2g代入数据得：FN＝2.33N或者答：1）这时两个弹簧的总长度为0.335m（2）若用一个质量为M的平板把下面的物体竖直缓慢地向上托起，直到两个弹簧的总长度等于两弹簧的原长之和，求这时平板施加给下面物体m2的支持力2.33N或者。三．解析法求共点力的平衡（共6小题）26．半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有固定放置的竖直挡板MN在半圆柱体P和挡板MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q，整个装置处于静止，如图所示为这个装置的截面图．现使MN保持竖直并且缓慢地向右平移，在Q滑落到地面之前，P始终保持静止．在此过程中，下列说法中正确的是（）A．MN对Q的弹力逐渐减小 B．P对Q的弹力先减小后增大 C．Q所受的合力逐渐增大 D．地面对P的摩擦力逐渐增大【答案】D【解答】解：A、B、C以小球Q为研究对象，分析受力情况如图，使MN保持竖直并且缓慢地向右平移的过程中，Q的合力保持为零，由共点力平衡条件得MN对Q的弹力F2＝Gtanα，P对Q的弹力F1＝使MN保持竖直并且缓慢地向右平移的过程中，α增大，则tanα增大，cosα减小，所以F2增大，F1增大。故ABC均错误。D、再对整体分析可知，水平方向上两物体只受F2及摩擦力，由二力平衡可知，地面对P的摩擦力大小逐渐增大。故D正确。故选：D。27．如图所示，三根轻绳OA、OB、OC结于O点，OA和OB绳的另一端系于水平天花板上，OC绳C端与一重物相连，OA绳和OB绳的夹角为100°、OA绳与OC绳的夹角为120°。整个系统处于静止状态，OA绳、OB绳、OC绳上的拉力分别记为F1、F2、F3，则F1、F2、F3的大小关系正确的是（）A．F1＜F2＜F3 B．F1＜F3＜F2 C．F2＜F3＜F1 D．F3＜F1＜F2【答案】A【解答】解：对节点O进行受力分析如图所示根据正弦定理可知F1＜F2＜F3，故A正确，BCD错误。故选：A。28．春节期间，人们挂起红灯笼，来营造一种喜庆的氛围．如图所示，轻绳a、b将灯笼悬挂于O点保持静止，绳a与水平方向的夹角为θ，绳b水平。现保持O点位置不变，b绳缓慢逆时针转动到竖直，则（）A．轻绳a的作用力减小，轻绳b的作用力先减小后增大 B．轻绳a、b的作用力均减小 C．轻绳a、b的作用力均增大 D．轻绳a的作用力不变，轻绳b的作用力先减小后增大【答案】A【解答】解：以结点O为研究对象进行受力分析，受a、b绳的拉力以及下面绳子的拉力，下面绳子的拉力等于灯笼的重力，结点O平衡，受力分析如图所示O点位置不变，则Ta方向不变，b绳缓慢逆时针转动到竖直过程中，由上图可知，Tb先减小后增大，Ta一直减小，BCD错误，A正确。故选：A。29．某材料放置如图，在竖直墙壁的左侧水平地面上放置一个边长为a、质量为M＝4kg的正方体ABCD，在墙壁和正方体之间放置半径R＝0.5m、质量为m的光滑球，正方体和球均保持静止。球的球心为O，OC与竖直方向的夹角为θ，正方体的棱长a＞R，正方体与水平地面的动摩擦因数μ＝0.5。已知重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，最大静摩擦力约等于滑动摩擦力。（1）若θ＝30°、m＝3kg，求正方体受到地面的摩擦力大小；（2）若θ＝30°，保持球的半径不变，只增大球的质量，为了不让正方体出现滑动，求光滑球质量的最大值；（3）改变正方体到墙壁之间的距离，当正方体的右侧面BC到墙壁的距离小于某个值L时，无论球的质量是多少，球和正方体始终处于静止状态，且球没有落到地面，求L的值。【答案】（1）若θ＝30°、m＝3kg，正方体受到地面的摩擦力大小为22.5N；（2）光滑球质量的最大值为8kg；（3）无论球的质量是多少，球和正方体始终处于静止状态，且球没有落到地面，L的值为0.724m。【解答】解：（1）以球为研究对象，受力如图1所示图1小球受力平衡可知N2＝mgtanθ代入数据解得N2＝22.5N以正方体和球整体为研究对象，受力如图2所示图2对整体受力分析可得Ff＝N2Ff＝22.5N（2）以正方体和球整体为研究对象，竖直方向受重力（m+M）g和地面的支持力FN，水平方向受墙壁的弹力N2和地面的摩擦力Ff，根据平衡条件FN＝（m+M）gμFN＝N2m＝8kg（3）根据无论m多大，球和正方体始终处于静止状态，要满足条件mgtanθ≤μ（m+M）g当m→∞时通过几何关系解得L＝R+Rsinθ代入数据得答：（1）若θ＝30°、m＝3kg，正方体受到地面的摩擦力大小为22.5N；（2）光滑球质量的最大值为8kg；（3）无论球的质量是多少，球和正方体始终处于静止状态，且球没有落到地面，L的值为0.724m。30．木块A、B质量分别为mA＝5kg和mB＝7kg，与原长为l0＝20cm、劲度系数为k＝100N/m轻弹簧相连接，A、B系统置于水平地面上静止不动，此时弹簧被压缩了5cm．已知A、B与水平地面之间的动摩擦因数均为μ＝0.2，可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现用水平推力F＝2N作用在木块A上，如图所示（g取10m/s2），（1）求此时A，B受到的摩擦力的大小和方向；（2）当水平推力不断增大，求B即将开始滑动时，A、B之间的距离（3）若水平推力随时间变化满足以下关系F＝2+t（N），求A、B都仍能保持静止状态时间，并作出在A开始滑动前A受到的摩擦力fA﹣t图象．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）A、B与地面间的最大静摩擦力分别为：fmA＝μmAg＝0.2×50N＝10NfmB＝μmBg＝0.2×70N＝14N根据胡克定律得，弹簧的弹力大小为：F弹＝kx＝100×0.05N＝5N当F＝2N时，F弹﹣F＝5N﹣2N＝3N＜fmA，F弹＜fmB，所以A、B两物体都保持静止状态．木块A所受摩擦力的大小是fA＝F弹﹣F＝5N﹣2N＝3N，方向水平向右木块B所受的摩擦力大小是fA＝F弹＝5N，方向水平向左．（2）B即将开始滑动时，有：kx＝fmB可得：x＝0.14m所以B即将开始滑动时，A、B之间的距离为：S＝l0﹣x＝0.2﹣0.14＝0.06m（3）A即将开始滑动时静摩擦力达到最大值，由平衡条件得：F﹣F弹＝fmA结合F＝2+t（N），得：t＝26s对A，当F＜F弹时，有fA＝F弹﹣F＝5﹣（2+t）＝3﹣t（N），方向水平向右（0＜t＜6s）当F＝F弹时，有fA＝F弹﹣F＝0，此时t＝6s当F＞F弹时，有fA＝F﹣F弹＝（2+t）﹣5＝t﹣3（N），方向水平向左（6s＜t≤26s）取水平向右为正方向，作出在A开始滑动前A受到的摩擦力fA﹣t图象如图．答：（1）此时A受到的摩擦力的大小是3N，方向水平向右；B受到的摩擦力的大小是5N，方向水平向左；（2）当水平推力不断增大，B即将开始滑动时，A、B之间的距离是0.06m．（3）A、B都仍能保持静止状态的时间是26s，在A开始滑动前A受到的摩擦力fA﹣t图象如图．31．如图所示，在外力F的作用下通过两根轻绳将质量为m的物体悬挂并处于静止状态．其中绳OB水平，绳OA和竖直方向的夹角为30°．（1）若要使OB绳伸直但张力为零，则力F的最小值为多少？（2）若要使OA、OB绳张力大小相同，则力F的最小值是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）对结点O受力分析，受重力mg，OA绳子的拉力T以及拉力F，三力平衡，将绳子的拉力T和拉力F合成，其合力与重力平衡，如图当拉力F与绳子的拉力T垂直时，拉力F最小，最小值为Fmin＝mgsin30°＝；（2）设OA、OB绳张力大小为T，则两个拉力T的合力方向与水平方向的夹角为30°，运用上题的结论可知：当F与此合力垂直时F最小，此时力F与水平方向的夹角为60°．根据平衡条件得：竖直方向有：Tcos30°+Fsin60°＝mg水平方向有：T+Tsin30°＝Fcos60°解得：F＝．答：（1）若要使OB绳伸直但张力为零，则力F的最小值为．（2）若要使OA、OB绳张力大小相同，则力F的最小值是．四．图解法解决动态平衡问题（共3小题）32．如图所示，在竖直放置的穹形支架上，一根长度不变且不可伸长的轻绳通过轻质光滑滑轮悬挂一重物G。现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从B点沿支架缓慢地向C点靠近（C点与A点等高）。则在此过程中绳中拉力大小（）A．先变大后不变 B．先变大后变小 C．先变小后不变 D．先变小后变大【答案】A【解答】解：当轻绳的右端从B点移到直杆最上端D时，设两绳的夹角为2θ．以滑轮为研究对象，分析受力情况，作出力图如图1所示。根据平衡条件得2Fcosθ＝mg得到绳子的拉力F＝所以在轻绳的右端从B点移到直杆最上端时D的过程中，θ增大，cosθ减小，则F变大；当轻绳的右端从直杆最上端的D点移到C点时，设两绳的夹角为2α。设绳子总长为L，两直杆间的距离为s，由数学知识得到sinα＝，L、S不变，则α保持不变。再根据平衡条件可知，两绳的拉力F保持不变。所以绳中拉力大小变化的情况是先变大后不变。故BCD错误，A正确。故选：A。33．一根细线上端固定，下端系着一个质量为m的小球。给小球施加拉力F，使小球平衡后细线跟竖直方向的夹角为θ，如图所示。则拉力F（）A．方向可能在图中Ⅰ区内 B．方向可能在图中Ⅱ区内 C．最小值为mgcosθ D．最小值为mgtanθ【答案】B【解答】解：AB、由于小球受到重力，重力的方向是竖直向下的，故重力与细线的拉力合力一定在重力与细线之间的夹角内，若再加一个力，使小球平衡，则这三个力的合力为零，即所施加的拉力F与重力和细线拉力的合力相平衡，方向相反，所以拉力F的方向可能在图中的Ⅱ区内，故A错误，B正确；CD、根据力的合成的平行四边形定则，拉力F的最小值是当拉力垂直细线的方向拉动时的力，由图可知，如果是其它方向的力都比该力大，因此最小的拉力为：F＝mgsinθ，故CD错误；故选：B。34．一个重20N的均匀球被光滑竖直挡板挡住，静止在倾角为α＝37°的光滑斜面上，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：（1）斜面对小球弹力的大小；（2）挡板对小球弹力的大小；（3）把挡板缓慢转到与斜面垂直位置放置（小球始终静止），这一过程中挡板对小球弹力如何变化。【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）（2）以小球为研究对象，分析受力情况：重力G、斜面的弹力N2和挡板的弹力N1，由平衡条件得知，G与N1的合力与N2大小相等、方向相反，如图，则有N1＝Gtan37°＝20×N＝15NN2＝＝25N（3）若挡板沿逆时针缓缓转到与斜面垂直位置过程中，小球的重力不变，则由平衡条件得知，斜面和挡板对小球的弹力N1的合力不变，而斜面的弹力N2的方向不变，运用图解法，作出不同位置小球的受力图，如图1到2位置的过程，由图挡板的作用力N1一直减小。答：（1）斜面对球弹力的大小是25N。（2）挡板对球弹力的大小是15N。（3）若挡板沿逆时针缓缓转到与斜面垂直位置放置挡板的作用力N1一直减小。五．相似三角形法解决动态平衡问题（共2小题）35．如图所示，不计重力的轻杆OP能以O点为圆心在竖直平面内自由转动，P端用轻绳PB挂一重物，另用一根轻绳通过滑轮系住P端。在力F的作用下，当杆OP和竖直方向的夹角α（0＜α＜π）缓慢增大时，力F的大小应（）A．恒定不变 B．逐渐增大 C．逐渐减小 D．先增大后减小【答案】B【解答】解：以P点为研究对象，分析受力情况，根据平衡条件得：N和F的合力与重力G大小相等、方向相反，作出力的合成图如图，由三角形相似法得：＝当杆OP和竖直方向的夹角α（0＜α＜π）缓慢增大时，AP增大，而G、AO不变，得到F逐渐增大。故选：B。36．（多选）如图所示，小球A置于固定在水平面上的光滑半圆柱体上，小球B用水平轻弹簧拉着系于竖直板上，两小球A、B通过光滑滑轮O用轻质细线相连，两球均处于静止状态，已知B球质量为m。O点在半圆柱体圆心O1的正上方，OA与竖直方向成30°角，OA长度与半圆柱体半径相等，OB与竖直方向成45°角，则下列叙述正确的是（）A．小球A质量为 B．光滑半圆柱体对小球A球支持力的大小为mg C．剪断细线OB的瞬间，小球B受到的合力为 D．若小球B缓慢下降，使小球A一直沿着半圆柱体缓慢向上运动，则小球A受到绳的拉力变小【答案】ACD【解答】解：AB．分别对A、B进行受力分析如图所示对B，根据共点力平衡条件有TOBsin45°＝FTOBcos45°＝mg解得F＝mg对A，由几何关系可知TOA、N与竖直方向的夹角相等，夹角为30°，根据共点力平衡条件有Ncos30°+TOAcos30°＝mAgNsin30°＝TOAsin30°其中TOA＝TOB代入解得N＝故A正确，B错误；C．剪断细线OB的瞬间，细线的拉力消失，弹簧对B的弹力以及B所受重力不变，两者的合力仍等于细线的拉力，即故C正确；D．根据共点力平衡和三角形定则，结合相似三角形可得若小球B缓慢下降，由于lOA不断减小，可得小球A受到绳的拉力变小，故D正确。故选：ACD。六．辅助圆法解决动态平衡问题（共3小题）37．（多选）不可伸长的细绳的两端分别系于两竖立圆环水平直径的两端，图甲通过轻质光滑滑轮悬挂重物，图乙通过绳结在正中间悬挂重物。现将两圆环均缓慢地顺时针转动一个小角度，稳定后各段绳的拉力变化情况正确的是（）A．a、b端绳上拉力仍相等，均变大 B．a、b端绳上拉力仍相等，均变小 C．c端绳上拉力变大、d端绳上拉力变小 D．c端绳上拉力变小、d端绳上拉力变大【答案】BC【解答】解：AB、对甲图，绳上张力处处相等，两边绳与水平方向的夹角相等（“活结”模型）。设绳与水平方向的夹角为θ，a、b连线的水平距离为d，绳总长为L，有cosθ＝根据共点力平衡条件有2Tasinθ＝mg解得Ta＝Tb＝圆环缓慢地顺时针转动一个小角度，d变小，a、b端绳上拉力仍相等，均变小，故B正确，A错误；CD、对乙图，圆环缓慢地顺时针转动一个小角度，两绳上拉力方向都变化，但两拉力方向夹角保持不变（“死结”模型），对结点受力分析，如图所示由力的矢量三角形可知，旋转前Tc＝Td，旋转后，c端绳上拉力变大、d端绳上拉力变小，故C正确，D错误。故选：BC。38．（多选）如图，在水平桌面上叠放着两个物块B和C，轻绳绕过光滑的定滑轮O′，一端与C相连，另一端悬挂重物A。用外力F缓慢拉结点O，F方向与OO′的夹角为α＝120°且保持不变，将OO′从竖直拉至水平，两物块始终保持静止，下列说法正确的是A．绳子OO′的拉力先增大后减小 B．C对B的摩擦力一直在增大 C．地面对桌子的摩擦力先减小后增大 D．桌面对B的摩擦力先增大后减小【答案】AD【解答】解：A、对结点O受力分析，绳子拉力和F的夹角不变，合力与悬挂物体的重力等大反向，作出受力分析图如下，分析发现，随着绳拉力T由竖直逐渐变为水平过程，绳拉力先增大，后减小，故A正确；B、对C分析，绳子的拉力与B对C的摩擦力为一对平衡力，等大反向。绳拉力先增大后减小，则B对C的摩擦力先增大后减小，根据牛顿第三定律，C对B的摩擦力先增大后减小，故B错误；D、对B和C整体，根据平衡条件，绳子的拉力与桌面对B的摩擦力为一对平衡力，等大反向，绳拉力先增大，后减小，则桌面对B的摩擦力先增大，后减小，故D正确；C、对B和C以及桌子、悬挂物及滑轮等物体整体，根据平衡条件，F的水平分力与地面对桌子的摩擦力等大反向，由图像可知，F的水平分力大小（图中F与T在圆上交点到G的距离）先增大后减小，则地面对桌子的摩擦力先增大后减小，故C错误。故选：AD。39．（多选）如图所示，光滑半圆形球面固定在水平面上，两个可视为质点的小球a和b用质量可忽略的刚性细杆相连并静止在球面内，已知细杆长度是半球面半径的倍，细杆与水平面的夹角θ＝8°。现给b球上施加外力，使得a、b小球沿球面缓慢移动（O、a、b始终在同一竖直平面内），直至小球a到达与球心O点等高处。已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，下列说法正确的是（）A．a、b的质量之比为4：3 B．a、b的质量之比为5：4 C．轻杆对b的作用力逐渐增大 D．球面对a的作用力先增大后减小【答案】ACD【解答】解：AB、对轻杆，受两个球的弹力是一对平衡力，根据牛顿第三定律，杆对a、b球作用力大小相等且方向沿杆方向；两球都受到重力、细杆的弹力和球面的弹力的作用，过O作竖直线交ab于c点，如图1所示；设球面的半径为R，则△Oac与左侧力三角形相似；△Obc与右侧力三角相似；则由几何关系可得：＝，＝即：＝由题，细杆长度是球面的半径的倍，根据几何知识可得图中α＝45°，则β＝90°﹣45°﹣8°＝37°、γ＝90°﹣37°＝53°由于△acf∽△bce，所以＝＝，即＝故A错误、B正确；CD、球a受力平衡，重力、T和F三力可组成矢量三角形，因为重力大小方向不变，O点与球a、b所在位置始终是等边三角形的顶点，可知T和F的夹角始终保持不变，即在力的矢量三角形中重力所对的T和F的夹角不变，利用辅助圆作图2：分析可知，F由小于辅助圆的直径先增大到等于辅助圆的直径，再减小，可得球面对a的作用力F先增大后减小。同时可得轻杆对a的作用力T逐渐增大，则轻杆对b的作用力也逐渐增大，故CD正确。故选：ACD。七．自锁问题（共3小题）40．（多选）在教室门与地面间缝隙处塞紧一个木楔（侧面如图所示），能把门卡住不易被风吹动。下列分析正确的是（）A．门不易被风吹动的原因是风力太小 B．塞在门下缝隙处的木楔，其顶角θ无论多大都能将门卡住 C．门被卡住时，地面对木楔的支持力一定大于木楔的重力 D．门被卡住时，将门对木楔的力正交分解，水平分力大小等于地面给木楔的摩擦力大小【答案】CD【解答】解：A、门不易被风吹动的原因是最大静摩擦力随着推力增大而增大，故A错误；BCD、对木楔受力分析，受重力、支持力、压力和摩擦力，如图所示：竖直方向：N＝Fcosθ+mg，水平方向：f＝Fsinθ，最大静摩擦力约等于滑动摩擦力，为：fmax＝μN＝μ（Fcosθ+mg），考虑摩擦自锁情况：不管多大的力F均满足fmax≥f，即μ（Fcosθ+mg）≥Fsinθ，由于m很小，故只要μ≥tanθ即可，题中由于θ很小，故很容易满足自锁条件；故B错误，CD正确；故选：CD。41．拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具（如图）。设拖把头的质量为m，拖杆质量可忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ，重力加速度为g。某同学用该拖把把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ。（1）分析该拖把在水平地板上拖地时，拖把头受几个力作用？画出拖把头的受力分析图；（2）若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小；（3）设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ。已知存在一临界角θ0若θ＜θ0，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动。求这一临界角的正切tanθ0。【答案】（1）分析该拖把在水平地板上拖地时，拖把头受4个力作用，拖把头的受力分析图见解析；（2）若拖把头在地板上匀速移动，推拖把的力的大小为mg；（3）这一临界角的正切为λ。【解答】解：（1）拖把头受到重力、支持力、推力和摩擦力4个力的作用，处于平衡状态，受力分析如图（2）设该同学沿拖杆方向用大小为F的力推拖把。将推拖把的力沿竖直和水平方向分解，按平衡条件有竖直方向上：Fcosθ+mg＝N水平方向上：Fsinθ＝f式中N和f分别为地板对拖把的正压力和摩擦力。按摩擦定律有f＝μN联立可得F＝mg（3）若不管沿拖杆方向用多大的力不能使拖把从静止开始运动，应有Fsinθ≤λN这时仍满足Fcosθ+mg＝N。联立解得sinθ﹣λcosθ≤0上式右边总是大于零，且当F无限大时极限为零，有sinθ﹣λcosθ≤0使上式成立的θ角满足θ≤θ0，这里θ0是题中所定义的临界角，即当θ≤θ0时，不管沿拖杆方向用多大的力都推不动拖把。临界角的正切为tanθ0＝λ答：（1）分析该拖把在水平地板上拖地时，拖把头受4个力作用，拖把头的受力分析图见解析；（2）若拖把头在地板上匀速移动，推拖把的力的大小为mg；（3）这一临界角的正切为λ。42．一般课室的门上都安装一种暗锁，这种暗锁由外壳A、骨架B、弹簧C（劲度系数为k）、锁舌D（倾斜角θ＝45°，质量忽略不计）、锁槽E以及连杆、锁头等部件组成，如图甲所示（俯视图）．设锁舌D与外壳A和锁槽E之间的动摩擦因数均为μ且最大静摩擦力与滑动摩擦力相等．有一次放学后，小明准备锁门，当他用某力拉门时，不能将门关上，此刻暗锁所处的状态如图乙所示，P为锁舌D与锁槽E之间的接触点，弹簧由于被压缩而缩短了x，问：（1）此时，外壳A对锁舌D的摩擦力的方向；（2）此时，锁舌D与锁槽E之间的正压力的大小；（3）当μ满足一定条件时，无论用多大的力，也不能将门关上（这种现象称为自锁求暗锁能够保持自锁状态时μ的取值范围．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）锁槽E压缩锁舌和弹簧，锁舌D有向左的运动趋势，故自锁状态下D的下表面所受外壳A施力的静摩擦力方向向右，设锁舌D下表面受到的最大静摩擦力为f1，则其方向向右．（2）设锁舌D受锁槽E的最大静摩擦力为f2，正压力为FN，下表面的正压力为F，弹力为kx，由力的平衡条件可知：kx+f1+f2cos45°﹣FNsin45°＝0①F﹣FNcos45°﹣f2sin45°＝0②f1＝μF③f2＝μFN④联立式①②③④，解得正压力的大小：⑤（3）令FN趋向于∞，则有1﹣2μ﹣μ2＝0解得μ＝﹣1＝0.41⑦答：（1）自锁状态时D的下表面所受摩擦力的方向向右．（2）此时（自锁时）锁舌D与锁槽E之间的正压力的大小为．（3）无论用多大的力拉门，暗锁仍然能够保持自锁状态，则μ至少为0.41．八．力矩的平衡条件（共4小题）43．晓欢同学设计了如图所示的装置探究杠杆的平衡条件，在轻质杠杆AB的A端悬挂一个质量为3.0kg的空桶，AO：OB＝3：1。将质量分布均匀，重为270N的异形工件M通