2024年广东省汕头市龙湖区中考一模数学试题

年广东省汕头市龙湖区中考一模数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四五总分评分一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．1．某速冻水饺的储藏温度是－18±2℃，下列四个冷藏室的温度中不适合储藏此种水饺的是（）A．－24℃ B．－18℃ C．－17℃ D．－16℃2．据悉，在国内大量终端的背景下，鸿蒙生态有望形成百亿级别的市场规模．仅移动端APP应用规模达2610000，为鸿蒙相关技术服务开辟道路．数据“2610000”用科学记数法表示（）A．261×10−1 B．2.61×106 C．3．某商场的休息椅如图所示，它的俯视图是（）A． B．C． D．4．下列计算正确的是（）A．a3⋅a4=a12 B．5．如图，已知直线l1//l2，将一块直角三角板ABC按如图所示方式放置，若∠1＝39°，则∠2等于（）A．39° B．45° C．50° D．51°6．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型能让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC=BD=10cm，C,D两点之间的距离是3cm，∠AOB=60°，则摆盘的面积是（）A．169π6cm2 B．80π3cm27．如图，在直角坐标系xOy中，已知点A4,3，直线OA与x轴正半轴的夹角为α，那么cosA．35 B．34 C．458．如图，添加以下哪个条件，仍不能直接证明△ABC与△ADE相似（）A．∠B=∠ADE B．∠C=∠AED C．ACAE=AB9．如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C；对称轴为直线x=−1，点B的坐标为(1，0)，则下列结论：①AB=4；②b2−4ac>0；③A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，PBPCA．6 B．3 C．43 D．二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）将正确答案写在答题卡相应的位置上．11．点−3,4关于原点对称点为．12．一元二次方程x2＝2x的解为.13．如图，为了测盘凹档的宽度，把一块等腰直角三角板（AB=CB，∠ABC=90°）放置在凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，若∠AMN=∠CNM=90°，测得AM=18cm，CN=30cm，则该凹槽的宽度MN的长为cm．14．陈力参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为84分、80分、92分，若依次按照2:3:5的比例确定成绩，则小王的成绩是分．15．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'16．如图，P是第一象限内一次函数y=−2x+4图象上一动点，反比例函数y=kxk≠0三、解答题（一）（本大题3小题，第17、18题各4分，第19题6分，共14分）17．计算：−318．化简：1x−119．下面是小明设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：P是⊙O外一点，求作：经过点P的⊙O的切线．作法：如图，①连接OP，作线段OP的垂直平分线交OP于点A；②以点A为圆心，OA的长为半径作圆，交⊙O于B，C两点；③作直线PB，PC．直线PB，PC就是所求作的切线．请根据小明的作法完成作图和证明．证明：连接OB，OC．补完证明过程∴PB，PC是⊙O的切线．四、解答题（二）（本大题4小题，第20，21每题7分，第22，23每题9分，共32分）20．有专家指出：人为型空气污染（如汽车尾气排放等）是雾霾天气的重要成因．某校为倡议“每人少开一天车，共建绿色家园”，想了解学生上学的交通方式．九年级（8）班的5名同学联合设计了一份调查问卷．对该校部分学生进行了随机调查．按A（骑自行车）、B（乘公交车）、C（步行）、D（乘私家车）、E（其他方式）设置选项，要求被调查同学从中单选．并将调查结果绘制成条形统计图1和扇形统计图2，根据以上信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的总人数是人，扇形统计图中“骑自行车”所在扇形的圆心角度数是度，请补全条形统计图；（2）已知这5名学生中有2名女同学，要从这5名学生中任选两名同学汇报调查结果．请用列表法或画树状图的方法，求出恰好选出1名男生和1名女生的概率．21．为增强体质，小明和小强相约周末去登山，小明同学从北坡山脚C处出发，小强同学同时从南坡山脚B处出发，如图所示．已知小山北坡长为240米，坡度i=1:3，南坡的坡脚是45°．（出发点B和C在同一水平高度，将山路AB、AC（1）求小山南坡AB的长；（2）如果小明以每分钟24米的速度攀登，小强若要和小明同时到达山顶A，求小强攀登的速度．（结果保留根号）22．某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元．（1）问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？（2）该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共60个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价不变，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3500元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？23．综合与实践问题情境：数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结论．已知在▱ABCD中，AB<BC，∠ABC的平分线交AD边于点E，交CD边的延长线于点F，以DE，DF为邻边作▱DEGF，特例探究：（1）如图1，“创思”小组的同学研究了四边形ABCD为矩形时的情形，发现四边形DEGF是正方形，请你证明这一结论；（2）“敏学”小组的同学在图1基础上连接BG，AC，得到图2，发现图2中线段BG与AC之间存在特定的数量关系，请你帮他们写出结论并说明理由；拓展延伸：（3）“善问”小组的同学计划对▱ABCD展开类似研究．如图3，在▱ABCD中，∠ABC=60°．当AB=4，BC=6时，请补全图形，并直接写出A，G两点之间的距离．五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）24．如图1，AB是⊙O的直径，E是BA延长线上一点，EC切⊙O于点C，连接CE，CF平分∠ACB，交AB于点K，交⊙O于点F．（1）在图1中连结CO，求证：∠OCB=∠ACE；（2）若⊙O的半径为5，求FK⋅FC的值；（3）如图2，若AE=AK，点G是BC的中点，AG与CF交于点P，连接BP．请猜想PA，PB，PF的数量关系，并证明．25．综合与探究：如图，已知抛物线y=−38x2+94x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．直线BC与抛物线的对称轴交于点E．将直线（1）求出点A，B，C的坐标，并直接写出直线AC，BC的解析式；（2）当△CDB是以BC为直角边的直角三角形时，求出n的值；（3）直线BC上是否存在一点P，使以点D，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：∵−18−2=−20，−18+2=−16，∴速冻水饺的储藏温度是-20～-16℃，故答案为：A符合题意，选项B，C，D不符合题意，故答案为：A.【分析】可以看出速冻水饺的储藏温度的标准量为-18℃，最多可以超过标准温度2℃，最少可以不足标准准温度2℃，从而根据有理数的加法法则可求-18+2；根据有理数的加法法则可-18-2，可以求得速冻水饺的储藏温度的范围，本题得以解决.2．【答案】B【解析】【解答】解：数据2610000用科学记数法表示为2.61×10故答案为：B．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中3．【答案】A【解析】【解答】解：此商场的休息椅的俯视图为A，故答案为：A．

【分析】根据三视图的定义求解即可。4．【答案】D5．【答案】D【解析】【解答】如图，作BD//l1，∵BD//l1，∴∠1＝∠CBD，∵l1//l2，∴BD//l2，∴∠ABD＝∠2，又∵∠1＝39°，∴∠CDB＝39°又∵∠CBA＝∠CBD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝51°，∴∠2＝51°．故答案为：D．【分析】作BD//l1，根据直线平行性质可得∠CDB＝39°，再根据角之间的关系即可求出答案.6．【答案】B【解析】【解答】解：如图，连接CD．∵OC=OD，∠O=60°，∴△OCD是等边三角形，∴OC=OD=CD=3cm，∴S=60π×故答案为：B．【分析】连接CD，根据等边三角形判定定理可得△OCD是等边三角形，则OC=OD=CD=3cm，再根据S阴7．【答案】C【解析】【解答】解：过点A作x轴的垂线，垂足为B，如图所示，∵A4,3∴OB=4，AB=3，∴AO=O在Rt△AOB中，cosα=故答案为：C．【分析】过点A作x轴的垂线，垂足为B，根据勾股定理求出AO=5，再根据余弦的定义计算即可求出答案.8．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可得，∠A=∠A，A、当∠B=∠ADE时，△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；B、当∠C=∠AED时，△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；C、当ACAE=ABD、当ACAE=BCDE时，不能推断故答案为：D．

【分析】结合已知及三角形相似的判定方法“有两个对应角相等的三角形相；有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；三组对应边的比相等，则两个三角形相似”，逐项分析解题即可．9．【答案】D【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为x=-1，所以B（1，0）关于直线x=-1的对称点为A（-3，0），∴AB=1-（-3）=4，故①正确；由图象可知：抛物线与x轴有两个交点，∴Δ=b2-4ac>0，故②正确；由图象可知：抛物线开口向上，∴a>0，由对称轴可知：−b2a∴b>0，故③正确；当x=-1时，y=a-b+c<0，故④正确；所以，正确的结论有4个，故答案为：D.【分析】①根据二次函数图象的对称性求出点A的坐标，根据A、B两点的坐标求出AB长；②根据抛物线与x轴有两个交点即可判断Δ=b2-4ac>0；③根据抛物线的开口判断a的符号，结合对称轴的位置判断b的符号即可；④在图象中找出x=-1时对应点的函数值，即可判断a-b+c的符号.10．【答案】A【解析】【解答】解：如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，

结合图象可知：当点P在AO上运动时，PBPC=1，

∴PB=PC，AO=23.

∵△ABC为等边三角形，

∴∠BAC=60°，AB=AC，

∴△APB≌△APC（SSS），

∴∠BAO=∠CAO=30°.

当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为43，

∴OB=23，即OA=OB=23，

∴∠BAO=∠ABO=30°.

过点O作OD⊥AB，垂足为D，

∴AD=BD=AO·cos30°=3，

∴AB=AD+BD=6，即△ABC的边长为6.

故答案为：A.

【分析】结合图象可知：当点P在AO上运动时，PBPC=1，则PB=PC，AO=211．【答案】3,−4【解析】【解答】解：点−3,4关于原点O的对称点为3,−4．故答案为：3,−4．【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.12．【答案】x1＝0，x2＝2【解析】【解答】移项得x2-2x=0，即x（x-2）=0，解得x=0或x=2.

【分析】利用因式分解——提公因式法解方程即可.13．【答案】48【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=CB，∠ABC=90°，∴∠ABM+∠CBN=90°，∵∠AMB=90°，∴∠ABM+∠BAM=90°，∴∠BAM=∠CBN，在△AMB和△BNC中，∠AMB=∠BNC=90°∠BAM=∠CBN∴△AMB≌△BNCAAS∴MB=CN=30cm,BN=AM=18cm，∴MN=BM+BN=30+18=48故答案为：48．【分析】根据等腰直角三角形性质可得AB=CB，∠ABC=90°，再根据角之间的关系可得∠BAM=∠CBN，再根据全等三角形判定定理可得△AMB≌△BNCAAS，则MB=CN=30cm,BN=AM=18cm14．【答案】86.8【解析】【解答】解：根据题意得：84×=16.8+24+46=86.8（分），所以，小王的成绩是86.8分．故答案为：86.8．【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．15．【答案】4【解析】【解答】解：如图，连接B'∵正方形ABCD∽正方形A'B'又∵正方形ABCD的面积为2，∴正方形A'∴A'∵∠B∴B'∴正方形A'故答案为：4．【分析】连接B'D'．根据相似多边形的性质求出正方形A16．【答案】0<k≤2【解析】【解答】解：∵P是第一象限内一次函数y=−2x+4图象上一动点，∴可设点P的坐标为a,−2a+4a>0，且−2a+4>0∴0<a<2，∵反比例函数y=k∴k=a−2a+4∴当a=1时，k的值最大，最大值为2，∵−2<0，∴当a<1时，k随a的增大而增大，当a<1时，k随a的增大而减小，∵当a=0时，k=0，当a=2时，k=0，∴k的取值范围是0<k≤2．故答案为：0<k≤2【分析】根据题意可设可设点P的坐标为a,−2a+4a>0，且−2a+4>0，可得0<a<2，再根据反比例函数的性质可得k=a17．【答案】解：−===−1．​​​​​​【解析】【分析】原式先化简−3=3，π−202418．【答案】解：1===​​​​​​​【解析】【分析】原式先将括号内的进行通分计算，再把除法转换为乘法约分后即可得到结果19．【答案】解：图形如图所示．证明：连接OB，OC，∵PO为⊙A的直径，∴∠PBO=∠PCO=90°．∴PB⊥OB，PC⊥OC．∴PB，PC为⊙O的切线．【解析】【分析】根据要求即可画出图形；再根据直径所对的圆周角是直角即可求出答案.20．【答案】解：（1）400（人），54°，补全条形统计图为：（2）画树状图为：共有20种等可能的结果数，其中选出1名男生和1名女生的结果数为12种，所以恰好选出1名男生和1名女生的概率=1220=3【解析】【解答】（1）本次接受调查的总人数为160÷40%=400（人），

扇形统计图中“骑自行车”所在扇形的圆心角度数为60400×360°=54°，

乘私家车的人数=400﹣60﹣160﹣80=100（人），

（2）先画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出选出1名男生和1名女生的结果数，然后根据概率公式求解.21．【答案】（1）解：如下图，过A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD∵i=tan∴∠C=30°，∵sin∴AD=AC×sin在Rt△ABD∵sin∴AB=AD∴小山南坡AB的长为1202（2）解：设小强登山的速度为x米/分，根据题意，得：24024解得：x=122∴小强登山的速度为122【解析】【分析】（1）过A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中，先求出∠C的度数，然后利用含30°角的直角三角形的性质可得AD=120米，在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出（2）利用（1）的结论，根据路程，速度，时间之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.22．【答案】（1）解：设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需x+30元，由题意得：2500x解得：x=50，经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，则x+30=80．答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元．（2）解：设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球60−a个，由题意得：50×60−a解得：a≤226∵a是整数，所以，该校此次最多可购买22个B品牌篮球．【解析】【分析】（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需x+30元，由题意：购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，列出分式方程，解方程即可求出答案.（2）设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球60−a个，根据购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3500元，列出不等式，解不等式即可求出答案.23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°，AD∥BC，AB∥CD，∴∠FED=∠EBC，∠EFD=∠ABE，∠FDE=∠C=90°，∵四边形DEGF平行四边形，∴平行四边形DEGF为矩形，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC=1∴∠FED=∠EFD，∴DE=DF，∴矩形DEGF为正方形．（2）BG=AC，理由如下：连接DG交BF于点O，连接BD，如图2，由（1）得四边形DEGF为正方形，∴DG⊥EF，GO=OD，∴BF垂直平分DG，∴BG=BD，∵四边形ABCD为矩形，∴AC=BD，∴BG=AC．（3）补全图形如图，过点G作GH⊥AD交AD于点H，连接AG，由题意得四边形DFGE为平行四边形，∵∠ABC=60°，BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE=1∵AD∥BC，AB=4，BC=6，∴∠ABE=∠AEB=30°，∴AB=AE=4，DE=AD−AE=BC−AE=2，∵AD∥BC，DF∥GE，∴∠CBE=∠DEF=30°，∠DEG=∠ABC=60°，∴∠EGH=30°，∵GF∥DE，∴∠DEF=∠GFE=30°，∴∠GED=∠GFD=60°，∴四边形DFGE为是菱形，∴GE=DE=2，易得EH=1，∵∠EGH=30°，∴EH=∴AH=AE+EH=5，∴AG=G此时，A，G两点之间的距离为27【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得∠C=90°，AD∥BC，AB∥CD，则∠FED=∠EBC，∠EFD=∠ABE，∠FDE=∠C=90°，再根据矩形判定定理可得平行四边形DEGF为矩形，由角平分线定义可得∠FED=∠EFD，则DE=DF，再根据正方形判定定理即可求出答案.（2）连接DG交BF于点O，连接BD，由（1）得四边形DEGF为正方形，则DG⊥EF，GO=OD，然后由线段垂直平分线的性质可得BG=BD，再根据矩形性质可得AC=BD，即（3）过点G作GH⊥AD交AD于点H，连接AG，根据角平分线定义可得∠ABE=∠CBE=12∠ABC=30∘，再根据直线平行性质可得∠ABE=∠AEB=30°，由边之间的关系可得AB=AE=4，DE=AD−AE=BC−AE=2，再根据直线平行性质可得∠CBE=∠DEF=30°，∠DEG=∠ABC=60°，则∠EGH=30°，再根据菱形判定定理可得四边形DFGE为是菱形，则GE=DE=224．【答案】（1）证明：∵EC是⊙O的切线，∴∠ECO=∠ACE+∠ACO=90°∵AB是直径，∴∠ACB=∠ACO+∠OCB=90°∴∠OCB=∠ACE；（2）解：如图所示，连接FO并延长交⊙O于点T，连接TC∵AB是直径，∴∠ACB=90°，又∵CF平分∠ACB，∴∠ACF=∠BCF=45°∴AF=∵TF是直径，⊙O的半径为5，∴∠TCF=90°,TF=10，OF=5，∵∠ACF=∠BCF=45°∴∠AOF=2∠ACF=90°∵cos∴CF∴FK⋅FC=OF⋅TF=5×10=50​​​​​​​（3）解：PA如图，连接AF、BF，由（2）可得AF=∴∠ACF=∠BCF=12∠ACB=45°∴∠ECK=∠ACK+∠ACE=45°+∠ACE，∠EKC=∠BCK+∠KBC=45°+∠ABC，∵∠OCB=∠ACE=∠OBC∴∠ECK=∠EKC，∴EC=EK=AE+EK=2AE，∵∠ACE=∠CBE，∠E=∠E，∴△EAC∽△ECB，∴AC∴BC=2AC，∵点G是BC的中点，∴BC=2CG=2GB，∴AC=CG，∠ACF=∠BCF，∴CP⊥AG，AP=PG，设AC=CG=GB=x，则AG=x∴PG又∠PGB=∠BGA，∴△PGB∽△BGA，∴∠GBP=∠GAB，∴∠GBP+∠BCF=∠GAB+∠GAC，即∠BPF=∠BAC=∠BFP，∴BP=BF=AF，∵在Rt△APF中，P∴PA【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得∠ECO=∠ACE+∠ACO=90°，根据半径相