中考数学总复习中考数学专项提升第08讲 不等式(组)及其应用(讲义4考点+3命题点14种题型(含3种解题技巧))(原卷版)

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第二章方程与不等式第08讲不等式（组）及其应用（思维导图+4考点+3命题点14种题型（含3种解题技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透视·目标导航02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一不等式的有关概念及性质考点二一元一次不等式考点三一元一次不等式组考点四不等式（组）及应用04题型精研·考向洞悉命题点一解一元一次不等式（组）►题型01不等式的性质►题型02直接解一元一次不等式（组）►题型03利用数轴表示一元一次不等式（组）的解集►题型04求一元一次不等式（组）的特殊解►题型05以注重过程性学习的形式考查一元一次不等式（组）►题型06与解一元一次不等式（组）有关的新定义问题命题点二不等式（组）的含参问题►题型01已知解集求参数的值或取值范围►题型02已知整数解的情况求参数的值或取值范围►题型03已知不等式有/无解求参数的取值范围►题型04不等式与方程综合求参数的取值范围►题型05与含参不等式（组）有关的新定义问题►题型06以开放性试题的形式考查解一元一次不等式（组）命题点三不等式（组）的实际应用►题型01列不等式（组）►题型02利用不等式（组）解决实际问题

01考情透视·目标导航中考考点考查频率新课标要求不等式的性质★结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质；能用不等式的基本性质对不等式进行变形.解不等式（组）★★★能解一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集;会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集.不等式（组）解集的表示★不等式（组）的含参问题★★不等式（组）的特殊解★不等式（组）的实际应用★★能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式,解决简单的实际问题.【考情分析1】本专题包含不等式的基本性质、一元一次不等式及一元一次不等式组的解法，解题时注意不等式与等式性质的区别，试题多以选择题、填空题的形式出现，难度一般，题目中经常出现非负整数、正整数等名词，注意其含义.对于不等式（组）中含参数问题，难度偏大，但是考察几率并不大，为避免丢分，学生应在复习过程中扎实掌握．【考情分析2】用不等式(组)解决实际问题，多以解答题形式出现，难度一般，其多与二元一次方程组或分式方程等结合，解题的一般步骤类比列方程解应用题的步骤，依次为审、设、列、解、答.需要注意的是找出重要的数量信息，确定不等关系，以及“不超过”“不少于”等词语与不等号间的转化，问题中的“不超过”“不少于”“至少”“最多”等表示不等关系的词语在设未知量的过程中不体现，体现在列不等式上.【备考建议】在备考过程中，建议学生加强对不等式（组）基础概念的理解，掌握一元一次不等式（组）的解法，并注重实际应用和综合题型的练习.同时，也要注意培养自己的思维能力和解题技巧，以便更好地应对各种命题形式.02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一不等式的有关概念及性质1.不等式不等式的定义：用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式.常见的不等式基本语言与符号表示不等式基本语言符号表示不等式基本语言符号表示不等式基本语言符号表示a是正数a＞0a是非正数a≤0a、b同号ab＞0a是负数a＜0a是非负数a≥0a、b异号ab＜02.不等式的解及解集不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集.不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示.不等式表示x＞ax＜ax≥ax≤a数轴表示【易错点】用数轴上表示不等式的解集时，要注意两点：1）确定边界点，若边界点表示的数是不等式的解，用实心圆点，若边界点表示的数不是不等式的解，则用空心圆圈；2）确定方向，小于边界点表示的数时向左画，大于边界点表示的数时向右画.解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式.3.不等式的性质性质1不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变若a＞b，则a±c＞b±c性质2不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或ac性质3不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或ac【补充说明】运用不等式的性质的注意事项：1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算．2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子．3）在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号要改变方向.4）所谓不等号方向改变，就是指原来的不等号方向改变成与其相反的方向，如“＞”改变方向后就变成“＜”.1．（2024·广东广州·中考真题）若a<b，则（

）A．a+3>b+3 B．a−2>b−2 C．−a<−b D．2a<2b2．（2024·湖南长沙·模拟预测）若x>y，且ax>ay，则（

）A．a>0 B．a<0 C．a>1 D．a<13．（2023·山东济南·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）

A．ab>0 B．a+b>0C．a+3<b+3 D．−3a<−3b4．（2024·江苏无锡·中考真题）命题“若a>b，则a−3<b−3”是命题．（填“真”或“假”）5．（23-24七年级下·河南新乡·期中）选择适当的不等号填空：若a<b，则−2a+1−2b+1．考点二一元一次不等式1.一元一次不等式定义：一般地，不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式，像这样的不等式叫一元一次不等式.一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1.一元一次不等式的一般形式：ax+b＜0或ax+b＞0a≠02.一元一次不等式的解集及表示方法定义：一元一次不等式的所有解组成的集合，叫做一元一次不等式的解集.表示方法：1）用不等式表示.2）用数轴表示.3.解一元一次不等式的一般步骤为：步骤具体做法注意事项去分母在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式1）不要漏乘不含分母的项；2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母.3）如果分子是多项式，去分母后要加括号.去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘；2)若括号外是负号时，去掉括号后括号内的各项负号都要改变符号..移项一般把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边1）移项时不要漏项;2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号，而在不等式同一边改变项的位置时不变号.合并同类项把不等式变为ax＜aa≠0的形式1）不要漏项；2）系数的符号处理要得当.

3）字母及指数保持不变.系数化为1将不等式化为的形式1)不等式两边都除以未知数系数;2)当系数为负数，不等号的方向发生改变.【补充说明】在解一元一次不等式时，上述的五个步骤不一定都能用到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据不等式的形式灵活安排求解步骤.1．（2024·江苏宿迁·中考真题）要使x−1有意义，则实数x的取值范围是．2．（2024·福建·中考真题）不等式3x−2<1的解集是．3．（2023·江苏宿迁·中考真题）不等式x−2≤1的最大整数解是．4．（2023·山东日照·中考真题）若关于x的方程xx−1−2=3m2x−2解为正数，则A．m>−23 B．m<43 C．m>−23且5．（2024·四川眉山·中考真题）解不等式：x+13QUOTEQUOTE考点三一元一次不等式组1.一元一次不等式组定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组.2.一元一次不等式组的解集一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集.【补充】1）如果不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解.2）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.确定方法如下表所示：不等式组设a＞b解集x＞ax＜b无解数轴上的表示口诀同大取大同小取小大大小小无处找大小，小大中间找3.解一元一次不等式组的一般步骤第一步：求出不等式组中各不等式的解集；第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来；第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.1．（2024·河南·中考真题）下列不等式中，与−x>1组成的不等式组无解的是（

）A．x>2 B．x<0 C．x<−22．（2024·四川凉山·中考真题）求不等式−3<4x−7≤9的整数解．3．（2023·黑龙江大庆·中考真题）若关于x的不等式组3(x−1)>x−68−2x+2a≥0有三个整数解，则实数a的取值范围为4．（2024·甘肃兰州·中考真题）解不等式组：2x+6>x5．（2023·青海·中考真题）为丰富学生课余生活，提高学生运算能力，数学小组设计了如下的解题接力游戏：(1)解不等式组：2x−1<7①x+1>2②(2)当m取（1）的一个整数解时，解方程x2考点四不等式（组）及应用用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤：审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等；设：设出适当的未知数；列：根据题中的不等关系，列出不等式；解：解所列的不等式；验：考虑求出的解是否具有实际意义;答：实际问题的答案.一元一次不等式（组）的应用题的关键语句：1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本，设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式6x≤50.3）在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上．

1．（2023·黑龙江大庆·中考真题）端午节是我国传统节日，端午节前夕，某商家出售粽子的标价比成本高25%，当粽子降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为（

）A．20% B．25% C．75%2．（2023宜宾市一模）八（1）班同学参加社会实践活动，在王伯伯的指导下，要围一个如图所示的长方形菜园ABCD，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为12m，设边BC的长为xm，边AB的长为ym(x>y)．则y与x之间的函数表达式为（

）A．y=−2x+12(0<x<12) B．y=−C．y=2x−12(0<x<12) D．y=3．（2024·浙江台州·二模）州市域铁路S1线台州站至城南站全长52km，理论票价实行里程分段计价制，理论票价y（单位：元）与行驶里程x（单位：km）之间的函数关系如图（AB，BC为线段），但在定价时，按该分段计价制所得结果常为小数，实际票价为大于或等于该值的最小整数，如当行驶里程为37km时，所得理论票价为8.5元，实际票价则为9元，经查从甲站到乙站的实际票价为10元，则甲乙两站的里程不可能为（

A．44km B．45km C．46km D．47km4．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，根据机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度L的合格尺寸（L的取值范围)．5．（2024·山东滨州·模拟预测）小明带10元钱想买一盒饼干和一袋牛奶，可是售货员阿姨说：本来10元钱够一盒饼干的，但再买一袋牛奶就不够了，今天是儿童节给你的饼干打9折，两样东西拿好，再找你8角钱，饼干的标价可是整数哦，请你帮小明算出牛奶和饼干的标价．04题型精研·考向洞悉命题点一解一元一次不等式（组）►题型01不等式的性质解题方法：性质1若a＞b，则a±c＞b±c性质2若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或ac性质3若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或ac互逆性若a＞b，则b＜a，若a＜b，则b＞a传递性若a＞b，b＞c，则a＞c【易错点】在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号要改变方向.1．（2024·吉林长春·中考真题）不等关系在生活中广泛存在．如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（）A．若a>b，则a+c>b+c B．若a>b，b>c，则a>cC．若a>b，c>0，则ac>bc D．若a>b，c>0，则a2．（2024·江苏苏州·中考真题）若a>b−1，则下列结论一定正确的是（

）A．a+1<b B．a−1<b C．a>b D．a+1>b3．（2024·安徽·中考真题）已知实数a，b满足a−b+1=0，0<a+b+1<1，则下列判断正确的是（

）A．−12<a<0C．−2<2a+4b<1 D．−1<4a+2b<04．（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（

）A．a>b C．a+2>b+2 D．a−1QUOTEQUOTEQUOTE►题型02直接解一元一次不等式（组）1．（2024·河北·中考真题）下列数中，能使不等式5x−1<6成立的x的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2024·广西·中考真题）不等式7x+5<5x+1的解集为．3．（2024·北京·中考真题）解不等式组：34．（2024·四川成都·中考真题）（1）计算：16+2（2）解不等式组：2x+3≥−1►题型03利用数轴表示一元一次不等式（组）的解集不等式组设a＞b解集x＞ax＜b无解数轴上的表示口诀同大取大同小取小大大小小无处找大小，小大中间找1．（2023·浙江台州·中考真题）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示为（

）．A．

B．

C．

D．

2．（2024·江苏连云港·中考真题）解不等式x−123．（2024·西藏·中考真题）解不等式组：3x−2>12x−14．（2023·天津·中考真题）解不等式组2x+1≥x−1请结合题意填空，完成本题的解答．(1)解不等式①，得________________；(2)解不等式②，得________________；(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

(4)原不等式组的解集为________________．QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE►题型04求一元一次不等式（组）的特殊解1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）不等式组x>x−225x−3<9+x2．（2024·江苏盐城·中考真题）求不等式1+x33．（2024·山东淄博·中考真题）解不等式组：124．（2023·山东烟台·中考真题）先化简，再求值：a2−6a+9a−2÷a+2+QUOTE►题型05以注重过程性学习的形式考查一元一次不等式（组）1．（2024·山西·模拟预测）（1）计算：6×3（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务．2x+13解：22x+14x+2−6>x−1，第二步4x−x>−1−2−6，第三步3x>−9，第四步x>−3．第五步任务一：填空：①以上解题过程中，第一步是依据____________进行变形的；②第____________步开始出现错误，这一步错误的原因是____________．任务二：请直接写出该不等式的正确解集．2．（2024·浙江金华·二模）解不等式x−12解：去分母得：3(x−1)−2(2x+1)≥1…①去括号得：3x−3−4x+1≥1…②移项得：3x−4x≥1+3−1…③合并同类项得：−x≥3…④两边都除以−1得：x≥−3…⑤3．（2023·宁夏·中考真题）解不等式组1−下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：解：由①得：4−22x−1>3x−14−4x+2>3x−1

第2步−4x−3x>−1−4−2−7x>−7

第3步x>1

第4步任务一：该同学的解答过程第_______步出现了错误，错误原因是_______，不等式①的正确解集是_______；任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．4．（2024·宁夏银川·模拟预测）下列是某不等式组的部分求解过程，请认真阅读并解答：3(1−x)解：解不等式①，去括号，得3−3x＜移向，得−3x−2x＜合并同类项，得−5x＜系数化为1，得x＜(1)以上解不等式①的过程中，从第步开始出现错误，直接写出正确的计算结果是，这一步的依据是；(2)将不等式①和不等式②的解集在如图的数轴上表示出来；(3)原不等式组的解集为；(4)此不等式组的最小整数解为．QUOTE►题型06与解一元一次不等式（组）有关的新定义问题1．（2021·内蒙古·中考真题）定义新运算“⊗”，规定：a⊗b=a−2b．若关于x的不等式x⊗m>3的解集为x>−1，则m的值是（）A．−1 B．−2 C．1 D．22．（2021·广西·中考真题）定义一种运算：a∗b=a,a≥bb,a<b，则不等式(2x+1)∗(2−x)>3的解集是（A．x>1或x<13 B．−1<x<13 C．x>1或x<−1 3．（2022·浙江·二模）对于实数a，b，定义一种运算“⊗”：a⊗b=a2−ab，那么不等式组1⊗x>0A． B．C． D．4．（2024·四川南充·模拟预测）定义一种新运算：a⊗b=a−ab，例如：2⊗3=2−2×3=−4．根据上述定义，不等式组2⊗x≥−1x⊗2≤1的整数解为命题点二不等式（组）的含参问题►题型01已知解集求参数的值或取值范围1．（2023·湖北鄂州·中考真题）已知不等式组x−a>2x+1<b的解集是−1<x<1，则a+bA．0 B．−1 C．1 D．20232．（2024·四川南充·中考真题）若关于x的不等式组2x−1<5x<m+1的解集为x<3，则m的取值范围是（

A．m>2 B．m≥2 C．m<2 D．m≤23．（2024·浙江·中考真题）关于x的一元一次不等式组x−m>03x−4>2的解为x>2，则m的取值范围为4．（2023·湖北黄石·中考真题）若实数a使关于x的不等式组−2<x−1<3x−a>0的解集为−1<x<4，则实数a的取值范围为5．（2023·山东日照·中考真题）若点Mm+3,m−1在第四象限，则m的取值范围是►题型02已知整数解的情况求参数的值或取值范围1．（2023·四川眉山·中考真题）关于x的不等式组x>m+35x−2<4x+1的整数解仅有4个，则m的取值范围是（

A．−5≤m<−4 B．−5<m≤−4 C．−4≤m<−3 D．−4<m≤−32．（2022·湖南邵阳·中考真题）关于x的不等式组−13x>23A．3 B．4 C．5 D．63．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的不等式组4−2x≥012x−a>0恰有3个整数解，则a4．（2023·山东聊城·中考真题）若不等式组x−12≥x−232x−m≥x的解集为x≥m5．（2023·四川宜宾·中考真题）若关于x的不等式组2x+1>x+a①x2+1≥52x−9QUOTE►题型03已知不等式有/无解求参数的取值范围解题方法：解不等式得到的最终形式有：，，，，对应有解或无解的情况如下表：1．（2022·四川绵阳·中考真题）已知关于x的不等式组2x+3≥x+m2x+53−3<2−x无解，则12．（2023·山东泰安·二模）若关于x的不等式组x+a≥02x+1≥3x+1有解，则a►题型04不等式与方程综合求参数的取值范围1．（2024·湖南长沙·模拟预测）若关于x的不等式组2x−a≤−1x+12−2x3<1有且只有两个偶数解，且关于A．15 B．10 C．5 D．32．（2024·四川南充·模拟预测）若关于x的不等式组3x+5≤2x+6x+1>a无解，且关于y的分式方程5−ay2−y−1=3y−2A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或73．（2024·重庆·中考真题）若关于x的不等式组4x−13<x+12x+1≥−x+a至少有2个整数解，且关于y的分式方程a−14．（2024·河北沧州·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组2x+y=k−1x+2y=2的解满足x−y<0，则k的取值范围为（

A．k<1 B．k>1 C．k<3 D．k>35．（2022·湖北荆州·中考真题）已知方程组x+y=3①x−y=1②的解满足2kx−3y<5►题型05与含参不等式（组）有关的新定义问题1．（2022·四川巴中·中考真题）对于实数a，b定义新运算：a※b=ab2−b，若关于x的方程1A．k>−14 B．k<−14 C．k>−14且2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）对于实数a，b定义运算“※”为a※b=a+3b，例如5※2=5+3×2=11，则关于x的不等式x※m<2有且只有一个正整数解时，m的取值范围是．3（2020·内蒙古通辽·中考真题）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n=m2n−mn−3n（1）求−2※（2）若3※m≥−6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．4．（2024·山东济宁·二模）定义：若一元一次不等式组的解集（不含无解）都在一元一次不等式的解集范围内，则称该一元一次不等式组为该不等式的“子集”．如：不等式组2x−3<9−x5x+5≥2x−4的解集为−3≤x<4，不等式2x−1>−9的解为x>−4∵−3≤x<4在x>−4的范围内，∴一元一次不等式组2x−3<9−x5x+5≥2x−4是一元一次不等式2x−1>−9若关于x的不等式组3x−6>2−xx−1≥4x−10是关于x的不等式x−k≤1的“子集”，则k的取值范围是5．（2022·广东揭阳·模拟预测）已知a，b为常数，对实数x，y定义，我们规定⊗−运算为：x⊗−y=ax−by+1，这里等式右边是通常的代数四则运算，例如：0⊗(1)求常数a，b的值；(2)若关于m的不等式组2m⊗−(5−4m)≤4m⊗►题型06以开放性试题的形式考查解一元一次不等式（组）1．（2023·四川泸州·中考真题）关于x，y的二元一次方程组2x+3y=3+ax+2y=6的解满足x+y>22，写出a的一个整数值2．（2024·山东烟台·中考真题）关于x的不等式m−x2≤1−x有正数解，m3．（2024·山东·中考真题）写出满足不等式组x+2≥12x−1<5的一个整数解4．（2024·山东·模拟预测）若关于x的不等式组2x−13−2≥12m−3x2+5．（2024·贵州毕节·三模）（1）计算：4sin（2）对于以下三个不等式①3x+1<−2、②3x−3≤x+1、③2(x−1)≤3x−5，请从中任选两个不等式，组成一个不等式组，并解出这个不等式组的解集．命题点三不等式（组）的实际应用►题型01列不等式（组）1．（2023·浙江·中考真题）小霞原有存款52元，小明原有存款70元．从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小明每月存12元零花钱，设经过n个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（

）A．52+15n>70+12n B．52+15n<70+12nC．52+12n>70+15n D．52+12n<70+15n2．（2024·辽宁·模拟预测）丹东九九草莓是一种品质优良、花朵大、果实颜色鲜艳且糖度高的草莓品种，广泛栽培于辽宁省的丹东市和周边地区．因其好看、好吃等特点，在市场上备受欢迎．某大型超市从生产基地花费4000元购进200kg丹东九九草莓，运输过程中质量损失3%，超市计划销售这批草莓至少获得20%的利润（不计其他费用），售价至少定为多少？设售价定为xA．2001−3%x≥4000C．2001+3%x≥40003．（2023·浙江·模拟预测）圆圆将某服饰店的促销活动内容告诉芳芳后，假设芳芳购买A商品的定价为x元，并列出关系式为0.8(2x−100)