《机械制图与CAD》课件-第5章

第5章立体及截交线5.1立体的三视图5.2平面立体5.3回转体5.4带有切口的立体（截交线）5.5直线与立体相交（贯穿点） 5.1立体的三视图

5.1.1三视图的形成

将立体向多面投影体系的投影面作正投影得到的图形称为视图。如图5－1(a)所示的是三投影面体系，其中立体在V面的投影称为主视图，在H面的投影称为俯视图，在W面的投影称为左视图。将投影面展开后，省略投影轴，得到图5－1(b)所示的图，就称为立体的三视图。图5－1三棱锥的三视图画立体三视图时，应注意：

（1）立体为回转体或其投影图对称时，用细点画线表示轴线和对称中心线。

（2）可见轮廓线画成粗实线，不可见轮廓线画成细虚线。当细虚线与粗实线重合时，只画粗实线。当细点画线与细虚线重合时，只画细虚线。5.1.2三视图的投影规律

三视图和三面投影图本质是相同的，只是绘制三视图时省去了投影轴，因此画图时必须依然保持三投影间的投影规律。若约定X向的尺寸为“长”，Y向的尺寸为“宽”，Z向的尺寸为“高”，则三视图的投影规律为：

主视图与俯视图“长对正”，主视图与左视图“高平齐”，俯视图与左视图“宽相等”。

各视图中，主视图反映了立体的上下和左右位置；俯视图反映了立体的前后和左右位置；左视图反应了立体的前后和上下位置。

画立体的三视图时，为了尽量反映立体表面的实形和便于作图，常将立体底面、对称平面（或轴线）放置成平行或垂直于某一投影面。 5.2平面立体

5.2.1平面立体的表示法

由于组成平面立体的各表面都是平面，因此表示平面立体投影时，只需画出立体上棱线及其交点的投影。作图时，弄清平面立体上各平面和棱线与投影面的相对位置，明确它们的投影特性，便于简化作图。

常见的平面立体有棱锥和棱柱两种。

【例5－1】图5－1（a）所示的三棱锥底面△ABC∥H面，画出其三视图。

解根据投影规律，绘出三棱锥底面△ABC、顶点S以及棱线SA、SB、SC的三个投影，判别可见性，即可得出三棱锥的三视图，如图5－1(b)所示。

由图5－1(b)可以看出，投影的外形轮廓线总是可见的。而判别投影中外形轮廓线以内直线的可见性，可根据线面相对位置确定。如水平投影外形轮廓线内的三条线sa、sb、sc，可从图5－1(b)的正面投影看，棱锥的三个棱面都高于底面，均是可见的，所以水平投影都画成粗实线。又如SB棱线在棱锥正面投影外形轮廓线SA、SC的前方，是可见的，故正面投影s′b′画成粗实线。

【例5－2】图5－2所示为斜三棱柱的三视图，分析各线段的可见性。

解因投影的外形轮廓线总是可见的，故主视图中主要判别c′c1′

是否可见；左视图中主要判别a″a1″是否可见；在俯视图中，主要判别点a1（aa1、b1a1、c1a1三线的交点)是否可见，如点a1不可见，则aa1、b1a1、c1a1均不可见。从主视图可以看出，点A1为底面上的点，被其他棱面遮挡，故a1不可见，因此，aa1、b1a1、c1a1均画成细虚线。也可利用两交叉直线的重影点来判断每一投影轮廓线以内的直线的可见性。如aa1的可见性，可利用BC和AA1两条棱线上对H面的重影点Ⅰ、Ⅱ来判断，因Ⅰz＞Ⅱz，故aa1不可见。包含AA1的两个棱面□AA1BB1、□AA1CC1的水平投影也为不可见。c′c1′、a″a1″的可见性读者自行分析。图5－2斜三棱柱的三视图综上两例可以看出，平面立体的视图是通过棱线的投影来表示的，故平面立体表面在投影时的可见性是由其棱线投影的可见性来确定的。

棱线投影可见性的判别原则可归纳如下：

(1)各投影中的外形轮廓线总是可见的，并且是可见棱面与不可见棱面的分界线。

(2)各投影中在外形轮廓线范围内的直线的可见性，可按上下、左右、前后是否遮挡或交叉直线重影点的可见性进行判别（图5－2）。

(3)各投影的外形轮廓线内，如有多条直线交于一点，若交点可见，则各直线均可见，否则各直线均不可见（图5－2中的水平投影）。

(4)各投影中，若立体上某平面可见，则该平面上点、线的投影均可见；若立体上某条棱线可见，则该棱线上点的投影亦可见。若某一棱线的投影不可见，则以此棱线为交线的两棱面的投影也不可见。5.2.2平面立体表面上的点和直线

平面立体各表面都是平面，因此在平面立体表面上取点和线，其实质就是在平面内取点和线。关键是先根据已知条件，分析清楚点或线属于平面立体表面的哪个平面上。同时注意这些点或线的投影必在该平面的同面投影内，且它们的可见性与该平面的可见性相同。

【例5－3】如图5－3所示，已知三棱锥表面上K点的正面投影和MN线段的水平投影mn，求作它们的其余投影。

解（1）由点K的正面投影k′（可见）可知，点K在三棱锥的SBC表面上，通过K点在SBC上作辅助线SⅠ,即可作出点K的另外两个投影。在侧面投影上，因SBC表面不可见，故k″也不可见，水平投影k可见。

（2）由直线MN的水平投影mn可知，其中，M点在三棱锥的棱SA上，N点在三棱锥表面SAB上。分别作出M、N点的正面投影和水平投影，用直线连接其同面投影即可。因表面SAB的三面投影均可见，所以MN的三面投影也都可见。图5－3平面立体表面上取点、直线

5.3回转体

5.3.1回转体的形成

回转体是常见的曲面立体。将母线（直线或曲线）绕轴线旋转，即形成回转面。由回转面或者回转面和平面围成的立体称为回转体。工程上用得最多的回转体是圆柱体、圆锥体、球体和圆环体（见图5－4）。图5－4常见回转面和回转体5.3.2回转体的三视图及其表面上的点和线

1．圆柱体

1)圆柱体的三视图

圆柱体由圆柱面和上、下底平面围成。图5－5(a)所示为轴线垂直于H面的圆柱体，图5－5(b)为该圆柱体的三视图。图5－5圆柱体的三视图

2)可见性

以图5－5所示为例，主视图的可见性，以正面投影转向轮廓素线为分界线，转向轮廓素线之前的半个圆柱面为可见，后半个圆柱面为不可见；左视图的可见性，以侧面投影转向轮廓素线为分界线，转向轮廓素线之左的半个圆柱面为可见，之右的半个圆柱面为不可见；对于俯视图，只有顶面可见。

画圆柱体的视图时，应先画轴线及中心线，接着画反映圆实形的投影，然后再画其他两个投影。

3)圆柱体表面上的点和线

在圆柱体表面上求作点的投影，就是根据已知投影，分析该点在圆柱体表面所处的位置，并利用圆柱面对某一投影面的积聚性和点的投影规律，求得点的其余投影。所求点的可见性，取决于该点所在圆柱体表面的可见性。

在圆柱体表面上求作线的投影，应首先分析线的空间形状，然后求作组成线的若干点的投影，最后判别可见性，连接得到线的投影。

【例5－4】已知圆柱体表面上的点E和线段EH的正面投影e′、e′h′，求它们的其余两投影（图5－6）。

解因圆柱的轴线垂直于H面，其俯视图具有积聚性。

图5－6(a)中，根据点E的正面投影e′可见，则由e′直接在前半圆周上作出水平投影e，根据点的投影规律可求出点E的侧面投影e″。因点E在右半圆柱面上，故e″不可见。

图5－6（b）中，根据圆柱面的形成原理，EH线段既不是直线也不是圆弧（是一段椭圆弧）。作EH的投影时，须作出它上面的一系列点的投影，然后用曲线光滑连接各点的同面投影即可。图中EH的水平投影与圆柱面的水平投影重合，侧面投影用光滑的曲线连接，其中线段跨过圆柱面转向轮廓素线的点（如M）的投影必须作出，它是线段侧面投影可见与不可见的分界点。图5－6圆柱体表面上取点、线

2．圆锥体

1)圆锥体的三视图

圆锥体由圆锥面和底面围成，图5－7(a)所示圆锥体的轴线与H面垂直。图5－7(b)为该圆锥体的三视图。

由于圆锥体轴线垂直于H面，其俯视图为一圆，它既是底面（实形）的投影，也是圆锥面的投影(没有积聚性)；主视图为一等腰三角形，其底边是底面的积聚性投影，两腰s′a′、s′b′是最左与最右两条素线SA、SB的正面投影，也是主视图的转向轮廓素线；左视图也为等腰三角形，底边是底面的积聚性投影，两腰s″c″、s″d″是最前与最后两条素线SC、SD的侧面投影，也是左视图的转向轮廓素线。同样注意用细点画线画出轴线和中心线的投影。图5－7圆锥体的三视图

2)可见性

在图5－7(b)所示的俯视图中，圆锥面的投影可见，底面的投影不可见；主视图的可见性，以正面投影转向轮廓素线分界，转向轮廓素线之前的半个圆锥面为可见，后半个圆锥面为不可见；左视图的可见性，以侧面投影转向轮廓素线分界，转向轮廓素线之左的半个圆锥面为可见，右半个圆锥面不可见。

3)圆锥体表面上的点与线

因为圆锥面的几个投影都无积聚性，所以在圆锥面上取点时，需要借助圆锥面上的辅助线，即圆锥面上素线（素线法）或纬圆（纬圆法）求得点的其余投影。

【例5－5】已知圆锥体表面上点F的水平投影f和线段FH的正面投影f′h′，求它们的其余两投影（图5－8）。

解根据已知条件，点F位于主视图转向轮廓素线之前的左半部。利用素线法或纬圆法均可求解。作图步骤如下：

（1）素线法：作图方法见图5－8(a)，连接sf，与底面圆周交于e，SE即为过点F的素线；求出s′e′及s″e″，根据从属性，即可在其上定出f′和f″。图5－8圆锥体表面上的点与线（2）纬圆法：作图方法见图5－8(a)，以s为中心，sf为半径作圆，此即过点F的纬圆的水平投影（水平圆），此圆与圆锥面的正面投影转向轮廓素线交于点A，由点A的水平投影a定出其正面投影a′，即可作出此纬圆的正面及侧面投影，并可在其上定出f′及f″。

需注意的是，圆锥面上的线除了素线和平行于投影面的圆弧之外，所有其他的线都必须作出线段上一系列点的投影，如图5－8（b）所示，图中点M必须作出，因为它是左视图的转向轮廓素线上的点，是曲线段可见与不可见的分界点。除了图中标出的三个特殊点外，还应作出若干一般点如Ⅰ的投影，以便光滑连接得到曲线的投影。

3．圆球体

1)圆球体的三视图

圆球体由球面围成，如图5－9(a)所示。圆球的三个视图都是圆，其直径都等于球的直径，如图5－9(b)所示。需要注意是：这三个圆分别是正面投影、水平投影、侧面投影转向轮廓素线的投影。球的正面投影转向轮廓素线为平行于V面的球面上的最大圆A的正面投影a′，其他两投影与相应圆的中心线重合。球的水平投影、侧面投影转向轮廓素线请读者自行分析，可参见图5－9(b)。图5－9圆球体的三视图

2)可见性

球体主视图的可见性，以正面投影转向轮廓素线分界，转向轮廓素线之前的半个圆球面为可见，后半个圆球面为不可见；俯视图的可见性，以水平投影转向轮廓素线分界，转向轮廓素线之上的半个圆球面为可见，之下的半个圆球面为不可见；左视图的可见性，以侧面投影转向轮廓素线分界，转向轮廓素线之左的半个圆球面为可见，之右的半个圆球面为不可见。

3)球体表面上的点与线

欲求球体表面上的点，重要的是根据已知投影，分析该点在圆球体表面上的所处位置，再过该点在球面上作辅助纬圆(正平圆、水平圆或侧平圆)，以求得点的其余投影。

【例5－6】已知圆球体表面上点E的水平投影e和线段EH的水平投影eh，求它们的其余两投影（图5－10)。

解（1）根据点E的水平投影可见，知点E位于球体的上半部，其求解需作辅助的水平圆。过E在球面上作辅助的水平纬圆，其水平投影是以oe为半径的圆。该圆与正面（或者侧面）投影转向轮廓素线的交点确定了该圆正面（或者侧面）投影的位置，其投影均积聚为直线，根据从属性，即可作出e′及e″（见图5－10（a））。同样，也可以通过点E在球面上作辅助的正平纬圆或辅助的侧平纬圆求解。图5－10球体表面上取点、线（2）在球面上取线时，除了所取线段为平行圆弧外，其他的曲线段要作出线段上的一系列点的投影，然后用曲线依次连接各点的同面投影，并判别可见性。如图5－10(b)所示。图中N点和M点的投影必须作出，因为它们分别是线段EH的正面投影和侧面投影可见与不可见的分界点。

4．圆环体

1)圆环体的三视图

圆环体由圆环面围成，如图5－11(a)所示。图5－11(b)所示为轴线垂直于H面的圆环体的三视图。

俯视图中的粗实线圆是圆环面上最大纬圆和最小纬圆的水平投影，也是圆环体水平投影转向轮廓素线。用细点画线表示的圆是母线圆圆心轨迹的投影。

主视图中左边的小圆反映母线圆ABCD的实形。粗实线的半圆弧d′a′c′是外环面正面投影转向轮廓素线；细虚线的半圆弧c′b′d′为内环面正面投影转向轮廓素线。两个小圆的上、下两条公切线是内、外环面分界处的圆的正面投影。圆环体的左视图读者可自行分析。图5－11圆环体的三视图

2)可见性

如图5－11(b)所示，俯视图的可见性，以水平投影转向轮廓素线分界，转向轮廓素线之上的半个环面为可见，之下的半个环面为不可见；主视图的可见性，以外环面正面投影转向轮廓素线分界，转向轮廓素线之前的半个外环面为可见，之后的半个外环面与内环面不可见。图5－12圆环体表面上取点

3)圆环体表面上的点与线

求作圆环体表面上的点，通过该点在圆环体表面上作辅助线(与投影面平行的圆)来完成。圆环体表面上求作线的投影与圆柱体类似。

【例5－7】已知圆环体表面上点A、B的正面投影a′、b′，求其水平投影（图5－12）。

解根据已知条件，因a′可见，点A应在前半外环面上，a点有唯一解；b′不可见，点B可能在内环面上，也可能在后半环面上，故b有三解。可利用过点A或点B作水平圆求得a、b。因点A和点B均在水平投影转向轮廓素线之上的半个环面，故其水平投影都可见。

5.4带有切口的立体（截交线）

在机器零件中，有很多零件是由平面截切基本立体而形成的。通常将截切立体的平面称为截切平面，截切平面与立体的交线称为截交线，截交线所围成的平面图形称为截断面，立体被截切平面切出的口子称为切口。画图时，为清楚地表达零件的形状，必须正确画出截交线即切口的投影。

立体分为平面立体与曲面立体，而截切平面与立体又有各种不同的相对位置，所以截交线的形状也各种各样，但任何截交线都具有以下两个基本特性：（1）由于立体都有一定的范围，所以截交线一定是封闭的平面图形；

（2）既然截交线是立体表面与截切平面的交线，那么截交线上的点就是立体表面与截切平面的共有点。5.4.1平面立体的截交线

截切平面截切平面立体，截交线是封闭的平面多边形。截交线的求解有两种方法：一是求出相交的各棱线与截切平面的交点，并判别投影的可见性，然后依次相连；另一种是求出平面立体上参与相交的各棱面与截切平面的交线。具体作图时，可根据已知条件，以作图简便为原则，任选其中一种方法或两种方法结合使用。

【例5－8】用正垂面P截去三棱锥的上部，求截交线的投影和截断面的实形（图5－13(a))。图5－13三棱锥与正垂面相交

解由图5－13(a)可知，截切平面P与三棱锥的三个棱面都相交，截交线为三角形，用求棱线与截切平面交点的方法求解。由于截切平面P是正垂面，故截交线的正面投影重合在正垂面的正面迹线上，迹线PV与s′a′、s′b′、s′c′的交点即为截交线各顶点的正面投影1′、2′、3′。根据点在直线上的投影规律，即可作出截交线各顶点的水平投影1、2、3及侧面投影。用直线依次连接各点的同面投影即得所求截交线的投影，最后判别可见性。

截断面的实形，可用投影变换的方法求得。此题中由于截断面为正垂面，其实形用一次换面法即可求解（可参见图5－13（b））。

【例5－9】已知带切口四棱锥台的正面投影，完成其水平投影及侧面投影（图5－14(a))。[JP]

图5－14(a)所示的切口，可看做是由一个水平面和两个侧平面截切后形成，故分别求出各截切平面的截交线即可。

投影作图如图5－14（b）所示。若水平面与四棱锥台完全截交，则截交线为矩形，截交线顶点即为水平面与各棱线的交点。因水平面仅截棱台的中间部分，故截交线仅有中间部分线段。水平截切平面的侧面投影不可见，两个侧平面截切四棱锥台的截交线的水平投影均积聚成一直线段，即图中ab和a1b1。连接有关线段，即完成切口的投影。图5－14四棱锥台的切口解

【例5－10】

完成带切口正四棱锥的水平投影及侧面投影（图5－15(a))。

解从给出的正面投影可知，切口是由水平面R和正垂面P共同切割四棱锥而成。四棱锥与平面R的截交线为各边与底边平行的正方形；与平面P的截交线为五边形，其中ⅢⅦ、ⅣⅧ两边与棱线SC平行。SC棱不参与相交。

投影作图如图5－15(b)所示。由1′直接求得水平投影1，过1作底边的平行线即可求得Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ的水平投影，进而求得其侧面投影。由Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ三点的正面投影6′、7′、8′可知，它们分别属于SA、SB、SD棱线上的点，根据点、线的从属关系，可直接求出它们的侧面投影，再求得其水平投影。连接有关线段，即完成切口的投影。5.4.2回转体的截交线

平面与回转体相交，截交线通常是一条封闭的平面曲线，特殊情况也可能是由直线和曲线或完全由直线所围成的平面图形。截交线的形状取决于回转体表面的性质和截切平面与回转体的相对位置关系。

根据截交线的性质，截交线上的点是截切平面与立体表面的共有点，所以求作回转体的截交线可归结为求截切平面与回转体表面共有点的问题。其共有点可以通过回转体表面上取素线或纬圆，然后作出素线或纬圆与截切平面的交点来求得。求曲面立体截交线的一般步骤是：

(1)根据截切平面和曲面立体的特点及其相对位置关系，分析截交线的形状和投影特性；

(2)依次作出截交线上的特殊点（最高、最低点，最左、最右点，最前、最后点，可见性分界点）、一般点的各个投影；

(3)判别截交线在各投影中的可见性，依次连接各点；

(4)补画曲面立体被截切后保留的其他轮廓线投影。

1.平面与圆柱体相交

根据截切平面与圆柱体相对位置的不同，平面截切圆柱所得截交线有椭圆、圆或矩形三种情况，如表5－1所示。表5－1圆柱体的截交线【例5－11】求正垂面截切圆柱体的截交线（图5－16）。图5－16正垂面截切圆柱体

解因圆柱轴线垂直于H面，其俯视图有积聚性。截切平面P是正垂面，与圆柱轴线斜交，截交线应为椭圆。其正面投影与P面的具有积聚性的正面投影重合，是一段直线；其水平投影与圆柱面的具有积聚性的投影重合，是一个圆。这表明截交线的两个投影已知，故用正面、水平投影可求其侧面投影。由于交线可看做是一系列点的集合，故作出其上一系列点的投影，然后依次用曲线光滑相连即可得出截交线的投影。作图步骤如下：

（1）作截交线上的特殊点。如图5－16上的A点（最低点、最左点、椭圆长轴端点）、B点（最高点、最右点、椭圆长轴端点）、C点（最前点、椭圆短轴端点）、D点（最后点、椭圆短轴端点）。

（2）作截交线上的一般点。如图中的E、F点，按照立体表面上取点可求得其他投影。

（3）判定可见性，用曲线光滑连接各点的侧面投影。

需要指出的是，当截切平面与圆柱轴线夹角为45°时，a″b″=c″d″，侧面投影为圆。

【例5－12】求作图5－17(a)所示套筒上部切口的投影。

图5－17求套筒上部切口的投影解由表5－1可知，圆柱面被平行于轴线和垂直于轴线的平面截切后，截交线分别为直线和圆弧。由于套筒的内外圆柱面均被截切，因而切口部分内外圆柱面均有直线和圆弧的截交线产生。

图5－17（b）所示为实心圆柱体切口的投影：在侧面投影上，圆柱面最前和最后轮廓素线在切口内的部分被切掉，截交线（直线）向轴线方向“退缩”。

图5－17(c)所示为圆柱筒切口的投影：其内圆柱面的正面投影和侧面投影的转向轮廓素线画成细虚线，在侧面投影上，侧平面与水平面的交线在圆筒厚度（实体）方向上应画出一段细虚线。图5－17求套筒上部切口的投影

2.平面与圆锥体相交

平面与圆锥面的交线有五种情况：圆、椭圆、抛物线、双曲线及相交两直线，如表5－2所示。表5-2

圆锥体的截交线

【例5－13】求正垂面截切圆锥后的水平投影和侧面投影（图5－18(a))。图5－18正垂面截切圆锥体

(1)求特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ的投影。其中点Ⅰ、Ⅱ为椭圆长轴的端点，且处在圆锥面的正面轮廓素线上，Ⅲ、Ⅳ点为椭圆短轴的端点，其正面投影重影成一点，且平分1′2′，Ⅴ、Ⅵ点分别在圆锥面的侧面轮廓素线上。Ⅲ、Ⅳ点的水平投影与侧面投影可用辅助的纬圆法或素线法作出，图中采用纬圆法。

（2）作一般点。如图Ⅶ、Ⅷ点所示，用纬圆法求出。

(3)判别可见性，光滑连接各点的同面投影。截交线的水平投影及侧面投影均可见（图5－18(b)）。

【例5－14】求图5－19（a)所示的圆锥体切口的投影。

由图5－19（b）所示的正面投影可知，圆锥体切口由左、右两侧平面和一个水平面截切而成。由表5－2可知，侧平面截切圆锥面的截交线为双曲线，水平面截切圆锥面的截交线为圆。侧平面与圆锥面的截交线投影作图如图5－19（c）所示：截交线的侧面投影反映实形（双曲线），水平投影积聚为直线。其中A、B、C是截交线上的特殊点，其投影必须作出，D、E是截交线上的一般点，图中用纬圆法作出了它们的投影。

在图5－19（b）中，水平截切平面与圆锥面的截交线的水平投影为前、后两段圆弧，其中Ⅱ、Ⅲ两点为两类截交线的交点，称为截交线的结合点。侧面投影线段2″3″不可见。图5－19圆锥切口的投影解

3.平面与球体相交

平面与球体相交，无论平面位置如何，其截交线总是圆。但由于截切平面对投影面的位置不同，所得截交线(圆)的投影却不同。当截切平面垂直某一投影面时，圆在此投影面上的投影为一直线；当截切平面平行某一投影面时，圆在此投影面上的投影为反映实形的圆；当截切平面倾斜某一投影面时，圆在此投影面上的投影为椭圆，如表5－3所示。表5－3球体的截交线

【例5－15】求作正垂面与球体的截交线（图5－20）。

解由于截切平面为正垂面，所以截交线(圆)的正面投影重影为一直线段，水平投影和侧面投影均为椭圆。作图步骤如下：

(1)求特殊点。

①求椭圆长、短轴的端点。点Ⅰ、Ⅱ的水平投影1、2和侧面投影1″、2″分别为水平投影和侧面投影椭圆短轴的端点；过球心的正面投影o′向1′2′作垂线，垂足为1′2′的中点，此点即为椭圆长轴两端点的正面投影3′、4′，根据球体表面取点的方法即可求出其水平投影3、4和侧面投影3″、4″。图5－20正垂面截切球体②求转向轮廓素线上的点。球面上对侧立投影面的转向轮廓素线与截切平面的交点Ⅴ、Ⅵ，对水平面的转向轮廓素线与截切平面的交点Ⅶ、Ⅷ，这些点均可利用各转向轮廓素线的投影直接求得。

(2)用辅助平面法作出中间点。（图中未画出）。

(3)光滑连接各点的同面投影即为所求。

【例5－16】已知带切口半球的正面投影，完成其水平和侧面投影（图5－21）。图5－21带切口的半球

解切口是由一个水平面和两个侧平面切割形成的，故水平面与球面的截交线（圆弧）的水平投影反映实形，其侧面投影积聚为一条直线；侧平面与球面的截交线（圆弧）的侧面投影反映实形，水平投影均积聚为直线；水平面与两个侧平面的交线是两条正垂线。投影作图如图5－21所示。

【例5－17】求作正平面与回转体的截交线（图5－22）。

图5－22正平面截切回转体解由于截切平面为正平面，所以截交线的水平投影和侧面投影分别积聚成直线；正面投影为平面曲线，且反映实形。作图步骤如下：

(1)求特殊点。辅助圆中与正平面相切的圆为最小圆，切点为最高点Ⅰ，最大辅助圆即底圆，与正平面相交于Ⅱ、Ⅲ，为最低点，也为最左、最右两点。

（2）求一般点。在最高点和最低点之间作辅助水平圆，求出点Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ和Ⅶ。

（3）依次光滑连接这些点的正面投影，即得截交线的正面投影。图5－22正平面截切回转体解

4.平面与组合回转体相交

以上所讨论的截交线，都是单一形体被一个或几个截切平面截切而得到的。但在实际零件上，有时会遇到多个形体组成的组合回转体被一个或几个截切平面截切的情况，这时截交线的求法与上述方法基本相同，其不同处是需先对组合回转体进行形体分析。分析该组合回转体是由哪些基本形体组成，并确定它们的相对位置和范围，再分别求出截切平面与各形体的截交线。

【例5－18】求机床顶尖的截交线投影（图5－23(a)）。

由图5－23(a)可看出，机床顶尖由圆锥与圆柱组合而成，且被水平面P和侧平面Q所截切。水平面P同时截切圆锥和圆柱，其中截切圆锥的截交线为双曲线，截切圆柱的截交线为两条直线。Ⅱ、Ⅲ点是双曲线和直线两类截交线的结合点，也是圆锥与圆柱交线圆上的点。侧平面截切圆柱的截交线为圆（一段圆弧）。图5－23(b)示出了其截交线的投影及作图过程。图5－23机床顶尖的截交线解

【例5－19】求连杆头部的截交线投影（图5－24）。

解如图5－24所示，连杆的头部是由球面、环面及圆柱面组成的。球面和环面的分界线为经过切点A的侧平圆，环面与圆柱面的分界线为经过切点B的侧平面。由于截切平面为正平圆，截交线的水平投影和侧面投影均重影为直线段，而本例只需求作截交线的正面投影。作图步骤如下：

（1）截切平面与球的截交线为半径等于R的圆，其正面投影反映实形，且画到分界线的点1′处为止。截切平面与环面的截交线为一平面曲线，通过水平投影可直接得到它的最右点Ⅱ(2，2′，2″)；（2）用辅助侧平面在点Ⅰ和Ⅱ之间求出若干一般点。图中用辅助平面P求出点Ⅲ(3，3′，3″)；

（3）依次光滑连接这些点的正面投影。图5－24连杆头部的截交线 5.5直线与立体相交（贯穿点）

直线与立体表面的交点称为贯穿点，如图5－25所示。一般情况下，贯穿点是成对存在的，一个为穿入点，一个为穿出点。贯穿点既在立体表面上又在直线上，是立体表面与直线的共有点。因此，求直线对立体贯穿点的方法同求直线与平面交点的方法类似，都是求线、面的共有点问题。

需要注意的是，求出贯穿点后，还应根据直线与立体的相对位置关系，判别直线的可见性。直线贯穿于立体内部的部分不画出。图5－25直线与立体相交5.5.1利用积聚性求贯穿点

【例5－20】求直线AB与三棱柱的贯穿点（图5－26）。

解三棱柱棱面的水平投影具有积聚性，上下底面的正面投影具有积聚性。利用积聚性投影可直接求出贯穿点。作图步骤如下：

(1)求贯穿点。从水平投影可知直线AB与三棱柱的DE棱面和DF棱面的积聚投影分别相交于m和n，它们就是直线AB与三棱柱的贯穿点M和N的水平投影，利用从属关系即可求得贯穿点的正面投影m′和n′。

(2)判别可见性。贯穿点是否可见，要看该点所在的表面是否可见。因为点M所在的棱面的正面投影可见，故m′可见；点N所在的棱面的正面投影不可见，所以n′不可见。

(3)补画投影图。将直线的投影分别画至贯穿点的投影，AB的正面投影被遮挡的部分用细虚线画至n′(图5－26）。图5－26直线与三棱柱相交图5－27直线与圆柱相交

【例5－21】求直线AB与圆柱的贯穿点（图5－27）。

解因圆柱轴线垂直于水平面，故其水平投影有积聚性。圆柱的上、下底圆为水平面，其正面投影具有积聚性。作图步骤如下：

(1)求贯穿点。AB直线的水平投影ab与圆柱面水平投影(积聚为圆)之交点k即为贯穿点K的水平投影，利用从属关系可直接在a′b′上得出点K的正面投影k′。AB直线的正面投影a′b′与圆柱上顶面的正面投影(积聚为直线)之交点m′即为另一贯穿点M的正面投影，并由其可确定出水平投影m。

(2)判别可见性。因为点K位于后半个圆柱面上，故正面投影k′不可见。

(3)补画投影图。将AB直线的正面投影a′b′与圆柱正面投影重合部分画成细虚线至k′，其余均画成粗实线。两贯穿点之间不画