2024-2025学年高一数学人教B版必修第四册教学课件 第十一章-11.4.1直线与平面垂直

11.4.1直线与平面垂直第十一章1.掌握线线垂直的定义，了解常见线线垂直的形式.2.掌握线面垂直的定义、判定定理和性质定理，会证明线面垂直，能利用线面垂直得到线线垂直关系.3.掌握面面垂直的定义、判定定理和性质定理，会证明面面垂直，能利用面面垂直得到线面垂直关系.重点：空间线、面垂直的定义、判定和性质.难点：空间线线、线面和面面垂直的判定和性质定理的推导以及应用.学习目标1.异面直线所成的角一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b平行或重合的直线a′，b′，则a′与b′所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小.一、直线与直线所成的角新知学习如图中，AB与B1C1所成角的大小，等于A1B1与B1C1所成角的大小，即为

；AB与B1D1所成角的大小，等于A1B1与B1D1所成角的大小，即为

.90°45°2.空间两直线垂直规定空间中两条平行直线所成角的大小为

.两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角.空间中两条直线l，m所成角的大小为90°时，称l与m垂直，记作

.若a∥b且b⊥c，则一定有

.0°l⊥ma⊥c

二、直线与平面垂直的判定定理两条相交如果两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.三、直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质定理（简称为线面垂直的性质定理）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.过空间中一点，有且只有一条直线与已知平面垂直.如果C是平面α内一点，且AC与α不垂直，则称AC是平面α的

（相应地，直线AC称为平面α的斜线），称C为斜足.直线BC称为直线AC在平面α内的射影.特别地，∠ACB称为直线AC与平面α所成的角.AC＝AD的充要条件是BC＝BD或∠ACB＝∠ADB.斜线段例1一异面直线所成的角在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小.【解】（方法1）如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，则OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角.∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1，∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.

解题归纳求异面直线所成角的步骤（1）作：根据定义，用平移法作出异面直线所成的角.（2）证：证明作出的角就是要求的角.（3）计算：寻找或作出含有此角的三角形，求解计算.（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.

例2二直线与平面垂直<1>利用定义判断直线与平面是否垂直下列命题中，正确的序号是

.①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③若直线l不垂直于平面α，则平面α内没有与l垂直的直线；④若直线l不垂直于平面α，则平面α内也可以有无数条直线与l垂直.【解析】当直线l与平面α内的无数条平行直线垂直时，l与平面α不一定垂直，所以①不正确；当l与平面α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确；当l与平面α不垂直时，l可能与平面α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确.【答案】④如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ（0≤λ≤1），则点G到平面D1EF的距离为

.<2>求点到平面的距离例3

如图，在三棱锥S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.（1）求证：SD⊥平面ABC；（2）若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.<3>利用线面垂直的判定定理证明线面垂直例4【解题提示】（1）要证明SD⊥平面ABC，只要证明SD与平面ABC内的两条相交直线AC和BD垂直即可；（2）先证BD⊥AC，再结合（1）中已证结论SD⊥BD，即可证得BD⊥平面SAC.【证明】（1）因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.因为△ABC是直角三角形，所以AD＝BD.又SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.（2）因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.又因为SD⊥BD，SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.变式训练如图，在三棱锥A-BCD中，CA＝CB，DA＝DB.作BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE于H.求证：AH⊥平面BCD.证明：如图，连接AE，取AB的中点F，连接CF，DF.∵CA＝CB，DA＝DB，∴CF⊥AB，DF⊥AB.∵CF∩DF＝F，∴AB⊥平面CDF.∵CD平面CDF，∴AB⊥CD.又CD⊥BE，AB∩BE＝B，∴CD⊥平面ABE.∵AH平面ABE，∴CD⊥AH.∵AH⊥BE，BE∩CD＝E，∴AH⊥平面BCD.<4>利用线面垂直的定义、性质证明线线垂直例5如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O点为底面ABCD的中心，B1H⊥D1O，H为垂足，求证：B1H⊥AD1.【证明】如图，连接CD1，AC，BD，B1D1，易知BD，AC交于点O.∵AC⊥BD，AC⊥BB1，BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BDD1B1.又B1H平面BDD1B1，∴AC⊥B1H.又∵B1H⊥D1O，D1O∩AC＝O，∴B1H⊥平面AD1C.又∵AD1平面AD1C，∴B1H⊥AD1.解题归纳判断或证明线线垂直的方法（1）两直线垂直的定义，判断两直线所成的角为90°.（2）线面垂直的概念，a⊥α，bαa⊥b.（3）平面几何性质（如菱形的对角线互相垂直，等腰三角形底边上的中线垂直于底边等）.<5>利用线面垂直的性质定理结合判定定理证明线线平行、线面平行例6如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交.求证：EF∥BD1.【解题提示】条件中垂直关系较多，连接AB1，B1C，可证明EF，BD1都与平面AB1C垂直.【证明】如图，连接AB1，B1C，B1D1，BD，∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴DD1⊥AC.

又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理，BD1⊥B1C.又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，B1C∩AC＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.三求直线与平面所成的角例7在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，F为C1D1的中点.求：（1）直线A1B与平面A1B1CD所成的角；（2）CE与平面ABCD所成角的正切值；（3）CF与平面A1BCD1所成角的正弦值；（4）CF与平面A1B1CD所成角的正弦值.

解题归纳求直线与平面所成的角的一般步骤（1）作：在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，此时确定垂足的位置是关键.确定斜线上一点在平面上的射影的位置，有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面内的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线所在直线上；③利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置.（2）证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，主要依据是直线与平面所成的角的定义.（3）求：一般来说需借助解三角形的知识求角.变式训练在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值.

1.变式训练如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角.2.

一、直线与直线所成的角1.异面直线所成的角一般地，如果a，b是空间中的