2024-2025学年高一数学人教B版必修第四册教学课件 第十一章-11.1.3 多面体与棱柱 11.1.4棱锥与棱台

11.1.311.1.4多面体与棱柱棱锥与棱台第十一章1.认识多面体、棱柱、棱锥、棱台的结构特征.2.能运用结构特征描述现实生活中简单物体的结构.3.了解多面体表面积的概念，知道棱柱、棱锥、棱台表面积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.重点：概括多面体、棱柱、棱锥、棱台的结构特征.难点：特殊棱柱、棱锥、棱台的结构特征的辨析及有关计算问题.学习目标一般地，由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体.围成多面体的各个多边形称为多面体的

，相邻两个面的公共边称为多面体的

，棱与棱的公共点称为多面体的

.一、多面体一个多面体中，连接同一面上两个顶点的线段，如果不是多面体的棱，就称其为多面体的

；连接不在同一面上两个顶点的线段称为多面体的

.面棱顶点面对角线体对角线新知学习一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包含它的内部），称为这个几何体的一个截面.多面体所有面的面积之和称为多面体的

（或全面积）.表面积有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体称为棱柱.棱柱的两个互相平行的面称为棱柱的

（底面水平放置时，分别称为上底面、下底面），其他各面称为棱柱的

，两个侧面的公共边称为棱柱的

.二、棱柱底面侧面侧棱过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段（或它的长度）称为棱柱的

.棱柱所有侧面的面积之和称为棱柱的

.如果棱柱的侧棱垂直于底面，则可知棱柱所有的侧面都是长方形，这样的棱柱称为直棱柱（不是直棱柱的棱柱称为斜棱柱）.特别地，底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱.棱柱可以按底面的形状分类，例如底面是三角形、四边形、五边形的棱柱，可分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱.高侧面积底面是平行四边形的棱柱也称为

.侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体.底面是矩形的直平行六面体就是以前我们学过的长方体，而棱长都相等的长方体就是正方体.在平行六面体中，相对的面都是

的.棱柱可以用底面上的顶点来表示.图（1）所示的棱柱可表示为棱柱ABC-A′B′C′，图（2）所示的棱柱可表示为棱柱AC1.互相平行（1）（2）平行六面体如果一个多面体有一个面是多边形，且其余各面都是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥.棱锥中，是多边形的那个面称为棱锥的

，有公共顶点的各三角形称为棱锥的

，各侧面的公共顶点称为棱锥的

，相邻两侧面的公共边称为棱锥的

.棱锥可以按底面的形状分类，例如底面是三角形、四边形、五边形的棱锥，可分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥.三、棱锥底面侧面顶点侧棱棱锥可以用顶点与底面各顶点的字母来表示.如图所示的是一个四棱锥，这个四棱锥可以记作棱锥P-ABCD或棱锥P-AC.过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段（或它的长度）称为棱锥的高.棱锥所有侧面的面积之和称为棱锥的侧面积.如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为

.正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高也都相等，称为棱锥的

.正棱锥斜高一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台.原棱锥的底面与截面分别称为棱台的

与

，其余各面称为棱台的

，相邻两侧面的公共边称为棱台的

.棱台可用上底面与下底面的顶点表示.如图所示的棱台ABCD-A1B1C1D1.四、棱台下底面上底面侧面侧棱同棱柱一样，过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段（或它的长度）称为棱台的

.棱台所有侧面的面积之和称为棱台的侧面积.棱台可以按底面的形状分类：三棱台、四棱台…….由正棱锥截得的棱台称为正棱台.正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高；而且，正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的

.高斜高例1一多面体观察如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是

（）A.该几何体是一个多面体B.该几何体有12条棱，6个顶点C.该几何体有8个面，并且各面均为三角形D.该几何体有9个面，其中有一个面为四边形，其余各面为三角形【解析】观察所给几何体，由其结构特征可知它是一个多面体，有6个顶点，12条棱，8个面，且8个面均为三角形.【答案】D例2如图①②③所示的平面图形，沿相邻多边形的公共边折叠能折叠成什么样的立体图形？

①

②

③【解】图①中有两个面是全等的五边形，其他各面都是矩形，故图①能折成五棱柱；图②中有一个面是五边形，其他各面都是三角形，故图②能折成五棱锥；图③中有三个面是梯形，有两个面是相似的三角形，故图③能折成三棱台.1.变式训练下列说法中正确的是

（）A.各个面都是三角形的多面体是四面体B.一个多面体至少有三个面C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形D2.下图中的图形经过折叠不能围成棱柱的是

（）DABCD例1二

棱柱图所示的棱柱ABCD-A1B1C1D1可以由矩形

（填序号）平移得到.①ABCD；②A1B1C1D1；③A1B1BA；④A1BCD1.【解】结合棱柱的定义可知，棱柱ABCD-A1B1C1D1可由矩形ABCD或A1B1C1D1或A1B1BA或D1C1CD或A1D1DA或B1C1CB平移得到，结合选项可知①②③正确.【答案】

①②③例2给出下列说法：①棱柱中互相平行的两个面称为棱柱的底面；②棱柱中相邻两个面的公共边称为侧棱；③一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体称为棱柱；④有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；⑤棱柱的任何两个平行平面都可以作为棱柱的底面.其中正确说法的序号是

.【解析】

①错误，因为存在两个侧面互相平行的棱柱，比如正方体.②错误，因为只有相邻侧面的公共边才称为棱柱的侧棱，而底面和侧面的公共边只是棱柱的棱，不是棱柱的侧棱.③正确，符合棱柱的定义.④错误，如图所示的几何体满足条件，但它不是一个平面多边形沿某一方向平移形成的几何体，所以它不是棱柱.⑤错误，如图，过BC的截面截取长方体的一部分，所得几何体是棱柱，因为它符合棱柱定义的三个条件，该棱柱有两对平行平面，只有一对可以作为棱柱的底面.【答案】

③1.变式训练下列关于棱柱的说法中，正确说法的个数是（）①四棱柱是平行六面体；②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱；④底面是正多边形的棱柱是正棱柱.A.1 B.2 C.3 D.4A2.下列关于棱柱的说法，正确的序号是

.①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③所有的面都是四边形；④棱柱被平面截成的两部分可以都是棱柱.④解题归纳几种常见的四棱柱之间的关系例1三

棱锥下列描述中，不是棱锥的特征的是

.①三棱锥有四个面是三角形；②棱锥都有两个面是互相平行的多边形；③棱锥的侧面都是三角形；④棱锥的侧棱交于一点；⑤棱锥的底面一定是平行四边形；⑥棱锥的底面一定是三角形.【解析】根据棱锥的特征，知棱锥的侧面必为三角形且有一个公共顶点，故①③④符合棱锥的特征.根据棱锥的特征，可知②错误，棱锥的任何两个面都不平行.棱锥的底面是多边形，故⑤⑥不符合棱锥的特征.【答案】②⑤⑥例2画一个三棱锥.【解】如图所示，画三棱锥可分三步完成.第一步：画底面——画一个三角形；第二步：确定顶点——在底面外任取一点；第三步：画侧棱——连接顶点与底面三角形各顶点，将被遮挡的线画成虚线.解题归纳画棱锥的步骤（1）画底面：画出底面多边形.（2）确定顶点：在底面的上方取一个符合要求的空间点.（3）画侧棱：顺次连接底面多边形的顶点与棱锥的顶点.变式训练下列说法正确的是

.①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；②三条侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥；③棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥；④若一个棱锥的各棱长均相等，则该棱锥一定不是六棱锥；⑤三棱锥的任何一个面均可作为底面.④⑤例1四棱台如图所示的几何体是棱台吗？如何判断？【解】都不是.第一个几何体的上下底面不平行，第二个几何体上下底面不平行且侧棱延长后没有交于一点，都不符合棱台的结构特征.例2下列结论中正确的有

个.①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的几何体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体是棱台.【解析】

①中的平面不一定平行于底面，故①错误；②③可用反例去验证，如图所示，故②③错误.三几何体的计算问题例1

【解题提示】（思路1）用“补形法”，将棱台还原为棱锥，结合平面几何知识求解.（思路2）依题意，作出棱台的对角面，化为平面几何中的计算问题求解.

解题归纳“补形法”解台体中的计算问题与台体有关的计算问题，常利用“补形法”将台体还原为锥体，并结合相似三角形的性质求解.利用了化归与转化的思想.正棱台中的直角梯形的应用已知正棱台如图（以正四棱台为例），O1，O分别为上、下底面中心，作O1E1⊥B1C1于E1，OE⊥BC于E，则E1E为斜高.（1）斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E1ECC1.（2）斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O1E1EO.（3）高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O1OCC1.变式训练

解题归纳正棱锥中的直角三角形的应用已知正棱锥如图（以正四棱锥为例），其高为PO，底面为正方形，作PE⊥CD于E，则PE为斜高.（1）斜高、侧棱构成直角三角形，如图中Rt△PEC.（2）斜高、高构成直角三角形，如图中Rt△POE.（3）侧棱、高构成直角三角形，如图中Rt△POC.四柱、锥、台体的表面积的计算例1如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为

.【解题提示】判断几何体的形状，利用棱锥的侧面积转化求解即可.

解题归纳棱柱、棱锥、棱台的表面积的求解方法棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构