河北省平泉市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题（解析版）

2024~2025学年第一学期学业水平质量监测九年级数学注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置．3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题．一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【详解】解：．不是中心对称图形，故该选项不符合题意；．不是中心对称图形，故该选项不符合题意；．不是中心对称图形，故该选项不符合题意；．中心对称图形，故该选项符合题意；故选：D．2.一元二次方程的一次项系数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，根据一元二次方程的一般式即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键．【详解】解：一元二次方程的一次项系数是，故选：．3.有一个从袋子中摸球的游戏，小红根据游戏规则作出了如图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是（）A.随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球B.随机摸出一个球后不放回，再随机摸出1个球C.随机摸出一个球后放回，再随机摸出2个球D.随机摸出一个球后不放回，再随机摸出2个球【答案】B【解析】【分析】根据树形图，可得此次摸球的游戏规则是：随机摸出一个球后不放回，再随机摸出个球．【详解】解：观察树形图可得：袋子中共有红，黄，蓝三个小球，此次摸球的游戏规则为：随机摸出一个球后不放回，再随机摸出个球．故选：B．【点睛】此题考查了用树状图法求概率的知识．注意掌握试验是放回实验还是不放回实验．4.如图，已知切于点A，的半径为3，，则切线长为（）A. B.8 C.4 D.2【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了切线的性质、勾股定理等知识点，掌握切线的性质成为解题的关键．如图：连接，由切线的性质可得，然后运用勾股定理求解即可．【详解】解：如图：连接，∵切于点A，∴，∵的半径为3，，∴，∴．故选C．5.某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表：累计抛掷次数501002003005001000200030005000盖面朝上次数2854106158264527105615872650盖面朝上频率随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于（）（精确到）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够仔细观察表格并了解：现随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率．根据图表中数据解答本题即可．【详解】解：由表中数据可得：随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近，故选：C．6.若关于的一元二次方程有一个解为，那么的值是（）A. B. C. D.或【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，把代入方程可得，再根据一元二次的定义可得，进而即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个解为，∴，∴，∴，∵方程是一元二次方程，∴，∴，∴，故选：．7.如图，点A，B，C在上，的切线交的延长线于D，若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是圆周角定理，切线的性质及直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理计算即可．【详解】解：为的切线，，，，．，．故选：B．8.如图，的半径为，双曲线和与圆相交，则图中阴影部分的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了反比例函数的图形和性质，由题意可知，双曲线和与圆构成的图形是轴对称图形，即得，据此即可求解，掌握反比例函数的图形和性质是解题的关键．【详解】解：由题意可知，双曲线和与圆构成的图形是轴对称图形，∴，故选：．9.问题：“解方程”，嘉嘉解得，淇淇看了嘉嘉的答案，说：“你算的不对，这个方程只有一个解．”判断下列结论正确的是（）A.嘉嘉的解是正确的 B.淇淇说得对，因为C.嘉嘉和淇淇的说法都不对，因为，该方程无解 D.由可得该方程有两个解，但嘉嘉的结果是错的【答案】C【解析】【分析】本题考查根的判别式．熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键．根据根的判别式求得，于是得到结论．【详解】解：原方程可化为，，∴原方程无实数根，故嘉嘉和淇淇的说法都不对，因为，该方程无解，故选：C．10.对于点，下列描述不正确的是（）A.不论为何值，点都在抛物线上B.点有最高点为C.在轴上能找到两个符合条件的点D.点不会在第三象限出现【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，先求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可，掌握二次函数的性质是解题的关键．【详解】解：、由，设，，∴，∴，∴不论为何值，点都在抛物线上，原选项正确，不符合题意；、∵点都在抛物线上，，∴点有最低点为，原选项错误，符合题意；、当时，，∴，，∴与轴交点为，，∴在轴上能找到两个符合条件的点，原选项正确，不符合题意；、由抛物线与轴交点为，，顶点坐标为，开口向上，∴点不会在第三象限出现，原选项正确，不符合题意；故选：．11.如图，四边形是的内接四边形，，若，，则弦的长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，连接，先证明为直径，求解，证明，再利用勾股定理计算即可．【详解】解：如图，连接，∵四边形是的内接四边形，，，∴为直径，，∴，∵，∴；故选：C12.如图，已知抛物线，与轴交于A，B两点，对称轴与轴交于点，以抛物线顶点为圆心，半径为2作，点为上一点，连接并取的中点，连接，则最小值为（）A. B. C.5 D.【答案】B【解析】【分析】为中点，为中点，所以是的中位线，则，当最小时，则最小．由圆的性质可知，当H、、三点共线，且点H在线段上时，最小,进而即可求解【详解】解：因为为中点，为中点，所以是的中位线，则，当最小时，则最小．由圆的性质可知，连接交于H，此时，最小．∵抛物线，∴顶点，令，则，解得，，∴，∴，∴，∴最小值，故选：B．【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点、三角形的中位线定理、二次函数的性质以及点与圆的位置关系等知识点，有一定难度，学会用转化的思想思考问题是解题的关键．二、填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分．）13.在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中红球个，黄球个，其余的为绿球，从袋子中随机摸出一个球，“摸出黄球”的可能性为，则袋中绿球的个数是______．【答案】【解析】【分析】本题考查的知识点是概率公式及解分式方程，设袋中绿球有个，根据题意可得，据此即可求解，掌握概率公式是解题的关键．详解】解：设袋中绿球有个，由题意得，，解得，经检验：是分式方程的解，∴袋中绿球的个数是，故答案为：14.如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点落在边上，则的度数是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，掌握旋转的性质是解题的关键．由，，可得，由旋转得，即得为等边三角形，得到，再根据角的和差即可求解．【详解】解：∵，，∴，由旋转可得，，∴为等边三角形，∴，∴．故答案为：．15.如图，在由小正方形组成的网格图中建立一个平面直角坐标系，一条圆弧经过格点，，．圆心为，则的坐标是_____．【答案】【解析】【分析】本题主要考查垂径定理，点的坐标，通过作图，确定圆心的位置是解题的关键．找到，的垂直平分线的交点即为圆心，再求其坐标即可．【详解】解：如图，连接，分别作，的垂直平分线交于点，由图可得点坐标为，故答案为：；16.如图，C是反比例函数图象上一点，A为轴负半轴上一点，AC交轴于点B，若，面积为9，则__________．【答案】9【解析】【分析】本体考查反比例函数的比例系数k的几何意义，平行线截线段成比例等知识，过C作轴，垂足为D，先求出的值，从而求出，再根据即可得解，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】解：∵，∴，过C作轴，垂足为D，则，∴，∴，∴．三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.如图，反比例函数的在第一象限的图象经过点．（1）求值；（2）第一象限内有一定点，坐标为．请判断点是否在反比例函数图象上；顺次连接、、三点，请直接写出的形状．【答案】（1）；（2）点不在反比例函数上；是直角三角形．【解析】【分析】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、平面直角坐标系中两点之间的距离公式、勾股定理的逆定理．把点的坐标代入，即可求出的值；把代入反比例函数的解析式，可得：，所以点不在反比例函数的图象上；根据点、、的坐标分别求出、、的长度，利用勾股定理的逆定理可证是直角三角形．【小问1详解】解：把点的坐标代入，可得：，解得：；【小问2详解】解：由可知反比例函数的解析式为，当时，可得：，点不在反比例函数上；解：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，，，，，，，是直角三角形．18.如图，是半圆的直径，，，，于点．（1）求的长；（2）求出图中阴影部分的面积（结果保留）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（）由等腰三角形的性质可得，，进而可得，即可得为等腰直角三角形，再利用勾股定理解答即可求解；（）过点作于，由垂径定理得，由直角三角形的性质可得，进而由勾股定理得，，最后根据即可求解．【小问1详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴；【小问2详解】解：如图，过点作于，则，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，直角三角形的性质，扇形的面积，掌握以上知识点是解题的关键．19.南宁市某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动．为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用表示，单位：h）进行调查．经过整理，将数据分成四组（A组：；B组：；C组：；D组：），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．（1）请补全条形统计图；（2）扇形统计图中，的值为___________，A组对应的扇形圆心角的度数为_________；（3）D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是两名男生的概率．【答案】（1）见解析（2）32，（3）【解析】【分析】本题考查了列表法与树状图法，条形统计图和扇形统计图关联．（1）用组的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后求出组的人数，从而补全统计图；（2）用组的人数除以总人数，求出，再用乘以组所占的百分比，从而得出组对应的扇形圆心角的度数；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出所选的两人恰好是两名男生的结果数，然后利用概率公式求解．【小问1详解】解：抽取的总人数有：（人），组的人数有：（人），补全统计图如下：【小问2详解】解：，即；组对应的扇形圆心角的度数为：；故答案为：32，；小问3详解】解：画树状图：共有12种等可能的结果数，其中所选的两人恰好是两名男生的结果数为2，所以所选的两人恰好是两名男生的概率．20.如图，在中，，，点是边上一动点，连接．把绕点A逆时针旋转，得到，连接、．（1）求证：；（2）若，时，求的长．【答案】（1）见解析；（2）或3【解析】【分析】（1）根据图形旋转的性质及全等三角形的判定，可逐步证明结论；（2）设，根据全等三角形的性质知，再根据勾股定理列方程，解方程即得答案．【小问1详解】证明：把绕点A逆时针旋转，得到，，，，，在和中，；【小问2详解】解：设，，，，，，，，，，，解得，，或3．【点睛】本题考查了图形旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，根据勾股定理设未知数列方程求解是解题的关键．21.如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表：x012m4567…y068n…（1）①______，______；②小球的落点是A，求点A的坐标．（2）小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系．①小球飞行的最大高度为______米；②求v的值．【答案】（1）①3，6；②；（2）①8，②【解析】【分析】本题主要考查二次函数的应用以及从图象和表格中获取数据，（1）①由抛物线的顶点坐标为可建立过于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值即可；②联立两函数解析式求解，可求出交点A的坐标；（2）①根据第一问可知最大高度为8米；②将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求得v值．【小问1详解】解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物线顶点坐标为，∴，解得：，∴二次函数解析式为，当时，，解得：或（舍去），∴，当时，，故答案为：3，6．②联立得：，解得：或，∴点A坐标是，【小问2详解】①由题干可知小球飞行最大高度为8米，故答案为：8；②，则，解得（负值舍去）．22.如图，点在以为直径的半圆上，，，点在线段上运动，点与点关于对称，于点，并交的延长线于点．求证：（1）；（2）若，求证直线与半圆相切．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由点与点关于对称可得，再根据可得．从而得出，．可得，最后可得到；（2）连接，易证是等边三角形，，根据等腰三角形的“三线合一”可求出，进而可求出，从而得到与半圆相切．【小问1详解】证明：连接，点与点关于对称，．．，．，．．．；【小问2详解】证明：连接，是半圆的直径，．，，，是等边三角形．，．为直径，，，，．．，，点与点关于对称，．．．经过半径的外端，且，直线与半圆相切．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质、直角三角形的性质等知识，关键是根据轴对称的性质和等边三角形的判定与性质进行分析．23.如图，在正方形中，，是边的中点，是正方形内一动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，．（1）求证：；（2）求面积的最小值；（3）直接写出所扫过图形面积最小值．【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，对应线段和对应角相等，可证明，即可得到；（2）由，可得，当时，的值最小，即可求的面积的最小值．（3）所扫过图形面积，当点O、E、D三点共线时，最小，求得此时，代入即可求解．【小问1详解】证明：由旋转得：，，四边形是正方形，，，，即，，在和中，，，；【小问2详解】解：由（1）知：，，当时，点到的距离最小，则的值最小，即的值最小，最小值为