2023年人教版高中数学第四章指数函数与对数函数重点归纳笔记

(名师选题)2023年人教版高中数学第四章指数函数与对数函数重点归纳笔记

单选题1、下列各组函数中，表示同一个函数的是（

）A．与B．与C．与D．与答案：D分析：分别计算每个选项中两个函数的定义域和对应关系，定义域和对应关系都相同的是同一个函数，即可得正确选项.对于A：定义域为，定义域为，定义域不同不是同一个函数，故选项A不正确；对于B：定义域为，的定义域为，定义域不同不是同一个函数，故选项B不正确；对于C：的定义域为，定义域为，定义域不同不是同一个函数，故选项C不正确；对于D：由可得，解得：，所以的定义域为，由可得，所以函数的定义域为且，所以两个函数定义域相同对应关系也相同是同一个函数，故选项D正确，故选：D.2、在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（

）A．10名B．18名C．24名D．32名答案：B分析：算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.由题意，第二天新增订单数为，，故至少需要志愿者名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.3、若，，则（

）A．B．C．D．答案：B分析：先换底，然后由对数运算性质可得..故选：B4、已知函数，满足对任意x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是（

）A．a∈(0,1)B．a∈[,1)C．a∈(0,]D．a∈[,2)答案：C分析：根据条件知在R上单调递减，从而得出，求a的范围即可．∵满足对任意x1≠x2，都有0成立，∴在R上是减函数，∴，解得，∴a的取值范围是．故选：C．5、已知函数，则对任意实数x，有（

）A．B．C．D．答案：C分析：直接代入计算，注意通分不要计算错误．，故A错误，C正确；，不是常数，故BD错误；故选：C．6、设，，则（

）A．B．C．D．答案：D分析：根据对数函数的性质可得，

，由此可判断得选项.解：因为，，所以，所以，故排除A、B选项；又，且，所以，故选：D.7、已知幂函数与的部分图象如图所示，直线，与，的图象分别交于A､B､C､D四点，且，则（

）A．B．1C．D．2答案：B分析：把用函数值表示后变形可得．由得，即，所以，故选：B．8、设，则（

）A．B．C．D．答案：C分析：根据对数的运算性质计算即可.解：.故选：C.9、我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（

）A．120B．200C．240D．400答案：D分析：先根据题意求出每吨的平均处理成本与处理量之间的函数关系，然后分和分析讨论求出其最小值即可由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为，当时，，当时，取得最小值240，当

时，，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值200，综上，当每月得理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低为200元，故选：D10、已知，则（

）A．B．C．D．答案：A分析：由对数函数得单调性即可得出结果.∵在定义域上单调递增，∴，即.故选：A.11、函数的图像是（

）A．B．C．D．答案：A分析：由函数的图象与轴的交点是结合函数的平移变换得函数的图象与轴的公共点是，即可求解.由于函数的图象可由函数的图象左移一个单位而得到，函数的图象与轴的交点是，故函数的图象与轴的交点是，即函数的图象与轴的公共点是，显然四个选项只有A选项满足.故选：A.12、声强级（单位：）与声强的函数关系式为：.若普通列车的声强级是，高速列车的声强级为，则普通列车的声强是高速列车声强的（

）A．倍B．倍C．倍D．倍答案：B分析：设普通列车的声强为，高速列车的声强为，由声强级得，，求出相除可得答案.设普通列车的声强为，高速列车的声强为，因为普通列车的声强级是，高速列车的声强级为，所以，，，解得，所以，，解得，所以，两式相除得，则普通列车的声强是高速列车声强的倍.故选：B.双空题13、截止2020年底，我国总人口数约为14亿，同2010年底数据相比，人口年平均增长率约为，若按此增长率，30年后我国人口总数约为__________亿；若希望30年后我国人口超过20亿，那么人口年平均增长率应不低于__________%．（精确到0.1，参考数据：，，）答案：

16.4

1.2分析：建立指数函数模型，结合指数对数运算求解即可.解:因为2020年底，我国总人口数约为14亿，且年平均增长率约为0.53%，所以30年后我国人口总数约为．设人口年平均增长率为，由题意，得，即，两边取对数，得，即，所以，解得，所以人口年平均增长率应不低于1.2%．所以答案是：16.4；1.2.14、已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足，则的值为___________；若关于的方程有唯一的实数解，则实数的值为___________.答案：

1

或分析：构造函数方程并根据奇偶性可求得函数的解析式；转化为有唯一解，构造偶函数，根据偶函数的对称性列式可求得结果.，分别是定义在上的偶函数和奇函数，，，，又①，②①+②：，，令又换元设又关于的方程有唯一的实数解，设，为偶函数，当且仅当时为唯一零点，，解得或.所以答案是：0；或小提示：关键点睛：构造函数方程并根据奇偶性求函数解析式、利用偶函数的对称性求解是解题关键.15、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用[x]表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数奇偶性是______函数，的值域是__________答案：

奇函数

解析：直接根据奇偶性的定义即可判断出奇偶性，由题意分离常数可得，再由指数函数的性质可得的值域，即可得解.∵，，∴为奇函数，化，∵，∴，则.∴当时，，；当时，，；当时，.∴函数的值域是.所以答案是：奇函数，.小提示：本题考查了数学文化及分离常数法求函数值域的应用，考查了奇偶性的判断，指数函数性质的应用、运算求解能力及转化化归思想，属于中档题.16、设函数，则___________，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为___________.答案：

1

分析：(1)先求出的值，再求即得解；(2)

作出函数的图像，再作出直线，数形结合分析即得解.（1）由题得，所以.

所以1.（2）作出函数的图像，再作出直线，方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为.所以答案是：1；.17、已知函数则______；若，则______.答案：

16

分析：根据函数的解析式，先求出，再将该值代入对应的函数式，求得；因为当时，，则由函数值为可知，

，故，则，再解方程得出的值.由该分段函数的解析式可得：则；由函数解析式可知，当时，，则由知，且，所以，则，解得.所以答案是：；.解答题18、已知是定义在R上的偶函数，当时，是二次函数，其图象与x轴交于，两点，与y轴交于．(1)求的解析式；(2)若方程有两个不同的实数根，求a的取值范围．答案：(1)(2)分析：（1）当时，利用待定系数法得到，再使用奇偶性，得出即可；（2）利用数形结合解决.（1）依题意可设，当时，．由，得3k＝6，∴k＝2，∴．当时，，则．又是偶函数，∴，∴．∴（2）依题意知有两个不同的实数根，即与y＝2a－2在同一坐标系中的图象有两个不同的交点．作出函数的图象，如图所示．由图，可知只需满足条件2a－2＝－2或，∴a＝0或，即实数a的取值范围是．19、（1）求值：（2）化简答案：（1）32；（2）分析：（1）根据指数幂的运算性质即可得解.（2）根据指数幂的运算性质即可得解.（1）原式（2）原式20、已知函数.(1)求在上的最大值；(2)设函数的定义域为I，若存在区间，满足:对任意，都存在(其中表示A在I上的补集)使得，则称区间A为的“Γ区间”.已知，若为函数的“Γ区间”，求a的最大值.答案：（1）答案见解析；（2）1.解析：（1）作出函数的图象，分，

，利用数形结合法求解.

(2)根据对任意，都存在使得，分，，分别求得在和上的值域，利用集合法求解.（1）函数的图象如图所示：当时，的最大值为，当时，的最