非线性光学-非线性光学极化率与性质

第2章非线性光学极化率与性质非线性介质的波方程非线性光学极化率的构造非线性极化率的经典理论非线性极化率的对称性非线性极化率的微扰理论非线性极化率的密度矩阵理论Kramers-Kronig色散关系2/35一、非线性介质的波方程介质中光波由Maxwell方程描述以及物质方程电场环路:库仑+感生普遍安陪环路:电场高斯:磁场高斯:J和ρ分别为介质中的自由电流密度和自由电荷密度P和M分别为介质的电极化强度和磁化强度ε0、μ0和σ分别为真空介电常数、真空磁导率和介质的电导率假定：介质为非磁性的，且无自由电荷，即M=0，ρ=0

。对于导体和半导体来说，系数σ是有意义的。1、各向异性非线性介质中光传播的时域方程3/35

在激光与非线性介质相互作用中P和E的关系是非线性的，介质感应的极化强度P可以展开为E的幂级数式中是n阶电极化率，它是个n+1阶张量。以表示极化强度的高次项，则极化强度P可分成线性和非线性两部分因此Maxwell方程简化为得到各向异性非线性介质中的时域波动方程4/352、各向异性非线性介质中单色平面波的频域方程时域波动方程：比线性波动方程仅多了右边的一项，相当存在一个次波源。左边第二项与介质的吸收损耗有关，若介质为无损耗的，即σ=0，有在频域考虑非线性波方程。将和展开成单色平面波的叠加（傅立叶展开）：5/35无损耗各向异性非线性介质的单色平面波的频域波方程对于第n阶非线性极化效应3、各向同性非线性介质中频域波方程利用对于均匀各向同性介质利用关系无损耗各向同性非线性介质的单色波的波方程。一般做近似简化处理求解，慢变振幅近似是一种常用的方法。

6/354、各向同性非线性介质中时域波方程无损耗各向同性非线性介质中的时域波方程。5、慢变包络近似考虑一个沿z方向传播的稳态单色平面波，振幅随z变化，但不随时间变化。电场强度和非线性极化强度分别表为目的：简化频域波方程7/35利用波动方程变为假设：在波长量级的距离内光波振幅的变化非常慢，即则各向同性非线性介质的单色波的波方程被简化为一阶微分方程。8/35对于时域波动方程可设假设波的振幅随空间和时间缓慢变化，即满足以下慢变近似条件：

和

可以在波动方程中略去场振幅的二阶时间导数和二阶空间导数，从而得到以下一阶的波方程：9/35二、非线性光学极化率的构造1、介质极化的时域响应函数利用因果关系和真实性条件，构造介质极化的响应函数为介质的线性响应函数，它是个二阶张量，时刻感应极化电场为因果关系：光在介质中传播时，t

时刻介质所感受的线性极化强度不仅与t时刻的光电场有关，还与t

时刻前所有的光电场有关，也就是说与激励电场的历史有关。假设在时刻t以前任一时刻τ

的光电场为，它对在时间间隔以后的极化强度的贡献为，且有10/35积分变换即：介质中t时刻所感应的极化强度由时刻之前所有时刻的光电场所确定，该式为极化强度与光电场间的普遍关系，因果关系的数学表达。因果关系知，t时刻以后的光电场对极化没有贡献，即所以有均为实函数。11/35二阶非线性极化强度与光电场的关系为同理，n阶非线性极化强度可以写成其中为介质的n阶极化响应函数，n+1阶张量12/35时间域内我们讨论了介质的极化强度对光电场的响应，原则上我们知道了响应函数就可给出介质的光学性质，但多数情况非线性光学常常在频域讨论介质的极化，利用介质极化率张量描述非线性物理过程。线性极化率张量线性极化率张量是频率的函数，所表征的介质频率色散特性是因果关系的直接结果，可以证明上面的积分是收敛的。2、介质极化的频域响应函数13/35Kramers-Kronig色散关系极化率是一个复函，，其实部和虚部之间的关系称为Kramers-Kronig色散关系。极化率的实部和虚部分别对应于介质的色散和吸收，分别描述介质中光波的位相和振幅的变化，色散关系表明，我们可以通过介质的色散或吸收而得到另外一个物理量。14/35非线性极化率张量15/35上式为普遍关系，当组成光波的各个频率分量离散时，积分变成求和形式其中为了保证物理量实数性，对的求和应该包括所有的正值和负值，即角标成对出现，如双频时，应有如下取值16/35以二阶非线性极化为例子，说明非线性极化率的意义其中是二阶非线性极化率张量分量，非线性极化率分量的物理含义为由频率为振动方向为的光电场分量和频率为、振动方向为的光电场分量，通过二阶非线性相互作用产生的在方向上振动的且频率为的二阶极化强度分量17/35如果记外加光电场为极化强度为频率为的阶极化强度有下面分量表达式考虑个波场中有各相同频率，则简并因子应为18/35e.g.二阶效应外加光电场为极化强度为则有19/35

介质的极化来源于外电场作用下介质中电荷的位移，介质中的电子一般会受到带有正电的原子实或分子基团的库仑相互作用，用一个势函数描述，电子即在此势场之中运动。

势函数一般为非严格的抛物线型函数，在线性区域（电子小位移运动时），可近似看成是抛物线型函数。此时，电子作简谐运动。电偶极振子在外场作用下所发生的变化产生极化，强度为其中，是单位体积内的振子数，是电子电荷，是电子在光电场作用下离开平衡位置的位移。三、非线性光学极化率的经典描述1、一维非谐振子模型20/35电子位移无外加电场时，电子在平衡位置附近简谐振动，频率为外场存在时，电子作受迫振动。其线性运动方程为—

阻尼系数—

电子质量

线性解21/35将进行基波分解电子线性运动方程对于频率分量的基本方程解为单位体积内的电偶极矩为22/35令则线性极化率为23/35如果外电场引起电子的位移偏离平衡点过大，其恢复力中将存在非简谐项，考虑到三次项时，非简谐力为振子运动方程为

单频情况设频率为的光电场为采用微扰理论求解，将展开成幂级数形式这种展开对应于电场的幂级次，所以展开后将相同阶次的项构成一个微分方程，得到如下方程（最低阶次的三个方程）2、非线性响应24/35解此方程解为25/35将极化强度写成级数形式其中是第阶极化强度，因此二阶极化强度为二阶非线性极化率因此分为两项26/35一般情况对三阶非线性极化对称性引入因子得到三阶非线性极化率27/35三阶极化率一般情况由非线性极化强度和可以看出：频率为的光电场在介质中引起的极化，不仅具有频率为的分量，而且还有频率为和直流分量，相应这些不同频率的极化强度，可以辐射频率为的光波，也可以产生静电场。28/35真实性条件物理上，电场强度、极化强度以及介质的线性和非线性响应函数必须是实数，即为可测量的量。得知该条件保证了各阶次的极化强度为实数，该条件被称为极化率张量的真实性条件。四、非线性光学极化率的对称性29/35本征对易对称性本征对易对称性是非线性电极化率具有的最基本对称性。交换参与相互作用场的次序，结果不变。更一般，考虑到偏振作用及极化张量的关系有这意味着30/35本征对称对易性的一般描述二阶非线性极化率张量元素中的配对与交换次序，其值不变。这种不变性是张量固有的，故称为极化张量的本征对易对称性。对于任意阶非线性极化张量，其本征对易对称性表现为n阶非线性极化率元素在所有配对的次对易下保持不变。e.g

n

阶非线性极化率张量简并因子31/35完全对易对称性考察极化率中的项，展开成实部和虚部的形式当外加光电场频率远离介质的共振频率时，介质可以认为色散和吸收都非常小，介质与外加光电场之间没有能量交换，因此极化率张量为实数。线性极化率中，用代替时，其值不变32/35二阶非线性极化率中，用代替或，其值不变，即同样对三阶非线性极化率张量有这意味着，除了参与相互作用的外光电场频率对易对称性质外，信号场的频率也参与对易，在此情形下，不变性依然有效。33/35对于阶非线性极化率张量分量，其偏振分量与频率的配对与外加光电场的偏振和频率配对之间可以对易互换，其值保持不变。因此，完全对易方式有，在此情况下，n阶非线性极化率张量是阶简并的。全对易对称的物理意义

在远离离子共振频率处，极化仅来源于电子位移，离子的贡献可以忽略。另外，参与非线性相互作用的所有光的频率都低于电子的吸收带（介质无损耗），那么可以证明非线性极化率张量具有全对易对称性。克莱曼首先指出了的这种性质，称为克莱曼猜想。该性质可以作为非线性极化的主要贡献是电子过程的判据。34/35空间结构对称性由于介质结构的对称性，这种空间对称性必将对极化率张量给予限制，导致极化率张量的非零元素大大减少。例如使得非零元素少于9个，的非零元素少于27，的少于81。对称性越高，非零的独立元素数目越少。如果晶体具有对称中心，空间反演变换时，电场和极化场和都将改变方向，导致和的关系式不变，而的关系式变为根据中心对称的要求，不