高考数学重难点培优全攻略(新高考专用)第4讲　函数的极值、最值(3大考点+强化训练)(原卷版+解析)

第4讲函数的极值、最值（3大考点+强化训练）【知识导图】【考点分析】考点一利用导数研究函数的极值判断函数的极值点，主要有两点(1)导函数f′(x)的变号零点，即为函数f(x)的极值点．(2)利用函数f(x)的单调性可得函数的极值点．一、单选题1．（2023下·上海青浦高级中学校考期中）对于以下结论：①若公比，那么等比数列前n项和存在极限；②为数列最大的项，那么对任意的n（，，）都成立；③函数的导数为，若，那么为函数的极值点；④函数的导数为，若恒成立，那么是严格增函数.正确的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题2．函数的极值点是．三、解答题3．（2023上·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知函数，其中，为自然对数的底数.(1)当时，求函数的最值；(2)当时，讨论函数的极值点个数.4．（2023上·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知函数，其中，为自然对数的底数.(1)当时，求函数的最值；(2)当时，讨论函数的极值点个数.考点二利用导数研究函数的最值1．求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值．(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)．(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．2．若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．一、单选题1．设函数，若存在，使，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题2．当时，函数的最大值与最小值的和为.三、解答题3．（2024·河南·方城第一高级中学校联考模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，且.(1)证明：；(2)若，求当面积最大时的值.4．（2023·全国·模拟预测）已知函数．(1)二次函数，在“①曲线，有1个交点；②”中选择一个作为条件，另一个作为结论，进行证明；(2)若关于x的不等式在上能成立，求实数m的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．考点三极值、最值的简单应用一、单选题1．已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题2．已知函数，则下列说法正确的是（

）A． B．函数的最大值为C．若方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围为 D．若，则三、填空题3．（2023下·甘肃武威民勤县第一中学校考阶段练习）若图象上存在两点关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”），若恰有两个“友情点对”，则实数的取值范围是．四、解答题4．已知函数，在点处的切线为.（1）求函数的单调区间；（2）若，是函数的两个极值点，证明.5．（2023上·山东·高三校联考阶段练习）设函数(1)当时，求曲线在处的切线方程.(2)讨论函数在区间上零点的个数.【强化训练】一、单选题1．设函数的一个极值点为，则（

）A． B． C． D．2．（2023单元测试）已知函数与函数的图像上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．3．若函数在区间内有且仅有一个零点，则在区间上的最大值为（

）A．4 B．10 C．16 D．204．已知函数，有以下命题：①当时，函数在上单调递增；②当时，函数在上有极大值；③当时，函数在上单调递减；④当时，函数在上有极大值，有极小值．其中不正确命题的序号是A．①③ B．②③ C．①④ D．②④5．已知函数，若存在，使得，则实数a的取值范围为：（

）A． B． C． D．6．函数的极小值为（

）A．0 B． C． D．二、多选题7．已知函数，（

）．A．若在区间上单调，则B．将函数的图象向左平移个单位得到曲线C，若曲线C对应的函数为偶函数，最小值为C．函数在区间上恰有三个极值点，则D．关于x的方程在上有两个不同的解，则8．（2023上·湖北·高三湖北省仙桃中学校联考阶段练习）已知函数，若函数有两个零点，则的值可能是（

）A．2 B． C．3 D．0三、填空题9．若函数在处有极值，且，则称为函数的“点”.已知函数存在两个不相等的“点”，，且，则的取值范围是.10．若关于x的不等式恒成立，则的最小值是.11．某产品的销售收入（万元）是产量x（千台）的函数，生产成本（万元）是产量x（千台）的函数，已知，为使利润最大，应生产（千台）．12．（2023·辽宁·新民市第一高级中学校联考一模）已知函数，若恒成立，则的取值范围为．四、解答题13．函数．（1）试讨论函数的单调性；（2）若，证明：(为自然对数的底数)．14．已知函数.（1）时，讨论函数的单调性；（2）证明：当时，.15．（2023下·云南·高三校联考开学考试）在抗击新冠肺炎疫情期间，作为重要防控物资之一的防护服是医务人员抗击疫情的保障，我国企业依靠自身强大的科研能力，自行研制新型防护服的生产．(1)防护服的生产流水线有四道工序，前三道工序完成成品防护服的生产且互不影响，第四道是检测工序，包括红外线自动检测与人工抽检，红外线自动检测为次品的会被自动淘汰，合格的进入流水线并由工人进行抽查检验．已知在批次I的成品防护服的生产中，前三道工序的次品率分别为，第四道红外线自动检测显示为合格率为92%，求一件防护服在红外线自动检测显示合格品的条件下，人工抽检也为合格品的概率（百分号前保留两位小数）；(2)①已知某批次成品防护服的次品率为，设3件该批次成品防护服中恰有1件不合格品的最大概率为，在多次改善生产线后批次J的防护服的次品率，请从次品率的角度比较（1）中的批次I与批次J防护服的质量；②某医院获得批次I，J的防护服捐赠并分发给该院医务人员使用．经统计，正常使用这两个批次的防护服期间，该院医务人员核酸检测情况的等高堆积条形图如图所示，请完善下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为防护服的质量与感染新冠肺炎病毒有关联？核酸检测结果防护服批次合计IJ呈阳性呈阴性合计附：．0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828第4讲函数的极值、最值（3大考点+强化训练）【知识导图】【考点分析】考点一利用导数研究函数的极值判断函数的极值点，主要有两点(1)导函数f′(x)的变号零点，即为函数f(x)的极值点．(2)利用函数f(x)的单调性可得函数的极值点．一、单选题1．（2023下·上海青浦高级中学校考期中）对于以下结论：①若公比，那么等比数列前n项和存在极限；②为数列最大的项，那么对任意的n（，，）都成立；③函数的导数为，若，那么为函数的极值点；④函数的导数为，若恒成立，那么是严格增函数.正确的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A【分析】取特殊值、特殊数列、特殊函数，即可说明各个结论，进而得出答案.【详解】设数列前项和为，对于①，当时，，所以，当为奇数时，；当为偶数时，.又，所以此时，没有极限，故①错误；对于②，对于数列，可知中的每一项都为数列中最大的项，但是显然不成立，故②错误；对于③，对于函数，有恒成立，所以，函数为R上的增函数，即函数没有极值点.又，显然不是的极值点，故③错误；对于④，对于常函数，有恒成立，但显然不是单调递增函数，故④错误.所以，正确的个数为0个.故选：A.二、填空题2．函数的极值点是．【答案】【分析】令导数为0，计算x，即可．【详解】解得【点睛】本道题考查了函数导数计算方法，关键抓住，即可，难度较容易．三、解答题3．（2023上·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知函数，其中，为自然对数的底数.(1)当时，求函数的最值；(2)当时，讨论函数的极值点个数.【答案】(1)有最小值，没有最大值.(2)答案见解析【分析】（1）利用求导公式和导数的运算法则可得，根据函数的性质推出函数的性质，即可求解；（2）对函数求导可得，利用导数讨论函数的性质可得，再次利用导数分类讨论函数当、时的性质，结合极值点与零点之间的关系即可求解.【详解】（1）当时，，则.令，则在上单调递增，且，所以当时，，即；当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值，即有最小值，没有最大值.（2）因为，其中，所以.令，则.因为，令，则，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.设，其中，则.令，解得.当时，，所以在上单调递增，所以.所以当时，；当时，.①当时，，即，也即，所以在上单调递增，所以没有极值点.②当时，在上单调递减.设，则当时，，所以，即当时，.又在上单调递减，所以在上单调递减，且在上单调递减，所以当时，，所以在上没有零点，且.又在上单调递减，所以在内存在唯一，使，所以当时，；当时，，也即当时，；当时，，所以为的一个极大值点.又在上单调递增，，所以当时，；当时，，即当时，；当时，，所以1为的一个极小值点，所以当时，有2个极值点.综合①②，当时，有2个极值点；当时，没有极值点.【点睛】在解决类似的问题时，要熟练应用导数研究函数的单调性、极值与最值，要掌握极值与极值点的定义，缕清极值点与方程的根之间关系，善于培养转化的数学思想，学会构造新函数，利用导数研究新函数的性质即可解决问题.4．（2023上·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知函数，其中，为自然对数的底数.(1)当时，求函数的最值；(2)当时，讨论函数的极值点个数.【答案】(1)有最小值，没有最大值.(2)答案见解析【分析】（1）利用求导公式和导数的运算法则可得，根据函数的性质推出函数的性质，即可求解；（2）对函数求导可得，利用导数讨论函数的性质可得，再次利用导数分类讨论函数当、时的性质，结合极值点与零点之间的关系即可求解.【详解】（1）当时，，则.令，则在上单调递增，且，所以当时，，即；当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值，即有最小值，没有最大值.（2）因为，其中，所以.令，则.因为，令，则，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.设，其中，则.令，解得.当时，，所以在上单调递增，所以.所以当时，；当时，.①当时，，即，也即，所以在上单调递增，所以没有极值点.②当时，在上单调递减.设，则当时，，所以，即当时，.又在上单调递减，所以在上单调递减，且在上单调递减，所以当时，，所以在上没有零点，且.又在上单调递减，所以在内存在唯一，使，所以当时，；当时，，也即当时，；当时，，所以为的一个极大值点.又在上单调递增，，所以当时，；当时，，即当时，；当时，，所以1为的一个极小值点，所以当时，有2个极值点.综合①②，当时，有2个极值点；当时，没有极值点.【点睛】在解决类似的问题时，要熟练应用导数研究函数的单调性、极值与最值，要掌握极值与极值点的定义，缕清极值点与方程的根之间关系，善于培养转化的数学思想，学会构造新函数，利用导数研究新函数的性质即可解决问题.考点二利用导数研究函数的最值1．求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值．(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)．(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．2．若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．一、单选题1．设函数，若存在，使，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函数的导数，通过讨论的范围，确定函数的单调性，求出的最大值，得到关于的不等式，解出即可.【详解】的定义域是，，当时，，则在上单调递增，且，故存在，使；当时，令，解得，令，解得，在上单调递增，在上单调递减，，解得.综上，的取值范围是.故选D.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题.二、填空题2．当时，函数的最大值与最小值的和为.【答案】【分析】利用导数求解最值问题，即可求解．属难题．【详解】，当时，；当时，，∴在，上都是增函数，在上是减函数，，，，，∴的最大值为，最小值为，它们的和为.【点睛】导数在研究函数中的应用，可求单调性，分析最值，进而求解最大值与最小值的和．三、解答题3．（2024·河南·方城第一高级中学校联考模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，且.(1)证明：；(2)若，求当面积最大时的值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据可得，再结合商数关系及二倍角的余弦公式化简即可得出结论；（2）由（1）可得，根据正弦定理化角为边可得，再由，结合正弦定理化角为边求出，再根据三角形的面积公式，结合导数即可得出答案.【详解】（1）由已知得，∴，又，且，∴；（2）由（1）可得，由正弦定理可得，∴，.∵，∴，∴，∴，∴，又，∴，∴，令，则，则，设，，则，令，得，即，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，则当时，取得最大值，此时最大，则.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.4．（2023·全国·模拟预测）已知函数．(1)二次函数，在“①曲线，有1个交点；②”中选择一个作为条件，另一个作为结论，进行证明；(2)若关于x的不等式在上能成立，求实数m的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）若选择条件①，根据，构造函数，由函数图象有1个交点，转化为直线与曲线有1个交点，利用导数判断函数的单调性，从而确定的值；若选择条件②，由方程，构造函数，利用导数判断函数的单调性，根据函数的极值，确定方程只有1个实数根；（2）由不等式构造函数，转化为利用导数求函数的最值问题，即可求解的取值范围.【详解】（1）若选①为条件：函数的定义域为，令，即，则．令，则直线与曲线有1个交点，且，令，解得，故当时，，当时，，∴函数在上单调递增，在上单调递减，且当时，，当时，，故当曲线有1个交点时，．若选②为条件：函数的定义域为，令，则，则．令，则，令，解得，故当时，，当时，，∴函数在上单调递增，在上单调递减，且当时，，当时，，故方程仅有1个实数根，即曲线有1个交点．（2）依题意，，即在上能成立，令，则（提示：不等式能成立问题转化为函数最值问题）．的值域为，且单调递增．①当，即时，，∴在上单调递增，∴，解得，与矛盾，；②当，即时，，∴在上单调递减，∴，解得；③当时，存在唯一的，满足，∴当时，，当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，解得，与矛盾，．综上所述，实数m的取值范围为．【点睛】关键点点睛：本题考查不等式解决函数的零点，不等式，最值问题，本题第二问的关键是由的值域为，根据端点值讨论不同的区间，讨论函数的最值.考点三极值、最值的简单应用一、单选题1．已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先确定函数关于对称，由函数恰有4个零点，根据对称性可得时，有两个零点，结合图像解决.【详解】设，则所以函数关于对称，因为函数恰有4个零点，所以，由题可得，时，有两个零点，由题，去绝对值得，所以时，作出图像,先考虑与相切的情况，此时切点为，结合图像可知时，函数在上有两个零点，即在上有四个零点，故选：A.【点睛】零点个数问题，一般通过数形结合方法解决，本题根据对称性以及导数解决参数的取值范围.二、多选题2．已知函数，则下列说法正确的是（

）A． B．函数的最大值为C．若方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围为 D．若，则【答案】ABD【分析】利用导数研究的单调性，即可判断A、B的正误；由在、上的值域，即可知恰有两个不等的实根时的取值范围；若，构造及并利用导数研究单调性，进而确定在上的符号判断的符号，再结合的单调性即可证.【详解】由题意，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；A：，正确；B：的极大值，也是最大值为，正确；C：∵时，即上；时，即上；∴要使恰有两个不等的实根，则，错误；D：由知：若，令，，，∴设，，则，∴在上单调递增，即，故在上恒成立，∴，即，又，，由在上递减，即，故，正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的单调性，进而比较函数值的大小及最大值，再由的区间值域，确定恰有两个不等的实根时的范围；利用极值点偏移问题的解法证明即可.三、填空题3．（2023下·甘肃武威民勤县第一中学校考阶段练习）若图象上存在两点关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”），若恰有两个“友情点对”，则实数的取值范围是．【答案】【分析】根据题意分析可得在上有两解，利用导数判断的单调性和最值，数形结合处理问题.【详解】函数关于原点对称的函数为，若要恰有两个“友情点对”，则有两解，即在上有两解，令，求导可得，当，，则在内为减函数，当，，则在内为增函数，可得，，且当趋近于时，趋近于0，所以其图象为：

若要在上有两解，则，所以实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题4．已知函数，在点处的切线为.（1）求函数的单调区间；（2）若，是函数的两个极值点，证明.【答案】（1）的单调减区间是和，单调增区间是；（2）证明见解析.【解析】（1）求出导函数，由导数的几何意义和求得，然后由确定增区间，由确定减区间；（2）首先题意说明有两个变号的零点，从而转化为有两个不等实根，通过（1）中函数的单调性可得（不妨设），然后由分析法，要证，即证，只要证，即证，构造新函数利用导数证明单调性后可证得结论．【详解】（1）因为，所以由题意可知，，即，，可解得，.所以，则，由，得，由得，由得；的定义域为,,所以的单调减区间是和，单调增区间是.（2）由，是函数的两个极值点，得有两个变号零点，令即，当时，上述等式不成立；当时，上式转化为，由（1）知的单调减区间是和，单调增区间是，且时，，则函数的图象大致如图所示；不妨设，则，∴要证，即证，即证，即证，∵，∴，由（1）知在上单调递增，∴要证只需证，又，故即证令，∴又在上为增函数，∴，∴，在上单调递减，∴，即∴.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的零点，研究函数的单调性，证明不等式，考查了学生分析问题解决问题的能力，等价转化思想．属于难题．5．（2023上·山东·高三校联考阶段练习）设函数(1)当时，求曲线在处的切线方程.(2)讨论函数在区间上零点的个数.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）先求得导函数，是切线的斜率，利用点斜式方程求切线方程即可；（2）先对参数分类讨论研究函数的单调性，结合函数的最值和区间的边界值，利用零点存在性定理判断零点个数即可.【详解】（1）因为，所以，则，所以，切线方程为即（2）由（1）知，.①当时，在区间上大于零，在区间上单调递增，且，所以在区间上有一个零点.②当时，在区间上小于零，在区间上单调递减，且，所以在区间上有一个零点.③当时，在区间上小于零，在区间上大于零，所以在区间上单调递减，在上单调递增，而.当，即时，在区间上有两个零点.当，即时，在区间上有一个零点.综上可知，当或时，在上有一个零点，当时，在区间上有两个零点.【强化训练】一、单选题1．设函数的一个极值点为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先对函数进行求导，根据其一个极值点为，可得关系式，再利用两角和的正切公式即可求得结果.【详解】由，得，所以，故.故选：B.2．（2023单元测试）已知函数与函数的图像上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意函数与的图像上恰有两对关于轴对称的点，得到方程有两解，分离参数构造新函数，利用导数求出最值，结合题意分析即可得.【详解】因为函数与的图像上恰有两对关于轴对称的点，所以，即有两解，所以有两解，令，则，所以当时，0，此时函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减，所以在处取得极大值，，且时，的值域为，时，的值域为，因此有两解时，实数的取值范围为，故选：C.3．若函数在区间内有且仅有一个零点，则在区间上的最大值为（

）A．4 B．10 C．16 D．20【答案】D【分析】对函数求导整理得，分类讨论当时，在上单调递增且，则不符合题意；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则该零点处就是极值处，进而构建方程求得参数，再利用导数求三次函数的最值即可.【详解】因为，则，当时，显然，则原函数在上单调递增，又因为，则在上没有零点，不符合题意；当时，由于，令即函数在上单调递减，在上单调递增；又因为函数在有且仅有一个零点，则所以，即，令，解得或2故其单调性为：02+0-0+极大值极小值20所以函数的极大值为，右端点值为，故函数在区间上的最大值为20故选：D【点睛】本题考查由函数零点个数求参数，并求三次函数在指定区间的最值，属于中档题.4．已知函数，有以下命题：①当时，函数在上单调递增；②当时，函数在上有极大值；③当时，函数在上单调递减；④当时，函数在上有极大值，有极小值．其中不正确命题的序号是A．①③ B．②③ C．①④ D．②④【答案】B【详解】试题分析：，①当时，，在上递增，①正确；②当时，正确时，，时，，是的极小值，且只有这一个极值，②错；③当时，，，递增，③错；④时，或时，，在两个区间上都是递增的，时，，递减，因此极大值，有极小值，④正确，故选B．考点：导数与函数的单调性、极值．【名师点睛】求函数f（x）极值的步骤（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解方程＝0，求出函数定义域内的所有根；（4）列表检验在＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f（x）在x0处取极大值，如果左负右正，那么f（x）在x0处取极小值．5．已知函数，若存在，使得，则实数a的取值范围为：（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可得在上能成立，利用参变分离法进行转化，进而构造函数，求出函数的最大值即可.【详解】由题意可得在上能成立，所以在上能成立，令，则，令，则，所以在上单调递减，且，即，因此在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，故选：B.6．函数的极小值为（

）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】求导，利用导数分析原函数的单调性，得到极小值即可.【详解】由，得，当时，，单调递增；当或时，，单调递减；所以当时，函数取得极小值，极小值为.故选：A.二、多选题7．已知函数，（

）．A．若在区间上单调，则B．将函数的图象向左平移个单位得到曲线C，若曲线C对应的函数为偶函数，最小值为C．函数在区间上恰有三个极值点，则D．关于x的方程在上有两个不同的解，则【答案】BCD【分析】根据正弦函数的单调区间可判断A，根据三角函数的奇偶性的性质可判断B，根据三角函数的图像性质可判断CD.【详解】对于A，，，若在区间上单调递增，则，解得，又，所以，若在区间上单调递减，则，解得，又，所以，综上，或，A错误；对于B，的图象向左平移个单位得到，若为偶函数，则有，解得，，而，所以最小值为，B正确；对于C，，，函数在区间上恰有三个极值点，则有，解得：，C正确；对于D，，即，，，则，解得：，D正确.故选：BCD8．（2023上·湖北·高三湖北省仙桃中学校联考阶段练习）已知函数，若函数有两个零点，则的值可能是（

）A．2 B． C．3 D．0【答案】ABC【分析】结合导数和绝对值函数画出函数图象，结合图象分析即可.【详解】当时，，当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，所以当时，的最小值为.又在上，的图像如图所示：

因为有两个不同的零点，所以方程有两个不同的解，即直线与有两个不同交点且交点的横坐标分别为，故或或.若，则；若，则；若，则.故选：ABC.三、填空题9．若函数在处有极值，且，则称为函数的“点”.已知函数存在两个不相等的“点”，，且，则的取值范围是.【答案】【分析】由于，由题意得关于的方程的两个相异实数根，由此可求得，再将转化为结合韦达定理即可求得的取值范围.【详解】因为，所以，又因为函数存在不相等的两个“点”和，所以，是关于的方程的两个相异实数根．所以，又，，所以，即，从而，因为，所以，即，所以，因为，所以，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值，考查等价转化思想及函数与方程思想的应用，考查逻辑思维与综合运算能力，属于难题.10．若关于x的不等式恒成立，则的最小值是.【答案】【分析】由函数的定义域进行参变分离可得恒成立，设，利用导数求函数的最大值，即可求出的最小值.【详解】由于，则原不等式可化为，设，则，当时，，递增；，，递减，可得在处取得极大值，且为最大值.所以，则a的最小值为.故答案为:.【点睛】本题考查了函数的导数等基础知识，考查抽象概括、运算求解等数学能力，考查化归与转化、数形结合等思想方法.本题的关键是将不等式恒成立问题转化成求函数的最值问题.11．某产品的销售收入（万元）是产量x（千台）的函数，生产成本（万元）是产量x（千台）的函数，已知，为使利润最大，应生产（千台）．【答案】6【详解】分析：由题意得到利润关于产量的函数式，再由导数求得使利润最大时的产量．详解：由题意，利润y=（x＞0）．y′=36x﹣6x2，由y′=36x﹣6x2=6x（6﹣x）=0，得x=6（x＞0），当x∈（0，6）时，y′＞0，当x∈（6，+∞）时，y′＜0．∴函数在（0，6）上为增函数，在（6，+∞）上为减函数．则当x=6（千台）时，y有最大值为144（万元）．故答案为：6．点睛：解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况.12．（2023·辽宁·新民市第一高级中学校联考一模）已知函数，若恒成立，则的取值范围为．【答案】【分析】构造函数，等价于，再构造函数，利用函数单调性求出最小值，即可求出的值.【详解】等价于，令，则．当时，；当时，．所以故转化为，即令，，则，则，故的取值范围为．故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，处理问题的关键是通过不等式的形式构造适当的函数，再结合常变量分离法，利用导数的性质进行求解是解题的关键.四、解答题13．函数．（1）试讨论函数的单调性；（2）若，证明：(为自然对数的底数)．【答案】（1）答案见解析．（2）答案见解析【解析】（1）求导得，根据、分类讨论，求出与的解集即可得解；（2）令，求导得，令，求导得在时取得极小值，即为最小值，可得，即可得证.【详解】（1）的定义域为，，①当时，，在单调递增．②当时，时，，单调递减，当时，，单调递增．综上，当时在单调递增；当时，时，单调递减，当时，单调递增．（2），，即，设，则，当时，，当时，，当时，，所以在时取得极小值，即为最小值，所以.令，，则，当时，，当时，，当时，，所以在时取得极小值，即为最小值．所以即，所以恒成立．【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性和证明不等式，考查了换元法的应用，属于中档题.14．已知函数.（1）时，讨论函数的单调性；（2）证明：当时，.【答案】（1）函数在上递减，在上递增；（2）见解析【分析】（1）时，对求导，根据导函数的符号求出对应得范围，即可求出答案；（2）由（1）可知，问