河南省开封市2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省开封市2024-2025学年高一上学期期末数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（）A， B.，C.， D.，【答案】C【解析】命题“，”的否定是，，故选：C.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题设，则或，由，显然有、、、，所以A、B、D错，C对.故选：C.3.已知是函数的零点，且，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为函数、在上均为增函数，故函数在为增函数，因为，，，则，由零点存在定理可得，又因为，，故.故选：B.4.已知，是第三象限角，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，则，而，且是第三象限角，则，所以.故选：A.5.设、，则的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A选项，若，不妨取，，则，故“”“”，A不满足要求；对于B选项，若，且函数在上为增函数，所以，，故“”“”，所以，是的一个充要条件，B不满足要求；对于C选项，由可得，则，且，则，由不等式的基本性质可得，故，则，则有或，所以，“”“”，C不满足要求；对于D选项，因为，且函数为增函数，故，可得，所以，“”“”，且“”“”，所以，“”是“”的一个充分不必要条件，D满足要求.故选：D.6.已知是第一象限角，则下列正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为是第一象限角，∴，所以则角的终边在一、二象限或y轴非负半轴上，，A不正确；，B不正确；由，角的终边在第一象限或第三象限，所以

，D正确；角的终边在第三象限时，，C不正确；故选：D.7.已知函数的图象关于点成中心对称图形，当时，，则时，（）A. B.C. D.【答案】A【解析】若，则，故，由函数的图象关于点成中心对称图形，则.故选：A.8.已知函数，，则下列结论正确的是（）A.函数的最大值为2B.函数单调递增区间是C.函数的图象关于点中心对称D.直线与函数的图象所有公共点的横坐标之和为【答案】D【解析】，由，则，当，即时，取最大值为3，A错；由正弦函数的单调性，知和，即和时，单调递增，B错；，但不关于对称，C错；令，则，又，所以或或，即或或，故所有公共点的横坐标之和为，D对.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.集合A，B与对应关系f如图所示，则是从集合A到集合B的函数的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】选项A：集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一一个与之对应的，是函数，选项B：集合A中存在元素3在集合B中没有对应的，不是函数，选项C：集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一一个与之对应的，是函数，选项D：集合A中存在元素5在集合B中有2个元素与之对应，不是函数.故选：AC.10.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，该函数解析式为，则下列关于函数的命题中，是真命题的为（）A.为偶函数B.任意非零有理数都是的周期C.，D.若，则【答案】ABC【解析】选项A：当为有理数时，则也是有理数，则，当为无理数时，则也是无理数，则，故当时，，故A正确；选项B：，当为有理数时，则也是有理数，，当为无理数时，则也是无理数，，故B正确选项C：当为有理数时，，，当为无理数时，，，故C正确；选项D：若，，则，但，故D错误，故选：ABC.11.如图，已知直线，与函数，的图象分别交于，，，四点，且为平行四边形，则（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】依题意，当时，在图象下方，所以在图象上，在图象上，所以，，，又因为四边形为平行四边形，所以，即，即，又因为，所以，.故A正确，B错误.由均值不等式，化简可得，当时等号成立，由于，故，D正确，C错误.故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则________．【答案】1【解析】因为函数无限接近直线但又不与该直线相交，所以，又函数图象过原点，所以.所以.所以.故答案为：1.13.设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合的子集的个数为________．【答案】32【解析】因为定义集合，且，，又，所以集合A中的元素分别为1，2，3，4，5共5个，则集合的子集的个数为.故答案为：32.14.设，表示不超过的最大整数，例如：．．若存在实数，使得，，，同时成立，则的取值范围是_______．【答案】【解析】由，得；由，得，则；由，得，则；由，得，则，而，，所以的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.求满足下列条件的各式的值：（1）若，，求的值；（2）若，求的值．解：（1）由，，得，所以.（2）由，得，所以.16.某公司生产某种仪器的固定成本为4000元，每生产一台仪器需增加投入500元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台，，）满足函数：，利润是总收入与总成本之差．（1）将利润（单位：元）表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？解：（1）利润是总收入与总成本之差，所以．（2），所以当或时，公司获得最大利润为74120元．17.如图，以轴的非负半轴为始边的角，的终边分别交圆（为坐标原点）于，两点，其中点在第一象限，已知扇形的弧长与面积的数值都是．（1）求圆心角的弧度数；（2）若点的纵坐标为，求点的横坐标．解：（1）记圆的半径为，扇形的弧长与面积分别为，，则由得，由得，所以圆心角的弧度数为．（2）由题意，所以，，所以点横坐标．18.已知函数的定义域为，且，．（1）借助，证明：函数总能表示成一个奇函数与一个偶函数之和；（2）设函数．（i）判断在区间上的单调性，并根据定义进行证明；（ii）求不等式的解集．解：（1）函数的定义域为，则函数，的定义域也为，由，，得，函数为偶函数，由，，得，函数为奇函数，又，所以函数总能表示成一个奇函数与一个偶函数之和.（2）（i）函数在区间上单调递增，，且，，由，知，则，，，因此，，所以在区间上单调递增.（ii）因为为偶函数图象关于轴对称，在区间上单调递增，不等式等价于，即，解之得，所以不等式的解集为.19.如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的点（，不与点重合），已知．（1）求证：的周长为定值，并求出该定值；（2）求面积的最小值．（1）证明：法一：设，，，，则，，因为，所以，变形得①，的周长为②，将①变形得代入②，所