2022年广东省深圳市罗湖区罗湖外语初中学校中考数学三模试卷（解析版）

罗湖外语初中学校2022年中考数学三模试卷一、选择题（每题3分，共30分）1.的倒数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数进行解答即可.【详解】∵=1，∴﹣的倒数是﹣，故选D．【点睛】本题考查了倒数的概念，熟练掌握倒数的概念是解题的关键.2.据报道年深圳全市超过亿元人民币．数据亿用科学记数法表示为（）亿A.亿 B.亿C.亿 D.亿【答案】B【解析】【分析】科学计算法的表示为的形式，其中为整数．【详解】解：亿元亿元．故选：【点睛】本题主要考查了科学计算法，科学计算法的表示为的形式，其中为整数．3.下列美丽的图案中，不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选A．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．4.下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，同底数幂相除的性质，逐一计算判断即可．【详解】解：A、与不是同类项，不能计算，故本选项不正确，不符合题意；B、，故正确，符合题意；C、，故不正确，不符合题意；D、，不正确，不符合题意．故选B．【点睛】此题主要考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，同底数幂相除的性质，熟记并灵活运用是解题关键．5.小明是一位运动达人，他通过佩戴智能手环来记录自己一个月（30天）每天所走的步数，并绘制成如下统计表：：步数（万步）1.41.51.61.71.8天数45786在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（）A.1.6，1.5 B.1.7，1.55 C.1.7，1.7 D.1.7，1.6【答案】D【解析】【分析】在这组数据中出现次数最多的是1.7，得到这组数据的众数；把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个数的平均数是中位数.【详解】在这组数据中出现次数最多的是1.7，即众数是1.7；要求一组数据的中位数，把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个两个数的平均数是（1.6+1.6）÷2＝1.6，所以中位数是1.6．故选D．【点睛】本题考查了一组数据的中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．6.如图在▱ABCD中，已知AC=4cm，若△ACD的周长为13cm，则▱ABCD的周长为（）A.26cm B.24cm C.20cm D.18cm【答案】D【解析】【分析】根据三角形周长的定义得到AD+DC=9cm．然后由平行四边形的对边相等的性质来求平行四边形的周长．【详解】解：∵AC=4cm，若△ADC的周长为13cm，∴AD+DC=13﹣4=9（cm）．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∴平行四边形的周长为2（AB+BC）=18cm．故选D．7.如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝10，分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，连接DE交BC于点H，连接AH，则AH的长为（）A.5 B.5 C. D.5【答案】C【解析】【分析】先利用勾股定理计算出BC＝5，再利用作法得到BH＝CH，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解．【详解】∵∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝10，∴BC＝＝5，由作法得DE垂直平分BC，∴BH＝CH，∴AH为Rt△ABC斜边上的中线，∴AH＝BC＝．故选：C．【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．8.某畅销书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出40本，设每件商品降价x元后，每星期售出此畅销书的总销售额为y元，则y与x之间的函数关系为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据降价x元，则售价为（30−x）元，销售量为（200＋20x）本，由题意可得等量关系：总销售额为y＝销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可．【详解】设每本降价x元，则售价为（30−x）元，销售量为（200＋20x）本，根据题意得，y＝（30−x）（200＋20x），故选B．【点睛】本题考查由实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式．9.二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，A（﹣1，3）是抛物线的顶点，则以下结论中正确的是（）A.a＜0，b＞0，c＞0B.2a+b＝0C.当x＜0时，y随x的增大而减小D.ax2+bx+c﹣3≤0【答案】D【解析】【分析】利用抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，则b＝2a＜0，则可对A、B进行判断；利用二次函数的性质可对C进行判断；利用二次函数的最值问题可对D进行判断．【详解】A.抛物线开口向下，则a＜0，抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，则b＝2a＜0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，则c＞0，所以A选项错误；B.抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，则2a﹣b＝0，所以B选项错误；C.当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，所以C选项错误；D.二次函数的最大值为﹣3，则y≤3，即ax2+bx+c﹣3≤0，所以D选项正确．故选D．【点睛】本题考查了二次函数与不等式：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．10.如图，在中，，分别以和为边向外作正方形和正方形，过点作的延长线的垂线，垂足为点．连接，交的延长线于点．下列说法：①；②若，，则；③；④；⑤若，，则的面积为．正确的个数有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D【解析】【分析】根据正方形的性质，结合已知条件证明，即可判断①，根据，得出，进而得出，即可判断②，证明为的中位线，即可判断③，证明，即可判断④，进而即可求解．【详解】解：四边形是正方形，，，四边形是正方形，，，，，，在和中，，，故①正确；，，，，则，，，，故②正确；，，又，，又，为的中位线，，，；故③④正确；，，在中，，，，，，，，，，，，，，故⑤错误．故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键．二、填空题（每题3分，共15分）11.因式分解：_______．【答案】【解析】【分析】利用提取公因式法和平方差公式，分解因式，即可．【详解】解：原式=，故答案是：．【点睛】本题主要考查因式分解，掌握提取公因式法和平方差公式，是解题的关键．12.一个箱子里装有除颜色外都相同的2个白球，3个红球，1个篮球，现添加若干个相同型号的篮球，使得从中随机模取1个球，摸到篮球的概率是50%，那么添加了_______个篮球．【答案】4【解析】【分析】设添加的蓝球的个数是x，根据概率公式列出算式，再进行求解即可．详解】设添加了x个蓝球，根据题意，得：，解得：x＝4，经检验：x＝4是原分式方程的解，即添加了4个蓝球，故答案为4．【点睛】本题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．13.已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值是______．【答案】2【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，解之即可．【详解】∵x=1是一元二次方程的一个解，∴，∴m=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解决本题的关键是将x的值准确代入方程进行计算．14.如图，某课外活动实践小组在楼顶的A处进行测量，测得大楼对面山坡上E处的俯角为30°，对面山脚C处的俯角60°，已知AB⊥BD，AC⊥CE，BC＝10米，则C，E两点间的距离为米．【答案】【解析】【分析】在直角△ABC中，根据30度角的性质即可求得AC长，然后在直角△ACE中利用三角函数即可求解．【详解】Rt△ABC中，BC＝10，∠ACB＝60°，∴∠BAC＝30°，∴AC＝2BC＝20，∵∠FAE＝30°，∴∠CAE＝90°﹣∠BAC﹣∠FAE＝30°，Rt△ACE中，tan∠CAE＝，∴CE＝tan30°•20＝，故答案为．【点睛】本题考查了俯角的定义和三角函数的定义，正确利用三角函数的定义是解题的关键．15.如图，在平面直角坐标系中，矩形的边与x轴重合，B的坐标为，将矩形绕平面内一点P顺时针旋转，使A、C两点恰好落在反比例函数的图象上，则旋转中心点P的坐标是_______．【答案】【解析】【分析】设，则，依据反比例函数图象上的点的坐标特征，得到，进而得出，，设，再根据，，，得到方程组，进而得出旋转中心点的坐标．【详解】解：如图，∵B的坐标为，∴矩形的长为2，宽为1，由旋转可得，轴，轴，设，则，∵点在反比例函数的图象上，∴，解得（负值已舍去），∴，，由旋转的性质可得，，，设，则，解得，∴旋转中心P点的坐标是，故答案．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是掌握：反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．也考查了矩形的性质以及旋转的性质．三、解答题（共55分）16.计算：．【答案】【解析】【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【详解】解：原式=．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．17.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的三个顶点坐标分别为，，，是向下平移2个单位，向右平移3个单位得到的．（1）在图中画出和；（2）求的面积．【答案】（1）见解析（2）6【解析】【分析】（1）在平面直角坐标系中描出，，三点，连接得到，根据平移法则画出，并求出点、、的坐标即可；（2）结合网格求出的面积即可．【小问1详解】解：画出、，如图所示；【小问2详解】根据网格得：，边上的高为3，则的面积．【点睛】此题考查了作图--平移变换，作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步，平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．18.2022年北京冬奥会于2月4日至20在北京举行，某校为了解学生对此次运动会的关注程度，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果，把学生对冬奥会的关注程度分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次，并绘制成如下不完整的统计图：请结合图中的信息，解答下列问题：（1）此次调查共抽取了______名学生；扇形统计图中，“较强”所对应扇形圆心角的度数为______．（2）请补全条形统计图；（3）若该校有1500名学生，请你估计该校对冬奥会关注程度为“淡薄”层次学生约有多少人？（4）如果从“淡薄”和“一般”共4名学生中随机抽取两名调查关注程度不强的原因，求恰好抽到“两名学生来自不同层次”的概率．【答案】（1）40，（2）见解析（3）75人（4）【解析】【分析】（1）“一般”的人数除以所占的百分比求出总数，“较强”所占的百分比，求出圆心角度数；（2）补全条形图即可；（3）样本中对冬奥会关注程度为“淡薄”层次的学生所占的比例，进行求解即可；（4）画出树状图，求概率即可．【小问1详解】解：（人），“较强”的人数为（人），，此次调查共抽取了40名学生；扇形统计图中，“较强”所对应扇形圆心角的度数为，故答案为：40，；【小问2详解】补图如下：【小问3详解】（人），答：该校对冬奥会关注程度为“淡薄”层次的学生约有75人；【小问4详解】设“淡薄”层次的2名学生为甲，“一般”层次的2名学生为乙，树形图如下：共有12种情况，“两名学生来自不同层次”的有8种，∴“两名学生来自不同层次”的概率为．【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合应用，以及树状图法求概率．从统计图中有效的获取信息，熟练掌握树状图法求概率，是解题的关键．19.如图，在△ABC中，AC=BC，以BC为直径作⊙O，交AC于点M，作CD⊥AC交AB延长线于点D，E为CD上一点，且BE=DE．（1）求证：BE为⊙O的切线．（2）若CM=6，，求CE的长．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ACD=90°，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ABC，∠D=∠DBE，推出CB⊥BE，于是得到结论；（2）连接BM，根据圆周角定理得到BM⊥AC，根据三角函数的定义得到BM=8，BC=10，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【小问1详解】证明：∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°，∴∠A+∠D=90°，∵AC=BC，BE=DE，∴∠A=∠ABC，∠D=∠DBE，∴∠ABC+∠DBE=90°，∴∠CBE=180°-90°=90°，∴CB⊥BE，∴BE为⊙O的切线；【小问2详解】解：如图，连接BM，∵BC为⊙O的直径，∴BM⊥AC．∵CM=6，，∴．∵，∴．∵BM⊥AC，AC⊥CD，∴BMCD，∴∠MBC=∠BCE．∵∠BMC=∠CBE=90°，∴△BMC∽△CBE，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了切线判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．20.宝安区的某商场经市场调查，预计一款夏季童装能获得市场青睐，便花费15000元购进了一批此款童装，上市后很快售罄．该店决定继续进货，由于第二批进货数量是第一批进货数量的2倍，因此单价便宜了10元，购进第二批童装一共花费了27000元．（1）该店所购进的第一批童装的单价是多少元？（2）两批童装按相同标价出售，经理根据市场情况，决定对第二批剩余的100件打七折销售．若两批童装全部售完后，利润不低于30%，那么每件童装标价至少是多少元？【答案】（1）该店所购进第一批童装的单价是100元/件；（2）每件童装标价至少为130元．【解析】【分析】1）设该店所购进的第一批童装的单价是x元/件，则该店所购进的第二批童装的单价是（x﹣10）元/件，根据数量＝总价÷单价结合于第二批进货数量是第一批进货数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）根据数量＝总价÷单价可求出第一批购进的数量，用其×2可得出第二批购进的数量，设每件童装标价为y元，根据利润＝销售收入﹣成本，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．【详解】（1）设该店所购进的第一批童装的单价是x元/件，则该店所购进的第二批童装的单价是（x﹣10）元/件，根据题意得：，解得：x＝100，经检验，x＝100是原分式方程的解且符合题意．答：该店所购进的第一批童装的单价是100元/件．（2）第一批购进的数量为15000÷100＝150（件），第二批购进的数量为150×2＝300（件）．设每件童装标价为y元，根据题意得：（150+300﹣100）y+100×0.7y﹣15000﹣27000≥（15000+27000）×30%，解得：y≥130．答：每件童装标价至少为130元．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．21.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，P为y轴上的一个动点，已知A（﹣2，0）、C（0，﹣2），且抛物线的对称轴是直线x＝1．(1)求此二次函数的解析式；(2)连接PB，则PC+PB的最小值是；(3)连接PA、PB，P点运动到何处时，使得∠APB＝60°，请求出P点坐标．【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）3；（3）P（0，+），（0，﹣﹣）．【解析】【分析】(1)根据待定系数法，可得答案；(2)连接AC，作BH⊥AC于H，交OC于P，此时PC+PB最小．最小值就是线段BH，求出BH即可．(3)根据勾股定理，可得PA，PB，根据锐角三角函数，可得BC的长，根据三角形的面积，可得关于n的方程，根据解方程，可得答案．【详解】解：（1）将A，C点坐标代入函数解析式，及对称轴，得解得抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2，(2)连接AC，作BH⊥AC于H，交OC于P，如图1，此时PC+PB最小．理由：当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣2（舍）x＝4，即B（4，0），AB＝4﹣（﹣2）＝6．∵OA＝2，OC＝2，∴tan∠ACO＝，∴∠ACO＝30°，∴PH＝PC，∴PC+PB＝PH+PB＝BH，∴此时PB+PD最短（垂线段最短）．在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，AB＝4﹣（﹣2）＝6，∠HAB＝60°，∴sin60°＝＝，∴BH＝6×＝3，∴PC+PB的最小值为3，故答案为3．(3)如图2，作BC⊥PA于C，设P（0，n），由勾股定理，得PB＝，PA＝，由sin∠APB＝sin60°，得∠CPB＝，∴BC＝，由S△PAB＝AB•|n|＝AP•BC，得6|n|＝,化简，得n4﹣28n2+64＝0，解得n²＝14+2，n²＝14﹣2（不符合题意，舍）＝＝+，＝﹣＝﹣﹣∴P（0，