2022年广东省深圳市南山区育才二中九年级下学期6月学业质量调研考试数学试题（解析版）

深圳市育才二中2021—2022学年第二学期初三6月学业质量调研考试初中九年级学科数学答题时间90分钟满分100分一、单选题（每小题3分，共30分）1.的倒数是（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1，则，进而可得答案．【详解】解：由题意知，，∴的倒数是．故选：A．【点睛】本题考查了倒数的概念．解题的关键是掌握倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3.据调查，某影院10月13日电影《长津湖》当日票房收入约为24000元，将24000用科学记数法表示为（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，是正整数；当原数的绝对值小于1时，是负整数．【详解】解：将24000用科学记数法表示为．故选：D．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解题的关键．4.如图是由7个相同的小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据从正面看到的图形，几何体的主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1判断即可．【详解】解：从正面看到的图形，几何体的主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1，如图所示：故选：A【点睛】此题考查了三视图，解题关键是明确主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形．5.下列运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【详解】A、原式不能合并，不符合题意；B、原式=2a-2a2，符合题意；C、原式=-a3b6，不符合题意；D、原式=a2+2ab+b2，不符合题意，故选B．【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6.如图，能判定的条件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接根据平行线的判定定理对各选项逐一进行分析即可．【详解】解：A、∵和不是同位角，∴不能判定任何直线平行，故此选项不符合题意；B、∵和不是内错角，∴不能判定任何直线平行，故此选项不符合题意；C、∵和不是同位角，∴不能判定任何直线平行，故此选项不符合题意；D、∵和是内错角，∴当时能判定，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查平行线的判定．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等或内错角相等或同旁内角互补才能判断两直线平行．7.中国古代的数学名著《孙子算经》中有这样一个问题，大意是：“有100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，则大马、小马各有多少匹？”若设大马、小马各有x匹、y匹，根据题意，可列方程组为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据“3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．【详解】解：根据题意可得：，故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．8.如下图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】详解】解：如图，过C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可得M为AD的中点，∵，且AC=3，BC=4，AB=5，∴．在Rt△ACM中，根据勾股定理得：，∴（舍去负值）．∴．故选C．9.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是x=－1．有以下结论：①abc>0，②4ac<b2，③2a+b=0，④a－b+c>2，其中正确的结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【详解】①∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x==﹣1，∴b=2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，所以①正确，符合题意；②∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2-4ac＞0，∴4ac<b2，所以②正确，符合题意；③∵b=2a，∴2a﹣b=0，所以③错误，不符合题意；④∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞2，所以④正确，符合题意．故选C．10.如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A．C分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．下列结论：①△OCN≌△OAM；②ON=MN；③四边形DAMN与△MON面积相等；④若∠MON=450，MN=2，则点C的坐标为．其中正确的个数是【】A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】设正方形OABC的边长为a，通过△OCN≌△OAM（SAS）判定结论①正确，求出ON和MN不一定相等判定结论②错误，而可得结论③正确，列式求出C点的坐标为可知结论④正确．【详解】设正方形OABC边长为a，则A（a，0），B（a，a），C（0，a），M（a，），N（，a）．∵CN=AM=，OC=OA=a，∠OCN=∠OAM=900，∴△OCN≌△OAM（SAS）．结论①正确．根据勾股定理，，，∴ON和MN不一定相等．结论②错误．∵，∴．结论③正确．如图，过点O作OH⊥MN于点H，则∵△OCN≌△OAM，∴ON=OM，∠CON=∠AOM．∵∠MON=450，MN=2，∴NH=HM=1，∠CON=∠NOH=∠HOM=∠AOM=22.50．∴△OCN≌△OHN（ASA）．∴CN=HN=1．∴．由得，．解得：（舍去负值）．∴点C的坐标为．结论④正确．∴结论正确的为①③④3个．故选C．【点睛】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义和正方形的性质；熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行几何计算．二、填空题（每题3分，共15分）11.分解因式___________．【答案】【解析】【分析】先提取公因式2，然后根据完全平方公式因式分解即可求解【详解】解：原式＝2故答案为：【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．12.任意投挪一枚均匀的骰子，点数大于4的概率是_____．【答案】．【解析】【分析】由任意抛掷一枚均匀的骰子一次，朝上的点数大于4的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：∵任意抛掷一枚均匀的骰子一次，朝上的点数大于4的有2种情况，∴任意抛掷一枚均匀的骰子一次，朝上的点数大于4的概率等于：．故答案为：．【点睛】此题考查了概率公式的应用，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键．13.如图，在矩形ABCD中，，垂足为E．若，，则______．【答案】【解析】【分析】矩形的对边，得，由，得，即可求出．【详解】解：矩形的对边，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的性质与解直角三角形．14.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图像交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交反比例函数的图像于点C，连接BC，若，则k的值为_______．【答案】2【解析】【分析】由于点A在反比例函数的图像上，点C在反比例函数的图像上，可设A（a，），C（c，），表示AC的长，以及△ABC边AC上的高BN，根据△ABC的面积为3，可以列出方程，进而求出k的值即可．【详解】解：过点B作BN⊥AC，垂足为N，交x轴于点M，如图所示：由于点A与点B关于原点对称，则OA＝OB，又∵AC∥x轴，∴BM＝MN＝BN，∵点A在反比例函数的图像上，点C在反比例函数的图像上，设A（a，），C（c，），∴AC＝c−a，MN＝＝，即：k＝，∵△ABC的面积为3，∴AC•BN＝3，即（c−a）×（）＝3，∴，∴．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，设出点的坐标，利用三角形的面积列方程，是解决问题的关键．15.如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N．已知AB＝4，BC＝6，则MN的长为_____．【答案】【解析】【分析】延长CE、DA交于Q，延长BF和CD，交于W，根据勾股定理求出BF，根据矩形的性质求出AD，根据全等三角形的性质得出AQ=BC，AB=CW，根据相似三角形的判定得出△QMF∽△CMB，△BNE∽△WND，根据相似三角形的性质得出比例式，求出BN和BM的长，即可得出答案．【详解】解：如图1所示，延长CE，AD交于点Q，∵四边形ABCD是矩形，BC=6，∴∠BAD=90°，AD=BC=6，ADBC，∵F为AD的中点，∴AF=DF=3，在Rt△BAF中，由勾股定理得：，∵ADBC，∴∠Q=∠ECB，∵E为AB的中点，AB=4，∴AE=BE=2，在△QAE和△CBE中，∴△QAE≌△CBE(AAS)，∴AQ=BC=6，即QF=6+3=9，∵ADBC，∴△QMF∽△CMB，∴，∵BF=5，∴BM=2，FM=3，如图2所示，延长BF和CD，交于W，同理AB=DW=4，CW=8，BF=FW=5，∵ABCD，∴△BNE∽△WND，∴，∴，解得：BN=，∴MN=BN−BM=−2=．故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，相似三角形的性质和判定，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．三、解答题（共55分）16计算：【答案】1【解析】【详解】分析：根据算术平方根、零指数幂、负整数指数幂和cos45°=得到原式=，然后进行乘法运算后合并即可．详解：原式=，==1．点睛：本题考查了实数的运算：先进行乘方或开方运算，再进行乘除运算，然后进行实数的加减运算．也考查了零指数幂、负整数指数幂以及特殊角的三角函数值．17.先化简:,再从-1,0,1中选取一个数并代入求值.【答案】1【解析】【分析】先把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后把分子、分母分解因式约分化简，再从-1，0，1中选取一个使分式有意义的数代入计算即可.【详解】解:原式==-,其中a≠1且a≠-1,∴a只能取0.当a=0时,原式=1.【点睛】本题考查了分式的化简求值及分式有意义的条件，分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意所取数字要使分式有意义．18.某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校共有1500名学生，估计爱好运动的学生有人；（4）在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是．【答案】（1）100（2）见解析（3）600（4）【解析】【分析】（1）用娱乐人数除以对应的百分比即可；（2）用总数除以相应百分比，求出各组频数，再画图；（3）估计爱好运用的学生人数为：1500×40%；（4）爱好阅读的学生人数所占的百分比30%，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为.【详解】解：（1）爱好运动的人数为40，所占百分比为40%∴共调查人数为：40÷40%=100（2）爱好上网的人数所占百分比为10%∴爱好上网人数为：100×10%=10，∴爱好阅读人数为：100﹣40﹣20﹣10=30，补全条形统计图，如图所示，（3）爱好运动所占的百分比为40%，∴估计爱好运用的学生人数为：1500×40%=600（4）爱好阅读的学生人数所占的百分比30%，∴用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为故答案为（1）100；（3）600；（4）【点睛】本题考核知识点：统计初步，用频率估计概率.解题关键点：从统计图表获取信息，用频率估计概率.19.某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．（1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？【答案】（1）第一次每支铅笔的进价为4元．（2）每支售价至少是6元．【解析】【分析】（1）方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解．本题等量关系为：第一次购进数量－第二次购进数量=30；（2）设售价为y元，求出利润表达式，然后列不等式解答，利润表达式为：第一次购进数量×第一次每支铅笔的利润＋第二次购进数量×第二次每支铅笔的利润．【详解】解：（1）设第一次每支铅笔进价为x元，由第二次每支铅笔进价为x元．第一次购进数量－第二次购进数量=30－=30．（2）设售价为y元，由已知＋≥420，

解得y≥6．

答：每支售价至少是6元．20.如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，⊙O与AB相交于点C，与AO相交于点E，连接CE，已知∠AOC＝2∠ACE．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若AO＝20，BO＝15，求AE的长．【答案】（1）见解析（2）8【解析】【分析】（1）根据OC＝OE，得到∠OCE＝∠OEC，再根据∠AOC＝2∠ACE，得到∠OCA＝∠OCE+∠ACE＝（∠OCE+∠OEC+∠AOC）＝＝90°，即有OC⊥AB，结论得证；（2）利用勾股定理求出AB，在根据三角形的面积的不同算法可求出OC，即AE可求．【小问1详解】证明：∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∵∠AOC＝2∠ACE，∴∠OCA＝∠OCE+∠ACE＝（∠OCE+∠OEC+∠AOC）＝＝90°，∴OC⊥AB，∴AB为⊙O的切线；【小问2详解】∵AO＝20，BO＝15，∴，∵，即，∴OC＝12，∴AE＝OA﹣OE＝20﹣12＝8.【点睛】本题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及三角形面积的知识，利用勾股定理解直角三角形是解答本题的关键．21.由得，；如果两个正数a，b，即，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号．例如：已知，求式子的最小值．解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．请根据上面材料回答下列问题：（1）当，式子的最小值为______________；当，则当__________时，式子取到最大值；（2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？（3）如图，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值．【答案】（1）2；-3；（2）长为8，宽为4；最短篱笆为16；（3）32+8．【解析】【分析】（1）直接套公式计算，取相反数后，套用公式计算即可；（2）设篱笆的长为，则宽为，则篱笆的周长为，套用公式计算即可；（3）设点B到AC的距离BE=，点D到OC的距离DF=，用，，表示四边形的面积，后套用公式计算即可．【详解】（1）∵，∴，∴式子的最小值为为2，故答案为：2；∵，∴＞∴，当且仅当，时，等号成立，解得不符合题意，舍去，取，∴，∴，∴当时，式子取到最大值，故答案为：-3；（2）设篱笆的长为，则宽为，∴篱笆的周长为,∵，∴，当且仅当，时，等号成立，解得或（舍去），∴=4，∴长方形的长为8米、宽为4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米；（3）设点B到AC的距离BE=，点D到OC的距离DF=，∵、的面积分别是8和14，∴OA=，OC=，∴AC=OA+OC=+，∴(+)=++，∵，∴+，∴++，∴四边形面积的最小值．【点睛】本题考查了新定义运算，矩形性质，三角形的面积，四边形的面积，准确理解新定义运算的意义，构造条件使用公式是解题的关键．22.如图1，抛物线与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点N是抛物线上异于点C的动点，若△NAB的面积与△CAB的面积相等，求出点N的坐标；（3）如图2，当P为OB的中点时，过点P作PD⊥x轴，交抛物线于点D．连接BD，将△PBD沿x轴向左平移m个单位长度（0＜m≤2），将平移过程中△PBD与△OBC重叠部分的面积记为S，求S与m的函数关系式．【答案】（1）（2）或或（2，-3）；（3）【解析】【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；（2）由抛物线解析式求得点C的坐标，即OC=3，所以由三角形的面积公式得到点N到x轴的距离为3，据此列出方程并解答；（3）如图2，由已知得，B′B=m，PB′=2，利用待定系数法确定直线BC的表达式为y=x-3．根据二次函数图象上点的坐标特征和坐标与图形的性质求得D（2，-3），所以直线CD∥x轴．由此求得ED′的长度；过点F作FH⊥PD′于点D′，构造相似三角形：△D′HF∽△D