广西钦州市示范性高中2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷（解析版）

第1页/共1页2024年12月份月考高二数学试题一、单选题（每小题5分）1.直线和直线互相平行，则的值为（）A. B.3 C.3或 D.【答案】A【解析】【分析】根据两直线平行的条件求解．【详解】因为直线和直线互相平行，所以，解得或，时，两直线方程分别为和，平行，时，两直线方程分别为和，重合，不合题意．所以，故选：A．2.复数的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】应用复数除法求复数，结合共轭复数概念求答案.【详解】，则其共轭复数为.故选：C3.若离心率为的双曲线与椭圆的焦点相同，则双曲线的方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据椭圆方程确定且焦点在x轴上，再由双曲线离心率及参数关系确定方程.【详解】由椭圆方程知：且焦点在x轴上，又双曲线的离心率为，则，所以，则双曲线的方程是.故选：D4.如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为底面的中心，为的中点，且，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题先建立空间直角坐标系，接着求出和直线的单位方向向量，再由空间中的点到直线的距离公式即可求解.【详解】由题可以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以，则，故点到直线距离为.故选：B.5.不透明的袋中装有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球、2个白球，从袋中一次性取出2个球，记事件A=“两球同色”，事件B=“两球异色”，事件C=“至少有一红球”，则（）AB.事件与事件是相互独立事件C.事件与事件是对立事件D.【答案】D【解析】【分析】利用组合数及古典概率的求法判断A、D；由事件描述，结合独立事件的判定及对立事件的定义判断B、C.【详解】对于A，随机试验从袋中一次性取出2个球的样本空间含个样本点，随机事件A包含的样本点的个数为，所以，错误；对于B，随机事件包含的样本点的个数为，所以，随机事件为不可能事件，所以，所以，所以事件A与事件不是相互独立事件，错误，对于C，根据题设描述，易知事件A与事件C不是对立事件，错误；对于D，随机事件包含的样本点的个数为，所以，正确.故选：D6.已知圆的方程为，过点的直线与圆交于，两点，则弦的最小值为（）A. B.10 C. D.5【答案】A【解析】【分析】确定圆的圆心和半径，确定当时，最短，根据圆心距和圆的半径以及弦长的关系，即可求得答案.【详解】圆的方程可化为，则，因为，故点在圆内，过点的最长弦一定是圆的直径，当时，最短，此时，则，故选：A．7.已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若为线段中点且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A. B.3 C. D.【答案】B【解析】【分析】设，应用点差法，结合为线段中点及、列方程求得，进而求离心率.【详解】由题意，设，则，两式相减得，而，，所以.故选：B.8.在四面体中，点为线段靠近A的四等分点，为的中点，若，则的值为（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量运算法则结合空间向量基本定理即可计算求解.【详解】由题又由题，故.故选：C.二、多选题（每小题6分）9.下列结论正确的是（）A.若，则B.若向量是空间的一组基底，则也是空间的一组基底C.两个不同的平面的法向量分别是，则D.直线方向向量，平面的法向量，则【答案】BC【解析】【分析】由向量的数量积是否为0判断向量是否垂直，从而判断空间线面位置关系，判断ACD，由空间基底的概念判断B．【详解】对于A，，A错误对于B，若向量共面，则，整理得，由向量是空间的一组基底，所以，显然方程无解，则向量不共面，也是空间一组基底，故B正确；对于C，因为，所以，有，故C正确；对于D，因为，所以，或，因为不能确定直线是否在平面内，故D错误；故选：BC.10.（多选题）已知曲线，则下列说法正确的是（）．A.若，则C是焦点在x轴上的椭圆B.若，则C是圆C.若，，则C是双曲线，其渐近线方程为D.若，则C是双曲线，其离心率为或【答案】ABD【解析】【分析】由，可得为焦点在轴上的椭圆，可判断A；由，可判断B；由，，求得双曲线的渐近线方程，可判断C；由，讨论，，求得离心率，可判断D．【详解】解：曲线，若，则是焦点在轴上的椭圆，故A正确；若，即，则是圆，故B正确；若，，则是双曲线，其渐近线方程为，即，故C错误；若，则是双曲线，当，可得双曲线的焦点在轴上，可得，当，可得双曲线的焦点在轴上，可得，故D正确．故选：ABD．11.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，则（）A.B.C.异面直线与夹角的余弦值为D.点到平面的距离为【答案】ACD【解析】【分析】根据已知构建合适的空间直角坐标系，应用向量模长的坐标表示、线线角、点面距离的向量法判断B、C、D；由空间向量加减、数乘的几何意义用相关向量表示出判断A.【详解】因为面面，所以，在正方形中，有，所以两两互相垂直，以A为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，而，从而，对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，则直线与夹角的余弦值为，故C正确；对于D，，设平面的法向量为，则，令，解得，所以，又，所以点到平面的距离为，故D正确.故选：ACD三、填空题（每小题5分）12.设关于x的实系数方程的两个虚根为、，则______．【答案】【解析】【分析】结合韦达定理和二次方程虚根的概念即可求解.【详解】由题可知，，设，a，b∈R，则，则．故答案为：13.阿波罗尼斯（约公元前262年~约公元前190年），古希腊著名数学家，主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线的左，右焦点分别为，其离心率，从发出的光线经过双曲线的右支上一点的反射，反射光线为，若反射光线与入射光线垂直，则______.【答案】【解析】【分析】利用垂直和双曲线的定义把和用表示后，由直角三角形中正弦函数定义计算．【详解】设，由题意知，所以，所以，又，所以，解得，所以.故答案为：14.如图，，分别为椭圆的左、右焦点，A，C在椭圆上且关于原点对称（点A在第一象限），延长交椭圆于点B，若，则直线AC的方程为______.【答案】【解析】【分析】根据椭圆的对称性得出四边形为平行四边形，则，设直线的斜率为k，则直线的方程为，联立直线与椭圆方程消去得出，则，同理，即可根据弦长公式列式解出，即可得出答案.【详解】连接，，，，四边形为平行四边形，.设直线的斜率为k，，直线的方程为.联立方程，得，整理得，点A在第一象限，，同理可得.，得，，则，直线AC的方程为.四、解答题15.已知圆过点，且圆心在直线上.（1）求圆的方程;（2）若直线过点且与圆相切，求直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）结合圆的几何性质求得圆的方程.（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，由此求得直线的方程.【小问1详解】设圆心，由得：，解得，所以圆心为，半径为，所以圆的方程为.【小问2详解】当直线的斜率不存在时，直线的方程为，直线与圆相切，符合题意.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，圆心到直线的距离，解得，所以直线的方程为.综上所述，直线的方程为或.16.已知抛物线方程为，焦点在直线上．（1）求抛物线的方程；（2）记直线与抛物线交于，两点，求线段的长度．【答案】（1）；（2）5.【解析】【分析】（1）根据焦点在直线上，令直线中，可得焦点坐标，进而可得抛物线的方程．（2）将直线的方程与抛物线的方程联立，计算，然后利用焦点弦长公式计算．【小问1详解】因为抛物线方程为，焦点在直线上，所以令，解得，则，所以，所以抛物线的方程为；【小问2详解】因为直线与抛物线交于，两点，联立，消去整理得，，所以，所以，即线段的长度为5．17.如图所示，在多面体中，底面为矩形，且底面，，，.（1）证明：平面.（2）求直线与平面夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取线段的中点，连接，求证即可由线面平行判定定理得证.（2）建立空间直角坐标系，求出向量和平面的一个法向量即可由线面角的空间向量法计算求解.【小问1详解】证明：取线段的中点，连接，因为四边形是矩形，且，所以且，因为且且，所以且，所以且，所以四边形是平行四边形，则，因为平面平面，所以平面【小问2详解】因为底面平面，所以，又因为所以以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，则.设平面的法向量为，则，令，则，故平面的一个法向量，设直线与平面夹角为，，所以，直线与平面夹角的正弦值为.18.如图，在三棱锥中，，，侧面等边三角形，侧棱.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）设中点为，连结，，推导出，，从而就是二面角的平面角，由已知条件可得，，，从而得，即可证明平面平面；（2）以为原点建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，建立方程求出平面和平面的法向量，用公式即可求出二面角的余弦值.【小问1详解】证明：设中点为，连结，，如图：∵∴.又∵∴.∴就是二面角的平面角.又由已知，，∴，.又∵为正三角形，且，∴.∵满足.∴.∴平面平面【小问2详解】由（1）知，，两两垂直.以为原点建立如图所示的空间直角坐标系.易知，，，，∴，，设平面的法向量为，则即令，则，.∴平面的一个法向量为.易知平面的一个法向量为.∴.由图可知，二面角为锐角.∴二面角的余弦值为.19.已知椭圆的离心率，左，右焦点分别为，点在椭圆上：（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线交椭圆于两点，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由离心率得，再代入已知点坐标结合求得得椭圆方程；（2）设，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得，再用表示出面积，化为的函数，然后利用基本不等式求得最