长方体和正方体的认识（重难点讲解知识总结练习答案解析）-五年级数学下册（人教版）

【新课同步学与练】20242025学年人教版五年级数学下册第三单元：长方体和正方体3.1、长方体和正方体的认识（重难点讲解+知识点总结+同步练习+答案解析）1、长方体（1）一般是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。（2）长方体特征：①面：长方体有6个面，这6个面一般是长方形的，特殊情况有两个相对的面是正方形；相对的面完全相同。②棱：长方体有12条棱，相对的棱长度相等。长方体12条棱可以分成3组，分别有4条长、4条宽、4条高。③顶点：长方体有8个顶点。（3）长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4＝长×4＋宽×4＋高×4长＝棱长总和÷4－宽－高宽＝棱长总和÷4－长－高高＝棱长总和÷4－长－宽2、正方体（1）由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。（2）正方体特征：①正方体有12条棱，它们的长度都相等。有8个顶点。②正方形的6个面是完全相同的正方形。③正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。（3）正方体的棱长总和＝棱长×12正方体的棱长＝棱长总和÷123、长方体和正方体的异同点4、长方体和正方体的关系：正方体是长、宽、高都相等的长方体。知识点1：长方体的认识及特征【典型例题】一个长2m、宽2m、高3m木箱平放在地面上，占地面积至少是（

）。A．6m2 B．6m3 C．4m2 D．4m3【答案】C【分析】占地面积指的是接触地面的面积，也就是长方体下面的面积，要想占地面积最小，用最小的面做底面即可。【详解】2×2＝4（m2）则占地面积至少是4m2。故答案为：C【变式训练1】小明用小棒搭一个长方体框架（如下图），搭了其中的三根，就能决定这个长方体的形状与大小的是（

）。A． B． C．【答案】C【分析】长方体有12条棱，分3组，相交于同一点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高，长方体的形状和大小由长、宽、高决定，据此解答。【详解】A、B两项给出了三条边，可以决定的是长方形的形状和大小而不是长方体；由分析可知，C项给出了长方体的长、宽、高，可以确定它的大小和形状。故答案为：C【变式训练2】用下面五块长方形纸板拼成一个无盖纸盒（单位：cm），纸盒的底面积是（

）。A．80cm2 B．48cm2 C．60cm2【答案】C【分析】由题意可知，五块长方形纸板拼成一个无盖纸盒，则有两对图形完全相同，则剩下的面就是底面，然后根据长方形的面积＝长×宽，据此解答即可。【详解】6×10＝60（cm2）故答案为：C知识点2：长方体有关棱长的应用【典型例题】一个长方体的长、宽、高分别是6厘米、5厘米、2厘米，它的棱长总和是（）厘米。【答案】52【分析】根据公式：长方体的总棱长＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算即可。【详解】（6＋5＋2）×4＝13×4＝52（厘米）即它的棱长总和是52厘米。【变式训练1】用一根52厘米长的铁丝，恰好可以焊成一个长方体框架。框架长6厘米、宽4厘米、高（）厘米。【答案】3【分析】用一根52厘米长的铁丝，恰好可以焊成一个长方体框架，则这个长方体的棱长总和为52厘米。现在已知长方体的长为6厘米、宽为4厘米，要求得高是几厘米，根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，可列式为：52÷4－6－4。【详解】52÷4－6－4＝13－6－4＝3（厘米）长方体的高为3厘米。【变式训练2】一个长、宽、高分别为40厘米、30厘米、20厘米的小纸箱，在所有的棱上粘上一圈胶带，至少需要多长的胶带？【答案】360厘米【分析】求至少需要的胶带长度，就是求这个长方体的棱长总和，根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，即可解答。【详解】（40＋30＋20）×4＝（70＋20）×4＝90×4＝360（厘米）答：至少需要360厘米长的胶带。知识点3：长方体的展开图【典型例题】下图中能折成长方体的有（

）个。

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（同时特殊情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等。据此解答即可。【详解】根据长方体展开图的特征可知：能围成长方体；不能围成长方体。则能折成长方体的有3个。故答案为：C【变式训练1】是一个长方体的前面，那么应该是这个长方体的（

）。A．后面 B．左面 C．上面 D．右面【答案】C【分析】根据已知条件长方体的长是6cm，宽是3cm，高是3cm，结合完整的长方体的长、宽、高的位置特征进行对比选择即可。【详解】如图，正面看到的6cm是长，含有长的面只有前、后、上、下四个面，含有高3cm的是前、后两个面，所以含有6cm和2cm的面应该是上、下面；故答案为：C【变式训练2】把下边这个展开图折成一个长方体（字母在外面）。如果底面是A，那么上面是（）。【答案】D【分析】根据长方体的展开图，相对的面完全相同。据此解答。【详解】由分析可知：如果底面是A，那么上面是D。知识点4：正方体的认识及特征【典型例题】一个正方体每个面的面积都是16平方厘米，它的棱长是（）。【答案】4厘米【分析】因为正方体的每个面都是正方形，根据正方形的面积公式：S＝a2，据此解答。【详解】因为4×4＝16（平方厘米）所以它的棱长是4厘米。【变式训练1】魔方是常见的正方体，它有（）个面，（）条棱，（）个顶点。【答案】6128【分析】由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫立方体，是特殊的长方体。根据正方体的特征：有6个面，这6个面都是正方形，且面积相等；有12条棱，这些棱的长度都相等；有8个顶点，据此解答。【详解】魔方是常见的正方体，它有6个面，12条棱，8个顶点。【变式训练2】一个正方体的每个面都只画有Δ，□和☆中的一种，挪一次，要使挪到三种图形的可能性一样大，这个正方体有（）个面上画了□；如果要使掷到☆的可能性最大，这个正方体至少有（）个面上画着☆。【答案】23【分析】一个正方体的共有6个面，要使挪到三种图形的可能性一样大，它们的数量一样多；如果要使掷到☆的可能性最大，这个正方体至少有的面数比一样多的多1即可。【详解】由分析得，6÷3＝2（个）2＋1＝3（个）所以要使挪到三种图形的可能性一样大，这个正方体有2个面上画了□；如果要使掷到☆的可能性最大，这个正方体至少有3个面上画着☆。知识点5：正方体有关棱长的应用【典型例题】用长48厘米的铁丝恰好可以围成棱长是（

）厘米的正方体。A．12 B．4 C．8【答案】B【分析】铁丝的长度相当于正方体的棱长之和，正方体的棱长之和＝棱长×12，则正方体的棱长＝棱长之和÷12，据此解答。【详解】48÷12＝4（厘米）故答案为：B【变式训练1】售货员阿姨给一个正方体礼品盒打上彩带，礼品盒的棱长是20cm，打结处的长度是10cm，一共需要（）dm的彩带。【答案】25【分析】观察图形可知，彩带的长度等于12条正方体的棱长，再加上打结处的长度即可求解。【详解】12×20＋10＝240＋10＝250（cm）＝25（dm）则一共需要25dm的彩带。【变式训练2】一个长方体木块可以锯成两个一样的正方体木块，已知长方体木块棱长总和是80厘米，一个正方体木块的棱长是（）厘米。【答案】5【分析】根据长方体锯成两个正方体可知，长方体的宽和高相等，长方体的长是宽的两倍，可以根据长方体的棱长总和＝（a＋b＋h）×4，设长方体的宽为x厘米，代入数据，求出长方体的宽，正方体的棱长等于长方体的宽，据此解答。【详解】解：设长方体的宽为x厘米，（2x＋x＋x）×4＝804x×4＝8016x＝8016x÷16＝80÷16x＝5知识点6：正方体的展开图【典型例题】下面四幅图中不能折成正方体的是（

）。A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正方体展开图的类型，主要分为“1－4－l”型，“2－3－1”型，“2－2－2”型，“3－3”型，据此解答即可。【详解】A．属于“1－4－l”型，可以折成正方体；B．属于“1－4－l”型，可以折成正方体；C．不属于正方体的展开图的类型，不可以折成正方体；D．属于2－2－2”型，可以折成正方体。故答案为：C【变式训练1】用做成一个，数字1的对面是（）。【答案】2【分析】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“1－4－1”型，折叠成正方体后，数字1与2相对，4与3相对，5与6相对。【详解】用做成一个，数字1的对面是2。【变式训练2】如图是正方体表面展开图，每两个相对面数字之和是10，请在这个正方体每个表面上填入适当的数。【答案】5；3；8【分析】题干中所给图片为“3－3”型的正方体平面展开图，每两个相对面用同一颜色标示出，再计算出正方体每个表面上的数。【详解】正方体的相对面如图所示：10－7＝310－5＝510－2＝8将数字填在对应面上，如图所示：一、选择题1．正方体棱长是7cm，它的棱长总和是（

）。A．42cm B．84cm C．343cm【答案】B【分析】正方体的棱长总和＝棱长×12，把题中数据代入公式计算，据此解答。【详解】7×12＝84（cm）所以，正方体的棱长总和是84cm。故答案为：B2．有一根126厘米长的铁丝，将这根铁丝焊接成一个正方体框架后，还剩6厘米，这个正方体框架的棱长是（

）厘米。（接头处忽略不计）A．30 B．10 C．20【答案】B【分析】由题意可知，用126减去6就是正方体的总棱长，然后根据正方体的总棱长＝棱长×12，据此解答即可。【详解】（126－6）÷12＝120÷12＝10（厘米）故答案为：B3．拼成一个大正方体，至少需要（

）个棱长为3cm的小正方体。A．8个 B．18个 C．27个【答案】A【分析】将正方体的棱长扩大到原来的2倍，变成3×2＝6（cm），这样需要的小正方体的数量是最少的。此时每条棱上有2个小正方体，那么至少需要2×2×2＝8（个）小正方体。【详解】2×2×2＝8（个）所以，拼成一个大正方体，至少需要8个棱长为3cm的小正方体。故答案为：A4．一个长方体的棱长和是120厘米，相交于一个顶点的三条棱长度之和是（

）厘米。A．20 B．30 C．40【答案】B【分析】根据长方体的特征可知，相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。求相交于长方体一个顶点的三条棱长度之和就是求长方体的长、宽、高的和，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4可知，长方体的长、宽、高之和＝棱长总和÷4，代入数据计算即可求解。【详解】120÷4＝30（厘米）相交于一个顶点的三条棱长度之和是30厘米。故答案为：B5．用铁丝做一个长为9厘米，宽为5厘米，高为4厘米的长方体框架，一共需要（

）长的铁丝。A．72厘米 B．36厘米 C．54厘米【答案】A【分析】根据长方体的总棱长公式：L＝（a＋b＋h）×4，据此代入数值进行计算即可。【详解】（9＋5＋4）×4＝18×4＝72（厘米）则一共需要72厘米长的铁丝。故答案为：A6．王叔叔打算做一个无盖的长方体鱼缸，已经准备了4块长方形玻璃，其中2块玻璃长6dm，宽4dm，另外2块玻璃长5dm，宽4dm，还需配1块（

）的玻璃才刚好合适。A．长6dm；宽5dm B．长4dm；宽4dm C．长6dm；宽4dm【答案】A【分析】一个无盖的长方体鱼缸，需要5个面来拼成。题目中已给了其中的4个面，可以根据这4个面的数据，确定第5块玻璃的数据。【详解】根据分析，一个无盖的长方体鱼缸，长和宽组成的底面1个，长和高组成的面2个，宽和高组成的面2个；结合玻璃的数据，鱼缸的长为6dm，高为4dm，宽为5dm，题目中已知前、后面，和左、右面，缺少底面：长6dm，宽5dm；还需配1块长6dm，宽5dm的玻璃才刚好合适。故答案为：A二、填空题7．正方体是由6个完全相同的（）围成的立体图形，它是特殊的（）。【答案】正方形长方体【详解】由正方体的特征可知，正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形，所有的棱长度相等，正方体是长、宽、高都相等的长方体，它是特殊的长方体。8．长方体（）条棱，（）个顶点。【答案】128【分析】长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱。长方体有8个顶点，每个顶点连接三条棱，三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。据此解答。【详解】根据分析得，长方体12条棱，8个顶点。9．长方体有12条棱和（）个面，在特殊情况下长方体至少有（）面是长方形。【答案】6/六4/四【分析】根据长方体的特征进行解答。①长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱。②长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。【详解】长方体有12条棱和6个面，在特殊情况下长方体至少有4面是长方形。10．李爷爷用木条制作了一个棱长6厘米的正方体灯笼框架，如果用同样长的木条制作一个长9厘米、宽6厘米的长方体灯笼框架，高是（）厘米。【答案】3【分析】用同样长的木条制作正方体和长方体框架，正方体的棱长总和等于长方体的棱长总和；正方体的棱长总和＝棱长×12，用正方体的棱长总和除以4求出长宽高的和，再减去长和宽即可求出长方体的高度。【详解】6×12÷4－9－6＝18－9－6＝3（厘米）长方体灯笼框架的高是3厘米。11．用两个大小相同的正方体可以拼成一个长方体，拼成的长方体有（）个面是正方形，有（）个面是长方形。【答案】24【分析】两个正方体可以拼成一个长方体，拼在一起的两个正方体的面是正方形，所以和它相对的面就是正方形，即这个长方体有2个面是正方形，剩下的部分都是由两个正方形拼在一起组成的长方形，所以长方体有4个面是长方形。【详解】如图：用两个大小相同的正方体可以拼成一个长方体，拼成的长方体有2个面是正方形，有4个面是长方形。12．长方体和正方体都有（）个面，（）条棱，（）个顶点。一个正方体的棱之和是2.4米，它的一条棱长是（）米。【答案】61280.2【分析】根据长方体和正方体的特征可知，长方体和正方体都有6个面。12条棱，8个顶点；再根据正方体的总棱长公式：L＝12a，据此求出它的一条棱长。【详解】2.4÷12＝0.2（米）则长方体和正方体都有6个面，12条棱，8个顶点。一个正方体的棱之和是2.4米，它的一条棱长是0.2米。13．下图是一个长方体展开的平面图。如果“建”字在上面，则（）字在下面，“城”字在前面，（）字在后面，“创”字在（）面，“市”字在（）面。【答案】明文左右【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等。通过观察长方体的展开图可知，“建”字与“明”字相对，“城”字与“文”字相对，“创”字与“市”字相对。据此解答即可。【详解】根据分析得，如果“建”字在上面，则“明”字在下面，“城”字在前面，“文”字在后面，“创”字在“左”面，“市”字在右面。14．下图是一个长方体的展开图，这个长方体的棱长和是（）厘米。【答案】200【分析】观察图形可知，这个长方体的长是30厘米，宽是15厘米，高是（40－15×2）÷2＝5厘米，然后根据长方体的总棱长＝（长＋宽＋高）×4，据此代入数值进行计算即可。【详解】（40－15×2）÷2＝（40－30）÷2＝10÷2＝5（厘米）（30＋15＋5）×4＝50×4＝200（厘米）15．小明用一根128厘米长的铁丝围成一个长方体，量得长方体的长是16厘米，宽是8厘米，那么这个长方体的高是（）厘米。【答案】8【分析】铁丝长度是长方体棱长总和，根据长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，列式计算即可。【详解】128÷4－16－8＝32－16－8＝8（厘米）这个长方体的高是8厘米。16．用铁丝焊接成一个长12cm、宽10cm、高5cm的长方体框架，至少需要铁丝（）cm。【答案】108【分析】根据长方体的总棱长公式：L＝（a＋b＋h）×4，据此代入数值进行计算即可。【详解】（12＋10＋5）×4＝27×4＝108（cm）则至少需要铁丝108cm。17．一个长方体的棱长和为72厘米，相交于一个顶点的三条棱的长度和是（）厘米。【答案】18【分析】相交于一个顶点的三条棱就是长方体的长、宽、高，然后根据长方体的总棱长公式：L＝（a＋b＋h）×4，用72除以4即可求出相交于一个顶点的三条棱的长度和。【详解】72÷4＝18（厘米）则相交于一个顶点的三条棱的长度和是18厘米。18．一个长方体的棱长总和是72cm，长是8cm，宽是4cm，高是（）cm，最大那个面的面积是（）cm2。【答案】648【分析】长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，已知棱长总和以及长和宽，可以求长方体的高。求出高后，根据长、宽、高的长度比较，可以求出找到面积最大的面。【详解】72÷4－（8＋4）＝18－12＝6（cm）8＞6＞4，8×6＝48（cm2）长方体高是6cm，最大那个面的面积是48cm2。三、判断题19．长方体有6个面，8个顶点，12条棱。（）【答案】√【分析】根据长方体的特征：长方体有6个面。每组相对的面完全相同。长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等。按长度可分为三组，每一组有4条棱。长方体有8个顶点。每个顶点连接三条棱。三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。长方体相邻的两条棱互相垂直。据此解答。【详解】根据分析得，长方体有6个面，8个顶点，12条棱。原题说法是正确的。故答案为：√20．小红穿鞋的鞋盒是一个长20cm，宽10cm，高3cm的长方体。（）【答案】×【分析】根据情景和生活经验，对长度单位和数据大小的认识，据此判断鞋盒这个长方体的长宽高是否符合实际。【详解】这个长方体的鞋盒的长为20cm，宽为10cm，高为3cm，高度只有3cm，3cm大概是无名指一半的长度，显然作为鞋盒的高度不合适。所以原题说法错误。故答案为：×21．如图，把这张纸折叠后，能围成一个正方体。（）【答案】√【分析】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1－4－1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2－2－2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3－3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1－3－2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形。【详解】根据分析可知，本题图示属于正方体展开图的“1－4－1”型，能围成正方体。故答案为：√22．在一个长方体中最少有4个面是长方形。（）【答案】√【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面一般情况都是长方形，特殊情况有两个相对的面是正方形。据此判断。【详解】长方体的6个面一般情况都是长方形，特殊情况有两个相对的面是正方形。因