第七章随机变量及其分布（知识归纳题型突破）（11题型清单）（原卷版）

第七章随机变量及其分布（11题型清单）01思维导图01思维导图0202知识速记1：条件概率（1）一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率．2：乘法公式由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式．3：事件的相互独立性（1）事件与事件相互独立：对任意的两个事件与,如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立.（2）性质：若事件与事件相互独立，则与,与,与也都相互独立，,.4：全概率公式（1）一般地,设,,是一组两两互斥的事件,,且，,则对任意的事件,有,我们称此公式为全概率公式.5：两点分布对于只有两个可能结果的随机试验,用表示“成功”,

表示“失败”,定义如果，则，那么的分布列如下所示：01我们称服从两点分布或者分布.6：离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量的概率分布为：…………则称为随机变量的均值(mean)或数学期望(mathematicalexpectation),数学期望简称期望.称为随机变量的方差，有时也记为.称为随机变量的标准差.7：二项分布一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为()，用表示事件发生的次数，则的分布列为，.如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作．8：超几何分布一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件(不放回)，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为，.其中，，，，．如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布．9：正态分布若随机变量的概率密度函数为，(,其中，为参数)，称随机变量服从正态分布，记为.0303题型归纳题型一计算条件概率例题1：（2025·河南郑州·一模）将一枚质地均匀的正八面体骰子连续抛掷2次，其八个面上分别标有八个数字，记录骰子与地面接触的面上的点数，用X，Y表示第一次和第二次抛掷的点数，则（

）A． B． C． D．例题2：（2425高三上·天津·期末）中华茶文化源远流长，博大精深，不但包含丰富的物质文化，还包含深厚的精神文化.其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某绿茶厂将采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为每道工序的加工都相互独立，则茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格的概率为；在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，杀青加工合格的概率为.例题3：（2425高三上·上海杨浦·期末）某校高二有人报名足球俱乐部，人报名乒乓球俱乐部，人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为．巩固训练1．（2425高三上·江苏·期末）第届中国国际航空航天博览会于年月日至日在珠海举行．本届航展规模空前，首次打造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量．航展共开辟了三处观展区，分别是珠海国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区．甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区．在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（

）A． B． C． D．2．（2324高三下·河北·阶段练习）甲、乙、丙、丁位同学报名参加学校举办的数学建模、物理探究、英语演讲、劳动实践四项活动，每人只能报其中一项，则在甲同学报的活动其他同学不报的情况下，位同学所报活动各不相同的概率为（

）A． B． C． D．3．（2425高三上·湖北·期末）对于随机事件A，B，若，，，则.题型二乘法公式应用例题1：（2024高三·全国·专题练习）一个不透明的箱子装有若干个除颜色外完全相同的红球和黄球．若第一次摸出红球的概率为，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出黄球的概率为，则第一次摸出红球且第二次摸出黄球的概率为（）A． B． C． D．例题2：（2324高二下·江苏常州·期中）已知随机事件，则..例题3：（2425高三·上海·课堂例题）已知，，则．巩固训练1．（2021高二下·山东青岛·期中）某机场某时降雨的概率为，在降雨的情况下飞机准点的概率为，则某时降雨且飞机准点的概率为（

）A． B． C． D．2．（2024·浙江·模拟预测）已知一道解答题有两小问，每小问5分，共10分.现每十个人中有六人能够做出第一问，但在第一问做不出的情况下，第二问做出的概率为0.1；第一问做出的情况下，第二问做不出的概率为0.6.用频率估计概率，则此题得满分的概率是；得0分的概率是.3．（2324高二下·黑龙江哈尔滨·期中）某地区气象台统计，该地区下雨的概率为，已知下雨的条件下，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为．题型三全概率公式例题1：（2425高三上·山东潍坊·期末）盒中有5个红球，3个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并放入同色球2个，再从盒中任取一球，则第二次取出的是黑球的概率是（

）A． B． C． D．例题2：（2425高三上·安徽宿州·期末）两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为，将两批产品混合，从混合产品中任取一件，则这件产品为次品的概率为.例题3：（2425高三上·天津静海·阶段练习）有三台车床加工同一型号的零件，第一台为旧车床加工的次品率为，第二，三台为新车床加工的次品率均为，三台车床加工出来的零件混放在一起.已知一，二，三台车床加工的零件数分别占总数的，，.任取一个零件，计算它是次品的概率为.巩固训练1．（2425高二上·黑龙江哈尔滨·期末）某地市场上供应一种玩具电动车，其中甲厂产品占，乙厂产品占，丙厂产品占，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，丙厂产品的合格率是80%，若从该地市场上买到一个电动车，此电动车是次品的概率是（

）A．0.08 B．0.15 C．0.1 D．0.92．（2425高三上·云南昆明·期中）若，，，则.3．（2324高二下·湖南邵阳·期末）有甲、乙两个工厂生产同一型号的产品，其中甲厂生产的占，甲厂生产的次品率为，乙厂生产的占，乙厂生产的次品率为，从中任取一件产品是次品的概率是．题型四贝叶斯公式例题1：（2324高二下·广东广州·期中）某校高三（1）班和（2）班各有40名同学，其中参加数学兴趣社团的学生分别有10人和8人，现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽到的是参加数学兴趣社团的学生，则他来自高三（1）班的概率是（

）A． B． C． D．例题2：（2324高二下·福建泉州·期末）某学校有两家餐厅，王同学第1天选择餐厅就餐的概率是，若第1天选择餐厅，则第2天选择餐厅的概率为；若第1天选择餐厅就餐，则第2天选择餐厅的概率为；已知王同学第2天是去餐厅就餐，则第1天去餐厅就餐的概率为（

）A． B． C． D．例题3：（2025高三·全国·专题练习）一个大型电子设备制造厂有和两条生产线负责生产电子元件.已知生产线的产品合格率为，生产线的产品合格率为，且该工厂生产的电子元件中来自生产线，来自生产线.现从该工厂生产的电子元件中随机抽取一个进行检测，则该电子元件在检测不合格的条件下来自生产线的概率是.巩固训练1．（2324高二下·江苏扬州·阶段练习）假设甲袋中有3个白球和3个红球，乙袋中有2个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为（

）A． B． C． D．2．（2324高二下·广东佛山·阶段练习）若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（）A． B． C． D．3．（2526高三上·上海·单元测试）某仓库有同样规格的产品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为、、．现从这12箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一个产品．若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是．题型五利用离散型随机变量的性质求参数或概率例题1：（2324高二下·江苏·单元测试）已知随机变量的分布列为，则（

）A． B． C． D．例题2：（2024高三·全国·专题练习）随机变量Y的概率分布如下：Y123456P0.1x0.350.10.150.2则＝.例题3：（2024高三·全国·专题练习）已知离散型随机变量的分布列为：123m则．巩固训练1．（2324高二下·河北沧州·期中）已知离散型随机变量X的分布列为（，2，3），则（

）A． B． C． D．2．（2324高二下·宁夏石嘴山·期中）设随机变量X的概率分布为（，），则.3．（2324高二下·江苏无锡·期中）若随机变量的分布列为01230.10.20.20.30.10.1则当时，实数的取值范围是.题型六离散型随机变量的的分布列，均值例题1：（2425高三上·天津北辰·期末）某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试；否则就继续参加考试，直到用完3次机会.小王决定参加考试，若他每次参加考试通过的概率依次为0.5，0.6，0.7，且每次考试是否通过相互独立，则小王在一年内领到资格证书的概率为；他在一年内参加考试次数的数学期望为.例题2：（2425高三上·广西河池·期末）新春佳节即将到来，某超市为了刺激消费、提高销售额，举办了回馈大酬宾抽奖活动，设置了一个抽奖箱，箱中放有7折、7.5折、8折的奖券各2张，每张奖券的形状都相同，每位消费者可以从中任意抽取2张奖券，最终超市将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算．(1)求一位消费者抽到的2张奖券的折扣相同的概率；(2)若某位消费者购买了300元（折扣前）的商品，记这位消费者最终结算时的消费金额为，求的分布列及数学期望．例题3：（2425高三上·贵州黔南·期末）某同学参加射击俱乐部射击比赛，每人最多有三次射击机会，射击靶由内环和外环组成，若击中内环得10分，击中外环得5分，脱靶得0分．该同学每次射击，脱靶的概率为，击中内环的概率为，击中外环的概率为，每次射击结果相互独立，只有前一发中靶，才能继续射击，否则结束比赛．(1)在该同学最终得分为10分的情况下，求该同学射击了2次的概率；(2)设该同学最终得分为X，求X的分布列和数学期望．巩固训练1．（2425高三下·安徽·开学考试）甲、乙两人进行电子竞技比赛，已知每局比赛甲赢的概率为，乙赢的概率为，且.规定：比赛中先赢三局者获胜，比赛结束.若每局比赛结果相互独立，记比赛共进行了局，则的数学期望的最大值为.2．（2425高三上·河北唐山·阶段练习）某大学社团共有8名大学生，其中男生4人，女生4人，从这8名大学生中任选4人参加比赛．(1)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件，求；(2)设所选的4人中男生和女生的人数分别为，记，求随机变量的分布列和数学期望．3．（2425高三上·湖南长沙·期末）甲同学计划去参观某景点，但门票需在网上预约.该同学从第一天开始，每天在规定的预约时间段开始预约，若预约成功，便停止预约；若连续预约三天都没成功，则放弃预约.假设该同学每天预约门票成功的概率均为0.7，(1)求甲同学到第三天才预约成功的概率；(2)记为甲同学预约门票的天数，求的分布列和期望.题型七均值的性质例题1：（2324高二下·山东枣庄·期末）某品牌饮料正在进行有奖促销活动，一盒5瓶装的饮料中有2瓶有奖，消费者从中随机取出2瓶，记X为其中有奖的瓶数，则为（

）A．4 B．5 C．6 D．7例题2：（2425高二下·全国·课后作业）端午节是中国四大传统节日之一，风俗习惯形式多样，内容丰富多彩．某居民小区为了让业主度过愉快的端午节，业委会组织举办了一场现场抽奖游戏，规则如下：袋中共有张质地均匀的卡片，其中张卡片图案是粽子，另外张卡片图案是龙舟，业主从该袋子中不放回地随机抽取张卡片，如果张卡片图案相同，则获得元的购物卡；如果张卡片中有张图案相同，则获得元购物卡；其他情况，则不获得任何奖励．设是业主在一次抽奖活动中获得的购物卡金额，则．例题3：（2024·四川南充·一模）某一随机变量X的分布列如下表，且，则.X0123P0.1m0.2n巩固训练1．（2425高三上·云南楚雄·期末）已知随机变量的分布列为123下列结论正确的是（

）A． B．C． D．2．（2324高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）袋中装有10个大小相同的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到一个白球的概率是.现从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，则.3．（2024高二下·全国·专题练习）已知离散型随机变量X的分布列为101a设，则Y的数学期望．题型八方差的性质例题1：（2324高二下·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知随机变量满足，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．例题2：（多选）（2324高二下·新疆·期中）已知，，则（

）A． B．C． D．例题3：（多选）（2324高二下·广东广州·期末）设离散型随机变量的分布列如下表，若离散型随机变量满足.则下列结论正确的是（

）01230.20.10.2A． B．C． D．巩固训练1．（2324高二下·福建福州·期中）随机变量的分布列如下，且，则（

）012A． B． C． D．2．（2324高二下·安徽安庆·期末）已知两个离散型随机变量，，满足，其中的分布列如下：123Pab其中a，b为非负数.若，，则（

）A． B． C． D．3．（多选）（2324高二下·安徽合肥·期末）设离散型随机变量X的分布列为：X01234Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量Y满足，则（

）A． B．C． D．题型九二项分布例题1：（2425高二上·河南南阳·期末）甲、乙两人进行射击比赛，每场比赛中，甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少射中8环．根据统计资料可知，甲击中8环、9环、10环的概率分别为0.7，0.2，0.1，乙击中8环、9环、10环的概率分别为0.6，0.2，0.2，且甲、乙两人射击相互独立．(1)在一场比赛中，求甲击中的环数多于乙击中的环数的概率；(2)若独立进行三场比赛，用X表示这三场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数的场数，求X的分布列与数学期望．例题2：（2425高三上·山东淄博·期末）某地为弘扬我国传统文化，举办知识竞赛活动，每位参赛者从以下两种方式中选择一种参赛：①活动共设有3个问题，能正确回答问题者才能进入下一个问题，否则即被淘汰，3个问题都回答正确即获得“智慧星”称号；②活动需参赛者回答5个问题，至少正确回答4个即能获得“智慧星”称号；甲乙两人参加此次竞赛活动，甲选择第一种方式，他能正确回答第一、二、三个问题的概率分别为，乙选择第二种方式，他能正确回答每一个问题的概率均为．两种方式下各个问题能否正确回答均互不影响，两人彼此之间也互不影响．(1)求甲没有获得“智慧星”称号的概率；(2)求乙获得“智慧星”称号的概率．(3)记事件“乙正确回答问题的个数比甲正确回答问题的个数多3个”，求事件发生的概率．例题3：（2425高二上·江西南昌·期末）南昌瓷板画：融合了中国传统绘画、陶瓷彩绘和西方摄影术的精髓，从绘画到烧制流程复杂，精品率非常低，在制作过程会出现常规品和精品两种情况.(1)某新匠人一天能制作两件作品，制作第一件作品精品率为，第二件作品在第一件是精品的前提下的精品率为，第二件作品在第一件是常规品的前提下的精品率为，求该新匠人第二件作品是精品的概率；(2)某老匠人水平稳定且一天能制作三件作品，每一件瓷板画作品的精品率为，若常规品每件盈利100元，精品每件盈利300元；求该老匠人一天盈利的分布列和期望.巩固训练1．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知，记，若是唯一的最大值，则的值为.2．（2425高三下·湖南长沙·阶段练习）某单位在“全民健身日”举行了一场趣味运动会，其中一个项目为投篮游戏.游戏的规则如下:每局游戏需投篮3次，若投中的次数多于未投中的次数，该局得3分，否则得1分.已知甲投篮的命中率为，且每次投篮的结果相互独立.(1)求甲在一局游戏中投篮命中次数的分布列与期望；(2)若参与者连续玩局投篮游戏获得的分数的平均值大于2，即可获得一份大奖.现有和两种选择，要想获奖概率最大，甲应该如何选择?请说明理由.3．（2425高三上·陕西西安·期末）蛇年来临之际，某商场计划安排新春抽奖活动，方案如下：1号不透明的盒子中装有标有“吉”“安”“和”字样的小球，2号不透明的盒子中装有标有“祥”“康”“顺”字样的小球，顾客先从1号不透明的盒子中取出1个小球，再从2号不透明的盒子取出1个小球，若这2个球上的字组成“吉祥”“安康”“和顺”中的一个词语，则这位顾客中奖，反之没有中奖，每位顾客只能进行一轮抽奖．已知顾客从不透明的盒子取出标有“吉”“安”“和”“祥”“康”“顺”字样小球的概率均为，且顾客取出小球的结果相互独立．(1)求顾客中奖的概率；(2)若小明一家三口参加这个抽奖活动，求小明全家中奖次数的分布列及数学期望．题型十超几何分布例题1：（2425高三上·江苏·期末）某新能源汽车公司对其销售的A，B两款汽车向消费者进行满意度调查，从购买这两款汽车消费者中各随机抽取10名进行评分调查满分100分，评分结果如下：数据Ⅰ型车，81，73，80，81，77，86，85，90，；数据Ⅱ型车，76，81，67，72，87，86，95，93，(1)求数据Ⅰ的25百分位数；(2)该公司规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的消费者中随机抽取3人沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中购买B型车的消费者人数为X，求X的概率分布及数学期望.例题2：（2425高三上·江苏南京·期中）某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人的开发主要采用（人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为80%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为40%．(1)在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人的回答有5个被采纳，现从这8个问题中抽取4个，以X表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求X的分布列和数学期望；(2)设输入的问题出现语法错误的概率为p，若聊天机器人的回答被采纳的概率为70%，求p的值．例题3：（2425高三上·北京·阶段练习）某市，两所中学的学生组队参加信息联赛，中学推荐了3名男生、2名女生.中学推荐了3名男生、4名女生.两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队参赛.(1)求中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)设表示中学参赛的男生人数，求的分布列和数学期望；(3)已知3名男生的比赛成绩分别为76，80，84，3名女生的比赛成绩分别为77，，81，若3名男生的比赛成绩的方差大于3名女生的比赛成绩的方差，写出的取值范围（不要求过程）.巩固训练1．（多选）（2024高三·全国·专题练习）某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，，1，2，3．则下列判断正确的是（

）A．随机变量X服从二项分布 B．随机变量Y服从超几何分布C． D．2．（2425高三上·江苏扬州·期末）已知给定两个集合，从两个集合中各随机取出两个元素合并成一个集合．(1)若，求集合中恰有三个元素的概率；(2)若，设集合中元素的个数为，求随机变量的分布列与期望．3．（2425高二上·江西南昌·期末）袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球.(1)求取出的3个球中有2个白球的概率；(2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望.题型十一正态分布例题1：（2425高二上·吉林·期末）某学校高二年级数学联考成绩，如果规定大于或等于105分为数学成绩“良好”，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的数学成绩为“良好”的概率是（

）（提示：若，则，，）=0.9973）A．0.0455 B．0.15865 C．0.3173 D．0.34135例题2：（多选）（2425高三上·安徽·期末）已知随机变量X服从正态分布，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．C．若，则D．例题3：（2425高二上·辽宁辽阳·期末）小法每周都去同一家大型超市购买一箱苹果，该超市的售货员说该大型超市所出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克，