高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册课时过程性评价八　平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册课时过程性评价八平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示(时间:45分钟分值:90分)【基础全面练】1.(5分)下列说法不正确的是()A.相等向量的坐标相同B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标C.一个坐标对应于唯一的一个向量D.平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应【解析】选C.由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量,故C说法不正确.2.(5分)(2024·忻州高一检测)已知A(-1,1),B(-3,4),平面向量的坐标是()A.(2,3) B.(-2,-3)C.(2,-3) D.(-2,3)【解析】选D.由已知=(-3,4)-(-1,1)=(-2,3).3.(5分)(2024·盘锦高一检测)已知向量=(1,-5),=(-2,1),则=()A.(4,-6) B.(-1,-4)C.(-2,4) D.(2,-4)【解析】选B.=+=(-1,-4).4.(5分)(2024·嘉兴高一检测)已知向量a=(1,2),a-b=(3,2),则b=()A.(-2,0) B.(4,4) C.(2,0) D.(5,6)【解析】选A.因为b=a-(a-b)=(1,2)-(3,2)=(-2,0),所以b=(-2,0).5.(5分)若向量a=(2x-1,x2+3x-3)与相等,且A(1,3),B(2,4),则x的值为()A.1 B.1或4 C.0 D.-4【解析】选A.由已知得,=(2-1,4-3)=(1,1),因为a=(2x-1,x2+3x-3)与相等,所以2x-1=1,x2+3x【补偿训练】对于向量m=(x1,y1),n=(x2,y2),定义m⊗n=(x1x2,y1y2).已知a=(2,-4),且a+b=a⊗b,那么向量b等于()A.2,45 B.-2,-45C.2,-45 D.-2,45【解析】选A.设b=(x,y),由新定义及a+b=a⊗b,可得(2+x,y-4)=(2x,-4y),所以2+x=2x,y-4=-4y,解得x=2,y=45,所以向量b=2,45.6.(5分)(多选)(2024·合肥高一检测)在平面直角坐标系中,若点A(2,3),B(-3,4),如图所示,x轴、y轴同方向上的两个单位向量分别为i和j,则下列说法正确的是()A.=2i+3j B.=3i+4jC.=-5i+j D.=5i+j【解析】选AC.由题图知,=2i+3j,=-3i+4j,故A正确,B不正确;=-=-5i+j,=-=5i-j,故C正确,D不正确.7.(5分)在平面直角坐标系内,已知i,j分别是x轴与y轴正方向上的单位向量,若a=2i-3j,则a的坐标为__________.

答案:(2,-3)【解析】由题意可得a=2i-3j,则a的坐标为(2,-3).8.(5分)已知=(2-x)i+(1-x)j,且的坐标所表示的点在第四象限,则x的取值范围是________.

答案:(1,2)【解析】由题可得=(2-x,1-x),因为的坐标所表示的点在第四象限,所以2-x>01-x<09.(5分)设A,B,C,D为平面内的四点,已知A(3,1),B(-2,2),且=.若C点坐标为(-1,4),则D点坐标为__________.

答案:(-6,5)【解析】由题设,=(-5,1),若D(x,y),则=(x+1,y-4),则有(-5,1)=(x+1,y-4),即x+1=-5y-4=1,可得x=-6y10.(10分)(2023·周口高一检测)若A,B,C三点的坐标分别为(2,-4),(0,6),(-8,10),求+,-的坐标.【解析】因为A,B,C三点的坐标分别为(2,-4),(0,6),(-8,10),所以=(-2,10),=(-8,4),=(-10,14),所以+=(-10,14),-=(2,-10).【综合应用练】11.(5分)(2024·天津高一检测)已知向量与a=(6,-8)的夹角为π,且||=|a|,若点A的坐标为(-1,2),则点B的坐标为()A.(-7,10) B.(7,10)C.(5,-6) D.(-5,6)【解析】选A.由已知得,与a的长度相等,方向相反,所以=-a=(-6,8),又因为点A的坐标为(-1,2),设B(x,y),则=(x+1,y-2)=(-6,8),所以x+1=-6y-2=8,解得x=-7y12.(5分)如果点P(1,3)按向量a平移后得到点Q(4,1),则点M(2,1)按向量a平移后得到点N的坐标为()A.(1,5) B.(5,1)C.(5,-1) D.(-1,5)【解析】选C.因为a===(4,1)-(1,3)=(3,-2),所以点N的坐标为(3,-2)+(2,1)=(5,-1).13.(5分)(2024·西安高一检测)已知点A(2,7),向量绕原点O逆时针旋转π2后等于,则点B的坐标为__________.

【分析】根据角的关系β=α+π2,再结合任意角三角函数定义sinα=yr,cosα=x答案:(-7,2)【解析】设||=r,∠AOx=α,∠BOx=β,B(x0,y0),则rsinα=7,rcosα=2,β=α+π2x0=rcosβ=rcosα+π2=-rsinα=-7,y0=rsinβ=rsinα+π2=rcosα=2,即点B的坐标为(-7,2).14.(10分)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),(1)若=+,求点P的坐标;(2)若++=0,求的坐标.【解析】(1)因为=(1,2),=(2,1),所以=(1,2)+(2,1)=(3,3),即点P的坐标为(3,3).(2)设点P的坐标为(x,y),因为++=0,且++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),所以6-3解得x所以点P的坐标为(2,2),故=(2,2).15.(10分)以原点O及点A(23,-2)为顶点作一个等边△AOB,求点B的坐标及向量的坐标.【解析】因为△AOB为等边三角形,且A(23,-2),所以||=||=||=4.因为在0~2π内,以Ox为始边,OA为终边的角为11π6,当点B在OA的上方时,以OB为终边的角为π6,=4cosπ6,4sinπ6=(23,2).所以=-=(23,2)-(23,-2)=(0,4).当点B在OA的下方时,以OB为终边的角为3π2,由三角函数的定义得,=(0,-4),所以=-=(0,-4)-(23,-2)=(-23,-2).综上所述,点B的坐标为(23,2),的坐标为(0,4)或点B的坐标为(0,-4),的坐标为(-23,-2).二向量的加法运算(时间:45分钟分值:90分)【基础全面练】1.(5分)如图,在平行四边形ABCD中,+=()A. B. C. D.【解析】选B.由题意得,+=.2.(5分)(2024·天津高一检测)化简:++=()A. B. C. D.【解析】选C.++=++=+=.3.(5分)设|a|=2,e为单位向量,则|a+e|的最大值为()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.因为|a+e|≤|a|+|e|,|a|=2,e为单位向量,所以|a+e|≤3.当且仅当a,e同向时,取到等号.4.(5分)(2024·榆林高一检测)若向量a表示“向东航行1km”,向量b表示“向北航行3km”,则向量a+b表示()A.向东北方向航行2kmB.向北偏东30°方向航行2kmC.向正北方向航行(1+3)kmD.向正东方向航行(1+3)km【分析】根据向量的方向,画出图形,利用向量的加法运算,计算结果.【解析】选B.如图,易知tanα=13=3所以α=30°,故a+b的方向是北偏东30°,|a+b|=2.5.(5分)如图,在正六边形ABCDEF中,++等于()A.0 B. C. D.【解析】选D.++=++=+=.6.(5分)(多选)(2024·莆田高一检测)已知a∥b,|a|=2|b|=8,则|a+b|的值可能为()A.4 B.8 C.10 D.12【分析】根据a∥b,可得a,b方向相同或相反,分a,b同向和反向两种情况讨论即可得解.【解析】选AD.因为|a|=2|b|=8,所以|b|=4,因为a∥b,所以a,b方向相同或相反,当a,b同向时,|a+b|=|a|+|b|=12,当a,b反向时,|a+b|=||a|-|b||=4.7.(5分)(2024·济南高一检测)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,||=2,则|+|=__________.

【解析】如图所示,设菱形对角线交点为O,+=+=,因为∠ABC=120°,所以∠BAD=60°,所以△ABD为等边三角形,又AC⊥BD,AB=2,所以OB=1,在Rt△AOB中,||==3,所以|+|=||=2||=23.答案:238.(5分)(2024·绍兴高一检测)向量++++=________.

【解析】++++=(+)+(+)+=++=(+)+=+=.答案:9.(5分)某人在静水中游泳的速度为3m/s,河水自西向东的流速为1m/s,此人朝正南方向游去,那么他的实际前进方向与水流方向的夹角为________.

【解析】如图,表示河水自西向东的流速,表示某人在静水中游泳的速度,则表示他的实际前进方向,由题意可知||=1,||=3,则在Rt△OAC中,tan∠AOC==3,故∠AOC=60°,即他的实际前进方向与水流方向的夹角为60°.答案:60°10.(10分)如图所示各组向量a,b,求作a+b.【解析】如图所示:【综合应用练】11.(5分)(2024·吕梁高一检测)在矩形ABCD中,||=2,设=a,=b,=c,则|a+b+c|的值为()A.2 B.3 C.4 D.5【分析】根据题意,得a+b+c=++=+,延长BC至E,使CE=BC,连接DE,证出四边形ACED是平行四边形,从而+=+=,最后得出|a+b+c|=||=2||=2||,即可得出结果.【解析】选C.a+b+c=++=+,延长BC至E,使CE=BC,连接DE,由于==,所以CE∥AD,CE=AD,所以四边形ACED是平行四边形,所以=,所以+=+=,所以|a+b+c|=||=2||=2||=4.【补偿训练】当a,b满足条件__________时,a+b所在直线平分a,b所在直线的夹角.

【分析】作出图形,根据向量加法的平行四边形法则和三角形中等角对等边可得结论.【解析】如图所示:令=a,=b,=a+b,则四边形ABDC为平行四边形,又因为a+b所在直线平分a,b所在直线的夹角,则AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠DAC,又因为∠BAD=∠ADC,所以∠DAC=∠ADC,所以||=||=||,即|a|=|b|.答案:|a|=|b|12.(5分)(多选)下列结论中不正确的是()A.如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同B.在△ABC中,必有++=0C.若++=0,则A,B,C为一个三角形的三个顶点D.若a,b均为非零向量,则a+b的长度与a的长度加b的长度的和一定相等【解析】选ACD.对于A:当a与b为相反向量时,a+b=0,方向任意,故A错误;对于B:在△ABC中,++=0,故B正确;对于C:当A,B,C三点共线时,满足++=0,但不能构成三角形,故C错误;对于D:若a,b均为非零向量,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a与b同向时等号成立,故D错误.13.(5分)(2024·咸阳高一检测)在一次抗洪抢险中,某救生艇发动机突然发生故障停止转动,失去动力的救生艇在洪水中漂行,此时,风向是北偏东30°,风速是30km/h;水的流向是正东方向,流速是30km/h,若不考虑其他因素,救生艇在洪水中漂行的速度的方向是北偏东__________,大小是__________km/h.

【解析】如图,风速是30km/h,即||=30,水的流速是30km/h,即||=30,则救生艇的速度大小即为||,由题可知:四边形OACB为菱形且∠AOB=60°,所以||=2×30×32=303,且∠AOC=30°,所以救生艇在洪水中漂行的速度的方向是北偏东60°,大小为303km/h.答案:60°30314.(10分)三个力F1,F2,F3大小相等,作用于同一点O.要使它们的合力为零,应满足什么条件?【解析】如图所示:利用三角形法则作=F1,=F2,