高一下学期第一次月考解答题压轴题十六大题型专练【含答案解析】

2024-2025学年高一下学期第一次月考解答题压轴题十六大题型专练【人教A版（2019）】题型1题型1向量线性运算的几何应用1．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）如图，在梯形ABCD中，|DA|=2，∠CDA=π3，CB=12

(1)若PE=34DA+(2)若|DC|=t，当λ为何值时，【解题思路】（1）结合图形，先证得四边形ABCF是平行四边形，利用向量的线性运算即可判断点P在线段DC上的位置；（2）结合（1）中的结论，得到PE关于λ的表达式，进而利用向量数量积运算求模得到PE2关于λ的二次表达式，从而可求得|PE|【解答过程】（1）过C作CF//AB交AD于F，如图，

因为CB=12则四边形ABCF是平行四边形，故DA=2BC=2AF，即F是AD的中点，所以BE因为DP=λDC，所以所以PE=又因为PE=所以12−λ=1所以P在线段DC上靠近D点的四等分点处；（2）因为DP=λDC(λ≠0)所以PE=因为DC⋅DA=2tcos所以PE2所以当12−λt=−34，即λ=所以|PE|的最小值为332．（24-25高一·全国·课堂例题）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD，DC的中点，BE，BF分别交AC于M，N．求证：M，N三等分AC．

【解题思路】根据题意结合向量的线性运算分析证明.【解答过程】由题意可得：AN+NB=所以AN+由于AN与NC，NB与FN分别共线，但NC与FN不共线，所以NB=2FN，AN=2NC，因此同理可证MC=2AM，因此M也是3．（24-25高一·全国·随堂练习）如图，点D是△ABC中BC边的中点，AB=a，

(1)试用a，b表示AD；(2)若点G是△ABC的重心，能否用a，b表示AG？(3)若点G是△ABC的重心，求GA+【解题思路】（1）利用三角形法则整理化简即可；（2）利用三角形重心性质及向量的线性运算化简计算即可；（3）利用三角形重心性质及三角形法则化简计算即可.【解答过程】（1）因为点D是△ABC中BC边的中点，且AB=a，所以AD=（2）因为点G是△ABC的重心，所以AG=23AD=2=1（3）因为点G是△ABC的重心且D是BC边的中点，所以GB+又AG=23AD=24．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）平面内给定三个向量a=2,2,(1)求实数k关于n的表达式；(2)如图，在△OAB中，G为中线OM上一点，且OG=2GM，过点G的直线与边OA，OB分别交于点P，Q（P,Q不与O重合）.设向量OP=【解题思路】（1）由向量平行的坐标运算求解即可；（2）由向量的运算得出OG=16nOP+【解答过程】（1）因为a+2c所以2(2+2k)=8(n−1)，即k=2n−3.（2）由（1）可知，OP=2nOA，OQ因为OG=2GM又OA=12nOP，因为P,G,Q三点共线，所以16nm+2n=16n+13m(m+2n)=m6n+题型2题型2向量的数量积问题5．（23-24高一·上海·课堂例题）设向量a、b满足a=4，b=5，(1)a⋅(2)2a【解题思路】（1）由a+（2）利用平面向量数量积公式即可求解.【解答过程】（1）因为a=4,所以a+解得a⋅（2）2a6．（23-24高一下·山东临沂·期中）已知向量a,b满足(1)求向量a与b的夹角；(2)若向量a在b方向上的投影向量为c，求c⋅【解题思路】（1）由题意得到a⋅（2）利用投影向量和数量积的运算即可求解．【解答过程】（1）∵(5a∴10|a|2∴a⋅b=9又<a,b>∈[0,π]，∴（2）∵c=|∴c⋅(7．（23-24高一下·广东惠州·期末）在△ABC中，已知BC=3，AC=4，点P为线段BC中点，AQ=23AB，设

(1)用向量a，b表示CQ；(2)若∠ACB=90°，求AP⋅【解题思路】（1）用三点共线的向量表达式结论可解；（2）将AP⋅CQ用基底【解答过程】（1）如图所示，

AQ=所以CQ所以CQ→（2）点P为线段BC中点，用三点共线的向量表达式结论得AP=由（1）知CQ=23∠ACB=90°,则a⋅b=08．（23-24高一下·上海·期末）在△ABC中，AB=3,AC=4,∠BAC=60∘，平面上的点D,E满足AD(1)设DP=kDE0<k<1，用含有k(2)设AP=xAB+y(3)求PB⋅【解题思路】(1)由平面向量的线性运算求解；(2)由AP=231−kAB+3(3)PB⋅PC=【解答过程】（1）解：如图所示：

AP=（2）因为AD=23AB，得AP=由AP=x得x=2则1x+2y因为0<k<1，所以k>0,1−k>0，则1x等号成立时，32k1−k故1x+2（3）因为AB=3,AC=4,∠BAC=则PB=6−AB+AC⋅21−k因为0<k<1，所以当k=1728时，PB⋅题型3题型3向量的夹角（夹角的余弦值）问题9．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知a=2,b=3，且(1)求2a+b(2)若向量a+kb与ka【解题思路】（1）先求出a⋅（2）由题意得a+kb⋅ka+b【解答过程】（1）设2a+b与−3因为a=2,b=3，且所以a⋅b=所以cos=−6a因为θ∈0,π，所以（2）因为向量a+kb与所以a+kb⋅ka由a+kb⋅所以2k+3+3k2+9k>0解得k<−11−856当a+kb与ka因为a与b不共线，所以λk=1k=λ，解得k=1λ=1或当λ=1时θ=0，当λ=−1时，θ=π综上，k∈−10．（23-24高一下·广东广州·期中）已知向量a与b的夹角θ=2π3，且a(1)求a+(2)b在a上的投影向量；(3)求向量a与a+【解题思路】（1）先求出|a+b（2）根据投影向量的计算公式计算即可.（3）利用向量的夹角公式求解即可.【解答过程】（1）由向量a与b的夹角θ=2π3，且a=3，a+b2（2）b在a上的投影向量为a⋅（3）a⋅(a+所以向量a与a+b夹角的余弦值为11．（23-24高一下·浙江杭州·期中）在△ABC中，点P在边AC上，PC=2AP，AB=2，BC(1)求BP的模；(2)求向量BA与BP夹角的余弦值；(3)若点M在边AB上，求MB⋅【解题思路】（1）由已知可得BP=23（2）求得BA⋅BP，利用向量的夹角公式可求向量BA与（3）设边BC的中点为N，连接NA，MB⋅MC=【解答过程】（1）由PC=2AP，可得BC−可得BP2所以BP=（2）cosBA又BA⋅所以cosBA（3）设边BC的中点为N，连接NA，MB⋅由余弦定理可得NAN到AB的距离为NBsinB=3所以MB⋅12．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）设两个向量a,b满足(1)若2a+b⋅a−b(2)若a,b的夹角为（1）中的θ，向量ta+b【解题思路】（1）先根据2a+b⋅a−b（2）根据题意可得ta+b⋅2【解答过程】（1）∵2又∵a∴cosθ=1（2）∵a,b的夹角为π∴a∵向量ta+b∴ta+b⋅2ta→2解得：t>−3+7或t<−3−7且t≠2∴t∈−题型4题型4平面向量基本定理的应用13．（23-24高一下·山东·期中）如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=60∘，N是AC的中点，BM=23BC，设(1)求cos∠MPN(2)若CP=xAB+y【解题思路】（1）以AB,AC为基底表示（2）利用平面向量共线的充要条件，结合平面向量基本定理，根据待定系数法计算即可.【解答过程】（1）以AB,AC为基底，设则BNAM=所以BN2同理AM2AM⋅则cosAM（2）因为A、P、M三点共线，不妨设AP=λ同理有B、P、N三点共线，不妨设BP=μ则有λ314．（23-24高一下·山东威海·期末）如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，AD=23，CD=2，AB=4，F为BC的中点，点E满足DE(1)用AB与AD表示AF；(2)求AE⋅(3)若点G为△AEF的重心，是否存在λ，使得A，C，G三点共线？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.【解题思路】（1）利用向量的线性运算可得答案；（2）利用向量的线性运算、数量积的运算可得答案；（3）AG=12AD+2λ+312AB，AC=AD+【解答过程】（1）AF=（2）AE=AD+DE=所以AE⋅又因为λ∈[0,1]，所以AE⋅（3）若点G为△AEF的重心，则AG=又因为AC=若A，C，G三点共线，则∃k∈R使得AG可得12=k2λ+3所以存在λ=0，使得A，C，G三点共线.15．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）如图，在▱ABCD中，E，H分别是AD，BC的中点，AF=2FB，G为DF与(1)记向量AB=a，AD=b，试以向量a，b为基底表示(2)若AC=mBE+nDF，求(3)求证：A，G，H三点共线．【解题思路】（1）根据向量的减法法则结合题意求解；（2）对AC=mBE+nDF结合（1）化简用a，（3）设BG=λBE，DG=μDF，由AG=AB+BG，AG=【解答过程】（1）因为在▱ABCD中，E，H分别是AD，BC的中点，AF=2所以BE=DF=（2）由（1）知BE=12所以AC=m因为AC=a+b，所以（3）AH=设BG=λBE，AG=又AG=所以23μ=1−λ1−μ=12∴AG=∴AG∥AH，即A，G，16．（23-24高一下·河南·阶段练习）如图，在直角梯形ABCD中，BC=3AD,DC=5DE,AB⊥BC,BE与AC

(1)用BA和BC表示BD,(2)设BF=λBE，求(3)设BD=xAC+y【解题思路】（1）利用平面向量的加法运算并根据线段的比例关系可得结论；（2）由共线定理根据A,F,C三点共线可得结果；（3）根据向量等式得出xy的表达式，再由二次函数性质可证明结论.【解答过程】（1）因为BD=DC=BE=（2）由（1）得BF=λ因为A,F,C三点共线，所以45解得λ=15（3）由（1）得BD=BA+则BD又BC,BA不共线，所以y−x=1,x+μy=由μ∈0,13因为函数ℎy=xy=y−1所以当y=43时，ℎ(y)题型5题型5\o"平面向量线性运算的坐标表示"\t"/gzsx/zj168404/_blank"平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示17．（23-24高一下·江西·阶段练习）已知向量OA=(1)若A,B,C三点共线，求m的值；(2)若四边形ABCD为矩形，求2x+y的值．【解题思路】（1）由OA=−3,1,OB=（2）由AB=4,−2,BC=OC−【解答过程】（1）因为OA=所以AB=OB−又A,B,C三点共线，所以AB∥AC，所以4×3−−2解得m=−9．（2）由ABCD=若四边形ABCD为矩形，则AB⊥BC．即解得m=7由AB=−CD解得x=−12,y=618．（23-24高一下·北京通州·期末）已知向量a=(−1,0)，b(1)求|a(2)若AB=a+b，BC=2a−b，【解题思路】（1）结合向量的坐标运算，以及向量模公式，即可求解；（2）结合向量共线的性质，即可求解．【解答过程】（1）解：a=(−1,0)，b则a+2故|a（2）证明：AB=a+则AC=CD=−所以CD∥所以A，C，D三点共线．19．（23-24高一下·重庆·期中）已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，若AB=e1−e2，BP=2(1)求实数λ的值；(2)若e1=1,0（ⅰ）求BC；（ⅱ）若D−2,4，A，B，C，D恰好构成平行四边形ABCD，求点A【解题思路】（1）首先求AP，再根据向量AP//（2）（ⅰ）根据向量的坐标运算，即可求解；（ⅱ）根据AD=【解答过程】（1）APAP=tPC=te1（2）（ⅰ）BC=BP+PC=2（ⅱ）设A的坐标为x,y，∵A，B，C，D恰好为构成平行四边形ABCD则AD=BC，AD−2−x=34−y=5解得：x=−5y=−1，∴A的坐标为20．（24-25高一下·天津和平·阶段练习）已知三点A（2，3），B（5，4），C7,10，点(1)当λ为何值时，点P在函数y=x的图象上？(2)若点P在第三象限，求实数λ的取值范围.(3)若Q在直线BC上且BQ=12【解题思路】（1）根据点P在函数y=x的图象上可设Pa,a，然后表示出AP,AB（2）设Px,y，表示出AP,AB,AC（3）设Qm,n，由Q在直线BC上可得BQ//BC，先利用坐标表示平行关系，再利用坐标表示BQ【解答过程】（1）∵点P在函数y=x的图象上，∴可设Pa,a则AP=(a−2,a−3),∵AP=AB解得λ=1（2）设Px,y，则AP∵AP=AB+λAC(λ∈R∴x<0,y<0∴5+5λ<0,4+7λ<0∴λ<−1；（3）设Qm,n，由Q在直线BC上可得BQ又BQ//BC，∴6m−5∵BQ∴m−5由①②可得m=4n=1或m=6∴点Q的坐标为4,1或6,7.题型6题型6向量共线、垂直的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示21．（23-24高一下·安徽六安·期末）已知向量a=(1)若a⊥b+(2)若ka+b与2【解题思路】（1）根据向量垂直的坐标表示可得m=−1，进而可求c；（2）根据向量共线的坐标表示求得k=−2.【解答过程】（1）因为a=1,2,又因为a⊥b+c，则则c=−2,−1，所以（2）由题意可得：ka因为ka+b∥2a−22．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知向量a=(3,2),(1)当(a+2b)⊥(2a(2)当c=(−8,−1),a∥(b+c【解题思路】（1）由向量的坐标运算法则先求出a+2b和2a−b的坐标，再由条件可得a（2）由向量的坐标运算法则先求出b+c的坐标，由a//【解答过程】（1）因为向量a则a+2b=又因为a+2b⊥可得(3+2x)(6−x)+0×5=0，解得x=6或x=−3且x>0，则x=6，则b=6,−1，所以a−（2）由c=−8,由a//b+c，可得3×(−2)−2×(x−8)=0，解得可得a=13，b=则cosα=且α∈0,π，所以向量a与b的夹角23．（23-24高一下·云南楚雄·期末）已知平面向量a,b,(1)若a//b，求(2)若2a+c⊥a【解题思路】（1）根据向量平行的坐标表示求参；（2）先根据垂直结合向量的模长求出a⋅【解答过程】（1）根据题意可得3×−8解得λ=−6．（2）由2a+c因为a=9+16=5所以a⋅所以cosa又a,c∈24．（23-24高一下·四川雅安·期末）已知向量a=1,−2，(1)若ka−2b与2(2)已知O，A，B，C为平面内四点，且OA=a+2b，OB=3a+b，OC=【解题思路】（1）由向量坐标线性运算结合垂直关系的坐标运算，列出方程求解即可；（2）由向量的加减、数乘运算表示AB，AC，再由共线定理解出实数m的值．【解答过程】（1）ka则2a因为ka−2b与2解得k=22（2）OA=OB=3AB=AC=因为A，B，C三点共线，所以AB∥所以−1×−2m−2解得m=2．题型7题型7用向量解决夹角、线段的长度问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示25．（23-24高三上·河南新乡·阶段练习）如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60°，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，(1)求PN；(2)求∠MPN的正弦值.【解题思路】（1）先通过向量线性运算求得BP:PN=2：1，再将BN用AB、AC表示，利用平面向量数量积的运算性质可求得BN的长，即可求解PN的长；（2）把∠MPN视作AM与BN夹角，运用平面向量的夹角公式求解.计算出AM⋅BN的值，结合平面向量的数量积可计算出【解答过程】（1）由BN是AC上的中线，所以BN=设BP:PN=λ，则BP=又A,P,M三点共线，所以λ2λ+1+λλ+1因为BN是AC上的中线，所以BN=所以BN2=AB所以BN=212（2）∠MPN为AM与BN夹角，且cos∠MPN=因为AM是BC上的中线，所以AM=所以AM2==1+254+又AM=1所以cos∠MPN=cosAM所以sin∠MPN=26．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，在△ABC中，AB=3,AC=2,∠BAC=π3,D是BC边的中点，CE⊥AB,AD与CE(1)求CE和AD的长度；(2)求cos∠CFD【解题思路】（1）利用三角函数定义即可求得CE的长；利用向量法即可求得AD的长度；（2）利用向量夹角的余弦公式即可求得cos∠CFD【解答过程】（1）∵CE是高，∴∠AEC=π2，在Rt△AEC中，所以CE=ACsin∵AD是中线，∴AD∴AD2=∴CE=3,AD=19∴EC=AC−另解：过D作DG//CE交BE于∵D是BC的中点，∴G是BE的中点，∴AE=EG=GB=1,EF是△AGD的中位线，DG是△BCE的中位线，∴EF=1cos∠CFD=27．（23-24高一下·广西河池·阶段练习）如图，在△ABC中，已知AB=2,AC=5,∠BAC=60°,BC,AC边上的两条中线AM，BN

(1)求AM的长度；(2)求∠MPB的正弦值.【解题思路】（1）根据AM是中线，由AM=（2）易知∠MPB为向量AM,NB的夹角【解答过程】（1）解：因为AM是中线，所以AM=所以AM⃗则AM=（2）由图象知：∠MPB为向量AM,NB的夹角因为NB=所以NB2=4−2⋅5⋅12+又AM⋅NB==1所以cos∠MPB=因为∠MPB∈0,所以sin∠MPB=28．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）如图，正方形ABCD中，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M.(1)设EF=xBA+y(2)求∠AME的余弦值；(3)求DM：ME和【解题思路】（1）根据平面向量的线性运算可得EF=−（2）如图，根据勾股定理和相似三角形的性质可得DM=67DE=35（3）由（2），根据AMMF【解答过程】（1）由题意知，EF=又EF=xBA+yBC，所以（2）如图，过点E作EN//BC交于AF于点N，过A作AH⊥DE于点H，设正方形ABCD的边长为a，则AE=BE=1由EN//BC，得EN//AD，EN=1所以DE=A由△AMD∼△NME，得DMEM所以DM=6因为AH⊥DE，所以AD所以AD2−D解得MH=5所以cos∠AME=−（3）由（2）知，△AMD∼△NME，得DMEM故DMEM题型8题型8向量与几何最值（范围）问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示29．（23-24高一下·江西九江·期末）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=π3，P为平面ABCD内一点，AC与BP相交于点(1)若AP=PD，AQ=xBA+y(2)求PA+【解题思路】（1）建立直角坐标系，利用向量的线性运算的坐标表示即可求解，（2）根据向量数量积的坐标运算，结合二次型多项式的特征即可求解最值.【解答过程】（1）当AP=PD时，则P为由于△APQ∼△CBQ,所以APBCAQ=1

（2）由于四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC=π则A2,0取AB中点为M，连接PA,PB,则M1,0,设PPM=PA+PB故当x=1,y=32时，取最小值30．（23-24高一下·湖北武汉·期中）如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形，其中正六边形边长为2.(1)设AG=xAB+y(2)若点P在OD边上运动（包括端点），则求AO+2【解题思路】（1）根据向量的加减法运算，可得答案；（2）建立平面直角坐标系，求得相关各点坐标，表示出P点坐标(m,33m),0≤m≤【解答过程】（1）由题意得：两个正六边形全等，IG=则AG=故由AG=xAB+y（2）如图，以O为坐标原点，FC为x轴，OI为y轴建立平面直角坐标系，则A(3,−3),B(23由于直线OD的方程为y=33x，故设P则BP=(m−2所以AO+2则AO+2由于0≤m≤3，此时函数y=故当m=3时，y=所以AO+231．（24-25高三上·河南·阶段练习）在边长为2的等边△ABC中，D为BC边上一点，且BD=2(1)若P为△ABC内一点（不包含边界），且PB＝1，求PB⋅(2)若AD上一点K满足DK=2KA，过K作直线分别交AB，AC于M，N两点，设AM=xAB，AN=yAC，△AMN的面积为S1，四边形BCNM【解题思路】(1)取BC的中点E，则EB=−EC，所以PB⋅PC(2)根据BD=2DC得到AD=【解答过程】（1）取BC的中点E，所以PB⋅因为E为BC的中点，所以EB=所以PB⋅又因为PB＝1，所以PE∈(0,1)，故PE故PB⋅PC的取值范围（2）因为BD=2DC，所以因为AM=xAB，AN=y所以3AK=1因为点K,M,N三点共线，所以19x因为S△AMN=1所以S△ABC=1xyS所以k=S由①得：1x=9−2所以当y=94时，k取最大值32．（23-24高一下·江苏苏州·期中）在锐角△ABC中，cosB=22，点O(1)若BO=xBA+y(2)若b=2（i）求证：OB+（ii）求3OB【解题思路】（1）由cosB=22推出∠AOC=π2，即OA⋅OC=0，由BO=x（2）（i）延长BO交圆O于E，则BO=OE，过E作EF⊥OC，垂足为F，过E作EG⊥OA，垂足为（ii）延长OA至M，使得|OM|=2，以OM,OC为邻边作矩形OCNM，延长OB至P，使得|OP|=3|OB|=3，将3OB+2OA【解答过程】（1）因为cosB=22因为点O为△ABC的外心，所以∠AOC=2B=π2，即OA⊥OC，因为BO=xBA+y所以xOA设三角形ABC的外接圆的半径为R，则|OA由xOA+yOC所以x2+y因为xy≤(x+y)24所以x+y−12≤得(x+y−2)2≥2，得x+y≥2+2因为三角形ABC为锐角三角形，其外心必在三角形ABC内，由BO=xBA+y再由xOA+yOC所以x+y≥2+2应舍去，所以x+y≤2−所以x+y的最大值为2−2（2）（i）延长BO交圆O于E，则BO=OE，过E作EF⊥OC，垂足为F，过E作EG⊥OA，垂足为

因为∠BOC=2A，所以∠EOC=π−2A，因为∠AOC=π2，且|AC|=b=2所以|OF|=|OE|⋅cos(π−2A)=−cos所以OE=OG+所以BO=所以OB+（ii）延长OA至M，使得|OM|=2，则OM=2OA，以OM,OC为邻边作矩形则ON=OM+延长OB至P，使得|OP|=3|OB|=3，则OP=3

所以|3OB所以当N,O,P三点共线时，|3OB+2OA因为三角形ABC为锐角三角形，且B=π4，所以A+C=3所以∠BOC=2A∈(π当∠BOC=π2时，|=14−65⋅sin∠CON当∠BOC=π时，|OP+=14−65sin所以|OP+ON|∈[3−5题型9题型9三角形（四边形）的面积问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示33．（23-24高一下·江西宜春·期末）在△ABC中，D为BC上一点，AD=CD，BA=7，BC=8.(1)若B=60°，求△ABC外接圆的半径R；(2)若sin∠BAD=3314，【解题思路】（1）利用余弦定理求得AC，再利用正弦定理即可得解.（2）利用三角函数的平方关系与余弦定理求得所需要线段长，再利用正弦定理与三角形面积公式即可得解.【解答过程】（1）由余弦定理A=72+又ACsinB=2R∴△ABC外接圆的半径R为19；（2）因为sin∠BAD=33则cos∠BAD=设BD=x，则DC=8−x,DA=8−x，在△ABD中，BA=7,BD=x,DA=8−x,cos由余弦定理得x2=7所以BD=3,DA=5；由正弦定理BDsin∠BAD=ADsin所以S△ABC即△ABC的面积为10334．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在四边形ABCD中，AB//CD,AD⋅sin∠ADC=2CD⋅(1)求证：BC=2CD.(2)若AB=3CD=3，且∠BDC=60°，求四边形ABCD的面积.【解题思路】（1）由条件结合正弦定理证明AD⋅sin（2）由余弦定理求BD，结合三角形面积公式求结论.【解答过程】（1）在△ACD中，由正弦定理得AD⋅sin因为AB//CD，所以∠ACD=∠CAB，所以AD⋅sin在△ABC中，由正弦定理得，即AC⋅sin所以AD⋅sin又AD⋅sin所以BC⋅sin所以BC=2CD.（2）AB=3CD=3，则CD=1，由（1）知BC=2CD=2，因为∠BDC=60∘，则在BC2又BD>0，解得BD=1+此时四边形ABCD的面积S=135．（23-24高一下·江苏南京·期中）如图，为了检测某工业园区的空气质量，在点A处设立一个空气监测中心(大小忽略不计)，在点B处安装一套监测设备．为了使监测数据更加准确，在点C和点D处，再分别安装一套监测设备，且满足AB=2km,BC=4km且△ACD为正三角形．(1)若∠BAC=π3，求(2)设∠ABC=α，试用α表示△ABD的面积，并求最大值．【解题思路】(1)根据余弦定理求出AC，再根据面积公式代入数据即可解得.(2)设正△ACD的边长为x，∠BAC=β,在△ABC中由正弦定理得x=4【解答过程】（1）由余弦定理cos∠BAC=12=解得AC=1+13或AC=1因为△ACD为正三角形，所以AD=1+∴S△ABD=12⋅AB⋅AD⋅在△ABC中由正弦定理x2sinα+β=sinβ⇒2∵α∈0，π,故当α=5π36．（23-24高一下·天津·期中）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=1.(1)若C=π3,△ABC(2)若△ABC为锐角三角形，且sinA+C①求B；②求△ABC面积的取值范围.【解题思路】（1）利用余弦定理求出a,b的关系，再结合三角形的周长即可得解；（2）①根据三角形内角和定理结合二倍角的正弦公式即可得解；②先求出角C的范围，再利用正弦定理求出边a，再根据三角形的面积公式结合三角函数的性质即可得解.【解答过程】（1）由余弦定理及已知条件得，a2又因为△ABC的周长等于3，所以a+b+c=3，得a+b=2。联立方程组a2解得a=1,b=1；（2）①根据题意sinA+C得sinA+C因为0<A+C2<所以cosA+C2=所以A+C=2所以B=π②因为△ABC是锐角三角形，由①知B=π3,A+B+C=故0<C<π20<由正弦定理asinA=又c=1，所以a=sin所以S=34⋅sin2又因π6故38所以38故S△ABC的取值范围是3题型10题型10求\o"求三角形中的边长或周长的最值或范围"\t"/gzsx/zj168411/_blank"三角形中的边长或周长的最值或范围

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示37．（23-24高一下·重庆·期末）在锐角△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，已知2a−c=2bcos(1)求B的大小；(2)求a+bc【解题思路】（1）利用余弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解；（2）利用正弦定理化边为角，再根据三角恒等变换化简，结合三角函数的性质即可得解.【解答过程】（1）因为2a−c=2bcos由余弦定理得2a−c=2b⋅a整理得a2所以cosB=又B∈0,π，所以（2）由正弦定理得a+b=32因为0<C<π20<A=所以π12<C而tanπ所以2−3<tan所以a+bc38．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若c=2,∠BAC的角平分线AD交BC于点D．

(1)若b=1,∠BAC=60°，求(2)若△ABC为锐角三角形，且2ab=1+tanCtanB,∠ABC的角平分线BE交AC于点E【解题思路】（1）由关系S△ABC（2）由正弦定理化边为角，结合三角恒等变换化简求C，结合正弦定理利用角A表示BO+AO，结合正弦型函数的性质求BO+AO的范围，由此可得结论.【解答过程】（1）因为AD为∠BAC的角平分线，∠BAC=60所以∠BAD=∠CAD=30因为S所以12×2×1×所以AD=2（2）在△ABC中，由正弦定理得，2ab所以2sinA又sin(C+B)=sin(又sinB>0,sinA>0，所以cosC=12在△ABO，由正弦定理得，BOsin所以BO+AO=4431因为△ABC是锐角三角形，所以0<A<π2,0<则π12<Asin5π12=sin7所以三角形△ABO周长的取值范围为2+339．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，3sin(1)求角A；(2)若a2=3bc，求(3)若3b+c=33sin【解题思路】（1）利用辅助角公式得到sinA+π6=1（2）由余弦定理列出方程，求出b=c，故B=C，求出答案；（3）由正弦定理2R=3，表达出b+c=3sinB+π【解答过程】（1）3sinA+cos因为A∈0,π，所以故A+π6=（2）由余弦定理得cosA=又A=2π3，a2故b−c2=0，所以故B=C，cosB−C（3）由正弦定理得bsinB=csin故b=2Rsin又3b+c=33sin因为B,C∈0,π，故故2R=3又A=2π则b+c=2R=3sin因为B∈0,π3，所以B+b+c=340．（23-24高一下·北京大兴·期末）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin(1)求∠B；(2)若b=3（i）再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求△ABC的面积．条件①：a=6；条件②：a=2c；条件③：sin（ii）求△ABC周长的取值范围．【解题思路】（1）利用正弦定理边化角化简得tanB=（2）（i）选择条件①利用正弦定理计算判断三角形不唯一；，选择条件②，利用余弦定理及三角形面积公式计算求解；选择条件③，利用正弦定理计算判断，再求出三角形面积；（ii）利用余弦定理及基本不等式计算即可.【解答过程】（1）由bsinA=3因为在△ABC中sinA>0,sinB>0,即tanB=3，因为B∈0,（2）（i）若选条件①a=6，结合（1）∠B=π3由正弦定理asinA=则满足条件的三角形不存在，故不能选条件①，若选条件②：a=2c，结合（1）∠B=π3及由余弦定理b2=a2+易知a=2c=2，故此时满足条件的三角形唯一.所以S△ABC若选条件③：sinC=13，结合（1）∠B=因为sinC=13由sinC=13因为在△ABC中A+B=所以sinA=易知满足条件的三角形唯一.由正弦定理asinA=所以S△ABC（ii）由余弦定理b2可得3=a结合基本不等式ac≤a+c22解得：a+c≤23,当且仅当a=c=又在△ABC中易得a+c>b=3所以△ABC周长C△ABC△ABC周长的取值范围为23题型11题型11\o"证明三角形中的恒等式或不等式"\t"/gzsx/zj168411/_blank"证明三角形中的恒等式或不等式

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示41．（23-24高二下·湖北咸宁·期末）在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知A=2B，且b≠c.(1)若2a=3b，求sinA(2)证明：ab【解题思路】（1）根据A=2B，sinA=sin2B（2）根据（1）a=2bcos【解答过程】（1）依题意，A=2B，所以sinA=sin2B由正弦定理可知，a=2bcosB，即从而cosA=A为三角形内角，故sinA=（2）由（1）可知，a=2bcosB，由余弦定理可得：即a2则a2c−b=b故a2从而ab42．（23-24高一下·江苏盐城·期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=2B.(1)若sinB=13(2)若a>c，求证：12<b【解题思路】（1）由三角形内角性质可得0<B<π2，结合已知并利用二倍角正余弦公式求cosB、sinC、（2）由大边对大角及三角形内角性质得0<B<π5，根据C=2B及正弦定理边角关系得【解答过程】（1）由C=2B，A+B+C=π，故0<B<π又sinB=13，可得cosB=2则sinA=（2）由a>c知：A>C=2B>0，所以π=A+B+C>B+2C=5B，即0<B<π又sinC=sin2B=2sinB所以12<bc<综上，1243．（23-24高一下·安徽·期中）已知锐角△ABC,a,b,c分别为角A,B,C的对边，若a2(1)求证：A=2B；(2)求bc【解题思路】（1）根据题干，利用余弦定理化简可得acosB=b1+cosA，再由正弦定理可得sinAcos（2）由△ABC是锐角三角形，所以π6<B<π4，由正弦定理可得【解答过程】（1）a⇒cosB=basinA即sinA−B∵△ABC是锐角三角形，∴A,B∈0,π2因此有A−B=B⇒A=2B（2）△ABC是锐角三角形，∴A,B,C∈0,π2∴0<B<π2,0<2B<则sin3B=而1−所以y=b∴y=bc∈1244．（23-24高一下·河南·期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，三角形面积为S，若D为AC边上一点，满足AB⊥BD，BD=2，且a2(1)求角B；(2)证明：4a(3)求2AD【解题思路】（1）利用三角形的面积公式和已知条件，结合正弦定理化简求得tanB=−3，即可求得（2）先利用正弦定理求得CD=1sinC，AD=（3）结合（2），利用三角恒等变换的公式，化简得到2AD+1【解答过程】（1）解：因为a2=−2又因为a≠0，所以a=−3由正弦定理得sinA=−又由sinA=所以sinB即cosB因为C∈0,π，可得sinC>0，所以cos又因为B∈0,π，所以（2）证明：因为AB⊥BD，所以∠DBC=2在△BCD中，由正弦定理得CDsin∠DBC=在直角△ABD中，AD=BD所以b=AC=AD在△ABC中，由正弦定理得asin所以a=2所以4a+2

（3）解：由（2）知，CD=1sinC因为∠ABC=2π3所以2AD+1因为C∈(0,π3)，所以C+故2AD+1题型12题型12解三角形与三角函数综合

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示45．（23-24高一下·甘肃白银·期末）已知fx(1)求fx在0,(2)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边长分别是a，b，c，若fC=0，c=2，求△【解题思路】（1）利用三角恒等变换得到fx（2）由fC=0得C=π【解答过程】（1）由题意得fx又−π2+2kπ≤2x−π3令k=0，得−π12≤x≤5π12所以fx在0,π2（2）因为fC所以2C−π3=kπ（又C是锐角，所以C=π由余弦定理c2=a所以ab≤42+3，当且仅当所以S△ABC故△ABC的面积的最大值为2+346．（23-24高一下·四川巴中·期末）已知函数f(x)=2sin

（1）求函数f(x)的解析式；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)=3，b=2，且△ABC的面积为332【解题思路】（1）根据图形求出最小正周期可求得ω=2，代入点5π12,2可求得（2）根据f(A)=3求得A=π3，根据面积求出c【解答过程】解：（1）据图象可得3T4=5π由T=2πω=π由f5π12=2由−π2<φ<∴5π6+φ=∴f(x)=2sin（2）∵f(A)=2sin2A−π∵A∈(0,π2)∴2A−π3=由题意得△ABC的面积为12×2×c×sin由余弦定理得a2=b47．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知函数fx=Asinωx+φA>0,0<ω<6(1)求f(x)的解析式；(2)已知△BCD中，B是锐角，且fB2=2，CD【解题思路】（1）根据三角函数性质可确定解析式；（2）根据余弦定理，基本不等式可得面积最大值．【解答过程】（1）设f(x)的最小正周期为T，∵f(x)图象的一条对称轴是x=π3，一个对称中心是∴7π∴T=π2k−1,k∈∵0<ω<6，则ω=2，∵f(x)图象的一条对称轴为x=π∴2π∵|φ|<π2，∴又∵f(x)的最大值是4，∴A=4，则f(x)=4sin（2）∵fB2=2又B∈0,π2，∴B−在△BCD中，CD当且仅当BC=BD=3时取等号，则BC⋅BD≤9，则△BCD的面积为12所以△BCD的面积的最大值为9348．（23-24高一下·四川成都·期中）已知a=−1,23，b(1)求函数fx(2)若fπ12+(3)在锐角△ABC中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若b=3，f(B)=1，求△ABC【解题思路】（1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可；（2）由fπ12+（3）由f(B)=1得出B=π3，根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式，将a+c转化为三角函数，根据△ABC为锐角三角形得出A的范围，结合三角函数的性质得出【解答过程】（1）fx令2x+π6=kπ，则函数的对称中心为−π（2）由fπ12−化简有sinα+则cos=3（3）由f(B)=1可得2sin2B+π又0<B<π，所以B=由正弦定理有bsin所以a+c=2=2sinA+23因为△ABC为锐角三角形，所以0<A<π20<C<所以A+π6∈所以3<a+c≤23，则3+所以△ABC周长的取值范围为3+3题型13题型13复数的模的几何意义

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平面向量线性运算的坐标表示49．（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数z1(1)若z1=z(2)若复数z=x+yix,y∈R，且满足z−z1=1，求复数【解题思路】（1）根据复数相等即可求解；（2）先确定复数z在复平面内所对应的点的轨迹，再数形结合即可求解.【解答过程】（1）因为z1=z由a=2解得a=±2由b2+3b−3=1,b+4b−1=0故实数a的值为±2，实数b的值为b=−4或b=1.（2）因为z−z1=1所以x−22即复数z在复平面内所对应的点Zx,y的轨迹是以A2,1为圆心，半径如图所示：所以复数z在复平面内所对应的点x,y到P−2PA+r=50．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知|z|=2，求|z−1−i【解题思路】利用复数模的几何意义即可求解.【解答过程】设z=a+bi，则|z|=所以a2即z=2表示的复数z在圆心为O(0,0)，半径为r=2因为z−1−i所以z−1−i所以z−1−i表示圆上的点到点A因为点A到圆心O的距离为d=(1−0)如图所示，圆上的点到点A1,1的距离最小值为AC=r−d=2−最大值为AB=r+d=2+51．（24-25高一·全国·单元测试）已知复数z满足|z+2−2i|=2，且复数z在复平面内的对应点为(1)确定点M的集合构成图形的形状；(2)求|z−1+2i【解题思路】（1）根据复数模的几何意义确定点M的集合构成图形的形状.（2）根据复数模的几何意义，结合圆的几何性质求得正确答案.【解答过程】（1）设复数−2+2i在复平面内的对应点为P(−2,2)则|z+2−2i故点M的集合是以点P为圆心，2为半径的圆，如下图所示．（2）设复数1−2i在复平面内的对应点为Q(1,−2)，则|z−1+2|PQ|=(1+2)则|z−1+2i|的最大值即|MQ|的最大值是|z−1+2i|的最小值即|MQ|的最小值是52．（23-24高一下·广东东莞·期末）设复数z=x+yi，z0=x0+y0i，记复数z（1）根据复数及其运算的几何意义，求Z和Z0（2）已知z−z0=r（r为正实数）表示动点Z的集合是以点Z0为圆心，r为半径的圆.那么满足条件【解题思路】（1）求出|ZZ（2）z−1+i=1表示的动点Z的集合是以点（1，1）为圆心、1为半径的圆，方程z−【解答过程】解：（1）复数z=x+yi，z0=x0+所以Z=x0−x,y0方程z−1+i=3故不等式1≤|z−1+i|≤3所以该圆环形图形的面积为S=π⋅3题型14题型14根据复数的四则运算结果求复数特征

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平面向量线性运算的坐标表示53．（23-24高一下·山东聊城·期中）已知复数z1，z2在复平面上对应的点分别为0,−2，(1)若z=z2z(2)若复数z1+az【解题思路】（1）可得出：z1=−2i，z2=3+4（2）进行复数的运算得出z1+az2=3a+(4a−2)【解答过程】（1）根据题意知：z1=−2i∴z=z∴z=−2−（2）z1+az∴3a>04a−2<0，解答0<a<∴实数a的取值范围为(0,154．（23-24高一下·贵州·期中）已知复数z的共轭复数为z,z在复平面上对应的点在第一象限，且满足z−(1)求复数z；(2)求复数z+z【解题思路】（1）设z=a+bi，a,b∈R，则z（2）由（1）可得z+z【解答过程】（1）设z=a+bi，a,b∈R，则z由题意可得a+bi−a−b又因为z在复平面上对应的点在第一象限，即b=3a=4，所以z=4+3（2）由（1）可知z=4+3i，则z+所以z+z1−i55．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）已知复数z1=a+4i(1)若z1z2(2)若复数z1z2【解题思路】（1）由复数的除法和乘法运算结合复数的意义计算即可；（2）由共轭复数的定义和复数的运算结合复数的几何意义计算即可；【解答过程】（1）z1因为z1z2（2）z1因为复数z1z2故a的取值范围为(−∞,−3).56．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知z是复数，z−i为实数，z(1)求复数z；(2)求z1+2(3)设m∈R，z1=m+1+z，若复数z1【解题思路】（1）设z=a+bi（2）根据复数的除法整理可得z1+2（3）根据题意结合复数的几何意义可得−1<m<0，结合模长公式运算求解.【解答过程】（1）设z=a+bi因为z−i=a+b−1i为实数，则又因为z−1−若z−1−i为纯虚数，则−a+1所以z=−1+i（2）由（1）可得：z1+2所以z1+2i的模为（3）由（1）可得：z1=m+1+z=m+1−1+i若复数z12在复平面内对应的点位于第三象限，则m2则1z所以1z1的取值范围为题型15题型15复数范围内方程的根的问题

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平面向量线性运算的坐标表示57．（23-24高一下·上海·期末）设i是虚数单位，m､k∈R.α､β是关于x的方程(1)若α=2+5i，求m与(2)若m=0，求k的值.【解题思路】（1）由α=22+5（2）当m=0时，则α，β是关于x的方程x2【解答过程】（1）解：由α=2+5i，得而α+β=3因为α，β是关于x的方程所以2+5得β=m−5i，由β得β=0，则k=0；（2）当m=0时，则α，β是关于x的方程则△=4−4k，当k=1时，则α=β=1，不满足α+当k<1时，得△=4−4k>0得α+由α+β=3得α2得α+β2得−2k+2k当0≤k <1时，不成立，当k<0时，得当k>1时，得△=4−4k<0，不妨记α=1−k−1由α+β=3得k=9故k的值为：−54或58．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知关于x的实系数一元二次方程x2−3ax−3a=0(a∈R)有一对共轭虚根x1(1)当a=−13时，求共轭虚根x1(2)若x1−x【解题思路】（1）由公式法求解即可；（2）由题可知Δ<0，求得a的范围，由求根公式计算x1,【解答过程】（1）当a=−13时，Δ=1−4=−3，则方程即x（2）x2−3ax−3a=0(a∈R)有一对共轭虚根，所以9a∴x1∴x1−x2=−9a故a=−13或59．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知关于x的方程x2+px+q=0p,q∈(1)设p=1，若方程至少有一个模为1的根，求q的值；(2)设q=1，虚数z+1是方程的一个虚根，在复平面上，设复数z所对应的点为M，复数2−4i所对应的点为N，求MN【解题思路】（1）根据存在模为1的根和模为1的根为实数根和虚数根来分类探讨即可求解.（2）先根据复数根的性质得M的轨迹，再根据N点坐标以及MN几何意义即可求解.【解答过程】（1）若p=1，则方程为x2因为方程至少有一个模为1的根，当q=0时，方程为x2+x=0⇒x=0或当q≠0时，若模为1的根为实数根1时，则有12+1+q=0，即若模为1的根为虚数根时，不妨设方程模为1的根为a+bia,b∈R则a−bi也是方程的根，故2a=−1a2+b故q的值为：−2、0、1.（2）若q=1，则方程为x2设复数z=m+ni则Mm,n，z+1=则m+1−nim,n∈故M的轨迹为以−1,0为圆心，半径为r=1的圆C，如图，又由题N2,−4，所以CN所以MN=60．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知关于x的方程x2+x+m=0（m∈R）的两根为α、β(1)若|α−β|=3，求m的值；(2)若|α|+|β|=3，求m的值.【解题思路】（1）根据实系数一元二次方程的根