山东省烟台市2024-2025学年高二上学期期末数学试题【含答案解析】

2024~2025学年度第一学期期末学业水平诊断高二数学注意事项：1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上．3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书写的答案无效，在草稿纸､试题卷上答题无效．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据数列前项的规律，分别分析数列的符号规律和数值规律，进而得出数列的通项公式.【详解】观察数列的前项，可以发现奇数项为正，偶数项为负.根据当为偶数时结果为，当为奇数时结果为；当为奇数时结果为，当为偶数时结果为，可知该数列的符号规律可以用来表示.分母依次为3,5,7,9，得该数列分母的通项公式为.结合上述对符号规律和数值规律的分析，可知该数列的通项公式为.故选：A.2.已知椭圆一个焦点的坐标为，则的值为（）A.1 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】结合椭圆的几何性质，即可求解.【详解】因为椭圆的一个焦点坐标为，可得且，解得.故选：B.3.已知等差数列的前项和为，且，则（）A.52 B.104 C.112 D.120【答案】A【解析】【分析】根据等差数列求和公式和下标和性质即可得到答案.【详解】.故选：A.4.已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为（）A. B.8 C. D.16【答案】C【解析】【分析】由题意，根据椭圆的定义计算直接得出结果.【详解】由题意知，，由椭圆的定义知，四边形的周长为.故选：C5.某隧道的垂直剖面图近似为一抛物线，如图所示．已知隧道高为，宽为，隧道内设置两条车道，且隧道内行车不准跨过中间的实线．若载有集装箱的货车要经过此隧道，货车宽度为，集装箱宽度与货车宽度相同，则货车高度（即集装箱最高点距地面的距离）的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立如图平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线方程，令得，则即为货车高度的最大值.【详解】以抛物线的顶点为原点，建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程，由图可知抛物线过点，代入抛物线方程，得，解得，所以抛物线方程为.因为车道宽2米，两车道中间有隔离带，车宽2米，所以车行驶时，的取值范围为.当时，，要使载货最高的货车通过隧道，货车高度的最大值为米.故选：C6.设和分别表示正实数的整数部分、小数部分，例如．已知数列满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据已知条件求出数列的前几项，找出数列的规律，再根据规律求出的值.【详解】已知，因为，所以，.根据，可得，化简得到.因为，所以，.同理可得.通过前面的计算，可以发现数列的规律，（）.当时，.故选：C.7.若过点的直线与双曲线相交于两点，且关于直线对称，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用已知可求得直线的方程为，设，将直线的方程代入双曲线方程，求得点，利用点在直线上，可得，可求渐近线方程.【详解】因为过点的直线与双曲线相交于关于直线对称，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即，代入双曲线方程得，化简整理得，设，所以，所以的中点的横坐标为，所以，所以，所以，又因为点在直线上，所以，所以，解得，所以双曲线的渐近线方程为.故选：B.8.已知等差数列的前项和，数列的前项和为，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用的关系求得数列的通项公式，进而可得，对分奇偶求得，进而可求得实数的最小值.【详解】当时，，当时，，当时，适合上式，所以的通项公式为，所以，当为偶数时，所以，当为奇数时，所以，又因为不等式恒成立，所以，所以，所以实数的最小值为.故选：D.【点睛】关键点点睛：关键在于分为奇数与为偶数两种情况求得，坐而求得的最大值，进而求得实数的最小值.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在平面直角坐标系中，若一曲线的方程为，则（）A.当时，该曲线为椭圆B.当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线C.当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线D.无论取何值，该曲线不可能为等轴双曲线【答案】BCD【解析】【分析】据的不同取值范围对曲线方程进行变形分析，根据椭圆、双曲线以及等轴双曲线的标准方程来判断曲线的类型即可.【详解】当时，，方程可化为因为，所以，，当，即时，方程，所以此时该曲线为圆，A选项错误.当时，，方程可化为因为，，满足焦点在轴上的双曲线的标准方程，所以此时该曲线为焦点在轴上的双曲线，B选项正确.当时，，方程可化为因为，所以，，满足焦点在轴上的双曲线的标准方程，所以此时该曲线为焦点在轴上的双曲线，C选项正确.若曲线为等轴双曲线，则，两边平方可得，解得.当时，方程为，即，表示圆，不是等轴双曲线，D选项正确.故选：BCD.10.已知数列的前项和为，且满足，则（）A. B.C.为递减数列 D.【答案】AD【解析】【分析】令，计算可判断A；当，可得，两式相减可求得通项公式判断B；由，可判断C；利用错位相减法可求得可判断D.【详解】当时，，故A正确；当时，，又，两式相减得，所以，当时，适合上式，所以，故B错误；所以，所以，当时，，所以从第二项起递减数列，故C错误；，所以，两式相减得所以，故D正确.故选：AD.11.已知为抛物线上一点，为的焦点，直线的方程为，则下列说法正确的有（）A.若，则B.点到直线的距离的最小值为C.点到直线与到直线的距离之和的最小值为2D.若存在点，使得过点可作两条垂直的直线与圆相切，则的取值范围为【答案】ABD【解析】【分析】对于A，利用定义转化长度，即可利用几何法求出最小值；对于B，利用点到直线的距离公式，消去纵坐标，即得二次函数求其最小值即得；对于C，利用定义转化长度，也可利用几何法求出最小值；对于D，把存在点，使得过点可作两条垂直的直线与圆相切问题转化为圆心距的范围问题，即可求解.【详解】对于A，抛物线，焦点，准线，，过点作准线的垂线，垂足为，再过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线定义可知：，故A正确；对于B，设点，则，由点到直线：的距离公式可得：，故B正确；对于C，过点作准线的垂线，垂足为，过点作直线的垂线，垂足为，过点作直线的垂线，垂足为，过点作直线的垂线，垂足为，由点到直线：的距离公式可得：，则点到直线与到直线的距离之和为：，故C错误；对于D，根据过点可作两条垂直的直线与圆相切，可知，由于两条切线垂直，可知，即，所以有，从而把问题转化为抛物线上存在点到圆心的距离为，先求抛物线上点到圆心的距离：，当时，取到最小值，即，解得，故D正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：利用抛物线的定义可把相关距离进行转化再求最值；与圆有关的切线问题可转化为点到圆心的距离问题，即可求解.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在平面直角坐标系中，到轴的距离与到点的距离相等的点的轨迹方程为__________．【答案】【解析】【分析】设出动点坐标，由给定条件列出方程并化简即得.【详解】设动点坐标为，依题意，，两边平方整理得，所以所求轨迹方程为.故答案为：13.已知为等比数列的前项和，且，则的值为__________．【答案】4【解析】【分析】由已知可得，可求得.【详解】因为为等比数列的前项和，，若公比为，所以为等比数列，所以，所以，所以，解得或，又，所以.故答案为：.14.已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点且斜率为1的直线与交于两点，，则椭圆离心率的值为__________；当时，设的内切圆圆心为，外接圆圆心为，则的值为__________．【答案】①.②.【解析】【分析】直线的方程为，设，联立方程组利用弦长公式求得，结合弦长可得，进而可求离心率，结合，求得椭圆的方程，进而求得的坐标，进而利用外心与内心的性质求得的坐标，进而可求.【详解】由题意可得直线方程为，设，联立，消去，得，整理得，所以，所以，又，所以，所以，所以，所以，解得或（舍去），所以，所以离心率；当时，可得，所以椭圆的方程为，所以，直线的方程为，代入椭圆方程得，解得或，可得，故在轴上，设内切圆的半径为，所以，所以，所以，即，又的中点坐标为，的中点坐标为，，所以的垂直平分线的方程为，即，垂直平分线的方程为，即，联立，解得，所以，所以.故答案为：；；【点睛】关键点点睛：关键在于利用直线方程与椭圆方程联立方程组求得弦长，利用已知可得，进而可求离心率.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知公差不为0的等差数列的前项和为，且满足，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意结合等差数列通项公式列式求，即可得通项公式；（2）由（1）可知：，利用错位相减法求和即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，因为，则，整理得，且，即．又因为，则，解得，所以．【小问2详解】由（1）可知：，则，．两式相减得，所以．16.已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于点，且．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点的直线与抛物线交于两点，且，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设点，根据焦半径公式求得，将点的坐标代入抛物线方程即可求解.（2）设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，结合坐标关系利用韦达定理求出，再结合焦半径公式求解焦点弦弦长即可.【小问1详解】设点，则，所以．将代入得，解得，所以抛物线C的标准方程为；【小问2详解】抛物线的焦点，设直线的方程为，因为，所以，所以．联立，得，，所以，即，又，所以，解得．所以．17.已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）．①若的面积为，求直线的方程；②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上．【答案】（1）（2）①；②证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可得，求出即可求解；（2）①设直线的方程和，联立椭圆方程，利用韦达定理，表示出弦长，结合点到直线的距离公式和三角形面积公式建立方程，解之即可求解；②联立直线可得，由①知，化简计算即可求解.【小问1详解】由题意可知，，所以．又，所以椭圆的方程为；【小问2详解】①设过点的直线方程为，点，联立，得，则，则．又因为点到直线的距离．令，解得，所以直线方程为．②由①知，则直线，直线，由，整理得．由①知，得，所以，即，解得，所以点在直线上．18.已知双曲线的离心率为2，且过点．（1）求双曲线的标准方程；（2）过的右焦点的直线与的左、右两支分别交于两点（异于顶点），①证明：以为直径的圆恒过定点，并求出的坐标；②对于①中的，设过的中点且与轴平行的直线与的右支交于点，直线与的交点为，证明：．【答案】（1）（2）①证明见解析，；②证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意可得关于的方程组，求解即可得双曲线的方程；（2）（i）设点，直线方程为，与双曲线方程联立方程组可得，设，利用对恒成立可求得定点的坐标；（ii）求得的坐标，可求得，进而可得四点共圆，可证得结论．【小问1详解】由题意．将点代入双曲线方程得，解得．所以，双曲线的方程为；【小问2详解】（i）设点，直线方程为，联立方程，得，所以，，．设，则，即对任意恒成立．所以，解得所以，以为直径的圆恒过点．（ii）．由题意可知，代入双曲线方程可得，设的中点为，则，所以，所以．又，所以四点共圆．由相交弦定理得．19.已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）令，数列的前项和为，是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由；（3）记，证明：．【答案】（1）（2）存在；或（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用的关系可得，利用累乘法可求数列的通项公式；（2）利用裂项相消法可求得，假设存在正整数，使得成等差数列，可得，求解即可；（3）当时，可得，利用放缩法可证明不等式成立.【小问1详解】因为，所以当时，，两式相减得，即．累乘得．经检验也符合上式，所以．【小问2详解】因为，所以，所以，假设存在正整数，使得成等差数列，则，即，即，显然是18的正约数，又因为，所以，所以或18，当，即时，，当，即时，．