陕西省宝鸡市2025届高三下学期高考模拟检测(二)数学试题【含答案解析】

2025年宝鸡市高考模拟检测试题（二）数学第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用交集的定义可求得集合.【详解】因为集合，，则.故选：C.2.已知关于的实系数方程的一个虚根为，则另外一个根的虚部为（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将虚数根代入可得，即可求解方程的虚数根，利用虚部的定义求解即可.【详解】将代入中可得，解得，故，故，因此另一个虚数根为，故其虚部为1，故选：A3.已知直三棱柱中，，则直三棱柱外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据直三棱柱的性质即可判断的中点为外接球的球心，利用勾股定理求解半径，即可利用表面积公式求解.【详解】取的中点为,,连接,取的中点,由于且三棱柱为直三棱柱，故为外接球的球心，,,故外接球表面积为,故选：C4.已知焦点在轴上的椭圆的焦距为，则其离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据椭圆的焦距求出的值，可得出的值，由此可求得该椭圆的离心率的值.【详解】因为焦点在轴上的椭圆的焦距为，则，可得，所以，该椭圆的标准方程为，则，故该椭圆的离心率为.故选：D.5.若，，则实数、、的大小顺序为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出、、，利用对数函数、幂函数的单调性可得出、、的大小顺序.【详解】由题意可得，，可得，，因为对数函数为上的增函数，则，幂函数在上为增函数，则，故.故选：B.6.展开式中的系数为（）A.200 B.230 C.120 D.180【答案】A【解析】【分析】将原式拆成标准的二项式定理，通过找展开式的通项公式求解.【详解】，由通项公式可得，，则的系数由来确定，由其通项公式可得，.由，得或，所以的系数为.故选：A.7.若函数为奇函数，则（）A B. C.8 D.16【答案】D【解析】【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称可得，再根据可得，进而可得.【详解】由奇函数性质可得，的定义域关于原点对称，又定义域为，即且，，故，解得.又，故，此时为奇函数，故.故选：D8.在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为棱上一点，则（）A.平面B.直线不可能相交于同一点C.正方体表面上满足的点的轨迹长度为D.平面与平面可能平行【答案】C【解析】【分析】选项A，由空间向量法判断线面的位置关系；选项B，先根据位置关系确定直线与直线的交点，进而可确定当为的中点时，直线相交于同一点；选项C，由对称性，由得点位于四边形的边上，进而可得；选项D，由空间向量法判断两个平面的法向量不平行，进而可得.【详解】选项A：如图，建立空间直角坐标系，则，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，则，因，故与平面不平行，故A错误；选项B：延长交直线的延长线于，则，则平面，连接，交直线于，则，故可知当为的中点时，直线相交于同一点，故B错误；选项C：根据正方体的对称性，当时，点在四边形的边上，故点的轨迹长度即为四边形的周长为，故C正确；选项D：，，设平面的一个法向量为，则，令，得，则，设，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，故，若平面与平面平行，则，即，显然不存在，故D错误，故选：C二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．）9.已知向量，则下列结论正确的有（）A.若，则B.若，则C.若与的夹角是，则D.若与的方向相反，则在上的投影向量坐标是【答案】ABC【解析】【分析】利用向量平行、垂直的坐标表示判断AB，利用向量数量积的运算律判断C，利用投影向量的定义判断D.【详解】因为向量，若，则，解得，A说法正确；若，则，解得，B说法正确；若与的夹角是，因为，，所以，所以，C说法正确；若与方向相反，所以，所以在上的投影向量为，D说法错误；故选：ABC10.已知、是两个随机事件，且，，则下列说法正确的有（）A.若、相互独立，则B.恒成立C.若，则D.若，则、相互独立【答案】AC【解析】【分析】利用独立事件的定义以及条件概率公式可判断A选项；举例可判断B选项；根据并事件的概率公式求出的值，结合条件概率公式可判断C选项；利用条件概率的性质可判断D选项.【详解】对于A选项，若、相互独立，则，由条件概率公式可得，A对；对于B选项，抛掷一枚骰子，定义事件向上的点数为，事件向上的点数为奇数，则，，此时，，B错；对于C选项，若，则，因此，，C对；对于D选项，对任意的事件、恒成立，故、不一定独立，D错.故选：AC.11.近年来，宝鸡市教育局致力于构建“学好上、上好学、学得好”的“宝鸡好教育”品牌体系．在关注学生身体健康的同时，也高度重视学生的心理健康，为此特别推出了“和风计划”．某校积极响应“和风计划”，为了缓解学生的学习压力，面向1630名高三学生开展了团建活动．如果将所有参加活动的学生依次按照1，2，3，4，5，6，7，…编上号，并按图所示的顺序排队，我们将2，3，5，7，10，…位置称为“拐角”，因为指向它的箭头与离开它时的箭头方向发生了改变，那么下面说法正确的有（）A.站在第20拐角的学生是111号 B.站在第23拐角的学生是137号C.第133号同学站在拐角位置 D.站在拐角位置的同学共有79名【答案】ACD【解析】【分析】由前几个拐角的编号，找到规律，即可逐项判断；【详解】观察给出的前几个拐角位置对应的编号：2，3，5，7，10，13，17，21，26将奇数项的拐角即为，易得：;偶数序号的拐角即为，由规律可得：第20拐角的学生编号为：正确；站在第23拐角的学生编号为：错误；由，解得，也即第133号同学站在第22拐角位置；由，可得，由，可得，所以拐角总序号可到第79个，所以站在拐角位置的同学共有79名，正确；故选：ACD【点睛】关键点点睛：由前几个拐角编号，找到规律；第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.若一个函数的定义域为，值域为，则它的解析式可能为：_______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据所给性质选择满足条件的函数作答.【详解】函数的定义域为，值域为，所以.故答案为：13.若函数的极大值点为，则_______．【答案】##0.8【解析】【分析】根据极大值的定义，对函数求导并利用辅助角公式进行整理，由余弦函数的图象可得角的值，结合诱导公式，可得答案.【详解】由函数，求导可得，令，则，由题意可得，由函数可知当（）时，，当（）时，，且为函数的极大值点，则可得（），解得（），所以.故答案为：.14.直线恒与圆相切，则圆的方程为_______，若过双曲线的左焦点，交双曲线的右支于点，双曲线的右焦点为，三角形的面积为，则_______．【答案】①.②.【解析】【分析】计算出原点到直线的距离，可得出圆的方程；利用三角形的面积公式可得出，不妨设点位于第一象限，则，，利用双曲线的焦半径公式以及三角形的面积公式可得出点，再利用可求出的值，由此可得出的值.【详解】因为原点到直线的距离为，所以，直线与圆心为原点，半径为的圆恒相切，故圆的方程为，因为为的中点，则，则，不妨设点位于第一象限，则，，则，可得，又因为，可得，即点，其中，因为，整理可得，解得，则，故.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于利用三角形的面积公式、双曲线的焦半径公式求出点的坐标，在利用两点间的距离公式求出、的值.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.在三棱锥中，平面平面，，，，，为的中点，为上一点，．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取为中点，连接、，证明出平面，利用线面垂直的性质可得出；（2）利用面面垂直的性质得出平面，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】取为中点，连接、，因为、分别为、的中点，则，因为，则，因为，为的中点，所以，，因为，、平面，所以，平面，因为平面，故.【小问2详解】因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又因为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、，则，，设平面的一个法向量为，则，取，则，，则，因为，则点为的中点，即点，又有，则，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值.16.某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产．其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：、、、、．根据长期检测结果，发现芯片的质量指标值服从正态分布，现从该品牌芯片的生产线中随机抽取件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图．（1）根据检测结果，样本中芯片质量指标值的标准差的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，可得到X服从的正态分布．求和的值；（2）从样本中质量指标值在和的芯片中随机抽取件，记其中质量指标值在的芯片件数为，求的分布列和数学期望；（3）将指标值不低于的芯片称为等品．通过对芯片长期检测发现，在生产线任意抽取一件芯片，它为等品的概率为，用第（1）问结果试估计的值．（附：①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．）【答案】（1），（2）分布列见解析，（3）【解析】【分析】（1）由在频率分布直方图可知，所有矩形的面积之和为，可求出的值，将每个矩形底边的中点值乘以对应的矩形面积，再将所求结果全加可得的值；（2）分析可知，随机变量可能取的值为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值；（3）利用原则求得，结合百分位数的定义可求得的估计值.小问1详解】由于在频率分布直方图可知，所有矩形的面积之和为，由题可知：，解得，所以，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取件的平均数为：．所以，.【小问2详解】样本中质量指标值在和的芯片数量为，所取样本的个数为件，质量指标值在的芯片件数为件，故可能取的值为、、、，所以，，，，，随机变量的分布列为：所以的数学期望．【小问3详解】由（1）可知：，则，，由题可知：．所以：，即.17.已知：数列的前项和为，，当时．（1）求证：数列为等差数列；（2）记表示不超过的最大整数，设，求数列前2025项和．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意结合整理可得，即可证等差数列；（2）由（1）可得：，分和两种情况，结合取整函数的定义求数列的通项公式，进而求和.【小问1详解】当时，且，可得，整理得，即，且，所以数列为以1为首项，1为公差的等差数列．【小问2详解】由（1）可得：，即，由定义可得：，当时，，即，所以；当且时，不是整数，可设，则，则，可得；综上所述：.在上，，，所以.18.已知抛物线的焦点为，为上的动点，到点的距离与到的准线的距离之和的最小值为．（1）求抛物线的方程；（2）给出如下的定义：若直线与抛物线有且仅有一个公共点，且与的对称轴不平行，则称直线为抛物线上点处的切线，公共点称为切点．请你运用上述定义解决以下问题：（ⅰ）证明：抛物线上点处的切线方程为；（ⅱ）若过点可作抛物线的2条切线，切点分别为、．证明：直线、的斜率之积为常数．【答案】（1）（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义、焦半径公式可求出的值，由此可得出抛物线的方程；（2）（i）当抛物线上处的切线斜率存在时设其方程为，其中，将该直线方程与抛物线的方程联立，由可求出，代入切线方程可证得结论成立；当切线斜率不存在时，直接验证即可；（ii）设、、，根据（i）中的结论成立写出直线、的方程，将点的坐标分别代入两切线方程，可得出直线的方程，将直线的方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可求出的值，即可证得结论成立.【小问1详解】抛物线的焦点，准线方程为，设动点，动点到其准线的距离为，由抛物线定义得，则，当且仅当时取等号，依题意，，所以抛物线的方程为.【小问2详解】（ⅰ）当抛物线上处的切线斜率存在时,设其方程为，其中，由得①，由题意可得，可得，即，所以，解得，所以切线方程为，即，即，即②；即为上处的切线斜率存在时的方程；当上处的切线斜率不存在时，即时处切线方程为，符合②式．所以上处的切线方程为.（ⅱ）设、，由（ⅰ）知点处的切线方程为④，点处的切线方程为⑤，将分别代入上面两式得．所以点、的坐标均满足方程，所以直线方程为，由④⑤知直线、斜率分别为，，则⑥，由得，则，可得，由韦达定理可得，则，所以直线、斜率之积为常数．【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理