2022年中考数学试题分项汇编：特殊的平行四边形（解析版）

专题13特殊的平行四边形

选择题

1.（2022・陕西）在下列条件中，能够判定nABCD为矩形的是（）

A.AB=ACB.AC1.BDC.AB=ADD.AC=BD

【答案】D

【分析】根据矩形的判定定理逐项判断即可.

【详解】当A8=AC时，不能说明nABCD是矩形，所以A不符合题意；

当AC0BD时，nABCD是菱形，所以B不符合题意；

当AB=AD时，DA3C£＞是菱形，所以C不符合题意；

当AC=BD时，是矩形，所以D符合题意.故选：D.

【点睛】本题主要考查了矩形的判定，掌握判定定理是解题的关键.有一个角是直角的平行四边形是矩形;

对角线相等的平行四边形是矩形.

2.（2022•湖南衡阳）下列命题为假命题的是（）

A.对角线相等的平行四边形是矩形B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

C.有一个内角是直角的平行四边形是正方形D.有一组邻边相等的矩形是正方形

【答案】C

【分析】根据矩形、菱形、正方形判定方法，一一判断即可.

【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，本选项不符合题意.

B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是真命题，本选项不符合题意.

C、有一个内角是直角的平行四边形可能是长方形，是假命题，应该是矩形，推不出正方形，本选项符合题

D、有一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，本选项不符合题意.故选：C.

【点睛】本题考查命题与定理，矩形、菱形、正方形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的判定

方法，属于中考常考题型.

3.（2022・湖南怀化）下列说法正确的是（）

A.相等的角是对顶角B.对角线相等的四边形是矩形

C.三角形的外心是它的三条角平分线的交点D.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

【答案】D

【分析】根据对顶角的概念、矩形的判定、三角形外心的定义和垂直平分线的性质逐项判定即可得出结论.

【详解】解：A、根据对顶角的概念可知，相等的角不一定是对顶角，故该选项不符合题意；

B、根据矩形的判定"对角线相等的平行四边形是矩形"可知该选项不符合题意；

C、根据三角形外心的定义，外心是三角形外接圆圆心，是三角形三条边中垂线的交点，故该选项不符合题

意；D、根据线段垂直平分线的性质可知该选项符合题意；故选：D.

【点睛】本题考查基本几何概念、图形判定及性质，涉及到对顶角的概念、矩形的判定、三角形外心的定

义和垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握相关几何图形的定义、判定及性质是解决问题的关键.

4.（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，AE平分交于点E,点尸是边A3上一点，连接。尸，

若=则NCDb的度数为（）

A.45°B.60°C.67.5°D.77.5°

【答案】C

【分析】先利用正方形的性质得到=ZZMF=ZB=ZA£)C=90°,ZR4C=45°,利用角平分线的

定义求得44E,再证得AABE丝ADIFX&LS),利用全等三角形的性质求得NADb=/3AE=22.5。，最后利

用Z.CDF=ZADC-ZADF即可求解.

【详解】解：•••四边形ABCD是正方形，

0AD=AB,ZDAF=ZB=ZADC=90°,ABAC=45°,

ElAE平分ZBAC交BC于点、E,

0ZBAE=-ABAC=22.5°,

2

在/XABE和△A4F中，

AD=AB

<ZDAF=ZB,

BE=AF

0△JJAF(SAS),

0Z4DF=ZR4E=22.5°,

0ZCDF=ZADC-ZADF=90°-22.5°=67.5°,故选：C

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及角平分线的定义，熟练掌握全等三角形

的判定方法是解题的关键.

5.（2022•江苏连云港）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点4B、D恰好都落在点。处，

且点G、0、C在同一条直线上，同时点E、0、F在另一条直线上.小炜同学得出以下结论：①G用EC；②AB=

竽A。；③GE=&DF；④。C=20OF；（5）ACOf0ACEG.其中正确的是（）

A.①②③B.①③④C.①④⑤D.②③④

【答案】B

［分析岫折叠的性质知回FGE=90。,fflGEC=90°，点G为AD的中点，点E为AB的中点，设AD=BC=2a,AB=CD=2b,

在RtACDG中，由勾股定理求得乐缶，然后利用勾股定理再求得。尸=尸0=:云，据此求解即可.

【详解】解：根据折叠的性质知国DGF=EIOGF,SAGE=SOGE,

a3FGE=EIOGF+EIOGE=；（回DGO+MGO）=90°,

同理回GEC=90°,I3G用EC；故①正确；

根据折叠的性质知DG=GO,GA=GO,

团DG=GO=GA,即点G为AD的中点，同理可得点E为AB的中点，

设AD=8C=2a,AB^CD=2b,贝l|DG=GO=GA=a,0C=BC=2a,AE=BE=OE=b,EIGC=3a,

在R3CDG中，CG2=DG2+CD2,即（3。）2=。2+（2切2,助=伍，

财8=2、3=04。，故②不正确；

设DF=FO=x,则FC=2b-x,

在RtACOF中，CF2^OF2+OC2,

§P（2b-x）2=x2+（2a）2,

g-a1aa,----------l

nn12

取=--—=忑,即DF=FO=&,GE=yJa+b=^3a,

GEy/3a/-

0DF==V，I3GE=#DF；故③正确；

双

"_2a_20

团市一五一，回。C=2夜。F；故④正确；

正

EEFC。与回GCE不一定相等，I3AC。用ACEG不成立，故⑤不正确；

综上，正确的有①③④，故选：B.

【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为X,然后根据折叠和轴对称的性质

用含X的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案.

6.（2022・四川达州）如图，点E在矩形A3CD的A3边上，将AADE沿DE翻折，点A恰好落在2C边上的

点F处，若CD=3BF,BE=4,则AT＞的长为（）

A.9B.12C.15D.18

【答案】C

【分析】根据折叠的性质可得AE=历,AO=FD,设=%，则CD=3x,则AE=AB—3E=CD—3E=3x—4,

在RtABEF中勾股定理建列方程，求得无，进而求得CD,根据NBEF=NDFC,可得tanNBEF=tanZDFC,

DE1C'D

即一=—,求得/C=12,在RtaFCD中，勾股定理即可求解.

BEFC

【详解】解：国四边形ABCD是矩形，回AB=CD,ZB=ZC=90°,

将AADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，

FD=AD,EF=AE,/F.FD=ZA=90。，

VCD=3BF,BE=4,

^BF=x,贝！］CD=3x,AE=AB—BE=CD—BE=3x-4,

在RtASEF中BE2+BF2=EF2，

即4?+/=（3尤一"2,解得％=3,8/=3,CZ）=9,

-.■ZEFD=ZA=90°,ZB=ZC=90°,：.ZBEF=90°-ZBFE=ZDFC,

BFCD39

••tan/BEF=tanNDFC,•-----------,——----,FC=12,

BEFC4FC

在Rt^FCZ）中，FD=YIFC2+CD2=15--AD=FD=15.故选C.

【点睛】本题考查了矩形与折叠的性质，正切的定义，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的

关键.

7.（2022・四川遂宁）如图，正方形4BCD与正方形BEFG有公共顶点B,连接EC、GA,交于点。，GA与BC

交于点P,连接OD、OB,则下列结论一定正确的是（）

①EC0AG；②回。BPEECAP；③。B平分EICBG；④回400=45°；

A.①③B.①②③C.②③D.①②④

【答案】D

【分析】由四边形A8CD、四边形8EFG是正方形，可得△ABGH3CBE（SAS）,即得自a4G=EIBC£,即可证明EIPOC=90°,

可判断①正确；取AC的中点K,可得AK=CK=0K=BK,即可得EIBOA=I3BCA,从而△OBPH3cAP,判断②正确，

由EMOC=&4DC=90。，可得A、0、C、。四点共圆，而AD=CD,故B4OO=I3C>OC=45。，判断④正确，不能证明

0B平分EICBG,即可得答案.

【详解】解：回四边形A8C。、四边形BEFG是正方形,

B1AB=BC,BG=BE,ELABC=9O°=0GB£,0E/1BC+0CBG=[3GBE+0CBG,^^\ABG=SEBC,

EIMBGEBCBE(SAS),^S\BAG=SBCE,EBft4G+蜘PB=90°,EEBC£+a4PB=90°,

00BCE+BOPC=9O°,I2HPOC=90。，EIE函AG,故①正确；取AC的中点K,如图:

E

在RQAOC中，K为斜边AC上的中点，SAK=CK=OK,在RtAABC中，K为斜边AC上的中点，

I3AK=CK=BK,B1AK=CK=OK=BK,EM、8、。、C四点共圆，^3\BOA=^BCA,

^BBPO^CPA,HUOBPaaCAP,故②正确，

EIIMOC=MDC=90°,0EMOC+ELADC=18O°,回40、C、。四点共圆，

EMD=CD,0EMOD=0DOC=45°,故④正确，

由已知不能证明。8平分OCBG,故③错误，故正确的有：①②④，故选：D.

【点睛】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，四点共圆等知识，解题的关键是取

AC的中点K,证明AK=CK=OK=BK,从而得到A、B、0、C四点共圆.

8.（2022•山东滨州）正方形A3CD的对角线相交于点。（如图1）,如果ZBOC绕点。按顺时针方向旋转,

其两边分别与边4民BC相交于点£、F（如图2）,连接ER那么在点E由3到A的过程中，线段EF的中点

G经过的路线是（）

图1图2

A.线段B.圆弧C.折线D.波浪线

【答案】A

【分析】连接OG,BG,根据题意可知NEBF=ZEOF=900则线段EF的中点G经过的路线是OB的线段垂

直平分线的一段，即线段

【详解】连接OG,BG,根据题意可知=尸=90。，

：.OG=BG=^EF,回点G在线段OB的垂直平分线上.

则线段EF的中点G经过的路线是。3的线段垂直平分线的一段，即线段.故选：A.

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正方形的性质，

掌握以上知识是解题的关键.

9.（2022•四川泸州）如图，在边长为3的正方形A3CD中，点E是边上的点，且=过点E作

OE的垂线交正方形外角NCBG的平分线于点尸，交边BC于点连接O尸交边8C于点N,则的长

为（）

【答案】B

【分析】在AD上截取AG=AE,连接GE,延长至H,使AH=CN，连接EN,可得出AEGDkAFBE（A&1）,

进而推出ADCN=ADHA（SAS）,ANDE=AHDE（SAS）,得出

EN=,设CN=x，则3N=3-x,用勾股定理求出硒=^BE2+BN2=,4+（3-疗,由加=EH,可列方程

l+x=,4+（3—解出x,即CN的长，由正切函数，NADE=/BEMtan/ADE=；，求出8M的长，由

MN=3C-CV—即可得出结果.

【详解】解：如图所示：在AD上截取AG=AE,连接GE,延长BA至9使A8=CN,连接E/V,

AD=AB,AG=AE,DG=BE,

•「DE_LEF,ZDEF=90°,ZAED+ZBEF=90°,

・.・NAT>E+NA瓦>=90。，

/.ZADE=ZBEF,AG=AE,ZGAE=90°,

ZAGE=ZAEG=45°,/.ZEGD=135°,

・「BF为正方形外角ZCBG的平分线，

/.ZCBF=45°,/.ZEBF=90°+45°=135°,ZEDG=ZFBE,

/GDE=NBEF

在Z^GZ汨和△班户中，\GD=BE,

ZEGD=ZFBE

：.^EGD=AFBE（ASA）9:.ED=FE,ZEDF=45°,ZCDN+ZADE=45°,

在RQEDC和Rt^HDA中，

DC=DA

:<ZDCN=ADAH，:.QCN=ADHA（SAS）,/.DN=DH,NCDN=ZADH,ZHDE=45°,

CN=AH

DN=DH

在△M）石和VHDE中，v</NDE=/HDE,,△NDE=AHDE（SAS）,：.EN=EH,

DE=DE

-,-BC=AB=3,3石=2A2A£=l,3石=2,设C7V=羽贝IJ5N=3—x,

在RtJEN中,EN=^BE2+BN2=^4+（3-x）2,/.l+x=^4+（3-x）2,=

ZADE=ZBEM,tanZADE=/.tan/BEM=—=—=-,

3BE23

325

:.MN=BC-CN-BM=3------=—,故选：B.

236

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理等知识.此题综

合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择.

10.（2022•山东泰安）如图，四边形ABCD为矩形，AB=3,3c=4.点P是线段BC上一动点，点M为线

段AP上一点.ZADM=ZBAP,则的最小值为（）

12_3

B.—C.A/13——D.A/13—2

5

【答案】D

【分析】证明/WD=90°,得出点M在。点为圆心，以A。为半径的园上，从而计算出答案.

【详解】设AD的中点为。，以。点为圆心，A。为半径画圆

回四边形ABCD为矩形团ZBAP+ZMAD=90°

0ZADM=ZH4P0ZMAD+ZADM=90°EZAMD=90°

回点M在。点为圆心，以A。为半径的园上连接OB交圆。与点N

团点B为圆。外一点回当直线BM过圆心。时，BM最短

BO2AB2+AO2,AO=gAO=2团50?=9+4=13m30=拒

EIBN=BO-AO=M-2故选：D.

【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识.

11.（2022•四川德阳）如图，在四边形A3CD中，点E,F,G,H分别是A3,BC,CD,ZM边上的中

点，则下列结论一定正确的是（)

B.四边形EFGH的内角和小于四边形ABC。的内角和

C.四边形EFG8的周长等于四边形A3CD的对角线长度之和

D.四边形"网"/的面积等于四边形ABCZ）面积的7

【答案】C

【分析】连接ACBO,根据三角形中位线的性质==EF=HG=]-AC,

22

EF//AC//HG,EH//BD//FG,继而逐项分析判断即可求解.

【详解】解：连接4C,8£）,设交于点。，

,・•点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,ZM边上的中点，

EH=FG=-BD,EF=HG=-AC,EF//AC//HG,EH//BD//FG

22

A.四边形EFGH是平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；

B.四边形EFGF7的内角和等于于四边形A3c。的内角和，都为360。，故该选项不正确，不符合题意；C,四

边形力G”的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和，故该选项正确，符合题意；

D.四边形屏GH的面积等于四边形A3CD面积的故该选项不正确，不符合题意；故选C

【点睛】本题考查了中点四边形的性质，三角形中位线的性质，掌握三角形中位线的性质是解题的关键.

12.（2022・四川自贡）如图，菱形A8CD对角线交点与坐标原点。重合,点A（-2,5）,则点C的坐标为（)

A.（5,—2）B.（2,-5）C.（2,5）D.（—2,—5）

【答案】B

【分析】根据菱形的中心对称性，4C坐标关于原点对称，利用横反纵也反的口诀求解即可.

【详解】团菱形是中心对称图形，且对称中心为原点，

刖、C坐标关于原点对称，配的坐标为（2,-5）,故选C.

【点睛】本题考查了菱形的中心对称性质，原点对称，熟练掌握菱形的性质，关于原点对称点的坐标特点

是解题的关键.

13.（2022•重庆）如图，在正方形A3CD中，对角线AC、相交于点O.E、F分别为AC、3D上一点，

且OE=O尸，连接AF,BE,EF.若NAFE=25。，则NC3E的度数为（）

A.50°B.55°C.65°D.70°

【答案】C

【分析】根据正方形的性质证明加。用回BOE（SAS）,得至！JEIOBE=I3OAF,利用OE=OF,0EOF=9O0,求出

0OEF=E1OFE=45O,由此得至腼OAF=!3OEF-EMFE=20°,进而得到EICBE的度数.

【详解】解：在正方形ABCD中，AO=BO,EMOD=EWOB=90°,回CBO=45°,

^OE=OF,团刖。用岫。£(SAS),EHOBE=EIOAF,

0OE=OF,0EOF=9O°,H3OEF=I3OFE=45",

0ZAFE=25°,SS\OAF=^OEF-^AFE=20°,

00CBE=ECBO+0OB£=45°+2OO=65°,故选：C.

【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记正方形的性质是解题的关键.

14.（2022,湖北随州）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角

线，E,F分别为BC,C。的中点，分别交B。，EF于。，P两点，M,N分别为BO,OC的中点，连

接AP,NF,沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形，下列说法：①图中的三角

形都是等腰直角三角形；②四边形MPEB是菱形；③四边形PFDM的面积占正方形ABC。面积的:.正确

A.只有①B.①②C.①③D.②③

【答案】C

【分析】先根据正方形的性质和中位线定理证明图中所有三角形是等腰直角三角形，再证明四边形/WPEB

是平行四边形但不是菱形，最后再证明四边形PFDM的面积占正方形ABC。面积的!即可.

【详解】解：回四边形A8CD是正方形，

0ELABO=0/1DB=0CBD=0BDC=45O,^\BAD=^BCD=90°,

回MB。、ABCD是等腰直角三角形，

0AP±£F,aa4PF=EMPE=90°,

团E，F分别为BC,CO的中点，

EIEF是ABCD的中位线，CE=BC,CF=^CD,S\CE=CF,

fflC=90°,ElACEF是等腰直角三角形，BEF//BD,EF=^BD,

0EMPE=EMOB=90°,^APF=SAOD=90°,

回△A8O、△/»0。是等腰直角三角形，

EMO=BO,AO=DO,0BO=DO,

回M,N分别为8。，。。的中点,

S\OM=BM=^BO,ON=ND=^DO,®OM=BM=ON=ND,

EEBA。=EIDA。=45°,团由正方形是轴对称图形，则A、P、C三点共线，PE=PF=EF=ON=BM=OM,

连接PC,如图，

I3NF是△CDO的中位线，0NF"AC,NF=OC=^OD=ON=ND,

EBONF=180°-0COD=90°,^S\NOP=SOPF=0O/VF=9O",

回四边形FNOP是矩形，12四边形FNOP是正方形，

S\NF=ON=ND,瓯DA/F是等腰直角三角形，

回图中的三角形都是等腰直角三角形；故①正确，

SPE//BM,PE=BM,团四边形MPEB是平行四边形,

0BE=BC,BM=^OB,在Rt0O8C中，BOOB,

El四边形/WPEB不是菱形；故②错误，

I3PC=PO=PF=O/W,EI/WOP=EICPF=90°,E0MOPEECPF(SAS),

国S四边形PFOM=S四边形73fB。+SAMOP=S四边形PFOO+SACPF=^^COD=正方如8,故③正确，故选：C

【点睛】此题考查了七巧板，正方形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理、三

角形全等的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，正确的识别图形是解题的关键.

15.（2022・湖北黄冈）如图，在矩形ABCD中，AB<BC,连接AC,分别以点A,C为圆心，大于〈AC的长

为半径画弧，两弧交于点M,N,直线MN分别交A。，BC于点E,F.下列结论：①四边形AECF是菱形;

②EIAFB=2a4CB；③AC・EF=CF・CD；

④若AF平分鼬AC,则CF=2BF.其中正确结论的个数是（）

M

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】根据作图可得知N，AC,且平分AC,设AC与MN的交点为O,证明四边形AEC尸为菱形，即

可判断①，进而根据等边对等角即可判断②，根据菱形的性质求面积即可求解.判断③，根据角平分线

的性质可得=根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解.

【详解】如图，设AC与的交点为

根据作图可得MNL4C,且平分AC,.140=0。，

••・四边形ABCD是矩形，:.AD//BC,:.ZEAO=ZOCF,

又•：ZAOE=NCOF,AO=CO,：.AAOE^COF,:.AE=FC,

•.•AE〃b，，四边形AEC尸是平行四边形，

••,八亚垂直平分AC,.•.£4=EC,.•.四边形AEC尸是菱形，故①正确；

（2）-.-FA=FC,..ZACB=ZFAC,：.^AFB=2^ACB；故②正确；

③由菱形的面积可得gAC・EF=CF・CD；故③不正确，

④•.・四边形ABCD是矩形，NABC=90。，

若AF平分12aAC,FB±AB,FO1AC,则3尸=尸。，ZBAF=ZFAC,

ZFAC=ZFCA,ZBAF+ZFAC+ZFCA=90°,:.ZACB=30°,：.FO^-FC,

2

■：FO=BF,:.CF=2BF.故④正确；故选B

【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形

的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键.

二、填空题

16.（2022•湖南邵阳）已知矩形的一边长为6cm,一条对角线的长为10cm,则矩形的面积为.cm2.

【答案】48

【分析】如图，先根据勾股定理求出=屈二=8cm，再由5矩.8=4"尤求解即可.

【详解】解：在矩形ABCD中，BC=6cm,AC=10cm,

团在RtAABC中，AB=7102-62=8(cm)>

回S矩形MCD=^5xBC=8x6=48(cm2).

故答案为：48.

【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟知上述知识.

17.（2022•四川成都）如图，在菱形A3CD中，过点。作。ELCD交对角线AC于点E,连接BE,点P是

线段BE上一动点，作P关于直线DE的对称点P,点Q是AC上一动点，连接尸。，OQ.若隹=14,CE=18,

则DQ-P'Q的最大值为.

【答案】"##；忘

33

【分析】延长DE,交AB于点H,确定点B关于直线DE的对称点F,由点B,D关于直线AC对称可知QD=QB,

求初-0'最大，即求〃-8'最大，点Q,B,P共线时，QD-QP'=QB-QP'=BP',根据"三角形两

边之差小于第三边”可得最大，当点P'与点F重合时，得到最大值.连接8D,即可求出CO,E0,再说明

NE0D:ND0C,可得DO,根据勾股定理求出DE,然后证明Va》:NBHD,可求8H,即可得出答案.

【详解】延长。E,交AB于点H,

D

BAB\\CD9ED回CD,

团DH朋8.

取FH二BH,

团点P的对称点在EF上.

由点8,。关于直线4:对称，

回QD=Q8.

要求初-仍'最大，即求数-8'最大，点Q,B,P共线时，QD-QP=QB-QP=BP,根据〃三角形

两边之差小于第三边〃可得5P最大，当点P与点F重合时，得到最大值BF.

连接BD,与4；交于点0.

[?LAE=14,CH=18,

MC=32,

团C0=16,E0=2.

回团EDO+回。£。=90°,回EDO+回CDO=90°,

酿DEO二团CDO.

团团EOD二团。OC,

团NEOD:VDOC,

EODO

团—=—,

DOCO

即DO2=2x16=32,

解得£>0=40,

QBD=2D0=8或■

在RtSDEO中，DE=4OE2+DO1=6.

^S\EDO=^BDH,0DOE=0DHS,

^NEOD:NBHD,

°E0DE

团———,

BHBD

26

即防二击

解得即=逑，

3

^BF=2BH=.

3

故答案为：丝也.

3

【点睛】这是一道根据轴对称求线段差最大的问题，考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，相似

三角形的性质和判定等，确定最大值是解题的关键.

18.（2022・陕西）如图,在菱形ABCD中，AB=4,BD=7.若M、N分别是边仞、3C上的动点，且AM=册，

作ME_LBD,NF_LBD,垂足分别为E、F,则ME+NF的值为.

【答案】叵

2

【分析】连接AC交BD于点。，过点M作/WG〃B。交AC于点G,则可得四边形MEOG是矩形，以及

AAGM=ABFN,从而得NF=AG,ME=OG,NR+ME=AO,运用勾股定理求出A。的长即可.

【详解】解：连接AC交B。于点。，如图，

回四边形4BCD是菱形，

17

M0Z18D,BO=-BD=-,AD//BC.

团ZADB=NCBD,ZAOD=90°,

7

在RtAABO中，48=4,80=-,

2

^\AB2=BO2+AO\

回AO=y/AB2-BO2=卜2一[]=乎,

过点M作MG//BD交AC于点G,

团ZAMG=NADB,ZMGO+ZMOG=90°,

团ZMGO=ZMGA=90°,

又ME1BD,

团NMEO=9。。,

团四边形MEOG是矩形，

回ME=0G,

又NF1BD,

团NN尸3=90。，

@/NFB=ZAGM,

在AAf8和AAGM中，

ZNFB=ZAGM

<ZNBF=ZAMG,

BN=AM

团&VF8回A4GM

BNF=AGf

JL5

^\NF+ME=AG+OG=AO=—

2

故答案为半

【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解

答本题的关键.

19.（2022•四川自贡）如图，矩形A5C。中，AB=4,BC=2,G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑

动；若EF=L则G石+CF的最小值为

【答案】3亚

【分析】如图，作G关于A8的对称点G',在CD上截取CH=1,然后连接HG咬AB于E,在EB上截取EF=1,

此时GE+CF的值最小，可得四边形EFC”是平行四边形，从而得至UGH=EG，+EH=EG+CF,再由勾股定理求出

HG的长，即可求解.

【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G',在8上截取CH=L然后连接HG交AB于E,在EB上截取

EF=1,此时GE+CF的值最小，

团G'E=GE,AG=AG'f

团四边形ABC。是矩形，

MB团CD,AD=BC=2

团CH回EF,

团CH=EF=1,

团四边形EFCH是平行四边形,

国EH二CF,

团G'H=EG'+EH=EG+CF,

财8=4,BC=AD=2,G为边4?的中点,

^AG=AG'=1

SDG'=AD+AG'=2+1=3,DH=4-1=3,

回HG=y)DH2+DG'2=打+学=3也，

即GE+CF的最小值为3〃.

故答案为：3后

【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF最小时E,

F位置是解题关键.

20.（2022•湖南娄底）菱形A3cZ）的边长为2,NABC=45。，点尸、。分别是BC、8。上的动点，CQ+PQ

【答案】0

【分析】过点C作CE0AB于E,交8。于G,根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG

的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解.

【详解】解：如图，过点C作CE0A8于E,交BD于G,根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知

CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小,

•••菱形ABCD的边长为2,ZABC=45°,

.〔RtABEC中，EC=~BC=y/2

2

,PQ+QC的最小值为0故答案为：0

【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题

的关键.

21.（2022•甘肃武威）如图，菱形ABCD中，对角线AC与3。相交于点。，若A3=2&cm,AC=4cm,

则BD的长为cm.

A

【答案】8

【分析】利用菱形对角线互相垂直且平分的性质结合勾股定理得出答案即可.

【详解】解：•.・菱形A3CD中，对角线AC,皿相交于点。，AC=4,

:.AC±BD,BO^OD=-BD,A0=0C^-AC=2

22

QAB=2A/5,

BO=jAB?-AO2=4,

:.BD=2BO=8,

故答案为：8.

【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握菱形的性质，运用勾股定理解直角三

角形，是解题关键.

22.（2022•浙江温州）如图，在菱形A3CD中，AB=1,ZBAD=60°.在其内部作形状、大小都相同的菱形

AENW和菱形CGM/，使点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,ZM上，点M,N在对角线AC上.若AE=3BE,

则MN的长为.

【答案】多曰

【分析】根据菱形的性质和锐角三角函数，可以求得AC、A/W和MN的长，然后即可计算出的长.

【详解】解：连接。B交AC于点。，作于点/,作日MB交A8的延长线于点J,如图所示，

D

^\AB=BC=CD=DA=1,团3心30°,AC^BD,

回是等边三角形，

MC=2AO=若，

蜘E=3BE,

31

ME二一,BE=—,

44

回菱形AENH和菱形CGMF大小相同,

1

^\BE=BF=-,回FBJ=60°•

4

0E/=BF»sin6O°=-x—

42~82

0/W/=E/=—,

8

显

什=¥=且

sin30j_4，

2

同理可得，CN=B,

4

^\MN=AC-AM-CN=y/3-

~4V5

故答案为：B.

2

【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是作出合适的辅助线，求出AC、

AM和MN的长.

23.（2022•四川达州）如图，在边长为2的正方形A3CD中，点E,F分别为AD,8边上的动点（不与端

点重合)，连接BE,BF,分别交对角线AC于点P,Q.点E,F在运动过程中，始终保持NEBP=45。，连

接所，PF,PD.以下结论：①PB=PD；@ZEFD=2ZFBC；③尸。=尸4+。。；④ABP尸为等腰直

角三角形；⑤若过点B作垂足为M连接则的最小值为20-2.其中所有正确结

论的序号是—.

【答案】①②④⑤

【分析】连接8D,延长DA到M,使AM=CF,连接B/W,根据正方形的性质及线段垂直平分线的性质定理

即可判断①正确；通过证明ABCF^BAM(SAS),AEBF=^EBM(SAS),可证明②正确；作ZCBN=ZABP,

交AC的延长线于K,在BK上截取BN=BP,连接CN,通过证明A4B尸三△CBN,可判断③错误；通过证明

△BQP~£QF,ABCQ~APFQ,利用相似三角形的性质即可证明④正确；当点8、H、。三点共线时，DH

的值最小，分别求解即可判断⑤正确.

如图1,连接BD,延长DA到M,使AM=CF,连接BM,

四边形A8C。是正方形，

AC垂直平分BD,BA=BC,ZBCF=90°=ZBAD=ZABC,

：.PB=PD,NBCF=NBAM,NFBC=90。一NBFC,故①正确;

:.ABCF=^BAM(SAS),

ZCBF=ZABM,BF=BM,ZM=ZBFC,

ZEBF=45°,

:.ZABE+ZCBF=45°,

/.ZABE+ZABM=45°,

即=N石笈产，

•・・BE=BE,

.\AEBF=^EBM(SAS),

/.ZM=ZEFB,ZMEB=/FEB,

:.ZEFB=ZCFB,

/.ZEFD=180。—(ZEFB+ZCFB)=180。—2ZBFC,

/.ZEFD=2ZFBC,故②正确；

如图2,作NCBN=ZABP,交4：的延长线于K,在BK上截取8心BP,连接CM

:.^ABP=^CBN,

:.ZBAP=ZBCN=45°,

・.•ZACB=45°f

.\ZNCK=90°,

「.NOVKwNK,即OVwCK,

.•.尸QwPA+CQ,故③错误；

如图1,

,・•四边形ABC。是正方形，

/.ZEBF=/BCP=/FCP=45。,

・.・NBQP=NCQF,

.,.△BQP~^CQF,

.BQ=PQ

••CQ-FQ'

・.・ZBQC=ZPQFf

.'.^BCQ~△尸尸。,

ZBCQ=ZPFQ=45°,

:.ZPBF=ZPFB=45°,

:.ZBPF=90°,

，43尸尸为等腰直角三角形，故④正确；

如图1,当点8、H、D三点共线时，。”的值最小，

BD=V22+22=242，

ZBAE=ZBHE=90°,BE=BE,

:.ABAE=^BHE(AAS),

:.BA=BH=2,

:.DH=BD-BH^2s/2-2,故⑤正确；

故答案为：①②④⑤.

【点睛】本题考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判

定和性质，熟练掌握知识点并准确作出辅助线是解题的关键.

24.(2022•安徽)如图，四边形ABCD是正方形，点E在边A。上，aBEF是以E为直角顶点的等腰直角三角

形，EF,BF分别交C。于点M,N,过点F作A。的垂线交A。的延长线于点G.连接OF,请完成下列问题:

(1)NFDG=°；(2)若DE=1,DF=2也,则放V=.

【答案】45

【分析】(1)先证蜘8EEBGEF,得FG=4E=DG,可知EIDFG是等腰直角三角形即可知NOG度数.

(2)先作FHI3CD于利用平行线分线段成比例求得MH；再作/WPI3DF于P,证13Mp甩EINHF,即可求得

的长度，MN=MH+NH即可得解.

【详解】(1)回四边形ABCD是正方形，

的4=90°,AB=AD,

0aABE+EMEB=9O°,

回FGMG,

团团G=M=90°,

加BEF是等腰直角三角形，

团8E二FE,团8EF=90°,

团MEB+团FEG=90°,

团团FEG二团EM,

在M8E和回GEF中,

'ZA=ZG

</ABE=ZGEF,

BE=EF

^\ABE^1GEF(AAS),

ME=FG,AB=GEf

•/在正方形ABCD中,AB=AD

:.AD=GE

BAD=AEWE,EG=DE+DG,

ME二DG二FG,

酿FDG二团DFG=45°.

故填：45°.

(2)如图，作FH团C。于”，

如FHD=90°

团四边形DGFH是正方形,

回DH=FH=DG=2,

^\AG//FHf

DEDM

团-----=-------,

FHMH

24

^\DM=-,MH=一,

33

作MP^\DF于P,

团回MDP=回DMP=45°,

WP=MP,

^DP2+MP2=DM2,

WP=MP=—,

3

团PF二逑

3

回回MFP+团MFH二团MFH+回NFH=45°,

回团MFP二团NFH,

团团MPF二团NHF=90°,

团团MP用回NHF,

V25行

MPPF

团---------------即--可二3，

NHHF

NH~2

2

国NH=1,

4226

⑦MN=MH+NH=-+-=——.

3515

,26

故r填：?5

【点睛】本题主要考查正方形的性质及判定以及相似三角形的性质和判定，熟知相关知识点并能熟练运用,

正确添加辅助线是解题的关键.

25.（2022•四川南充）如图，正方形A3CD边长为1,点E在边4B上（不与A,B重合），将沿直线DE

折叠，点A落在点4处，连接4B,将AB绕点B顺时针旋转90。得到连接AAAC4c.给出下列

四个结论：①地会△C%；②/ADE+NACB=45。；③点P是直线DE上动点，则CP+^P的最小

值为&;④当NADE=30。时，的面积土2叵.其中正确的结论是.

.（填写序号）

6

DC

【答案】①②③

【分析】根据全等三角形判定即可判断①；过。作DM回C4于M,利用等腰三角形性质及折叠性质得

I3ADE+B1CDM,再等量代换即可判断②；连接AP、PC、AC,由对称性知，PAi=PA,知P、A、C共线时取最

小值，最小值为AC长度，勾股定理求解即可判断③；过点4作4M8于“，借助特殊角的三角函数值求

出BE,4H的长度，代入三角形面积公式求解即可判断④.

【详解】解：回四边形ABCD为正方形,

MB=BC,MBC=90°,

由旋转知，^AiBA2=90°fAIB=A2B,

^\ABAI=^\CBA29

团△4841回△CB/h,

故①正确；

过。作DM回C4于M,如图所示,

由折叠知/。=4。=8,^ADE=^AiDE,

团DM平分团CD4,

回MDE+团CDM=45°,

又团8G41+团DCM=团COM+回DCM=90°,

酿861二团COM,

团MDE+团80^=45°,

故②正确；

连接AP、PC、AC,由对称性知，PAFPA,

DC

即%I+PC=R4+PC,当P、A、C共线时取最小值，最小值为AC的长度，即为应,

故③正确；

过点4作4HM8于H,如图所示，

EE/WE=30",

ELAE=tan300-/lD=—,DE=—,

33

^BE=AB-AE=1-—,

3

由折叠知回DEA=EIDE4=60°,AE=AiE=—：

3

0EMjEH=6Oo,

SAiH=AiE-sm600=工息」,

322

1j⑻13-6

x

ELVhBE的面积=jx,7=12

故④错误，

故答案为：①②③.

【点睛】本题考查了正方形性质、等腰三角形性质、全等三角形的判定、折叠性质及解直角三角形等知识

点，综合性较强.

AD2

26.（2022•江苏苏州）如图，在矩形ABC。中”;=g.动点M从点A出发，沿边A。向点。匀速运动，动

BC3

点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN.动点M,N同时出发，点M运动的速度为匕，点N

运动的速度为V2,且4<%.当点/V到达点C时，M,/V两点同时停止运动.在运动过程中，将四边形/VL48/V

沿MN翻折，得到四边形M42W.若在某一时刻,点B的对应点9恰好在CD的中点重合，则-的值为

3

【答案】|

4