2023-2024学年苏科版八年级数学上册解题技巧：勾股定理与面积问题、方程思想压轴题七种模型（原卷版）

专题11解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想压轴

题七种模型全攻略

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目录

尸;I

写【典型例题】.............................................................................1

【类型一二角形中，利用面积求斜边上的高】.................................................1

【考点二结合乘法公式巧求面积或长度】.....................................................3

【考点三巧妙割补求面积1...................................................................................................3

【考点四“勾股树”及其拓展类型求面积1.............................................................................5

【考点五几何图形中的方程思想一折叠问题（利用等边建立方程）】............................8

【考点六几何图形中的方程思想一公边问题（利用公边建立方程）1...........................................9

【考点七实际问题中的方程思想】..........................................................10

尸Q

LA【典型例题】

【类型一三角形中，利用面积求斜边上的高】

例题：（2023春,新疆阿克苏•八年级校联考阶段练习）若一个直角三角形的两条直角边长分别是5cm和12cm,

则斜边上的高为多少（）

【变式训练】

1.（2023春•内蒙古鄂尔多斯•八年级统考期末）如图，在2x2的方格中，小正方形的边长是1,点A、B、C

都在格点上，则AC边上的高为（）

A.75B.—A/2

2

2.（2023春•辽宁朝阳•八年级校考期中）如果一个等腰三角形的腰长为13,底边长为24,那么它底边上的

高为（）

A.12B.24D.5

3.（2022•全国•八年级课时练习）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1.点A、B,C都在格点上,

若BD是0A2C的高，则BD的长为.

4.（2023春・安徽合肥•八年级校考期末）如图所示，在边长为单位1的网格中，ABC是格点图形，求ABC

中4B边上的高.

5.如图，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=8,在△ABE中，OE是AB边上的高，DE=12,S^ABE=60.

I£>\/

CB

⑴求BC的长.

⑵求斜边AB边上的高.

6.(2023秋・全国•八年级专题练习)在一ABC中，ZC=90°,AC=3,CB=4,CD是斜边A3上高.

(1)求..ABC的面积；

⑵求斜边AB；

(3)求高CD.

【类型二结合乘法公式巧求面积或长度】

例题：己知在放ABC中，NC=9(F,ZA,/B,NC所对的边分别为a",c,若a+b=10cm,c=8cm,则如ABC

的面积为()

A.9cm2B.18cm2C.24cm2D.36cm2

【变式训练】

1.在4ABe中,是BC边上的高,AD=4,AB=4y/10,AC=5,贝l|_ABC的面积为()

4.18B.24C.18或24D.18或30

3.直角ABC三边长分别是x,x+1和5,贝IABC的面积为.

【类型三巧妙割补求面积】

例题：(2023春•河南许昌•八年级校考期中)如图，在四边形ABCD中，已知？390?,ZACB=3O°,AB=6,

AD=13,CD=5.

⑴求证：ACQ是直角三角形;

⑵求四边形A3CD的面积.

【变式训练】

1.（2023春•内蒙古呼伦贝尔•八年级校考期中）如图所示，是一块地的平面图，其中AD=4米，8=3米,

AB=13米，3C=12米，ZADC=9O°,求这块地的面积.

2.（2023春•安徽马鞍山•八年级校考期末）已知。，b,c是ABC的三边，且”=2有，b=3屈,c=麻.

⑴试判断J1BC的形状，并说明理由；

⑵求“1BC的面积.

3.（2023春•山东荷泽•八年级校考阶段练习）四边形草地ABCD中，已知AB=3m,BC=4m,CD=12m,

DA=13m,且/ABC为直角.

⑴求这个四边形草地的面积；

⑵如果清理草地杂草，每平方米需要人工费20元，清理完这块草地杂草需要多少钱?

4.（2022春•重庆泰江•八年级校考阶段练习）计算：如图，每个小正方形的边长都为1.

⑴求线段。与的长；

⑵求四边形ABCD的面积;

⑶求证：48=90。.

【类型四“勾股树”及其拓展类型求面积】

例题：（2023秋•重庆渝中•八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形

都是直角三角形，若正方形A、B、C、。的面积分别是6、10、4、6,则最大正方形E的面积是（）

A.20B.26C.30D.52

【变式训练】

1.（2023•广西柳州•校考一模）如图，NBDE=90。，正方形3EGC和正方形AFE。的面积分别是289和225,

则以3。为直径的半圆的面积是（）

2.（2023春•全国•八年级专题练习）如图，以Rt..ABC的三边向外作正方形，其面积分别为H，邑，邑且

H=4应=8,则$3=；以RtABC的三边向外作等边三角形，其面积分别为岳益,S3,则立邑

3.（2023春•八年级课时练习）已知：在RtABC中，ZC=90°,/A、/B、/C所对的边分别记作a、b、

c.如图1,分别以一ABC的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作耳、邑、S3,

贝I］有5|+邑=$3,

图4

（1）如图2,分别以ABC的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分片、邑、S3,请问4+S2与

S3有怎样的数量关系，并证明你的结论;

⑵分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作SI、S2sd根据（2）

中的探索，直接回答耳+邑与S3有怎样的数量关系;

（3）若RtABC中，AC=6,BC=8,求出图4中阴影部分的面积.

4.（2023春•江西南昌•八年级南昌市第三中学校考期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方

国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五"的记载，我国汉代数

图5图6图7

⑴①如图2,3,4,以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分

别为岳，邑，S3,利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足S+S?=S3的有个.

②如图5,分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为加,

S〉直角三角形面积为$3,也满足H+邑=$3吗？若满足，请证明；若不满足，请求出豆，邑，邑的数量

关系.

⑵如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这

一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”.在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形〃的边

长为定值机，四个小正方形A,B,C,。的边长分别为a,b,c,d,贝U〃+/十筋=.

【类型五几何图形中的方程思想一折叠问题（利用等边建立方程）】

例题：（2023春•河南许昌•八年级统考期中）已知直角三角形纸片A3C的两直角边长分别为6,8,现将ABC

按如图所示的方式折叠，使点A与点3重合，则CE的长是（）

【变式训练】

1.（2023春•湖北咸宁•八年级校考阶段练习）如图，有一块直角三角形纸片，ZC=90°,AC=4,BC=3,

将斜边A3翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD,则3。的长为（）

35

A.—B.1.5C.—D.3

43

2.（2023春・山东荷泽•八年级统考期中）如图，RtZkABC中，2B90?,AB=4,BC=6,将-ABC折叠,

使点C与AB的中点。重合，折痕交AC于点M,交BC于点、N,则线段CN的长为.

3.（2023•辽宁葫芦岛•统考二模）如图，在Rt^ABC中，NC=90o,NA=3（）o,BC=2,点。是AC的中点，

点E是斜边上一动点，沿DE所在直线把翻折到的位置，A7）交A3于点厂.若△BAF为

直角三角形，则AE的长为.

4.（2022秋•河北张家口•八年级统考期中）在1aAsc中，NC=9O。，点。、E分别在AC、AB边上（不与端

点重合）.将VADE沿DE折叠，点A落在A，的位置.

（1汝口图①，当A与点8重合且BC=3,43=5.

①直接写出AC的长；

②求△BCD的面积.

（2）当/A=37。.

①A与点E在直线AC的异侧时.如图②，直接写出NA'£B-NA'DC的大小；

②A与点E在直线AC的同侧时，且..4OE的一边与BC平行，直接写出NADE的度数.

【类型六几何图形中的方程思想一公边问题（利用公边建立方程）】

例题：如图，在0ABe中，AB=1Q,BC=9,AC=17,则BC边上的高为

【变式训练】

1.己知：如图，在ABC中，ZC=90°,AD是,ABC的角平分线，CD=3,BD=5,则AC=

A

2.如图，在和Rt^ADE中，ZB=ZD=90°,AC=AE,BC=DE,延长BC,DE交于点M.

M

⑴求证：点A在NM的平分线上；

⑵若AC〃DM,AB=12,BM=18,求BC的长.

【类型七实际问题中的方程思想】

例题：（2022.全国.八年级）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词

《西江月》："平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地….”翻译成现代文为：如图,

秋千绳索OA悬挂于。点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC=1尺）.将它往

前推进两步（EBI3OC于点E,且EB=10尺），踏板升高到点B位置，此时踏板离地五尺（B£>=CE=5尺），

则秋千绳索（OA或08）长______尺.

【变式训练】

1.（2022・全国•八年级课时练习）如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙的距离

为2寸，点C和点。距离门槛A8都为1尺（1尺=10寸），则A8的长是（）

图1图2

A.50.5寸B.52寸C.101寸