2022-2024年高考数学试题分类汇编：导数及其应用（八大考点）

三年真题工

4M03导数及其应用

富铝曾债。麴躯僧

考点三年考情（2022-2024）命题趋势

2024年全国甲卷（理）、2023年全国甲卷（文）

考点切线问题

1:2024年全国I卷、2022年全国n卷

2022年全国I卷

2023年全国乙卷（文）

2022年全国乙卷（理）高考对导数及其应用的考查相

考点2：单调性、极最

2023年北京卷

对稳定，属于重点考查的内

值问题2024年全国I卷、2024年全国II卷

2023年全国II卷、2023年全国n卷容.高考在本节内容上无论试

2022年全国乙卷（文）

题怎样变化，我们只要把握好

2022年全国甲卷（文）

2022年全国甲卷（理）导数作为研究函数的有力工具

考点：比较大小问题

32022年全国I卷、2024年北京卷

这一点，将函数的单调性、极

2024年天津卷

2023年全国甲卷（文）、2023年天津卷值、最值等本质问题利用图像

考点4：恒成立与有解2024年新课标全国n卷

直观明了地展示出来，其余的

2023年全国甲卷（文）、2023年全国甲卷（理）

问题

2024年全国甲卷（理）、2024年全国I卷就是具体问题的转化了.最终

2023年全国乙卷（理）

的落脚点一定是函数的单调性

考点：极最值问题

52023年北京卷

2024年全国II卷与最值，因为它们是导数永恒

2024年全国甲卷（文）、2023年天津卷

的主题.

考点：证明不等式

62023年全国I卷、2023年全国II卷

2022年全国II卷

考点7：双变量问题（极2022年全国甲卷（理）

2022年北京卷、2022年天津卷

值点偏移、拐点偏移）

2022年浙江卷、2024年天津卷

2024年全国n卷

2023年全国乙卷（文）、2024年天津卷

2024年全国甲卷（文）

考点8：零点问题2023年天津卷、2022年天津卷

2024年北京卷

2022年全国乙卷（文）、2022年全国甲卷（文）

2022年全国乙卷（理）、2022年全国I卷

窃窗给绿。圉滔送温

考点1:切线问题

1.（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设函数/⑴二,则曲线了=/卜）在点（0,1）处的切线

与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）

112

ABD.

-?-iCI3

【答案】A

ex+2cosx伫+2sinx"x

【解析】广卜）=

e°+2cos0)(1+0)-卜°+2sin0)x0

则f'(0)==3

("Of

即该切线方程为、T=3x,即y=3x+l,

令x=0,贝］y=l,令y=o,则x=-g,

故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S=gx1x

故选：A.

事在点句处的切线方程为（）

2.（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线y=

x+1

Aeeeee3e

A=xB.xc-F+aD.y=—x+——

-y4y=^24

【答案】C

邑在点1,e

【解析】设曲线y处的切线方程为丁4=左（》-1）

x+1I

因为y*

e%x+l)-e，_xe"

所以了=

(X+1)2-(x+/

所以左=/

所以y-：=

所以曲线y=J在点（1号处的切线方程为了=5尤+9.

x+1<2；44

故选：C

3.（2024年新课标全国I卷数学真题）若曲线y=e、+x在点（0,1）处的切线也是曲线尸In（无+1）+a的切线，

贝11a=-

【答案】In2

【解析】由y=e*+x得y'=e'+l,/11=0=6°+1=2,

故曲线V=erx在（0,1）处的切线方程为了=2x+l;

由〉=111（工+1）+。得/=-^7,

X+1

设切线与曲线y=In（X+1）+。相切的切点为（x0,ln（x0+l）+a）,

由两曲线有公切线得y'=L=2,解得％=-1，则切点为「［a+lnl）,

切线方程为>=21x+ij+a+ln—=2x+1+a-In2,

根据两切线重合，所以a-ln2=0,解得a=In2.

故答案为：In2

4.（2022年新高考全国II卷数学真题）曲线V=山|x|过坐标原点的两条切线的方程

为,.

【答案】y=-xy=--x

ee

【解析】I方法一］：化为分段函数，分段求

分x>0和x<0两种情况，当x>0时设切点为（%,lnx。），求出函数

的

导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出％,即可求出切线方程,

当x<0时同理可得；

因为了=的忖，

当x>0时>=lnx,设切点为伉,In/）,由y'=L所以了"。=:,所以切线方程为尸比/=：（x-x。）,

又切线过坐标原点，所以-lnx°=’（r。），解得x0=e,所以切线方程为y-l」（x-e）,即y=L;

%oee

当x<0时y=ln（r）,设切点为（x”ln（f））,由j/=L所以所以切线方程为

X项

>一加（一再）=一（x—xj,

x\

又切线过坐标原点，所以=）,解得X|=-e,所以切线方程为ki=L（x+e）,即k-L;

再-ee

故答案为：V」无；y=--x

ee

［方法二］:根据函数的对称性，数形结合

当x>0时y=lnx,设切点为（x°,lnx。），由y'=L所以了工产工，所以切线方程为尸1"。=L（x-x。）,

XX。

又切线过坐标原点，所以-lnx°=’（r。），解得x0=e,所以切线方程为y-l」（x-e）,即y=L;

%oee

因为了=In恸是偶函数，图象为：

所以当X<0时的切线，只需找到>=‘X关于y轴的对称直线y=--x即可.

ee

［方法三］:

因为y=ln|x|,

当x>0时了=lnx,设切点为（X°,lnx。），由了=工，所以了」=:,所以切线方程为y一出尤。=）,

又切线过坐标原点，所以-lnx°=：（-/）,解得x0=e,所以切线方程为y-l」（x-e）,即y」x;

%oee

当x<0时y=ln（r）,设切点为（4In（-玉）），由y',，所以九二,,=；,所以切线方程为

X玉

y_ln(fj=—(x-再)，

石

又切线过坐标原点，所以TMf)=：(-再)，解得士=-e,所以切线方程为尸i=L(x+e),即k-L;

须-ee

故答案为：y=-x-,y=--x.

ee

5.(2022年新高考全国I卷数学真题)若曲线y=(x+a)d有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围

•

【答案】(-00,-4)U(O,+8)

xx

【解析】y=(x+a)e,：.y'=(x+l+a)et

设切点为优，%)厕%=&+。)3，切线斜率左=(x0+1+a)e*,

%0To

切线方程为：y-(x0+a)e=(jco+l+a)e(x-xo),

二.切线过原点，，-(x()+")e。=(尤o+l+a)e。(-x。)，

整理得:尤;+。尤°。=0,

,:切线有两条,A=(72+4a>0，解得a<-4或。>0,

。的取值范围是(r°,-4)U(0,+oo),

故答案为：(F,_4)U(O,+8)

考点2：单调性'极最值问题

6.(2023年高考全国乙卷数学(文)真题)已知函数7'(x)=(：+/ln(l+x).

⑴当a=-l时，求曲线了=/(力在点处的切线方程.

⑵若函数/(x)在(0,+功单调递增，求。的取值范围.

f--l^ln(x+l)(x>-1),

【解析】(1)当。=-1时，/3=

贝！ir(x)=-：xln(x+l)+L-ilxJ-,

XJX+1

据此可得〃l)=0J'(l)=-山2,

所以函数在(1J⑴)处的切线方程为J-0=-ln2(x-l),即(In2)x+y-In2=0.

(2)由函数的解析式可得/''")=,：］皿苫+1)

fl4-L尤>一，,

+\x+)x+1

满足题意时/'(X)>o在区间(0,+。)上恒成立.

(元+江)

a20,贝—(x+1)In(x+1)+>0I

令g(x)=+x-(尤+1)In(X+1),原问题等价于g(X)20在区间(0,+")上恒成立,

贝[]g'(x)=2Qx_ln(x+l),

当aVO时，由于2oxV0,ln(x+l)>0,故g，(x)<0,8卜)在区间(0,+。)上单调递减,

此时g(x)<g(0)=0,不合题意;

令/z(x)=g,(x)=2ar-ln(x+l),则=2a---彳,

当心g,2a21时，由于匕<1,所以〃(x)>0,〃(x)在区间(0,+的上单调递增，

即g'(x)在区间(0,+e)上单调递增，

所以g'(x)>g'(O)=O,g(x)在区间(0,+的上单调递增，g(x)>g(O)=O,满足题意.

当0<。<:时，由可得x=；T,

2x+12a

当卜寸，否'(x)<0,”x)在区间上单调递减，即g'(x)单调递减，

注意到g'⑼=0,故当尤时，g'(x)<g")=O,g(x)单调递减，

由于g(0)=0,故当xe(0,看"时,g(x)<g(O)=O,不合题意.

综上可知：实数a得取值范围是M

7.(2022年高考全国乙卷数学(理)真题)已知和x=%分别是函数〃x)=2优-"("0且"1)

的极小值点和极大值点.若占<X?,则。的取值范围是____________.

【答案】

【解析】I方法一］：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点

因为/'(X)=2InQ•优-2ex,所以方程21nqd-2ex=0的两个根为再，々，

即方程ln〃•优=ex的两个根为苞,%2,

即函数V=In,优与函数〉=ex的图象有两个不同的交点，

因为和三分别是函数/'(x)=2«r-ex2的极小值点和极大值点，

所以函数/"(X)在(―小)和6,+“)上递减，在(为马)上递增，

所以当时(一双国)(%,+8),/'(无)<0,即y二^图象在夕印.-优上方

当工«为马)时，r(x)>0,即>==图象在y=lnaa'下方

。>1,图象显然不符合题意，所以

令且(1)=111〃・优，贝［］g'(X)=ln2Q.QX,0<Q<］,

设过原点且与函数了=g(x)的图象相切的直线的切点为(%,Ina.*),

r2

则切线的斜率为g(x0)=lna-d，故切线方程为y-Ina.*=k?°.*(%-%),

则有-Ina•*=-/In2a-ax0,解得/=击，则切线的斜率为g2a.就=ehfa，

因为函数y=\na-ax与函数y=ex的图象有两个不同的交点，

综上所述，。的取值范围为Q,lj.

［方法二］:【通性通法】构造新函数，二次求导

/r(x)=2\na-ax-2ex=0的两个根为国,马

因为和马分别是函数/(X)=2优-ex2的极小值点和极大值点,

所以函数f(x)在(-双%)和(％,+“)上递减，在(国,％)上递增,

，A

设函数g(x)=/(x)=2(alna一夕)，贝11/(x)=2QX(lnq)2_2e,

若a〉l,则'(x)在R上单调递增，此时若/(%)=0,

则/'(X)在(-8,X。)上单调递减，在伉,+8)上单调递增，止匕时若有X3和x=%分别是函数

/(x)=2/-ex2m>0且。h1)的极小值点和极大值点，则国>%,不符合题意；

若0<0<1,则'卜)在R上单调递减，此时若'伉)=0,则/'(x)在(-8,%)上单调递增,在(%,+“)上单调

递减，令'伉)=0,贝增=滤了，此时若有》=网和》=Z分别是函数〃x)=2优-ed(a>0且"1)的极

，

小值点和极大值点，且再<%,贝U需满足/''伉)>0,/(x0)=2(^»lna-ex0)=2^--ex^>0,即

x0<—,尤01nq>1故Ino'。=x°lnq=l117T^y>l,所以!<a<l.

Ino(1呵e

【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题

的最优解；

法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于

通性通法.

x+2,x<-a9

8.(2023年北京高考数学真题)设。>0,函数"x)=，-"L,给出下列四个结论：

-y/x-1,x>a.

①/(x)在区间(a-l,+oo)上单调递减；

②当。加时，/㈤存在最大值；

③设河(玉4a),N(X2,［伍))(%2>a),贝！］|ACV|>1;

④设尸(0/仁川马一矶久匕/匕川匕之-。).若I尸。存在最小值，则a的取值范围是(0，3.

其中所有正确结论的序号是____________.

【答案】②③

【解析】依题意，a>0,

当x<-a时，/(x)=x+2,易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；

当-段尤。时，/(x)=Va2-x2,易知其图像是，圆心为(。，0),半径为。的圆在x轴上方的图像(即半圆);

当x>“时，=易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；

对于①，取。=g,则〃x)的图像如下，

显然，当xed+功，即7-；,+8卜寸，〃x)在上单调递增，故①错误;

对于②，当时,

当％<-4时，/(x)=X+2<-6Z+2<l；

当-“WxW0时，y(x)=显然取得最大值。；

当x>a时，/(无)=—y[x—1<—s[ci—IV—2,

综上：〃x)取得最大值。，故②正确；

对于③，结合图像，易知在再=。,%>。且接近于x=a处，M(x1,f(xl))(xl<a),N(x2,f(x2))(x2>a)^J^

离最小，

当再=。时，>=/(不)=0,当%>。且接近于工=。处，y2=f{x2)<-4a-1,

此时，|网>凹-%>&+1>1,故③正确；

对于④，取。=。，则/(x)的图像如下，

因为尸(不，/(马))(巧<-。)，。(%/(X4》(匕。-。),

结合图像可知，要使卢。|取得最小值，则点尸在/(x)=x+2(x<-W上，点。在

同时|尸@的最小值为点。到/3=x+2[<-的距离减去半圆的半径a,

此时，因为=y=x+2(x<-的斜率为1,贝股”=T,故直线。尸的方程为尸一X,

\y=-x\x=-1/、

联立.解得.,则尸T1,

显然尸(Tl)在〃x)=x+2，<-£|上，满足|尸0|取得最小值，

即°=g也满足|尸0|存在最小值，故.的取值范围不仅仅是(o，；,故④错误.

故答案为：②③.

9.(多选题)(2024年新课标全国I卷数学真题)设函数/(x)=(x-1)2。-4),贝()

A.x=3是"X)的极小值点B.当0<x<l时，/(x)</(x2)

C.当l<x<2时，-4</(2x-l)<0D.当-l<x<0时，/(2-x)>/(x)

【答案】ACD

【解析】对A,因为函数/'(x)的定义域为R,而r(x)=2(尤-1)(尤-4)+(X-1)2=3(x-l)(尤-J,

易知当xe(1,3)时,r(x)<0,当xe(-s,l)或xe(3,+s)时,易x)>0

函数/(无)在(-8,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+8)上单调递增，故x=3是函数/(无)的极小值

点，正确；

对B,当0cx<1时，x-x2=x(l-x)>0,所以1>X>X2>0,

而由上可知，函数“X)在(0,1)上单调递增，所以/(x)>/(x)错误；

对C,当l<x<2时，K2x-1<3,而由上可知，函数/(x)在(1,3)上单调递减，

所以/⑴>八2工一1)>43),即T<〃2x-l)<0,正确；

对D,当一l<x<0时，/(2-x)-/(x)=(l-x)2(-2-^x-^=(x-)X2-2)>(，

所以〃2-x)>/(x),正确；

故选：ACD.

10.(多选题)(2024年新课标全国H卷数学真题)设函数/(》)=2丁_3加+1,则()

A.当。>1时，/(x)有三个零点

B.当"0时，尤=0是的极大值点

C.存在a,b,使得x=b为曲线片使x)的对称轴

D.存在。，使得点(1J⑴)为曲线了=〃尤)的对称中心

【答案】AD

【解析】A选项,f'(x)=6x2-6ax=6x(x-a),由于。>1,

故xe(-8,0)"a,+8)时八x)>0,故在(-叫。),(a,+e)上单调递增，

xe(0,a)时，/V)<0,/⑴单调递减，

则/(x)在x=0处取到极大值，在x=。处取到极小值，

由〃0)=1>0,f(a)=l-a3<0,则〃0)/(。)<0,

根据零点存在定理在(0,。)上有一个零点，

3

X/(-l)=-l-3a<0,/(2a)=4fl+l>0,则/(-1)/(0)<0J(a)/(2a)<0,

则〃x)在(-1,0),32a)上各有一个零点，于是“>1时，/(x)有三个零点，A选项正确；

B选项,f'(x)=6x(x-a),a<0时,x曰(a,0)J'(x)<。,f(x)单调递减，

xe(0,+oo)时f\x)>0,/(x)单调递增，

此时/(x)在x=0处取到极小值，B选项错误；

C选项，假设存在这样的凡％使得x=b为/(x)的对称轴，

即存在这样的使得〃x)="2b-x),

32

即2x3-3。/+1=2(2/)一x)-3a(2b-x)+l,

根据二项式定理，等式右边(26-x)3展开式含有Y的项为2C；(26)。(-X)，=-2^,

于是等式左右两边丁的系数都不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在这样的,使得x=b为/(x)的对称轴，C选项错误；

D选项，

方法一：利用对称中心的表达式化简

/⑴=3-3a,若存在这样的a,使得(1,3-3a)为仆)的对称中心，

贝(］小)+〃2-幻=6-6。，事实上，

/(%)+/(2—x)=2x3-3ax2+1+2(2-x)3-3tz(2-x)2+1=(12-6a)x2+(12a-24)x+18—12a,

于是6-6。=(12-6tz)x2+(12。-24)x+18-12。

12—6。=0

即12a-24=0,解得”2,即存在〃=2使得(1J⑴)是小)的对称中心，D选项正确.

18-12(2=6-6a

方法二：直接利用拐点结论

任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，

322

/(x)=2x-3ax+1,/'(%)=6x-6ax,f\x)=\2x-6af

由r(x)=o^x=|,于是该三次函数的对称中心为［f，佃］，

由题意(1,/(1))也是对称中心，故|=10。=2,

即存在。=2使得(1,/(1))是/(x)的对称中心，D选项正确.

故选：AD

1L(多选题)(2023年新课标全国II卷数学真题)若函数/(x)="lnx+1+7(aH0)既有极大值也有极小值,

则().

A.be>0B.ab>0C.b2+Sac>0D.ac<0

【答案】BCD

【解析】函数〃x)=alnx+%与的定义域为(0,+co),求导得/，⑴/一々-华=竺1二华2,

因为函数/(X)既有极大值也有极小值，贝!1函数/(0在(0，收)上有两个变号零点，而"o,

因此方程ad—bx—2c=0有两个不等的正根项，%,

A=Z?2+8«C>0

于是■%]+%2=一>0即有/+8">0,ab>0ac<0,显然/bcvo,即庆<0,A错误，BCD正确.

a

2c八

=------>0

a

故选：BCD

12.(2023年新课标全国II卷数学真题)已知函数/(无)="ex-lnx在区间(1,2)上单调递增，则”的最小值为

().

2-1-2

A.eB.eC.eD.e

【答案】c

【解析】依题可知，/'(x)=W」20在(1,2)上恒成立，显然a>0,所以xe一工，

xa

设g(x)=xe，,xe(l,2),所以g，(尤)=(x+l)e*>0,所以g(x)在(1,2)上单调递增，

g(x)>g(l)=e,故e/,即即a的最小值为eL

ae

故选：c.

13.(2022年高考全国乙卷数学(文)真题)函数〃可=85工+(》+1)面》+1在区间［0,2兀］的最小值、最大

值分别为()

717137171一兀兀"37171c

A.——，一B.——，一C.——，一+2D.——，一+2

22222222

【答案】D

【解析】/z(x)=-sinx+sinx+(x+l)cosx=(x+l)cosx,

所以〃X)在区间(0,3和仁同上川X)〉o,即/(X)单调递增；

在区间与段［上r(x)<0,即〃x)单调递减，

又〃°)=〃2兀I，/用=-/+1+1=-3，

所以〃x)在区间［0,2可上的最小值为音,最大值为>2.

故选：D

考点3：比较大小问题

14.(2022年高考全国甲卷数学(文)真题)已知9m=10,。=10"-11,6=8"-9,则()

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

【答案】A

【解析】［方法一］:(指对数函数性质)

由驴=10可得加=1加10=曾>1,而lg91gli<产普^；=［,；<1=(炮10)2,所以揩〉器，

即所以〃=10”一11>10瞑1一11=0.

又lg81gl0<『g8；gl°j=［等)<0g9『,所以皆〉翳,gplog9>m,

g

所以6=8及一9<8嗨9-9=0.综上，a>0>b.

［方法二］:【最优解】(构造函数)

由9"'=10,可得机=log910e(l,L5).

根据。力的形式构造函数/(外=尤"'7-1(》>1),贝旷'(x)=s"-l,

令/''(x)=0,解得％=加占，由加=log910e(l,1.5)知/©(0,1).

/(x)在(1,+8)上单调递增,所以/(10)>/(8),即a>b,

又因为/(9)=9蚓。-10=0,所以。>0>6.

故选：A.

【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；

法二：利用。力的形式构造函数/(x)=/-x-l(x>l),根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该

题的最优解.

.3111

15.(2022年高考全国甲卷数学(理)真题)已知。=石力=cosa，c=4sina，贝()

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

【解析】［方法—1:构造函数

因为当x<tanx

r1「

故g=4tanz〉l,故£〉1,所以c>6；

12

^/(x)=COSX+—X-1,XG(0,4-O0)z

f\x)=-sinx+x>0,所以〃x)在(0,+8)单调递增,

故/[£|>/(0)=0,所以cos;||>0,

所以,>"，所以c>6>。，故选N

［方法二］:不等式放缩

因为当xe0，B，sinx<x,

2

取x得：cos—=1-2sin->1-2f->l=—z故人。

84832

4sin；+cos：=asin]；+9),其中夕且sin9=/，cos"=^

、i,“.11।1Ji『7i1

当4sina+cos]=J17时，-+??=-,R(p=---

止匕时sinw=cos°=^],cos—=sin^=-^=r

故c°sLJ<%=smL4siJ

故6<c

4V17V1744z

所以所以c>b>。，故选/

[方法=]:泰勒展开

、八_n0<mu_31_10-252,_1,0.2520.254

x—0.25,贝ci———1---------ib-cos-h1-----------1---------,

322424!

24

.I‘ina0.250.25、1百田7生3

c=4sin-=—+^―r计算得c〉6〉。，故选A.

4

［方法四1：构造函数

因为：=4tan；,因为当x€(O,g),sinx<x<tanx,所以tan：>"即"1,所以c>6；设

b4V2；446

2

/(X)=COSX+|X-1,XG(0,+®),r(x)=-sinx+x>0,所以/⑴在(0,+8)单调递增，贝以(£|>/(0)=0,

131

所以cos^-豆>0,所以八〃,所以c>6>。，

故选：A.

［方法五I：【最优解】不等式放缩

因为：=4tan；,因为当x€(0,g］,sinx<x<tanx,所以tan；>：,即:>1,所以c>6;因为当

b4V27446

xefo,—\sinx<xz取x=：彳导cos」=l-2sin2工>1-21工］=—,故6。，所以c>b>a.

I2J848⑻32

故选：A.

【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法;

方法5：利用二倍角公式以及不等式xe(0sinx<x<tanx放缩，即可得出大小关系，属于最优解.

16.(2022年新高考全国I卷数学真题)设“=c=-ln0.9,则()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】C

【解析】方法一：构造法

1y

设/(x)=ln(l+x)-x(x>-l)z因为/(x)=——1=——，

当xe(-l,0)时，f\x)>0,当xe(0,+oo)时/(x)<0,

所以函数=ln(l+x)r在(0,+◎单调递减，在(T0)上单调递增，

所以/g)</(0)=0,所以山”一：<0,J^|>lny=-ln0.9,即6>c,

所以〃-m)</(0)=0,所以In伍+历<0,故A<e.所以

故a<b,

AA

设g(x)=尤e+ln(l-x)(0<x<1),贝［］g'(x)=(x+l)e+~”,

令秋x)=e*(x2-1)+1,h\x)=ex(x2+2x-l),

当0<x〈g-1时，"(x)<0,函数3)=叭--1)+1单调递减，

当0-1〈尤<1时，〃(x)>0,函数〃(x)=e，(/T)+l单调递增，

又万(0)=0,

所以当0。<6-1时，h(x)<0,

所以当0<x<3-1时，g'(x)>0,函数8(幻=》/+111(1-刈单调递增，

所以g(0J>g(0)=0,BPO.leol>-lnO.9,所以

故选：C.

方法二：比较法

a=0.1e。」,=,c=-ln(l-0.1),

1—0.1

①Intz-InZ?=0.1+ln(l-0.1),

令/(x)=x+ln(l-x),xG(0,0.1],

1—Y

则八%)=1一匚1==<°，

故/W在(0,0.1]上单调递减，

可得/(0.1)</(0)=0,即\na-\nb<o,所以a<b；

(2)tz-c=O,le01+ln(l-0.1),

令g(^)=xex+ln(l-x),xG(0,0.1],

贝Ug'(x]=xe+e--------=---------------------,

\—X1—X

令左(%)=(1+x)(l-x)ex-1,所以k'(x)=(1-x2-2x)ex>0,

所以k(x)在(0,0.1]上单调递增，可得k(x)>k(0)>0,即gf(x)>0,

所以g(x)在(0,0.1]上单调递增,可得g(0.1)>g(0)=0,即a-c>0,所以a>c.

故c<a<b.

17.(2024年北京高考数学真题)已知(和必)，52，%)是函数了=2、的图象上两个不同的点，则()

A.log221±A<2i±^B.log2A±21>W

-22222

1Pi+Vo

C.log2%<玉+/

D.log22>再+9

【答案】B

【解析】由题意不妨设再<%2,因为函数v=2、是增函数，所以0<2占<2句，即o<必<%,

又寸于选项AB:可彳导/+/>，2皆2*=22,即2>0,

22

的+x.

根据函数>=log?x是增函数，所以log?kg22M2=土黄，故A正确，B错误；

对于选项C：例如网=0,迎=1,贝［］乂=1,%=2,

可得叫2七匹=1吗|«0，1),即1吗七匹<1=再+%,故C错误；

对于选项D:例如匹=-1,々=-2,则

loJ，1lolo

g2=g21=g23-3e(-2,-1),即1个必：%>-3=再+々,故D错误，

2o2

故选：B.

0303

18.(2024年天津高考数学真题)ga=4.2--,b=4.2,C=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

【答案】B

【解析】因为J，=4.2,在R上递增，且-0.3<0<0.3,

所以0<4.2~°3<4.2°<4.2°3,

所以0<4.2期<1<4.2。,即0<a<1<6,

因为y=log42X在(0,+oo)上递增，且0<0.2<1,

所以1呜.2。2<log42l=0,即c<0,

所以6>a>c,

故选：B

19.(2023年高考全国甲卷数学(文)真题)已知函数［(x)=e-(i尸

则()

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【解析】令g（x）=-（x-iy,则g&）开口向下，对称轴为x=l,

因为手1-乎jfjj(76+73)2-42=9+6A/2-16=6A/2-7>0,

所以年V6+V34、八

—1—[1-----2--Jgp--1>1--

2222

由二次函数性质知g（曰）<g吟）,

因为―~~~~~~,[fo(V6+V2)2—42=8+4^/3—16=4^/3—8=4(^/3—2)<0,

即坐一1<1等所以g母）〉g（争,

月|_V2,V6.y/3.

综上，g(z—)<g(—)<g(—)-

又>=6'为增函数，故"c<b,即6>c>a.

故选：A.

20.（2023年天津高考数学真题）设。=1.0叫6=1.01。6“=0.6。6,则。也c的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【解析】由y=L0F在R上递增，贝Ua=1.0/5=i.oi。.6,

由>=X0-5在[0,+8)上递增，则a=1.01。$>°=06°$.

所以b>“>c.

故选：D

考点4:恒成立与有解问题

21.（2024年新课标全国II卷数学真题）设函数/（x）=（x+a）ln（x+6）,若f（x）»0,贝[]/+〃的最小值为（）

【答案】C

【解析】解法一：由题意可知：/⑸的定义域为(-4+”),

令x+“=0解彳导x=-a；令ln(x+6)=0解彳导无=1-6;

若一aV-6,当xe(-41一6)时，可知x+a>0,ln(x+b)<0,

此时/(x)<0,不合题意；

若一6<-a<\-b,当x£(—Q,l—b)时，可知x+〃〉0,ln(x+b)<0,

止匕时/(x)<0,不合题意；

若一。=1-6,当xe(-41一6)时，可知x+a<0,ln(x+6)<0,此时/1(x)>0；

当xe［l-6,+8)时，可知x+aN0,ln(x+6”0,此时/(x)“；

可知若-。=1-6,符合题意；

若一。>1-6,当了£(1—仇一〃)时，可知x+a(0,ln(x+610,

此时/(幻<0,不合题意；

综上所述：-a=l-b,即6=a+l,

贝！］/+/=片+(“+1)2=2,+：：+：2；,当且仅当°=时，等号成立,

所以/+〃的最小值为g；

解法二：由题意可知："X)的定义域为(-4+s),

令X+4=0解得了=-〃;令ln(x+6)=o解得x=l—6;

则当了£(—仇1—9时，ln(x+6)<0,故x+〃《0,所以1—6+aWO;

了£(1一4+8)时，ln(x+Z?)〉0,故x+〃20,所以l—6+a20;

故1一6+〃=0,贝［］/+/=/+,+］『二2］Q+；1+；、；，

当且仅当°=时，等号成立，

所以/+〃的最小值为］

故选：C.

22.(2023年高考全国甲卷数学(文)真题)已知函数/(x)=ax-普,xJ。,二

cosxv2;

⑴当。=1时，讨论〃x)的单调性;

(2)若〃x)+sinx<0,求。的取值范围.

【解析】⑴因为“=】，所以小)“吃”［。曰,

cosxcos2x-2cosx(-sinx\sinxcos2x+2sin2x

贝！Jr(H=i-4=i

cosXcoSx

_COS3X-COS2X-2(1-COS2X)_cos3x+cos2x-2

cos3Xcos3X

令f=c°sx,由于所以/=COSXG(0,1),

cos'x+cos2x-