2023届高考数学一轮复习：三角函数的单调性与最值

第4讲三角函数的图象和性质

考向预测核心素养

以考查三角函数的性质为主，题目涉及单调性、周期

直观想象、

性、最值、零点.考查三角函数性质时，常与三角恒

逻辑推理

等变换相结合，中档难度.

N基础知识二回|顾

[学生用书P108])

〈国园留回

一、知识梳理

1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

扪的图象中，五个关键点是：((与

(1)在正弦函数y=sinx,%e[0,20,0),1),

（兀，0）,,-1）,

（2兀，0）.

(2)在余弦函数尸cosx,%G[0,2兀]的图象中，五个关键点是：(0,1),生ol,

件,0）,（271,1）.

（兀，—1）,

2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质

函数y=sin%y=cosxXy=tanx

图象

/应,

*

定义域RR

一£Z}

值域L1，11L1，11R

奇偶性奇函数偶函数奇函数

最大值1,当且仅

函数的最值最大值1,当且仅当正无最大值和最小值

当x=2E,左©Z时

JT取得；最小值一1,

2E+],-eZ时取得；

当且仅当x=2E—

最小值一1,当且仅当工

兀，:©Z时取得

=2防i一4一©Z时取得

增区间：「2%兀一与22兀+增区间：⑵:兀一兀，

7T

r—5，r

2标|优©Z）；减区增区间（防防

单调性|iqez）；减区间：电

间：-2+兀，2E+

-©Z）

兀3兀

+彳，2左兀Z）兀]优©Z）

zZ

周期为2E,20,周期为E,k会0,

周期周期为2E,20,k《Z,

k5最小正周期左©Z,最小正周期

性最小正周期为期

为271为n

对称中(E+5,0),—件,0）,左©Z

对(ku,0),一£Z

心

称

71

性对称轴元=左兀+3，+£Zx=ku,左£Z无对称轴

兀

零占八、、ku,kGZku,让Z

©常用结论

1.函数y=sinx与y=cosx的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点

且垂直于x轴的直线.

2.正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距

离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是5个周期.正切曲线相邻

两个对称中心之间的距离是半个周期.

3.三角函数中奇函数一般可化为y=Asin0x或y=Atancox的形式，偶函数

一般可化为y=Acosa）x+b的形式.

4.对于y=tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个开区间

（JTjr\

上兀一也十夕（左GZ）内为增函数.

二、教材衍化

1.（人A必修第一册P206例5改编）函数y=2sin|j—，（xG［—兀，0］）的单调

递增区间是（）

r5兀］「5兀兀

A「兀，一司B.［一不，—初

「兀「兀C

C.一不，0D.一工，0

j।j।'11j।5TBe

解析：选玲・兀，kGZ,贝可一

D.25352+24oo

kGZ.

jr

由于xG［—7l,0］,所以所求的单调递增区间为［—4,0.

2.（人A必修第一册P207练习T2⑵改编）函数y=3—2cos（x+］的最大值为

,此时x=.

3兀

答案：5w+2for（左GZ）

3.（人A必修第一册P2i2例6改编）函数y=—tan（2x一节的单调递减区间为

7T37171

解析：由一/+EV2x—N~V］+左兀（左£Z）,

,目兀,左兀,,5兀,左兀八~、

付不+~〈~^+可（）

oZ5~<XoZ%£Z,

~C3兀）一工、小3—，（兀।攵兀5兀।kji\

所以y=—tan（2x—qj的单调递减区间为爆+了，至+句（左GZ）.

（TI、ku5兀।kii\

+e

答案：Is+T-TT>z）

（用图固图""财11""'""",""""联"一M

一'思考辨析

判断正误（正确的打“♦”，错误的打“X”）

（l）y=cosx在第一、二象限内单调递减.（）

（2）若y=ksinx+l,x©R,则y的最大值是左+1.（）

（3）若非零实数T是函数人好的周期，则左T（左是非零整数）也是函数人x）的周

期・（）

7T

（4涵数尸sinx图象的对称轴方程为x=2for+/GZ）.（）

（5）函数y=tanx在整个定义域上是增函数.（）

答案：（1）X（2）X（3）V（4）X（5）X

二、易错纠偏

1.（奇偶性概念不清致误）下列函数中，是奇函数的是（）

A.y=|cosx+l|B.y=1—sinx

C.y=13sin（2x+7t）D.y=l-tanx

解析：选C.选项A中的函数是偶函数，选项B,D中的函数既不是奇函数,

也不是偶函数；因为y=-3sin（2x+7i）=3sin2x,所以是奇函数，故选C.

2.（多选）（三角函数性质理解不透致误）已知函数於）=sin（x一舒（x©R）,则

下列结论正确的是（）

A.函数人x）的最小正周期为2兀

B.函数段）在区间[0,会上单调递增

C.函数人力的图象关于直线x=O对称

D.函数次x）是奇函数

解析：选ABC.由题意，可得火工）=—cosx,

2兀

对于选项A,T=—=2n,所以选项A正确；

兀兀

对于选项B,y=cosx在0,2上单调递减，所以函数火》）在区间0,]上单

调递增，所以选项B正确；

对于选项C,x）=—cos（—%）=—cosx=/（x）,所以函数是偶函数，所以

其图象关于直线x=0对称，所以选项C正确；选项D错误.故选ABC.

3.（忽视取最值的条件致误）函数y（x）=sin2x+，5cos》一[©0,）的最大

值是.

角翠析:y（x）=sin2x+小cos%—1^=1—COS2X+^/3COS——[COSx——坐1+1，

cos[0,1],当cosx=当时，«x）取得最大值1.

答案：1

第1课时三角函数的单调性与最值

小核心考点口！3困\

［学生用书P109］）

考点一三角函数的定义域（自主练透）

复习指导：求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式（组），常借助

三角函数线或三角函数图象来求解.

1.函数加）=-2tan（2—）的定义域是（）

A.卜卜得

C.jx（左©Z）］

f,kii.n,\\

D.jxxWg+j（左GZ）j

jrjrKIT7T

解析：选D.由2x+zWfor+i，得（左）

o22o©Z.

2.函数y=lgsinx+yjcosx—；的定义域为

fsinx>0,

解析：要使函数有意义，则有1

cosx—/NO,

sinx＞0,

即彳

cos%三1，

2Z兀＜%＜兀+2瓦,

解得彳兀兀（止Z）,

所以2E<XW^+2ZTI,.所以函数y的定义域为1：+2kji,kGZ

答案：2防1Vx

3.函数y=\lsin%—cos%的定义域为.

解析：要使函数有意义，必须使sini—cos利用图象，在同一平面直角

坐标系中画出［0,2;i］±y=sin%和y=cosx的图象，如图所示.

兀5兀

在［。，2兀］内，满足sin%=cosx的犬为不了，再结合正弦、余弦函数的周期

是2兀，所以原函数的定义域为

兀5兀

{%|2E+aWxW2E+彳，左£Z}.

7TSIT

答案：{X|2E+WWXW2E+7，k@Z}

绩后感悟---------------------------------

三角函数的定义域的求法

(1)以正切函数为例，应用正切函数y=tanx的定义域求函数y=Atan(0x+e)

的定义域.

(2)转化为求解简单的三角不等式来求复杂函数的定义域.

考点二三角函数的单调性(多维探究)

复习指导：借助图象理解正弦函数、余弦函数在［0,271］,正切函数在［一了上

上的单调性.

角度1求三角函数的单调区间

瀛［TI(1)(2022•广东省七校联考)函数外)=tan住一嵩的单调递增区间是

()

2兀4兀

A.2E——百，2%兀+亍,kRZ

2兀….4兀)

了，2kji+~^\,

2兀4兀

C.44兀——丁，4左兀+弓-,k^Z

(2兀-.4兀1

D(4A1E—至，4左兀+了,kRZ

(2)函数於)=sin传一2x)的单调递减区间为.

jry7T7T7jrZLjr

【解析】⑴由2一2—2o<72+%兀，%£Z,得2左兀一33

（JQ兀、（2兀4兀\

左GZ,所以函数於）=tang—5|的单调递增区间是［2桁一］，2E+司，左GZ,

故选B.

（2次0=sin住一2x）的单调递减区间是於）=sin（2x—g）的单调递增区间.

兀兀兀

由2%兀一§W2E+］,kGZ,

兀571

得ku一记五，kGZ.

TTS71

故所求函数的单调递减区间为桁一记，fal+五，左GZ.

兀5兀

【答案】（1）B（2）左兀一五，E+女,左GZ

■思维发散

1.若本例（2求%）变为：y（x）=—cos1—2x+§,求/（x）的单调递增区间.

解：於）=-cos1—2x+§=—cos（2x一§,

欲求函数4x）的单调递增区间，

只需求y=cos（2x一4的单调递减区间.

兀

由2EW2x—防i+兀，kGZ,

兀2兀

得析kG

o3Z.

7T2,71

故函数/（x）的单调递增区间为E+&,左兀+可"（左©Z）.

（JTArJTjr

2.本例（2）段）变为：Hx）=sin［2x—"试讨论於）在区间［一不不上的单调

性.

解：令z=2x一与易知函数y=sinz的单调递增区间是一与+2E,^+2kn,

左GZ.

7"C7C7T

由一/+2EW2x—

兀3兀

得一夜适+左兀，Z.

5「兀兀

设4=［一布孙

兀5兀I兀兀

（x|一适+EWxW五十4兀，kGZ\,易知AC5=一记，-

所以当X©一不a时，五工）在区间一五，a上单调递增，又因为］一1一N=

TTTTTT

2<r,所以y（x）在区间一不一五上单调递减.

胭题技巧------------------------------

求三角函数单调区间的方法

求形如y=Asin（0x+夕）或y=Acos（①x+°）（其中o>0）的单调区间时，要视

“ox+9”为一个整体，通过解不等式求解.但如果O<0,可借助诱导公式将

①化为正数，防止把单调性弄错.

角度2已知三角函数的单调性求参数

例2（1）（一题多解）（2022・湖南师大附中月考）若函数/（x）=24sincoxcoscox

3兀37i

+2sin2s+cos2s在区间［一于引上单调递增，则正数o的最大值为（）

11

-B-

A.86

C』D」

Ju3

（2）定义在［0,兀］上的函数尸sin"一看（">0）有零点，且值域

一；，+8；则①的取值范围是（）

」4］「4一

A.B.不2

141ri

C.3jD.［d，2_

【解析】（1）方法一：因为火x）=2#§sincoxcoscox+2sin2cox+cos2cox=\［3sin

3兀37i

20x+l在区间一了，蜜上单调递增，

-3①兀2—不

211

所以〈解得口所以正数①的最大值是―

兀o0

3①兀

方法二：易知«x)=小sin2s：+1,可得火工)的最小正周期T=~,所以

〃兀73兀

—k一r]]

〈c解得①所以正数0的最大值是一

71、3兀66

7171Tl]

(2)由OWXWB得一5W①x一①兀一4，当x=0时，y=-].因为函数y=

sin(①x—看在[0,兀]上有零点，所以口兀一520,①2：.因为值域+°°j,

兀兀414

所以①兀一4忘兀+了gWq,从而①W,

【答案】(1)B(2)C

密题技巧---------------------------------

已知函数单调性求参数

(1)明确一个不同："函数1%)在区间〃上单调”与“函数五X)的单调区间为

N”两者的含义不同，显然“是N的子集.

(2)抓住两种方法：一是利用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满

足的关系式求解；二是利用导数，转化为导函数在区间M上的保号性，由此列

不等式求解.

I跟踪训练I

1.函数y=—2+tan[5+|)的单调递增区间是()

(5兀711

A.(2E-于2左兀+外ZGZ

兀…,5兀、

B.[2Z兀一2防i+丁/Z

C.lH—E+(,kGZ

(.兀7।5兀、,

D.卜兀一左左兀十弓->k^Z

71171Tl5兀

解析：选A.由题意，477++kn,kRZ,解得2左兀一w<x<2左兀

+不左GZ,所以函数y=-2+tanQx+（J的单调递增区间为（2左兀一£,2痴十寺,

左GZ.

2.若函数兀0=3sin［x+京）一2在区间（，a］上单调，则实数。的最大值是

TT

解析：因为gWxWa,

所以尹而《+而Wa+正

兀

而次X）在5，a上单调，

.7T—,37c一,771

所以a+mWg,即aW5,

7兀

所以a的最大值为年

答案：y

兀

3.（2022•重庆不高三质量检测）函数八x）=3sin（①x+夕），|刎<］的图象过点

0,1）,且在住，号上单调递增，则O的最大值为.

31

解析：依题意/（0）=3sin9=/,sin9=］，

7171

由于|夕|<5，所以9=不

所以/%）=3sin（0x+F；

2兀兀

2左兀一~7~2%兀+工

7171TlJJ

令①由兀一①X+ZW2E+5，化简得WxW,

>0,2%262coco

由于y（x）在号，T上单调递增,

QQ

所以5解得8左一§W0W6Z+1,左GZ,要使①有解，则8左一]

W6左+1,解得ZW于由于左©Z,故—=1,故左=1时，9WZ7,0的最

大值为7.

答案：7

考点三三角函数的最值（值域）（综合研析）

倒（1）（2022•衡水调研）已知函数於）=sin（x+^）,其中x©—*a,若於）

的值域是[―表1]，则实数。的取值范围是.

（2）函数）；=sin%—cosx+sinxcosx的值域为

JT7T7T7T

【解析】⑴因为xd—ya,所以x+&e-a+X,

因为当x+狂一..时，於）的值域为一；,1,

所以由函数的图象（图略）知，9。+台下，所以畀aW兀

（2）设t=sin%—cosx,贝I?=sin2x+cos2x—2sinx•cosx,sinxcosx=

P]]

所以y=一,+/'+/=-]«—1）2+1,—y[2,也].

,L,仁L1+2啦

当/=1时，ymax=l；当/=~\/2时，ymin=—~j~.

所以函数的值域为—1+产,1J

_....「兀[「1+2仍

【合案】⑴*兀（2）—；,1

三角函数值域的求法

⑴利用y=sinx和y=cosx的值域直接求.

(2)把所给的三角函数式变换成y=Asin((yx+°)+。(或y=Acos(0x+°)+0)的

形式求值域.

(3)把sinx或cosx看作一个整体，将原函数转换成二次函数求值域.

(4)利用sinx±cosx和sinxcosx的关系将原函数转换成二次函数求值域.

I跟踪训练I

1.函数次x)=3sin(2x—t)在区间0，卷上的值域为()

33]「3

—C，—GDR.——r\

.八兀I兀兀5兀

斛析：选B.当0,5时，2x——不可

1

sin"x一胃Gri

3

故3sin"x—tjer3

一3

此时函数«x)的值域是一1,3

_]兀]

2.已知函数y（x）=—10sin2x—10sin%—/,元£一亍m的值域为一],2

则实数用的取值范围是()

「兀cl「兀C

A.-0B.一10

「兀兀]兀兀

C[-『6jD1-4,3j

兀

解析：选B.记/=sinx,xG―亍m,则函数而c)可转化为g(/)=—10户一107

-2=-10G+2)+2

因为函数的最大值为2,显然此时/=一；.

令g(/)=-3,得/=T或/=0,

由题意知xG—m,当无=—，时，t=—1,g(—l)=—:,结合g(。的图

象及函数的值域为一；，2,可得一吴sinmWO,

7T

解得一NWmWO.故选

OB.

3.(2020・高考北京卷)若函数加尸sin(x+0)+cosx的最大值为2,则常数夕

的一个取值为.

解析：因为«x)=cos0sinx+(sin9+l)cosx=qcos20+(sin^+1)2sin(x+

“八(其a中itane1=+=sin/(Jp\'

因为sin(x+9)Wl,

所以,3$2夕+(sin°+l)2=2,解得sin夕=1.则(p=^+2kji,kGZ,故常

7T

数9的一个取值为

答案：］符合弧+率MZ均可，答案不唯一)

课后达标检］测

［学生用书P409(单独成册)］

［A基础达标］

1.(2021・新高考卷I)下列区间中，函数月x)=7sinx—K单调递增的区间是

7T7T7T7T27T

解析：选A.令-/2也0一蜉/2也，左GZ,得-Q+2EW无W9+2E,

左GZ.取左=0,则一］WxW用.因为(0,野一全牛，所以区间(0,习是函数於)

的单调递增区间.

2.函数於)=sin(2x一手在区间0,卷上的最小值为()

巫

A.-1B.-2

c.坐D.O

解析:选B.由已知xG0,,得2x—*一：,区

所以sin（2x—~2f1'

故函数於）=sin（2x一守在区间0,卷上的最小值为一坐

3.（2022•山西省实验中学期中）若tan2=a,tan3=b,tan5=c,则（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.c<b<aD.c<a〈b

兀

解析：选D.因为tan5=tan（5—兀），/V5—兀<2V3<兀，且函数y=tanx在

区间住兀）上单调递增，

所以tan（5—7i）<tan2<tan3,

所以tan5<tan2<tan3,即c<a<b,

4.（2022•福州检测）已知函数於）=sinZx+Zsii?%—1在［0,汨上单调递增，

则m的最大值是（）

兀兀

A4B-2

3兀

.&D.TL

解析：选C.由题意得，火x）=sin2x—cos21=6sin（2x—予，由一方+2EW2x

TTJTTTjTTTTjTT

一彳（左GZ）,解得一（左GZ）,当左时，一$WxWk，

4WZ5+2EoE+EWXoWk+E=0oo

兀3兀

即函数兀¥）在一0,至上单调递增.因为函数兀r）在［0,上单调递增，所以0

VmWq,即机的最大值为方，故选C.

OO

5.（多选）函数Hx）=sinxcosx的单调递减区间可以是（）

「73兀，兀］

A.左兀一彳，左兀一a（k£z）

,।兀,।3兀

B.左兀+不依+彳（左£Z）

兀兀

C.2左兀+不2%兀+］（左£Z）

,।兀,।兀

D.%兀+不左兀+］（左£Z）

角窣析：选AB於）=sinxcos%=；sin2x,

兀3兀

由5+2EW2%W2E+g,左£Z,

兀3兀

得W+EWXWE+1，kGZ,

兀3兀

所以函数«x）=sinxcosx的单调递减区间是加:+不左兀+1（左©Z）,故B正

确，

因为函数的周期是E/WO）,故A也正确.

故选AB.

6.已知函数人x）=4sin（2x—g，x©［—兀，0］,则八X）的单调递增区间是

7T7T7T

解析：由一］+2EW2x—5・5+2%兀（左£Z）,

TTSTT

得一适+左兀WxW适+kii（k£Z）,

又因为工£［—兀，0］,

7TT7T

所以兀乃的单调递增区间为一久,一适和一记，0•

...「771rL「兀八

合案：［一兀，一万J和［一百°

7.（2022•上海市进才中学期中）已知定义在［一。，上的函数«x）=cos%—sin

%是减函数，其中Q>0,则当。取最大值时，危）的值域是.

角窣析：於）=cos%—sin%=一爽sin卜一皆，

兀兀兀兀3兀

令2%兀一kGZ,贝1J2%兀一工，kGZ,

兀3兀

故/（x）的减区间为2左兀一4，2左兀+工，左©Z,

jrSTT

由题设可得［—Q,Q］为［2所一不2E+j,kez的子集,

故k=a且53兀故0<〃忘4，故〃max=4,

<a>0,

.71z一兀,兀）兀"八

当一时，一［WO,

故OW-爽sinQ-皆忘6，

故八工）的值域为［0,^2］.

答案：［0,y［2］

8.已知人x）=^sin（2x+T）.

（1）求人x）的单调递增区间；

冗

⑵当不7T为3时，求函数於）的最大值和最小值.

7T7T7T

解：⑴令2%兀一］W2x+1W2Z兀+/,kGZ,

3兀兀

则左兀一wWxWfoi+w，kGZ.

3兀兀

故«x）的单调递增区间为kn--^,E+g,左GZ.

⑵当x©/学时，竽W2x+/季所以一lWsin（2x+；）W乎，所以一也

<»<L所以当x©：,华时，函数段）的最大值为1,最小值为一也

—X

9.已知函数fix）=Q（2COS3'+sinx）+b.

⑴若。=—i,求函数/U）的单调递增区间；

（2）当九£［0,兀］时,函数兀0的值域是［5,8］,求〃，（的值.

解：函数兀x）=〃（l+cosx+sinx）+Z?

=^/2asin［x+^l+a+b.

⑴当a=—1时，火工)=一，5sin(x+：j+/2—1,由JTJT311

2kji+]Wx+aW2kli+~2~

7TSjT

（左©Z）,得2E+W尤W2kn+4（左©2）,所以»的单调递增区间为

兀5兀

24兀+币2%兀+了（左£Z）.

TTTTSjT兀

（2）因为OWxWm所以^忘了十^忘了，所以一sinx+4j<1,依题意知

〃+6=8,

aWO.①当a>0时，得解得a=3霹一3,6=5.②当a<0时,

b=8,__

得旭++8_5解得。=3—3皿，Z?=8.综上所述，a=30-3,b=5或a=

3—3啦，b=8.

[B综合应用]

10.（2022•河南省名校联盟模拟）若函数於）=sin（2x一卷与g（x）=cos

在区间（。，"<兀）上单调递减，则6—a的最大值为（）

A兀c兀

A-6B.g

C,^-5兀

D12

解析：选B.函数於）=sin（2x—?在105兀、'5兀Ilf

12,上单调递增，在上单调

1171、上单调递增，函数g（%）=cos（x+T在区间10371

递减，在五，九上单调递减,

在存,兀上单调递增，所以这两个函数在区间5信兀，引3兀、上单调递减，故》一。=学

12'4

SjT7T

五=§,即所求的最大值.故选B.

11.（多选）（2022•江西10月大联考）在数学史上，为了三角计算的简便并追求

计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义1—cos。为角。的正矢，记

作versin0-,定义1—sin。为角。的余矢，记作coversin。.则下列说法正确的是

（）

A.versing-0\=coversin（0+jr）

什coversin1贝

B.3,Ucoversin2x—versin2x=]

versinx-1

C.函数y=coversin%—versinx上单调递增

D.函数fix）=coversinl3%+翳+versin（3%一

解析：选AC.对于A,=l+sin0,

coversin（兀+0）=1—sin（兀+0）=1+sin/故A选项正确