2024-2025学年北师大版八年级数学上册 第7章 平行线的证明（单元测试·综合卷）含答案

第7章平行线的证明（单元测试•综合卷）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项,

其中只有一项符合题目要求）

（24-25八年级上•浙江温州•阶段练习）

1.下列选项中，可以用来说明命题“若>2,贝I]a>2”是假命题的反例是（）

A.a=3B.a=\C.Q=0D.a=—4

（24-25八年级上•浙江杭州•期中）

2.对于命题“如果N1与N2互补，那么/1=/2=90。"，能说明这是假命题的反例是（）

A.Z1=80°,Z2=110°B.Z1=10°,/2=169°

C.Z1=60°,Z2=120°D.Z1=60°,Z2=140°

（2024七年级上•全国•专题练习）

3.如图，直线48、CD被直线跖所截，FG平分NEFD交AB于点、G.下列条件中，不

能判定CD的是（）

C.Z4+Z5=180°D.Z4=Z2+Z3

（24-25八年级上•河北唐山•期中）

4.如图，己知尸与。尸上的点C,点A,现进行如下操作：①以点。为圆心，OC长

为半径画弧，交。8于点。，连接CZ）；②以点A为圆心，OC长为半径画弧，交。4于点

M；③以点朋■为圆心，CD长为半径画弧，交第2步中所画的弧于点£,连接ME.下列

结论不能由上述操作结果得出的是（）

B.△OCD94AME

试卷第1页，共8页

C.NBOP=NOAED.OB//AE

（17-18八年级•天津河东•期末）

5.如图A/OBGA/OC,NO=ND=9Q°,记=NABO=/3,当NO||3C时，a

与£之间的数量关系为（）

A.a+4=90°B.a+2£=180°C.a=。D.a=2/3

（24-25八年级上•山西大同•阶段练习）

6.如果将一副三角板按如图方式叠放，那么N1等于（）

（24-25八年级上•安徽六安•期中）

7.如图，在一副直角三角板中，两块三角板（△/8C和4溺）各有一条直角边与直线G”

重合，ABAC=30°,NEDF=45。，连接8。，若乙4BD=19°,则NBZ）尸的度数为（）

A

（19-20八年级上•广西贵港•期末）

8.如图，AP是△4BC中/N8C的平分线，CP是Z\4BC的外角的平分线，若

ZABP=20°,ZACP=50°,贝l]4+NP=（）

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A

P

BCM

A.70°B.80°C.90°D.100°

（24-25八年级上•海南僧州•期中）

9.下列命题：

①若2，〃=2,2〃=4,贝!]2%+〃=6；

②若龙2一6》+左2恰好是另一个整式的平方，则常数人的值为3；

③若图是由4个全等的小正方形拼成，则/1+/2=90。；

④有一个角及两条边分别对应相等的两个三角形全等，其中假命题的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

（2024・辽宁•模拟预测）

10.如图，作线段43,以点8、/为圆心，大于g/8的长为半径分别作弧交于0、R,连

接。尺交A8于点以M为圆心，长为半径作弧，在弧上取一点C,连接/C、

BC.在切上取一点N,以BN为半径作弧交8C于点。，连接ON,以。、N为圆心、大

于（ON的长为半径作弧交于一点P,连接AP并延长交Q?于D若44=26。，则

的度数为（）

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C.50°D.53°

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

（24-25八年级上•河北承德•期中）

11.命题“两个全等图形的面积相等”的逆命题是.

（24-25八年级上•河南南阳•阶段练习）

12.用反证法证明“已知，在用A/8C中，ZC=90°,44片45。.求证：ACwBC”,第一

步应先假设.

（24-25八年级上•浙江杭州•阶段练习）

13.如图，正方形的四个顶点分别在四条互相平的直线小34，4上，这四条直

线中，相邻两条之间的距离依次为4,%,h3.若%=4,%=2,则正方形的面积S

等于.

（24-25八年级上•辽宁沈阳•阶段练习）

14.如图，线段/8=26，过端点8作射线点C为射线8G上定点，且8C=3,

点P为射线5G上动点，关于/P对称的图形为（点B的对称点为点。），连接

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CD.若是直角三角形，则AP的长为.

（2025七年级下•全国•专题练习）

15.如图，在△NBC中，ZC=90°,。是的中点，E是边NC上一动点，将△4DE沿

翻折，使点A落在点H处，当HE〃5C时，ZAED=.

（24-25八年级上•江西南昌・期中）

16.如图，已知NMCW=60。，在射线加上取一点/,过点/作工3,0加交CW于点2,

以N为端点画射线交线段08于点C（点C不与点O、点8重合）.若△NOC中，有一个内

角度数是另一个内角度数的2倍，则的度数是.

17.如图，N4BG,NND厂的平分线BE,OE相交于点E.点尸,G分别在上，BG,

DF交于点C.设NBFD=a,ADGB=/3,则/8切=.（用含有&、4的代数式表示）

（23-24七年级下•全国•阶段练习）

18.将一幅三角板（NA4C=4ME=90。，/C=45。，NE=60。）如图放置，则下列结论:

①若/2=45。，则4D〃3C；

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②若N1+N3=120。，则/C〃OE

③若/4=45。，贝iJ/C4)=150。；

©若AD〃BC,贝!|Z1=30°；

⑤ZG4Z)+Z2=180°.

其中正确的有—(填序号).

三、解答题（本大题共6小题，共58分）

（23-24八年级上・甘肃兰州•期末）

19.如图，已知点A、D、C、尸在同直线上，有下列关系式：①AB=DE,

②BC=EF,③AD=CF,@BC//EF

（1）请从中选择三个作为已知条件，余下一个作为结论，写出一个真命题：如果

，那么.（填写序号）

⑵证明（1）中命题的正确性.

（24-25七年级上•山东济宁•期中）

20.已知：如图，F、C是/。上的两点，S.AB=DE,AB//DE,AF=CD.求证:

⑴△4BC之尸;

(2)BC//EF.

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(2024七年级上•全国•专题练习)

21.如图，已知C£>_L4D于点。，于点/,Zl=Z2,试说明£>尸||/£.

解：（已知），

.•./S4=90°（）.

同理/D48=90。.

ZCDA=ZDAB=90°（）.

即/1+/3=/2+/4=90°.

Zl=Z2（已知），

（等式的性质1）.

.-.DF\\AE（）.

（24-25七年级上•山东烟台•期中）

22.如图，AD//BC,4E平分NBAD,8E平分/N2C,点尸在N8上，且4尸=/。，

AB=AD+BC.

(1)/£与BE垂直吗？说明你的理由；

(2)若/E=5,BE=3,试求出四边形的面积.

(22-23七年级下•四川内江•期末)

23.如图1,44。8=90。，点C、。分别在射线04OB上,CE是N/CD的平分线，CE

的反向延长线与NCDO的平分线交于点F.

备用图

试卷第7页，共8页

(1)当NOCD=50。时，求NF的度数；

⑵当C、。在射线。4。8上任意移动时(不与点。重合)，NF的大小是否变化？若变化,

请说明理由；若不变化，求出/尸的度数；

(3)当在AFCD的三个内角中，有一个角是另一个角的3倍时，求/CD。的度数.

(24-25八年级上•河南周口•期中)

24.综合与探究

(1)如图1,直线/经过正方形的顶点A,分别过正方形的顶点3,。作于点£,

DF工1于点、F,若£尸=7,BE=4.则。尸的长为；

(2)如图2,在△NBC中，ZACB=90°,AC=CB,过点C在△NBC外作直线加，AM1m

于点M,BNLm干点、N.求证：MN=AM+BN；

⑶在(2)的条件下，过点C作直线切与线段相交，直接写出线段NM,BN和MN之

间的数量关系.

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1.D

【分析】本题考查了举例说明假命题.熟练掌握举例说明假命题是解题的关键.

由卜4|=4>2,-4<2,可知-4是说明命题，若同>2,则•>2”是假命题的反例，然后

作答即可.

【详解】解：•.卜4|=4>2,-4<2,

.•・。=-4是说明命题“若>2,贝I]〃>2”是假命题的反例，

故选：D.

2.C

【分析】此题考查的知识点是命题与定理，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题

的关键.

说明某命题为假命题，可举反例，但反例要满足命题的条件，不符合结论.再根据选项解答

即可.

【详解】解：A、不满足条件“N1与N2互补”，也不满足结论，故不符合题意；

B、不满足条件“/I与/2互补”，也不满足结论，故不符合题意；

C、满足条件“N1与/2互补”，不满足结论"/1=/2=90。"，故符合题意；

D、不满足条件"/I与N2互补”，也不满足结论，故不符合题意；

故选：C.

3.D

【分析】本题主要考查了平行线的判定及角平分线的定义，解题时注意：平行线的判定是由

角的数量关系判断两直线的位置关系.根据平行线的判定及角平分线的定义进行判断即可.

【详解】解：A.根据内错角相等，两直线平行，由/2=/3可得/3〃。。，故本选项不符

合题意；

B.・・/G平分/以加交于点G.

.\Z1=Z2,

•・・/l=N3,

/.Z2=Z3,

根据内错角相等，两直线平行，由/2=/3可得故本选项不符合题意；

C.vZ4+Z5=180°,ZEFD+Z5=180°f

；・/4=ZEFD,

答案第1页，共18页

根据同位角相等，两直线平行，由N4=/£FD可得/8〃CZ),故本选项不符合题意；

D./4=/2+/3不能得出/8〃。。，故本选项符合题意.

故选：D.

4.A

【分析】本题考查了平行线的判定，尺规作图，全等三角形的判定与性质，根据图形的作法

得到相等的线段，证明△OCZ)名t是关键.证明△OCZ)也根据全等三角形的

性质以及平行线的判定定理即可得出结论.

【详解】解：由题意可得：OD=OC=AM=AE,CD=MN,

^OCD^AME(SSS),故B正确，不符合题意；

:•S.OCD=S.AME，NBOP=NOAE,故A错误，符合题意；C正确，不符合题意；

OB//AE,故D正确，不符合题意；

故选：A.

5.D

【分析】本题考查了全等三角形的性质、等腰三角形两底角相等的性质以及平行线的性质,

根据全等三角形对应边相等可得AB=AC,全等三角形对应角相等可得NBAO=ACAD,

然后求出ZBAC=a,再根据等腰三角形两底角相等求出乙18C,然后根据两直线平行，

同旁内角互补表示出/03C,整理即可.

【详解】解：-：^AOB^ADC

AB=AC,ZBAO=ZCAD

ABAC=ZOAD=a

在A/BC中，=1(180°-«)

•••BC\\OA

ZOBC=180°-Z0=180°-90°=90°

.•.^+1(180°-a)=90°

整理得，a=2(3

故选：D.

6.B

【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据直角求出/2=45。，然后根据三角形内角和求

答案第2页，共18页

解即可，掌握三角形的内角和为180。是解题的关键.

【详解】解：如图，

由题意知：/2=90°-45°=45°,

.-.Zl=180°-45°-60°=75°,

故选：B.

7.B

【分析】本题考查的是三角形内角和定理的应用，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键,

先求N/2C,进而求出再根据/£。尸=/①*=45。即可求出结论.

【详解】解：•・•/A4c=30°//C8=90。，

ZABC=180°-90°-30°=60°,

■：AABD=\90,

z£>5£,=60°-19°=41°,

ZDEF=90°,ZEDF=NEFD=45°,

ZBED=90°,ZBDE=180°-90°-41°=49°,

zBDF=zBDE+zEDF=490+45°=94°,

故选：B.

8.C

【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出

//的度数，根据补角的定义求出N/C3的度数，根据三角形的内角和即可求出/P的度

数，即可求出结果.本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，三角形内角和性质,

难度适中.

【详解】解：•.•AP是△NBC中/4BC的平分线，C尸是△/BC的外角的平分线，且

ZABP=20°,ZACP=50°,

ZABC=2NABP=40°,ZACM=2ZACP=100°,

NN=ZACM-ZABC=60°,ZACB^l80°-NACM=80°,

答案第3页，共18页

NBCP=ZACB+AACP=130°.

•••NPBC=ZABP=20°,

ZP=1800-NPBC-ZBCP=30°,

:.ZA+ZP=90°,

故选C.

9.C

【分析】本题考查了命题的真假，涉及全等三角形的判定与性质，完全平方公式，代数式求

值，解题的关键是掌握相关知识.根据全等三角形的判定与性质，完全平方公式，代数式求

值，逐一判断即可.

【详解】解：①若2加=2,2”=4,

则〃=2,

2加+“=2+2=4,故为①彳度命题；

②若/-6x+r恰好是另一个整式的平方，则常数无的值为±3,故②为假命题；

③若图是由4个全等的小正方形拼成，

AB=CD,NABE=NDCA=90°,BE=AC,

:.AABE%DCA（SAS）,Z3+Z2=90°,

「•ZX—N3,

Zl+Z2=90°,故③为真命题;

④有一个角及两条边分别对应相等的两个三角形不一定全等，当角为两边的夹角时相等，

故④为假命题；

综上，假命题有3个，

故选：C.

10.A

【分析】本题考查了作图-基本作图：作己知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线.也

考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质.

根据作图可知，。穴垂直平分48,AD是N/8C的平分线，AM=CM,从而得出

AM=CM=BM,NDMB=90°,ZCBD=NABD,ZA=ZMCA=26°,根据三角形外角的性质

得出NCW=52。，根据三角形内角和以及等腰三角形的性质得出NMBC=64。，根据角平

分线定义得出/儿出。=32。，即可求解；

答案第4页，共18页

【详解】解：根据作图可知，。氏垂直平分45,助是/Z8C的平分线，AM=CM,

AM=CM=BM,ZDMB=90°,ZCBD=/ABD,

ZA=ZMCA=26°,

・•.ZCMB=ZA+ZMCA=52°,

1QQO_52。

・•.ZMBC=ZMCB=--------------=64°,

2

・•・/MBD=-ZMBC=32°,

2

:・/MDB=180。—90。—32。=58。.

故选：A.

11.面积相等的两个图形是全等形

【分析】本题考查命题概念，弄清楚命题的条件和结论是写出逆命题的关键.

根据逆命题的定义，即可解答.

【详解】解：命题“两个全等图形的面积相等”的逆命题是：面积相等的两个图形是全等形，

故答案为：面积相等的两个图形是全等形.

12.AC=BC

【分析】本题考查的是反证法的应用，用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么,

写出与结论相反的假设即可

【详解】用反证法证明/CV8C,应先假设NC=3C；

故答案为NC=8C.

13.52

【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质，过A点作4尸，。分别交

%、。于点£、F,过C点作4分别交4、h于点口、G,根据正方形的性质和平行

线的性质，证A/BE0ACAG即可；易证AABE咨ABCH乌ACDG咨ADAF,且两直角边长

分别为九、4+为，四边形EFG"是边长为久的正方形，所以5=（4+凡）2+片，将％=4,

为=2代入，即可解决问题，本题的关键在于作好辅助线，根据已知找到全等三角形即可.

【详解】解：如图，过A点作/尸，4分别交4、4于点£、F,过C点作分别交4、

4于点H、G,

•.•四边形/BCD是正方形，//12//13//14,

答案第5页，共18页

:.AB=CD,ZABE+ZHBC=90°,

VC771/2,

/./BCH+/HBC=9。。,

ZBCH=ZABE,

同理可得，ZBCH=ZCDG,

/ABE=ZCDG,

•・•/AEB=ZCGD=90°,

在△45£和ACDG中，

ZABE=ZCDG

<ZAEB=ZCGD,

AB=CD

.•.△ABEHCDG(AAS),

/.AE=CG,

即4=,

•・•四边形/BCD是正方形，

/.AB=BC=CD=DA,

•・,NAEB=ZDFA=ZBHC=ZCGD=90°,AABE=/FAD=ZBCH=ZCDG,

:△AEBdDAFdBCH必CGD,且两直角边长分别为4、4+为，

二.四边形斯是边长为〃2的正方形，

正方形/BCZ)的面积S=4x；x%(4+4)+后=+2h1h2+后=血+初?+h；,

•「4=4,h2=2,

S=(4+%)2+斤=36+16=52.

故答案为：52.

(2B/H\E

h

答案第6页，共18页

14.-4+25或2或2G

【分析】①当/CDP=90。时，根据折叠的性质得44BP=/ADP=90。，AD=AB=2y/3,

设BP=x,贝|PC=3-x,DP=x,可判定/,。和C三点共线，在中，求得

AC,得。C,在RtAPDC中即可求得8尸；②当/DCP=90。时，过点。作交.AB

于点“，则8c〃。打即有。〃=8C,DC=8〃，在RtAZ。”中解得,在

□△PCD中即可求得8尸；③当/DPC=90°时，则N4BP=NBPD=N4D产=90°,有

AD//BP,可得到4上4=44P,则有尸8=4B.

【详解】解：①当/CDP=90。时，如图，

根据题意知448尸=/4DP=90。，AD=AB=25

设BP=x,贝!|PC=3-x,DP=x,

ZADP=90°,NCDP=9G。

■-A,。和。三点共线，

在RtZ\A8C中，AB2+BC2=AC2,即（2石『+3?=/C?,解得/c=M，

则。C=01-2G,

在RtAPZX:中，PD2+DC2=PC2,即尤2+（百一2后?=（3-X『，解得》=2甘-4,

贝|」第=25-4；

②当NDCP=90。时，过点。作。48,交AB于点、H,如图，

答案第7页，共18页

则BC〃DH,DC〃AB,

：.DH=BC,DC=BH,

在RM4DH中，AH2+DH2=AD2,即初+32=（26）、解得,

DC=HB=AB-AH=拒

在Rt△尸CD中，DC2+CP2=PD2,BP（V3）2+（3-5P）2=DP2=BP2,解得8P=2；

AB=AD,

•­.AD//BP,

：-ZDAP=ZBPA,

•••/BAP=ZDAP,

•••ZBPA=/BAP,

•••PB=AB=2A/3,

则2尸的长为一4+2行或2或2g,

故答案为：-4+2近或2或2VL

【点睛】本题主要考查折叠得性质、勾股定理、平行线的判定和性质和等腰三角形的性质,

解题的关键是熟悉折叠的性质和分类讨论思想的应用.

15.45°或135°

【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质.分当4在/C上

方，时，当H在NC下方，时，两种情况，先利用平行线的性质得到

ZA'EA=90°,再由折叠的性质即可求出，4EZ）的度数.

【详解】解：如图，当H在NC上方，时，

答案第8页，共18页

A'

由翻折可知：^AED=ZA'ED=-ZA'EA=45°；

2

如图，当H在/C下方，时，

.-.ZA'EA=90°

由翻折可知：^AED=Z^Z）=1x（360°-90°）=135°.

故答案为：45。或135。.

16.90°或100°或140°

【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，根据题意，对“有一个内角度数是另一个内角

度数的2倍”这个条件进行分类讨论，结合三角形的内角和进行求解即可.

【详解】解：

:.NOAB=90°,

①当N/OC是/CMC的2倍时，则/。/C=30。，

：.AACO=\80°-AAOC-AOAC=90°,

4c8=180°-ZACO=90°；

②当N49C是N/CO的2倍时，则点C与点8重合，不符合题意；

③当/CMC是44C。的2倍时，则/。4。+44610=180。-a4。5=120。，

.•.NCMC=80°,ZACO=40°,

ZACB=180°-ZACO=140°；

④当NZC。是/CMC的2倍时，则N。/C+44CO=180。-4。8=120。，

答案第9页，共18页

AOAC=40°,ZACO=80°f

・•.ZACB=180。—NACO=100°；

综上所述，//C5的度数为：90。或100。或140。.

故答案为:90。或100。或140。.

17."

2

【分析】本题主要考查了列代数式及三角形的内角和定理.根据角平分线的定义，令

ZABE=ZCBE=m,ZADE=ZFDE=n,结合三角形的内角和定理即可解决问题.

【详解】解：连接8D,

因为44BG,N/Db的平分线BE,DE相交于点E,

则令NABE=ZCBE=m,ZADE=ZFDE=n,

因为4DG8=4，

所以//=ZBGD-NABG=/3-2m,

同理可得，/-A=a-2n,

所以分一2m=a-2n,

则/?-a=2m-2n,

即机一〃=°.

因为//+//BZ)+=180。，

所以/。5。+/。。5=180。—(尸—2加)—2加—2〃=180。—尸—2〃,

所以/£5。+/月。5=180。—4—2〃+加+〃

=180°-0+m-n

=180°-/7+^^

=180。-"^,

2

所以ABED=180°-(ZEBD+ZEDB)=.

答案第10页，共18页

故答案为：等.

18.①②③⑤

【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角板中角度的计算，根据/及£=90。得

到/2+/3=90。，可得/3=/8=45。，据此可判断①；先证明/1+2/2+/3=180。，进而

得到N2=30。，则/D/C=Nl+/2+23=150。，再证明/ZUC+ND=180。，即可判断②;

根据题意得到N4=NC=45。，贝可得ND/C+ND=180。，据此可判断③；由

平行线的性质得到NC+/C4O=180。，则/C/D=135。，据此可判断④；根据

Zl+2Z2+Z3=180°,Zr)^C=Zl+Z2+Z3,即可判断⑤.

【详解】解:，；NDAE=90。,

.-.Z2+Z3=90°,

当N2=45°时,则/3=45。，

此时有N3=48=45。,

.■.AD//BC,故①正确；

•••ZDAE=ABAC=90°,

.­,Zl+Z2=Z2+Z3=90°,

.•,Zl+2Z2+Z3=180°,

若4+N3=120°,则N2=30。,

ND/C=N1+N2+N3=150。，

又丫ND=30°,

.-.ZDAC+ZD=180o,

：.AC//DE,故②正确；

若N4=45°,贝！IN4=/C=45°,

.-.AC//DE,

.­.ZDAC+ZD=1^°,

ZD=30°,

ZDAC=150°,故③正确；

若AD〃BC,则/C+/C4O=180。，

•••ZC=45°,

.-.ZCAD=135°,

答案第11页，共18页

Z1=ACAD-ZDAE=45°,故④错误；

•1•Zl+2Z2+Z3=180o,ZDAC=Zl+Z2+Z3>,

ZDAC+Z2=180°,故⑤正确；

故答案为：①②③⑤.

19.⑴①②③，④

(2)见解析

【分析】本题考查全等三角形判定及性质，平行线判定.

(1)根据题意利用①②③即可判定出再利用全等性质及平行线性质即

可得到④结论.

(2)利用(1)中条件证明即可.

【详解】(1)解：真命题：如果=BC=EF,AD=CF,那么8c〃砂；

.•・①②③，④；

(2)解：•■•4D=CF,

：.AD+DC=CF+CD,

：.AC=FD,

在△NBC和&EDF中，

AB=DE

<BC=EF,

AC=FD

:AABC出LEDF(SSS),

...NBCA=NF,

BC//EF.

20.(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握

平行线的判定与性质是解题的关键.

(1)根据得N4=ND,由/尸=CD,可得4c=DF,通过SAS即可证明

△4BC名LDEF；

(2)由全等三角形的性质得乙4cB=/DFE,从而BC〃EF.

【详解】(1)证明：・・•/31|DE,

答案第12页，共18页

ZA=ND,

■：AF=CD,

AF+FC^CD+FC,

即AC=DF,

在t\ABC和4JEF中,

AB=DE

<NA=ND,

AC=DF

AABC咨ADEF（SAS）；

（2）;AABC知DEF,

NACB=ZDFE,

BC//EF.

21.垂直的定义；等量代换；N3=N4；内错角相等，两直线平行

【分析】本题主要考查了垂直定义和平行线的判定的应用，根据垂直定义得出

NCDA=/DAB,求出/3=/4,根据平行线的判定推出即可，熟练掌握平行线的判定是解

题关键.

【详解】"CDIAD（已知），

.-.ZCDA=90°（垂直的定义）.

同理4048=90°.

-.ZCDA=NDAB=90°（等量代换）.

即Zl+Z3=Z2+Z4=90°.

Zl=Z2（已知），

.•.Z3=Z4（等式的性质1）.

.■.DF//AE（内错角相等，两直线平行）.

故答案为：垂直的定义，等量代换，/3=/4,内错角相等，两直线平行.

22.（1）垂直，理由见解析

⑵15

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等三角

形的判定和性质；

（1）由平行线的性质得出/历1D+//8C=18O。，由角平分线的性质得出

答案第13页，共18页

NDAE=NEAF=ABAD,ZABE=ZCBE=/ABC,由三角形内角和定理可得出答案；

(2)证明径A4EF(SAS),得出S四边形/。仔=25”好，同理得出S四边形BCEF=25«8£尸，则可

求出答案.

【详解】(1)解：结论：AE工BE；

理由：•.•AD||2C,

:.ZBAD+ZABC=180°,

又4E平分/BAD,BE平分ZABC,

/DAE=ZEAF=-/BAD,/ABE=ACBE=-/ABC,

22

:../EAB+ZEBA=；(NBAD+/ABC)=1xl80°=90°,

-EAB+-ABE+ZAEB=180°,

22

ZAEB=90°,

AELBE；

(2)解：*/AF=AD,AB=AD+BC,

ABF=BC,

在△/££)和公AEF中，

'AD=AF

<ZDAF=ZFAE,

AE=AE

AAED^AAEF(SAS),

S四边形ZOE尸=2S4AEF，

在△BE尸和△跳C中,

'BE=BE

<AABE=ZCBE

BF=BC

「.△BE尸包跳C(SAS),

•**S四边形5cM=2s&BEF，

S四边形”cz)二S四边形4°跖+S四边形8囱=2s“EF+2s“BF=2x—x5x3=15.

答案第14页，共18页

23.(1)45°

(2)不变化，45°

(3)30。或67.5。

【分析】本题考查了角平分线的计算，三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，以及三

角形的内角和是180。的定理.解决本题的关键是熟练掌握了三角形的外角等于与它不相邻

的两内角之和.

(1)根据三角形的内角和是180。，可求/。。。=40。，所以/C£E=20。，再根据三角形的

外角等于与它不相邻的两内角之和，可得答案.

(2)先求得ZCDO=90°-ZOCD,ZACD=180°-ZOCD.再由CE是ZACD的平分线,DF

是的平分线，AECD=90°--ZOCD,ZCDF=45°--ZOCD.最后由三角形外

22

角性质可得答案；

(3)设NFDC=a.由(2)知，N尸=45。，可得

NFC£)=180°-NF-NM)C=180°-45°-a=135°-tz,再由。尸平分/ODC可得

ZODC=2a.由44。8=90。得出2[<90。，解得a<45°,从而求出

90°<135°-a<135°.即ZFDC<ZF<ZFCD,最后分类讨论求解即可.

【详解】⑴解：•.Z02=90°,ZOCD=50°,

ZCDO=180°-90°-50°=40°.

・•・CE是44CD的平分线，。厂是NCD。的平分线，

ZECD=65°,ZCDF=20°.

•:NECD=NF+NCDF,

.,."=65°-20°=45°.

(2)解：不变化，ZF=45°.

・/02=90°,

ZCDO=90°-ZOCD,ZL4CZ)=180°-ZOCD.

••・CE是的平分线，。尸是/C。。的平分线，

ZECD=90°--ZOCD,ZCDF=45°--ZOCD.

22

•:NECD=NF+NCDF,

：.ZF=4ECD-NCDF,

答案第15页，共18页

=(90°-