2024-2025学年安徽省合肥市高三年级上册12月联考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年安徽省合肥市高三上学期12月联考数学

检测试题

一、单选题（本大题共8小题）

1.命题“HxeR,/一4x-5<0”的否定是（）

A.eR,x2-4x-5>0B.VxgR,x2-4x-5>0

C.IveR,f-4x-520D.VxeR,x2-4x-5>0

2.已知集合/={x|—-2尤-8<0},8={y|了=*+4尤-3},则（）

A.（-2,1]B.（-2,1）C.（-4,1]D.（-4,1）

3.已知平面a,直线/,且/ua,m<£a,贝ij“加///”是“加//tz”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经

一一八esin2a+l/、

过点尸（tana,4）,则一-——（）

cos2a+l

99「9-19—1

A.-B.-C.一或彳D.一或一

282288

5.已知向量2=（6,指），且向量々与]的夹角为'则的最小值为（）

A.1B.72C.2D.4

S2〃+4a

6.已知两个等差数列包},也}的前〃项和分别是S〃Z，且于=§巧，贝1（）

.39一73

A.—B.—C.—D.一

414115

7.如图，在扇形043中，半径|。/|=|。|=2,弧长为5兀?，点尸是弧上的动点，

6

点分别是半径CM,。？上的动点，贝蛛尸周长的最小值是（）

A.V6+V3B.4C.26D.V6+V2

8.已知定义域为(0,+8)的函数为(x)满足:V尤?>0*(盯)=3)+3)—2,且当x>l

时，h(x)>2,a=In—,/?=—,c=tan—,贝|()

9109

A.h(a)<h(Jj)<A(c)B.h(b)<h{a)<〃(c)

C.h(c)<h(a)<k(b)D,h(a)<h(c)<h(b)

二、多选题(本大题共3小题)

9.某超市随机抽取了当天100名顾客的消费金额作为样本，并分组如下：

[0,50),[50,100),[100,150),.-.,[250,300](单位：元)，得到如图所示的频率分布直方

图，则下列说法正确的是()

t频率/组距

0.004^-1~~——

0.003[-----卜+------

0.002^-----卜----------

。|50100150200250300金输(元)

A.若该超市当天总共有600名顾客，则消费金额在[100,150)(单位：元)内的顾

客约有180人

B.若每组数据以区间中点值为代表，则样本中消费金额的平均数是145元

C.若用样本估计总体，则该超市当天消费金额的中位数是100.8元

D.现从样本的第1,2组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6

人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人的消费金额都不少于50元的概率

■

10.已知函数+的部分图象如图所示，贝I]()

2

C.函数的图象与直线>=1的相邻两交点间的距离为1

D./Q-^+/（x-l）=O

11.某兴趣小组制作了一个直三棱柱-44G容器（容器壁厚度忽略不计），其

中AB=3,BC=5,AC=7,则下列说法正确的是（）

A.若四棱锥4-8CCS的体积为手，贝

B.若三棱柱N3C-4耳G的外接球的表面积为箸，则三棱柱NBC-43G的侧

面积为30

C.若44=2,棱长为。的正方体能被整体放入此容器且可自由转动，则。的最大

值为通

3

D.若用=4,点尸在四边形BCC圈内（含边界），且N尸=小，则点尸的轨迹

2

长度为兀

三、填空题（本大题共3小题）

43

12.已知Z=^7，贝.

2+3113

13.已知随机变量X〜N©,4],且正数见6满足尸保41=尸（XN6）,则工+9的

<4）V2）a+bb

最小值为.

22

14.已知实轴长为4的双曲线C:y1r=l（a>0,6>0）的渐近线为彳±岛=0,片、F2

分别为C的上、下焦点，过点鸟的直线/与C的上、下两支分别交于点M、N,且

怛M=则直线/的斜率为.

四、解答题（本大题共5小题）

15.如图1,在矩形N8CZ）中，AB=1,BC=C，将△BCD沿着翻折到的位

置，得到三棱锥尸-48。，且尸平面4BP,如图2所示.

(1)求证：平面/尸。_L平面/2D；

(2)求直线AB与平面BPD所成角的正弦值.

16.已知V/2C的内角43,C的对边分别为a,b,c,向量

m=(a-b,smC),n=(b+c,sinA+sin5),m/In.

⑴求A的大小；

(2)。是边BC上一点且4D平分Z8/C,若=的面积是26，求V/3C的

周长.

17.已知函数/(x)与g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且〃x)+g(无)=e'.

⑴求函数〃x)与g(x)的解析式；

⑵若对于Tfe-1,0,不等式/(左cosf)+/(e'-sinf)>0恒成立，求实数人的取值范围.

18.已知数列｛凡｝满足%+2=6。“+1-9a“(〃e%),且为=3,。2=18.

⑴证明：数列｛。用-3叫是等比数列；

(2)求数列｛%｝的通项公式；

(3)若数列的前〃项和为s,,,c,=(〃+1)［g-S,J(〃eN+),证明：数列匕｝中任

意不同的三项都不能构成等差数列.

19.法国著名数学家拉格朗日给出一个结论：若函数〃x)在闭区间以以上的图象是

一条连续不断的曲线，在开区间(％6)上都有导数，则在区间(%方)上存在实数使得

=这就是拉格朗日中值定理，其中/称为/(工)在区间上的

“拉格朗日中值”.已知函数〃x)=x3-3/+2x,g(x)=/(x)+e*-e2r,〃(x)=lnx-%x+3.

(1)利用拉格朗日中值定理求函数/(x)在［1,3］上的“拉格朗日中值”；

(2)利用拉格朗日中值定理证明：函数g(x)上任意两点连线的斜率不小于2e-l；

(3)针对函数”(x),请证明拉格朗日中值定理成立.

答案

1.【正确答案】D

【详解】命题“去€1<,/-4;(：-5<0”的否定是心€11/2-布-520,

故选：D

2.【正确答案】A

【详解】集合/={HX2-2X-8<0}={X|-2<X<4},

因为>=一一+4工一3=-(工-2『+141,所以8={y|y41},

则"8=(-2』.

故选：A.

3.【正确答案】A

【详解】因m/〃，又/ue,mtta,则〃z//(z,即“用///"是"〃z〃a”的充分条件;

当m//a,/u(z,加仁;7时，加不一定和/平行，还有可能异面，

则“冽/〃”不是“防〃。”的必要条件.则“力〃/”是“加/条”的充分不必要条件.

故选：A

4.【正确答案】C

【详解】因为awg,左eZ,所以tana/O,

4

因为。的终边过点P(tana,4),所以tana=-------,解得tana=±2,

tana

sin2a+\2sinacosa+coJa+sir?a11

------------=--------------------------------------=tana-\----1tan2a，

cos2o+l2co^a-1+122

sin2a+1八119

当tana=2时,------------=2+-+-x22

cos2a+1-------222

sin2a+1I

当tana二一2时,=-2+-+-x(-2)2

cos2a+1222

,.,ll、上sin2a+19…sin2a+11

综上所述：--——；二不或--——r=-

cos2cr+12cos2a+12

故选：C.

5.【正确答案】C

【详解】因为2=(6,g)，贝ij问=6^=20,

由平面向量数量积的定义可得鼠刃=忖卡向：=2网,

所以，*彳=1一2力+/明2-明+8=（%_彳+424,

当且仅当可=2时，等号成立，故的最小值为2.

故选：C.

6.【正确答案】B

【详解】由题意，

S2〃+4

在两个等差数列｛%｝,也｝中，前〃项和分别是工工，手=而巨，

对于一般等差数列前〃项和为二次型函数：S,=kM+bn（k,b为常数），

.•.设S"=（2〃+4）加,T“=（3n+l）kn,左为常数

S1

.a4_y_9S[9（2x7+4）・7-9

TT~77（3x9+l）-9^I"

99

故选：B.

7.【正确答案】D

【详解】连接。尸，作点P关于直线CM的对称点4，关于直线。8的对称点

连接45分别交。4,0B与前M,N,连接PM,尸N如下图所示：

M\PM\=\PXM\\PN\=\PXN\,\OP\=\OP^=\OP^=2,

此时△尸AW的周长取得最小值，其最小值为忆到的长度；

SirSir

因为扇形。的弧长为?，半径为2,所以//。5=多；

612

根据对称性可知//笔=?5兀,

0

在△6。6中，由余弦定理可得

=四2+pE,一2Pq慨|cosZ^（9^=4+4-2x2x2x,£=8+4不,

所以由间="+也.

即APAW周长的最小值是痛+J1

故选：D

8.【正确答案】B

【详解】由题意，任取再,%€（0,+8）,且占<X2，则强>1,/J->2,

X1\X1J

所以%%（玉）=力•xJ—力（再）=〃[邃]+力（西）一2—%（玉）=%—-2>0,

即A（X2）>/Z（X1）,所以函数//（%）在（0,+8）上单调递增，

由a-b=]n---------=-ln

9101

设/(x)=-ln(l-x)-x,0<x<l,

贝U/'(X)=占T=占〉0，所以函数/(X)在(°，1)上单调递增，

所以〃%)=—如(1一%)—%>〃0)=0,

则。一6二—ln[l—j^]一0,BPa>b.

,1101/D1

由a-c=\n-----tan—=In1+--tan—,

9919)9

设g(x)=ln(l+x)—tanx,0<x<l,则g'(x)=y^---------^―,

因为0<x<l,所以0<cosx<l,贝I」———>1,

cosX

而l<x+l<2,贝!J—<<1,

2x+1

所以g'（x）=J---------=<0，则函数g（x）在（0,1）上单调递减，

14-XCOSX

所以g（x）=ln（l+x）-tanx<g（O）=O,

贝a—c=ln[l+§]—tan—<0,即a<c.

综上所述，c>a>b>0,

又函数〃（x）在（0,+s）上单调递增，则”（。）>〃（。）>/7伍）.

故选：B.

9.【正确答案】BD

【详解】因为0.1+0.2+50。+0.2+0.15+0.1=1,所以a=0.005,

对于A,所以消费金额在口00,150）内的顾客约有50ax600=150人，A选项错误;

对于B,样本中消费金额的平均数是

0.1x25+0.2x75+0.25x125+0.2x175+0.15x225+0.1x275=145元，B选项正确；

对于C,设消费金额的中位数是前二组的频率和为0.1+0.2<0.5,前三组的频率和

为0.1+0.2+0.25>05,

所以才在第三组，所以0.1+0.2+t-100）x0.005=0.5,所以上140元，C选项错误；

对于D,第1组频率，第2组频率分别为0.1。2,所以从样本的第1,2组中用比例

分配的分层随机抽样方法抽取6人，第1组抽2人，第2组抽4人，

所以从这6人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人的消费金额都不少于50

「2£2

元的概率是尸=1=正j,D选项正确.

故选：BD.

10.【正确答案】ABD

【详解】由图可得/=2,&=2*信与=2n。=兀,

co133J

7ix—+69=71+2kn,keZn(p=A2knJeeZ,因〈二，取左=0=＞。=工，

3323

r_L十，兀4兀

对于A,。+9=兀+—=—故A正确;

33

对于B,/(x)=2sin(7ix+y

gp/(l-x)=/fx-|j,故B正确;

7T£

对于C,令/(x)=2sin3+§)=l

2

冗冗57r1I

=^>7LX+—=——b2而或——+2左兀,得％=——+2左或x=—+2k,其中％EZ,

36662

分别取左=0,1,得〃尤）=1相邻的三个根为一二月，

626

11?

则相邻根的差值即“X）的图象与直线>=1的相邻两交点间的距离为:+：=:或

263

1114

故C错误；

623

兀=2sin[%tx卫]

对于/(x-1)=2sin

D,V3J

2兀

=2sin---7lX=-2sin\nx—,

、3[3.

D正确.

11.【正确答案】ABD

【详解】对于A,根据余弦定理，叱状L=则

・R6

sinB=——,

2

如图，过点A作垂足为£,

所以L3C./E=LA8.8CsinBnLx5x/£=Lx3x5x9n/£=+,

222222

因为直三棱柱ABC-A^Q,所以四棱锥4-8CC4的高为/£,

所以叱BCCB=~sBCCB-AE=-x5-AA,x^-=i^^^AA.=-,故A正确；

d]-z>3oz>vV|Z>]3i23i3

对于B,设三棱柱/BC-4耳G的外接球的球心为O,半径为分别为上底面和下底

面外接圆的圆心，则4D为V/3C外接圆的半径，如上图,

Ar77

r।2208兀252---------=2ADn—j=~=2ADnAD=-j=

则4位2=丁nA2=§,sin/B36,

T

所以==所以/4=2°。=2,

所以三棱柱48C-48c的侧面积为(3+5+7)x2=30,故B正确；

,JL一也

对于C,因为V/8C内切圆的半径为，—2s_2X2X2_^3,

f———

a+b+c3+5+72

又因为441=2>2.，所以三棱柱4G能容纳的最大的内切球的半径为巨，则

2

棱长为。的正方体能整体放入此容器且可自由转动，

则棱长最大的正方体恰好是直径为g的球的内接正方体，则V3a<V3,.\a<l,

则。的最大值为1,故C错误；

对于D,在平面N8C内作/〃_L3C,垂足为〃，由A的分析可知“落在C8的延长

线上，

且/H=A8・sinq=—,BH=AB-cos-=-,

3232

由于_L平面NBC,/Hu平面故

又BCcBB\=B、BC64u平面BCCR,故犯，平面BCCXBX,

刊7<=平面8。。用,故必，尸〃，而/p=哈，故PH7Ap2-AH?=3,

又必=4,故尸点轨迹为以〃为圆心，3为半径的圆在四边形BCC圈内（含边界）

的圆弧MN,

在R3NHB中，cosZNHB=—=~,则=工，

NH23

TT

故弧儿W的长为；'3=兀，即点P的轨迹长度为兀，故D正确；

故选：ABD

12.【正确答案】1

【详解】由题意，

-4-44（2-3i）8-12i8-12i812.

在z=-------中.z=--------=-------------------=--------=--------=----——1

2+3i2+3i（2+3i）（2-3i）4-9i2131313

故I.

13.【正确答案】9

【详解】因为随机变量正数出人满足尸卜臼=尸26）,

有对称性可知+=BPa+26=1,

2l2J4

叱-(44ba+b】

所以力4+1=［力+.1Y(“+2…3=(〔.4+"1(Y“+"737=X44+力+—+1

〃+空；

>5+2,469

a+bb

当且仅当々=乎，即a=6二时，等号成立.

a+bb3

故9

14.【正确答案】土巫

3

22

【详解】因为实轴长为4的双曲线C:%-1r=1（。>0,6>0）的渐近线为x±囱y=O,

2。=4

a=222

则工—叵解得所以，双曲线C的方程为匕一土=1,

b=Ti412

H

C=JQ2+/-54+12=4，

如下图所示:

设寓M=|耳初二",由双曲线的定义可得国N|-内的=八-隹N|=2a,则

=m-2a=m-4,

\F2M\—\FXM\=\F2M\—m=2a,所以，|7^Af|=m+2a=m+4f

所以，\MN\=\F2M\-\F2N\=(m+2a)-(m-2a)=4a=S,

出闾，上

由余弦定理可得cos/F[F2M=

2|甲讣2版叫刊

64+(m-4)2-m264+(m+4f—m2

u\以，7r—77解得加=2^/10,

2x8x(加一4)2x8x(m+4)

64+(m-4)-m80-8m10-m_io_yib

所以，COSZF,FM=-----------7---r—=-7----7；----7

22x8x(加一4)16(加一⑷4加一⑷2(2V10-4)

4(Vw-2)4

所以，sin/月与“=正cos2NF遥M=手

TT

当直线/的倾斜角e为锐角时，则

Sm*gM

sin。COSZFFMy[T04广5

所以，tand=X2

cossinZF^M

。cosFEM

此时，直线/的斜率为姮;

3

当直线/的倾斜角为钝角时，由对称性可知，直线/的斜率为-至

3

综上所述，直线/的斜率为土巫.

3

故答案为.土妪

3

15.【正确答案】(1)证明见详解

【详解】(1)因为尸Z)_L平面48尸，48,4Pu平面/8P,可得尸。_1_48,PDLAP,

由题意可知：AD1AB,且尸。P0,4Du平面尸40,

可得4B_L平面尸由48u平面所以平面APZ)_L平面/8D

(2)由题意可知：AB=PD=1,AD=PB=®AP=NAD5D?=6,

设点A到平面3尸。的距离为d,

因为噎j，Bp16?x|xlxV3=^xlx^xlxV2,解得心四，

32323

巫

所以直线与平面所成角的正弦值为色二三二

AB~13

16.【正确答案】(1)丁

(2)6+277

【详解】(1)由加=(a—b,sinC),〃=(6+c,sin24+sinB),mlIn，

可得(a-9(sin4+sin5)=sinC(Z?+c),

再由三角形正弦定理角化边得：伍-»(a+b)=c(b+c),

整理得：a2-b2=c2+beb2+c2-a2=—be,

再由余弦定理得：cosN=、+。",=3=」,

2bc2bc2

又因为440,兀)，所以Z=g.

(2)

_27r4

因为4。平分/A4C,^4=—,AD=—,

ffftU-xbex^-=—x--cx-^+—xZ>-,化简得：~^c=c+b,

222322324

又由V45。的面积是2JJ,则=26,解得：be=8,

22

~3

所以6+c=—be=6,

4

又由余弦定理得：a2=〃+c2-26ccos/=(Z)+c『-2bc-2bc(-g]=36-16+8=28,

所以°=2旨，即三角形的周长是6+2g.

17.【正确答案】(l)/(x)=%(e'-ef)；g(x)=；(e，+eT)

⑵(T+8)

【详解】(1)由/(x)+g(x)=e，①，可得/(-x)+g(-x)=eT,所以

-/(尤)+g(尤)=e-£②，

①一②可得2f(x)=e，-,所以/(x)=1(eI-e-i),

①+②可得2g(x)=efJ,所以g(x)=；(e工+尸)；

(2)由(1)知〃x)=g(e—e-，),所以/(x)在R上单调递增，

由/(A:cosZ)+/(e'—sin’>0,得/(左cos。〉—/(e’—sin£)=/(—e'+sin。，

所以《cost>一e'+sin，，

当”号时，o./>-e^-r不等式恒成立，

当时，cosf>0,所以不等式变形为6>-e'+sm'

I2」cos.

一'e+sint所以“⑺_(4+cos"cost一(-d+sin1)Gsint)_一e'cosf-e'sinf+1

令h(t)=

cos.cos21cos21

令=-ezcos^-ezsin/+1,求导得“«)=-e'cos/+e'sin/-ezsint-elcost=-2elcost,

因为可啖0，所以d（/）<0，所以夕0在信,0上单调递减,

所以夕(。2研0)=-e°cos0-e°sin0+1=0,

所以所以帕）=山皿在Jt，o］上单调递增，所以

costI2_

-e°+sin01

恤)max=〃(。)=---------=-1，

cosO

因为对于-p0,不等式/（丘。5。+小-回>0恒成立，所以心阳而=-1，

所以实数上的取值范围为（-1,+⑹.

18.【正确答案】（1）证明见解析；

（2）«„="-3"

（3）证明见解析.

【详解】（1）证明：因氏+2=6%+i-9a”（"eN+）,

则％,+2-3%+i=3a„+1-9a„=3（a„+1-3（z„）,

则｛。向-3%｝是以g-3%=9为首项，公比为3的等比数列；

（2）由（1），5-S'"』畀，=1,

则仔｝是以?=1为首项，公差为1的等差数列，贝庠=l+（l）n4=〃3；

,2%+3用2n-3"+3"+I11

tl(?)---------------=-----------------------=------------------------------

2W+1w+1

anan+lH(H+1)-3小3〃(«+l)-3

11111111

----------—।—-----------—|—...—----------------------------

1x312x322x323x23n-3"(n+l)-3,,+13(«+l)-3"+1"

则c„=(w+l)f|-S,J=(«+l)：1]1

3'(〃+>3阳3+i

证明：假设数列｛qj中存在不同的三项能构成等差数歹h

设这三项项数为〃?’力〃.其中m,t,MeN,,

则〃一，21,n-m>2,t-m>1,

__1____1__=11n_^n-m_1_^n-t,_^n-t,_-yn-m_i

3，+lyn+\3〃+l3/+IJ—l—J-N、P—3—1.

设〃-f=xNLt-m=a>i,贝Ij〃一〃7=〃一，+/一加=x+a,

得2.3”，-3"r”=23-y+a=(2-3a)3\

注意至3a23n2-3“V-l,无21-3*23,

则2.y-'-y-m=2-3工-3A+a=(2-3a)3A<-3.

这与2・3"T-3"F=1矛盾，则数列｛g｝中不存在不同的三项能构成等差数列.

19.【正确答案】(1”=3+2〉

3

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【详解】(1)由题，/(3)—/⑴=八*3—1)=八'=」⑶J⑴,

因/'(x)=3f—6x+2,/(3)=6,/(1)=0,

贝U3r-6%+2=3=>/_3+2A/3(负值舍去)；

3

(2)由,g(x)=/—3%2+2x+ex—e2x=>g，(%)=3x2—6x+2+e'+e?,

设P(%)—312-6x+2+e"+e2-x=>p(%)=6x-6+e"-e2r,

设m(x)=6x-6+ex—e2r=>冽'(x)=6+e"+e2r>0,

则加(x)="(x)在H上单调递增，注意至!J夕'⑴=0,

则当％>1=；/(%)>0=>2(％)=g，(x)在(1,+8)上单调递增，

%<1=>//(%)<Onp(%)=g'(%)在(-8,1)上单调递减,

则g'ULng'⑴=2e-l,

设函数g(尤)上任意两点为(a,g(a)),(6,g(6)),

则函数g(x)上任意两