2024-2025学年北师大版高二数学同步训练：双曲线中6类题型训练（解析版）

重难点02双曲线专题训练

01思维导图

02题型精练

题型01双曲线的定义应用

1.（23-24高二上•江西•期中）若N分别是双曲线C：/-9=1的右支和圆。：（x-5）2+（y-l）2=1±

的动点，且尸是双曲线C的右焦点，贝+列的最小值为（）

A.5A/2-3B.572-2C.3V2-2D.372-1

【答案】A

【详解】圆。：（x-5）2+（y-l）2=l的圆心。（5,1）,半径厂=1,

2_________

双曲线C：x~—^~=1则a=l,b=V3'c=-\la2+b2=2,

设左焦点为耳（-2,0）,则|孙|-|MF|=2a=2,^\MF\=\MFt\-2,

所以|W|+pWF|=pW|+|MFj-2N|s|-3=J（5+2）2+12-3=5五-3,

当且仅当M、N在线段。片与双曲线右支、圆的交点时取等号.

故选：A

2.（24-25高二下•上海•期中）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三

角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”.如图一直角三角形4BC的“勾”“股”分别为6,8,以48所在的直线

为x轴，N2的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以4,B为焦点、,且过点C的双曲线方程为.

24

【详解】依题意，双曲线焦点在x轴上，焦距2c=|/同=10,即c=5,

实轴长2a=—忸C||=8_6=2,即q=l,

于是虚半轴长6=-a2=2^/6，

2

所以所求双曲线方程为--匕=1.

24

故答案为：x2-^=l

24

3.（23-24高二上•四川成都•期中）已知圆M：卜+石『+/=9的圆心为M圆N：k-退了+/=1的圆

心为N,一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心£的轨迹为曲线C.

（1）证明：曲线C为双曲线的一支；

（2）已知点尸（2,0）,不经过点尸的直线/与曲线C交于4,8两点，且强.方=o.直线/是否过定点？若过

定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析

（2）直线/恒过定点，件0）

【详解】⑴证明：由题意知圆环卜+石丁+了2=9的圆心为“（-百0）,圆N：［-君）'+必=1的圆

心为N（瓜0）

如图，设圆E的圆心为£（%/）,半径为尸,

由题可得圆M半径为3,圆N半径为1,则|EA/|=r+3,|W|=r-l,

所以|我/0|-|七双|=4<|亚亚|=26，

由双曲线定义可知，£的轨迹是以“，N为焦点、实轴长为4的双曲线的右支

2

又M（-行,0）,N（石,0）,所以动圆的圆心E的轨迹方程为》-y=1,（X22）,

（2）设直线/的方程为％=即+/,

设/(再，必)，B(X2,y2),其中占22,x2>2,

由韦达定理得：%+%=年，，乂%=勺=，

又点尸(2,0),所以西=(再-2,乂)，丽=(马-2,力)，

因为莎・丽=0，所以(国-2)(x2-2)+弘%=。，

则(w%+1-2)(研+f-2)+乂%=(苏+1)%%+(mt-2Moi+%)+«-2)2

(m2+1)(/2-4)-2mt(mt-2m)+(t-2)\m2-4)

=-----------------------------j-------------------------------=0n>

m—4

即3/一16，+20=0,解得£=与(/=2舍去)，

当"半，直线/的方程为1=利X+半，冽w±1,

332

故直线/恒过点,0).

题型02双曲线的标准方程满足的条件

22

1.（23-24高二上•广东湛江•期中）（多选）已知曲线C的方程为工+二二=1（加eR）,则（）

A.当冽=2时，曲线C为圆

B.当加=7时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y=

C.当机＞2时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆

D.当加=7时，曲线C为双曲线，其焦距为

【答案】AB

【详解】对于A：当m=2时，曲线C的方程为/+/=3,表示圆心为坐标原点，半径为石的圆，故A正

确；

对于B：当小=7时，曲线C的方程为4-三=1,表示焦点在x轴上的双曲线，其渐近线方程为y=±：x,

822

故B正确；

对于C：当加=7时满足机＞2,曲线C的方程为工-片=1,表示焦点在x轴上的双曲线，故C不正确；

82

对于D：当加=7时，曲线C的方程为日-亡=1,表示焦点在x轴上的双曲线，其焦距为2所，故D不正

82

确.

22

2.（23-24高二上•广东中山•期中）（多选）已知曲线+-匚=1,下列说法正确的是（）

6+加3—加

A.曲线£可以表不圆

B.当加=6时，曲线为双曲线，渐近线为〉=±2x

C.若E表示双曲线，则m＜-6或加＞3

D.若E表示椭圆，则一6〈加＜3

【答案】AC

3Y2v2

【详解】若6+加=3-加〉0,即加=一彳时，曲线----+——=1表示圆，A正确；

26+m3—加

221

当加=6时，有一弓_=1表示双曲线，其渐近线方程为尸土寸，B不正确；

若E表示双曲线，则有（6+加乂3-加）＜0,即机＞3或加＜-6,C正确；

6+m＞0

3

右E表示椭圆，则＜3-加〉0,解得一6＜相＜3且加W—/,D不正确.

6+mw3-加

故选：AC

22

3.（23-24高二上•山东烟台・期末）（多选）已知曲线「：—+^^=1（加©R），则（）

\-m3+加

A.「可能是等轴双曲线

B.若「表示焦点在了轴上的椭圆，贝卜1＜，”＜1

C.「可能是半径为0的圆

D.若「表示焦点在x轴上的双曲线，则旭＜-3

【答案】BCD

【详解】对于A,若r是等轴双曲线，则1-优+3+小=0,显然不成立，故A错误；

对于B,:T表示焦点在y轴上的椭圆，

贝1|3+%＞1-加＞0,解得-1＜加＜1,故B正确；

对于C,「是圆，贝IJ3+7〃=1-机＞0,解得加=-1,半径为正，故C正确；

_Pl-m＞0

对于D,「表示焦点在x轴上的双曲线，则。A，

解得加＜-3,故D正确.

故选：BCD.

题型03焦点三角形

1.（2024•辽宁•二模）己知双曲线。：［-4=1（。＞0/＞0）的左焦点为尸，渐近线方程为广土心焦距为8,点

ab

A的坐标为（1,3）,点尸为C的右支上的一点，则忸用+|尸园的最小值为（）

A.4V2+2V5B.672C.7&D.472+710

【答案】C

【详解】如图所示

记C的右焦点为耳，即耳（4,0）,

由双曲线的定义，得|「加一|P印=20=4点，即|P尸|=4及+|P耳|

所以|尸尸|+|尸4|=4亚+|P^|+|pf]|>4V2+|/耳34亚+^（1-4）2+（3-0）2=772,

当且仅当点尸在线段4月上时等号成立，

所以户尸|+|尸』的最小值为7vL

故选：C.

丫2v2

2.（23-24高二上•福建福州•期中）已知片，鸟分别为双曲线。：/3=1（。>0,6>0）的左、右焦点，过£的直线

与双曲线C的左支交于45两点，若可耳|=2国同=4,以理=忸叫,则双曲线C的焦距为（）

A.B.C.—D.273

332

【答案】B

【详解】如图，由于|Z4|=2闺:=于|/却=忸阊,

有2°=忸瑞卜忸周=6-2=4,可得a=2,

又由H闾=|/4|+2a,可得心|=8,设，="寿，

在村鸟中，由余弦定理有cos/5耳月=4+4c?-36=4c?-32—4.

2x2x2c8c2c

在中，由余弦定理有cos//片耳=16+4/—64t4c2—48.《工.

122x4x2c16c4c

又由/BF[F?+NAFR=兀，有cos/BRF?+cos//耳g=0,

可得4+J^=0,解得C）野，所以双曲线c的焦距为如H.

3.（23-24高二上•江苏盐城•期中）已知丹外是双曲线C:%-方=1（。>0,6>0）的左、右焦点，经过点耳

的直线与双曲线C的左、右两支分别交于43两点，若以公|=2a,S“帙=46力，则双曲线C的离心率为

（）

A.V3B.V7C.叵D.且

33

【答案】B

AF=2a

X]/刃=4。

【详解】由题意可知：，鸟-\AF=2a

4X可得H=Rr

BF\-\BF2=（|/|+|明）-忸闾=2〃

取Ng的中点。，连接AD,可知

因为邑座=；x4ax忸必=4辰2,可得忸。|=2退%

则|48|=忸可=叫2=“2。1+QGaJ=4a,

ni^cosZFtAF2=-cosZBAF2=--=~=-^,

在△阳月中，由余弦定理可得山巴「=|/耳『+|4?球-2|/耳口/月|405/片4乙,

即4c②=4/+16/-2x2ax4ax（-g）,整理得c?=7〃，

所以双曲线C的离心率为e=F=J7.

故选：B.

4.（23-24高二上•上海静安・期末）已知点P是双曲线"-亡=1右支上的一点，点48分别是圆

1620

（x+6>+y2=4和圆（x-6y+y2=i上的点.则包卜|尸耳的最小值为（）

A.3B.5C.7D.9

【答案】B

22

【详解】由双曲线巳-与=1可知a=4,6=2右,c=J7而=6，

且圆（x+6>+/=4的圆心为片（一6,0）,半径。=2,

（x-6y+V=l的圆心为耳（6,0）,半径4=1,

事的性质可知：|尸⑷2|尸图-/=|尸耳|-2,|即4|尸阊+4=|%|+1,

■射-网乂陷|-2）一（熙|+1）=陷卜质卜3,

可知片（-6,0）,乙（6,0）为双曲线的焦点，则|尸耳卜|尸闾=2.=8,

可得|尸/|-|尸8以尸耳卜|尸阊-3=5,

所以|尸/|-|尸耳的最小值为5.

故选：B.

5.（23-24高二上•上海•期中）设耳、片为双曲线「：与一.=1左、右焦点，点M在「的右支上，线段可”

与「的左支相交于点N,且W周=pW|,则闺N|=.

【答案】3

【详解】因为点M在「的右支上，片、鸟为双曲线r左、右焦点,

3

所以|出|-|四|=2、5=3,

X|A^|=|TW|+|7W<|,\MF2\=\MN\,

所以阳M=|町|一|5|=3.

故答案为：3.

22

6.（23-24高二上•福建厦门•期中）已知双曲线E:企-3=1（。>08>0）的左、右焦点分别为耳，月，过点

网的直线与双曲线E的右支交于A,B两点，若a=|/片|,且双曲线E的离心率为0,则cosNBAK=.

【答案】—

o

【详解】由双曲线E的离心率为0,得双曲线半焦距c=V^a，又|工目=|/周，

则忸居|=|48|-|4名|=|必卜|/月|=2a,由双曲线的定义得忸周一忸周=|明卜2a=2°,

于是忸周=4。=2忸闻，

4/+8/-16/_也

在△阳月中，由余弦定理得cosNBFE=幽：/一一用

2\BF2y\FxF2\2x2ax2y[2a4

6

在△片鸟中，,设|力巴卜加，贝胤=机+〃，

4cosAFXF2A=-cosAFXF2B=1][42

由|/片「=|耳闾2+M引2—2闺闾M典cos/4马/得

62

(2a+m)2=(2y/2a)2+m2—2-2y/2a-m-,解得加=§Q,即|/周=§

2

64/64(2“2

一-|Z片「+|/5「一忸川2------+---------16a

所以cos/BAFi=J-~―!—L-99

AFABcSaSa

A\'\\2x——x——8

33

题型04双曲线的渐近线

I.（23-24高二上•湖北恩施•期中）已知双曲线E:[-马=1（。>0,6>0）的一条渐近线方程是k2x,则£

ab

的离心率是（）

A.-B.且C.5D.V5

22

【答案】B

【详解】因双曲线£：5-"=1（。>0,6>0）的一条渐近线方程为y=3,

依题意，£=2,则其离心率为e=：=Jt^=/+（3=Jl+（gj=等.

故选：B.

22

2.（23-24高二上・江苏南京•期末）已知双曲线C：三-5=1（。>0,6>0）的左、右焦点分别占，F2.A

ab

是C上一点（在第一象限），直线/工与轴〉交于点8,若/片，班;，且3Mgi=2E同，则C的渐近线方程

为（）

A.y=±2/xB.y=±^-xC.y=±^-xD.y=+45x

525

【答案】A

【详解】如图:

O

m\

'B

97

设怛周=加，则怛周=加，因为3|4用=2人同，所以以闾=：机根据双曲线的定义：\AF^=^m+2a,

因为/片,8月，由勾股定理得：（I加+2aJ=（加-3矶加+。）=0,所以加=3°.

所以：忸匐=3.,|24|=2a,|/周=4°.

作「+闺阊2|典（3〃+。2

在中，COSZAFF=

}22|/耳|•闺巴|4ac

飞9a之02

在△。45中，cos/OBF]=

3a

因为NZ片巴+/m0=90。，NBFQ+NOBFi=90。,所以44片玛=/。8片，

从而cosNA%=cos/OBF1,即生土巨=迎二巨n（9/_5^丫=0n9/=5c?,

4QC3av7

所以9/=5（/+/）=[=3n"垣，

所以双曲线渐近线的方程为：了=±2叵x.

5

故选：A

22

3.（23-24高二上・浙江•期中）已知双曲线C：三一鼻=1（。＞0,6＞0）的左、右焦点分别为耳，耳，点。在C

ab

的右支上，凿与c的一条渐近线平行，交c的另一条渐近线于点P,若。。〃尸片，则C的离心率为（）

A.V2B.V3C.2D.V5

【答案】A

【详解】令&（c,0），由对称性，不妨设直线型的方程为＞=，（x-c）,

,_一（

由\11，解得％二:,产牛h即点尸的坐标为:,一h-\，

b22av22a）

y=——x

、a

（3cbe）

由。为片耳的中点，OQ"PF\,得。为桃的中点，则点。的坐标为二厂厂，

V44aJ

o2h2r2

代入双曲线的方程，有r*-泻s=l,

16。16ab

C2

即，=2〃，彳=2,

a

解得八板，所以双曲线。的离心率为

故选：A

22

4.（23-24高二上•浙江衢州•期中）（多选）已知尸是双曲线上-2=1的右焦点，P为其左支上一点，点

45

4（0,-6）,则（）

A.双曲线的焦距为6

B.点尸到渐近线的距离为2

C.阳|+|产肉的最小值为3石+4

D.若|尸耳=8,则△。尸尸的面积为3而

【答案】AC

【详解】如图：

22

由双曲线的标准方程q=l,可知“=2,6=右，所以°=而寿=3,所以双曲线的焦距为:

2。=6,故A正确；

双曲线的渐近线为y=±[x,即氐±2y=0,点/（3,0）到渐近线的距离为：

d=-y-=V5,故B错误；

V5+4

设双曲线的左焦点为尸，根据双曲线的定义：|尸盟-|尸尸|=4,

所以+|尸川=|尸/|+|尸尸［+4./尸|+4=历方+4=3石+4,故C正确;

在APET中，由|尸刊=8,忸/［=8-4=4,|F"|=6,

\PF^+\PF'2-\FF'f64+16-3664+16-36_11

由余弦定理得:cosAFPF'=

2|尸尸卜尸尸［2x8x42x8x416

所以sin/FPF=X^5

16

所以Sw=Lx8x4x理5=3岳，所以5郎=!$郎,=鱼5,故D错误.

故选：AC

22

5.(23-24高二上•安徽合肥•期中)已知双曲线二-2=1(a>0,b>0)的右焦点为尸，经过点尸作直线

a'b'

/与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为点直线/与双曲线的另一条渐近线相交于点N,若

MN=iMF,则双曲线的离心率e=.

【答案】巫

3

【详解】易知尸9易),如图，由对称性不妨设直线河:卬=x-c(/<0),M(X”J(%>0),N(X2，%),

二一匕=0

21

由“ab,消x得到（6,/+2g-fcy+厅c?=0,

ty=x-c

2b-tcb2c2

则%+%=一，%力=

b2t2-a2b2t2-a2

因为痂=3标，所以H-%，%-%)=3(c-无］,-%)，得到%-必=-3乂，即％=-2%,

将—代入%+%=一^^,小=^7整理得到9/r=/,

又易知，=-2,所以9〃(_2)2=°2,得到3〃=/即冷

故答案：竽

22

6.（23-24高二上•四川南充•期中）若厂（c,0）是双曲线1一3=1（°>6>0）的右焦点，过厂作该双曲线的

ab

一条渐近线的垂线与两条渐近线交于48两点，。为坐标原点，A048的面积为26。2,则该双曲线的离心

率为.

【答案】叵

2

22r

【详解】因为双曲线三-5=1（。>6>0）的渐近线为y=±9x,

aba

不妨设过尸作一条渐近线垂直的垂线垂直于y=（即，如图，

又|叫=C,所以|0同=J|0歼一忸歼=Jc2_°2=q,

因为A04B的面积为2百片,

所以;103H48|=23/,即;用=2点?,所以以同=4届,

设渐近线y=的倾斜角为小0<0<g],所以tan20=当=4百,

aV1JOD

叫"=46解得tane巧，即/亭

故答案为：4-

22

7.（23-24高二上•河南•期中）已知双曲线。：5-2=1（。>0,6>0）的右焦点为R过尸作直线分别与

ab

双曲线的两渐近线相交于N,8两点，且O4-AF=0>~BF=,3AF,则该双曲线的离心率为.

【答案】拒

【详解】双曲线的右焦点为尸（。,0）,渐近线方程为bx±ay=0,

bebe7

F到渐近线的距离/产二-=b,

耳+〃c

\OF\=c,\AF\=b,\0A\=a,

BF=3AF,\AB\^2\AF\=2b,

2b

Q77---

tanNZQB=—,tanZFOA=—,tan2ZFCM=---------

由ZAOB+2ZF0A=兀，有AOB+tan2/FOB=0,

解得化]=2,则有==之贵=3,所以离心率e=3=5

ya）a2a2a

故答案为：V3.

题型05双曲线的离心率

1.（23-24高二上•云南•期中）已知双曲线C:1-与=1（°>0,6>0）的右焦点为尸，左、右顶点分别为

ab

4,4，力Fx轴于点尸，且丽=2/.当N4Q4最大时，点P恰好在C上，则C的离心率为（）

A.咨B.V3C.2D.V5

2

【答案】D

【详解】由题可得4（-。，0），4（。，0），设尸（c,o）

因为尸尸lx轴，且丽=2诬，所以。为尸尸中点，PF工A[F,

设|。刊=〃，则户刊=23可得tan//©尸=*,tanN4O尸=—，

hh.

所以tanZArQA2=tan（ZAtQF-ZA2QF）

tanN&QF-tanZA2QF

1+tan/-AyQF-tanNA?QF

c+ac—a

hh2a

22当且仅当访时等号成立,

1c+ac-a7c—a=b

l+--------------h+--------

hhh

即访=b时，取得最大值，即/4Q4最大,

此时可得P（c,2b）,代入双曲线方程得，《一学=1,即/=5,贝卜=石,

故选：D.

22

2.（23-24高二上•湖南•期中）双曲线C:二-2=1的左、右焦点分别为耳片，。为坐标原点，尸为双曲线右

ab

支上的一点，连接咫交左支于点0.若|%|=|尸。|,且S△盟B=6S^。时,则双曲线的离心率为（）

A.2B.41C.3D.273

【答案】B

【详解】如图所示，

由双曲线的定义可知：尸耳日巡|=|尸0|+|°4|-|尸阊=2"，

所以耳|=2。，又有|。闾=2.+|。耳|=4a,因为S△碉玛=6/0相，

；sin/P耳巴.|巴讣|耳玛|2|尸川

即手1------------------------------=-jTTi=6

-smZPF^^QF^OF]I。嵋

所以|尸。|=24|=4a,则APQF?为等边三角形，有质=y,

由余弦定理可得:

1尸片-店工『36a2+16>_4C2

解得e=

2-2阀明-48a^V7.

故选：B

22

3.（23-24高二上•广东•期中）已知双曲线C：1-与=1（。>0,6>0）的左、右焦点分别为耳，耳,

ab

过耳的直线分别交双曲线左、右两支于N、8两点，点C在x轴上，CB=4F\A,BF2平分NKBC,则双曲

线C的离心率为（）

A.班B.—C.V?D.

333

【答案】B

【详解】因为无=4限，则C8IIaN,所以△耳48~A£8C,

设出刃=2c,则/C|=6c,

设I/1=才,则I/1=4%,|AB|=3t,

\BEI\EFI2c1

因为生平分N^BC,由角平分线定理可知岛=曰焉,=丁=[

所以|BC|=3|期|=12f,

所以|/月|=||SC|=3G

由双曲线定义知MKH4用=2。，贝l]3/-/=2a,则

所以忸耳|=4?=4a,

又由|他\-\BF2|=2a,可得|=|BFX|-2a=4a-2a=2a,

所以|Z8|=3〃,\BF2\=2af\AF2\=3a,

_|/5F+|陷|2_|盟|2_9q2+4q2_9q2_』

在月中,由余弦定理知cos//HB

—21ABHBF21_2x3ax2〃-3

出与『+|尸片用『

2212T16a2+4a2-4c21

在△片5月中，由余弦定理知cosN6=

2|明H聪I2x46zx2(73

化简得11/=3°2,解得e=叵.

3

故选：B.

22

4.（23-24高二上•山东烟台・期中）已知双曲线C：鼻-4=1（。>0，b>0）的左、右焦点分别为£,

ab

F],过点4作直线/与C交于两点48（点8在第一象限），线段NB的垂直平分线过点用，点外到直线

/的距离为2百°,则C的离心率为（）

A.V5B.V6C.V7D.2&

【答案】C

【详解】解：设双曲线的半焦距为c,c>0,

—__忸闾1=|1/闾，根据题意得至小纳H8引=2a,

又卜阊一|/耳|=怛闾一|/耳|=2°,

故|48|=|明卜周=4”,设48的中点为C,

在中，|Cg|=2Ga,\AC\=2a,

故卜《（2af+（2底）2=4a，

则HR=2a,|。々|=4°,

根据|C与『+|5『=|片司2,

可知（4a）2+Q拒a?=（2c）2,

故28/=4C2,可得e='=V7.

a

故选：c.

22

5.（23-24高二上•上海浦东新•期中）已知双曲线与-白=1（。>0,6>0）的焦点分别为石、石，M为双曲线

ab

上一点，若乙镇陷=与，OM=^-b,则双曲线的离心率为.

【答案】立

2

【详解】不妨设点M在第一象限，设|西|=小|叫|=2，又/邛明=年，

所以雇「=|叫『+般「_2防“历与=/+「2廖'£|

=r\+r2+4G=（0-G）2+33=4Q2+33=4c2,

所以4〃=3八G,

因为。为百区的中点，所以标=g(丽+丽)，即2流=砺+丽,

所以加炳+双可=MF^

42=(+2MFX-MF2+MF?

2/\2.28〃

2=rr2

=rx-。4+qy\~2)+04=4〃+。4=---,

所以4/+&〃=也，即4/=8〃，即/=262=202一24

33

所以3/=2",则二=逅.

a2

故答案为：好.

2

2222

6.(23-24高二上•上海•期中)已知椭圆M：F+与=l(a>b>0),双曲线N:j-4=1(加>0,”>0).设椭圆

abnTn

M两个焦点分别为《，耳，椭圆M的离心率为q,双曲线N的离心率为e2,记双曲线N的一条渐近线与椭

圆M的一个交点为P,若尸片，质且闺用=2］蜀，则旦的值为.

e2

【答案】叵1

2

22

【详解】如图所示，椭圆河:二+当■=l(a>6>0),

a"b"

因为尸片，尸片』与鸟\=2\PF］\=2c,

所以|尸鸟|=G|尸耳|=6c，

又因为|尸居|+|期|=2a,

所以2a=(1+G)c,

故［:占fj

双曲线N：W—4=1(加>0,〃>0)的一条渐近线设为y='x,

mnm

即/「。片=乌，故己=1211巴=6,

3m3

所以双曲线离心率e?=’（彳）2+1=2,

所以且=*L.

e22

故答案为：3二1

22

7.（23-24高二上•内蒙古通辽•期中）己知。为坐标原点，尸为双曲线C：、一方=1色＞0）的左焦点，直

线二船与C交于48两点（点N在第一象限），若司，且|/司•怛巴=2,则C的离心率为.

【答案】空

3

【详解】设双曲线右焦点为8（c,0）,连接

由对称性可知，|/周=忸川，］。8H。刊，3H°a，

因为|。4|=|。刊，所以|。用=|。制=|。4|=|。四，故四边形如吆鸟为矩形，AF21AF,

因为H对忸可=2,所以|/尸卜|/阊=2,

由双曲线定义可得|/司-|=2a=2君，

由勾股定理得|回+|盟『=|为用2=倡历可=12+4",

由题意得（H尸］一|/巴|丫+2a司..可=|/歼+日月「，

即12+4=12+4〃，解得〃=i,

故H=3+〃=4,解得c=2,

故答案为：当

题型06直线与双曲线的位置关系

1.（23-24高二上・甘肃・期末）过双曲线C：S-£=l（a>0,b>0）的左焦点片作斜率为2的直线/交C于",N

两点.若说=3布，则双曲线的离心率为（）

A.3B.2C.41D.中

【答案】D

【详解】设M（XQ］）,N（X2，”），由西=3不，得m=一3%,

设直线/的方程为x=gy-c,

/一…消去x,得（J-/

由，y2-cb2y+b2c2-a2b2=0,

1

x=-y-c

29

cb2b2c2-a2b2

由根与系数的关系，得“+%=庐一，%为=

b2

------u,2-----a,2

44

cb2b2c2-a2b2

所以一2%

b2b2

------a2-----a,2

44

、2

cb2b2c2-a2b2T.1

所以-3x」，化简得一/2

4b2b2

------a,2------a,2

474

所以-3。2=。2-44,得4c2=5/

所以e2=3,可得e=@

42

£-/=1的左、右焦点，过耳的直线

2.（23-24高二上•江苏南通•期中）（多选）已知斗鸟为双曲线C：

交双曲线C右支于P,0两点，则下列叙述正确的是()

A.若|尸。|=26，则△尸片。的周长为8。B.弦尸。长的最小值为T

C.点尸到两渐近线的距离之积为aD.点尸与直线X-岛+2=0距离的最小值为1

【答案】ABC

【详解】

如图，4(-2,0),且(2,0)双曲线的渐近线方程为x土岛=0.

对于A项，因|尸号-|相|=|。玛-|。冷=26,又|尸0|=26，

则△尸片0的周长为\PFt+|Q用+|P0|=|尸同+2道+\QF2\+2代+|P0|

=4百+2|P0|=8百，故A项正确；

对于B项，不妨设直线尸。的直线方程为、=叩+2,与双曲线方程土一/=1联立,

3

消去X,整理得：(w2-3)y2+Amy+1=0,A=16m2-4(m2-3)>0,

4m

必十歹23-/

设尸(项，必)，。(%2，%)则,显然必%<0，故/<3,

1

m2-3

则弦长因rk・/可=;"二驾?

V3-mm-3y(3-m)3-m

=-2道+-^■，因0〈加2<3,贝！|o<3-加2V3,故|p。巨一2道+更=范，

3-m33

即％=0时，弦P。长的最小值为毡，故B项正确；

3

对于c项，设尸(西，必)到双曲线两渐近线工±岛=0的距离分别为，

则MJ3+J必IJ必IjX；,因］_才=1,故得4%=:,故c项正确;

对于D项，因双曲线的渐近线x-Gy=0与直线x-6y+2=0平行，

而点尸到渐近线的距离大于零，且趋近于零，

因渐近线X-岛=0与直线X-岛+2=0的距离为，=m=1,

故点尸到直线x-6y+2=0距离大于1,故D项错误.

故选：ABC.

3.（23-24高二上•广东深圳•期中）（多选）在平面直角坐标系xOy中，动点P与两个定点耳（-73,0）和F2（6,0）

连线的斜率之积等于g,记点尸的轨迹为曲线E,直线/：了=左（》-2）与曲线E交于/,2两点，则

2

A.曲线£的方程为（-r=1卜/土百）

B.曲线£的焦距为

C.满足|/同=26的直线/有2条

D.若人=一1,则直线/与曲线E有两个交点

3

【答案】AC

【详解】对于A：设点Px,y）,由己知得一^