四川省泸州市2023-2024学年高一上学期1月期末统一考试数学试题 含解析

泸州市高2023级高一上学期末统一考试数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑.3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小感，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，若，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根据并集定义分析可得.【详解】由题知，又，所以，所以，即.故选：D2.托马斯说：“函数是近代数学思想之花”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用函数的定义，逐项判断即可.【详解】对于A，集合中的元素按对应关系，在集合中没有元素与之对应，A不是；对于B，集合中的元素按对应关系，在集合中没有元素与之对应，B不是；对于C，集合中的每个元素按对应关系，在集合中都有唯一元素与之对应，C是；对于D，集合中的元素按对应关系，在集合中没有元素与之对应，D不是.故选：C3.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式进行计算.【详解】由，则，所以.故选：B4.已知实数x，y，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分必要条件定义判断即可.详解】当,取,可得,充分条件不成立;,必要条件成立;故选：B.5.已知，，，则a，b，c三者的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的性质判断大小.【详解】因为，，，故.故选：C6.下列命题的否定是真命题的是（）A.每个正方形都是平行四边形B.是无理数，是无理数C.，D.，关于x的方程有实数根【答案】B【解析】【分析】利用相关知识，逐一分析各命题的真假性，从而得到其否定的真假性，由此得解.【详解】对于A，显然每个正方形都是平行四边形，故该命题是真命题，所以该命题的否定是假命题，故A错误；对于B，当时，满足是无理数，但是有理数，故该命题是假命题，所以该命题的否定是真命题，故B正确；对于C，当时，满足，此时，故该命题是真命题，所以该命题的否定是假命题，故C错误；对于D，对于方程，有恒成立，故该命题是真命题，所以该命题的否定是假命题，故D错误；故选：B.7.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，则15h后还剩污染物的百分数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，求出，然后带入，即可求出15h后还剩污染物的百分数.【详解】根据题意时，，又在前5h消除了的污染物，则，则15h后还剩污染物为，所以15h后还剩污染物的百分数为.故选：C8.已知函数，若方程的实数解有3个，则实数k的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先画出函数的图象，并求两个分段函数的最值，根据数形结合分析，得出结果.【详解】如图，当时，，当时，有最小值，此时；当时，单调递增，若方程的实数解有3个，则y=fx与有3个不同的交点，则,即.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中.有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根据奇偶性以及单调性的定义与性质逐项分析判断.【详解】对于选项A：因为的定义域为，且，可知为偶函数，且在0,+∞上单调递增，可知在0,+∞上单调递减，故A正确；对于选项B：当时，；当时，；且，可知在0,+∞上不是单调递减，故B错误；对于选项C：因为的定义域为R，且，可知为偶函数，若，则在0,+∞上单调递减，故C正确；对于选项D：因为的最小正周期为，可知在0,+∞上不单调，故D错误；故选：AC.10.已知，则下列不等关系正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用特值法排除部分答案，剩余选项用不等式性质证明.【详解】取，a=2，对C：，不成立，故C错误；对A：，故A成立；对B：，因，所以必定成立，即原不等式成立，故B正确；对D：，因为，故原不等式成立，故D正确.故选：ABD11.已知函数（），则下列说法正确的是（）A.若函数的最小正周期是，则B.当时，C.当时，函数的对称中心为（）D.若函数在区间上单调递增，则【答案】ABD【解析】【分析】根据正切型函数的性质逐项判断即可.【详解】函数（），对于A，的最小正周期，则A正确；对于B，当时，，，则B正确；对于C，当时，函数，，则其对称中心为，故C错误；对于D，若函数在区间上单调递增，则，则，，又，则D正确；故选：ABD12.已知函数的定义域为R，满足，且，则（）A.B.为奇函数C.D.【答案】ACD【解析】【分析】采用赋值法为突破口，分析函数的有关性质.【详解】对A：令x=1，，则，因为，所以，故A正确；对B：令x=0得：，结合可得，所以fx对C：令可得：，因为，所以，进一步可得：，又，，故，故，依次有,所以，故C正确；对D：令可得：;用代替，得：，结合C的结果，可得：，故D正确.故选：ACD【点睛】关键点睛：如何赋值是解决问题的关键.AB相对简单，对C，令得到后进一步可得到数列相邻项之间的关系，可求结果，对D，用和用代替，是解决问题的关键.第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效．（2）本部分共10个小题，共90分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若幂函数图像过点，则此幂函数的解析式是________【答案】【解析】【分析】设出幂函数的解析式,代入点坐标,即可求得解析式.【详解】设幂函数的解析式为因为幂函数图像过点所以,解得所以故答案为:【点睛】本题考查了幂函数的定义及解析式求法,属于基础题.14.已知扇形的圆心角，弧长为，扇形的面积为________．【答案】【解析】【分析】根据扇形的面积公式，结合弧长公式进行求解即可.【详解】设扇形的半径为，因为弧长为，所以，扇形的面积为：，故答案为：15.若，且，则___________．【答案】2【解析】【分析】根据题意结合之间的关系解得，代入运算即可.【详解】因为，两边平方可得，解得，且，可得，，则，又因为，可得，联立方程，解得，所以.故答案为：2.16.已知函数，实数a，b满足且，若在上的最大值为2，则的值为___________．【答案】【解析】【分析】根据对数函数的图象变换求，的值可得结果.【详解】如图：因为，且，所以，所以，又函数在递减，所以：.故.，由.所以：故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知集合，．（1）当时，求；（2）在①；②．这两个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．【答案】（1）1,2（2）0,1.【解析】【分析】（1）根据集合的交集运算求解即可.（2）选择一个条件，根据集合的补集、交集、并集运算即可求得结果.【小问1详解】由题当时，，，所以.【小问2详解】若选①，则由得，又，则若，需且，即实数a的取值范围为.若选②，由知，又，则若需且，得实数a的取值范围为.18.已知函数，其中．（1）若关于x的方程有两实数根，且两实数根之积等于1，求k的值；（2）解关于x的不等式．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用二次方程的韦达定理即可得解；（2）分类讨论的取值范围，结合二次不等式的解法即可得解.【小问1详解】因为，所以由，得，整理得，因为方程有两实数根，即有两实数根，所以，则，又两实数根之积等于1，所以，解得或（舍去），经检验，满足要求，所以.【小问2详解】因为，所以由，得，当时，由，解得；当时，易知无解；当时，由，解得；综上，当时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为.19.已知函数．（1）若，证明：存在，使成立；（2）若成立；求实数m的取值范围．【答案】（1）证明过程见答案；（2）当时，；当时，．【解析】【分析】（1）当时，在上单调递增，由零点存在性定理证明即可；（2）分与两种情况讨论，利用函数单调性将等价转化为解或的不等式即可．【小问1详解】当时，在上单调递增，．．由零点存在性定理知：存在，使成立．得证．【小问2详解】当时，单调递增，等价于，解得．当时，单调递减，等价于，解得．综上：当时，；当时，．20.在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）与培养时间x（单位t小时）的关系为：x23691215y3.23.53.844.14.2根据表格中的数据画出散点图如下：为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：①，②，③．（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；（2）请选取表格中的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测至少培养多少个小时，细菌数量达到5百万个．【答案】（1）,理由见解析；（2）81【解析】【分析】（1）根据题意，函数解析式需满足函数在有定义，且随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢，故只有符合.（2）可选取数据，带入即可计算出，则当时即可求出答案.【小问1详解】最符合实际的函数模型为①，根据图像知函数解析式需满足函数在有定义，所以②不满足，又随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢，所以③不符合，只有①满足，故最符合.【小问2详解】可选取表格中的两组数据为：，代入得，则，当时，，所以可预测至少需培养81个小时，细菌数量达到5百万个.21.已知函数fx=Asinωx+φ（，，，x∈（1）求的解析式；（2）已知函数与函数的图象在上交点的横坐标从小到大依次为，，，，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，易得，再由经过点0,1求得，由经过点求得，结合的范围求得，从而得解；（2）利用整体代入法求得的对称轴，从而结合图象即可得解.【小问1详解】依题意，易知，fx=Asinωx+φ则，即，因为，所以，则，又经过点，则，即，所以，则，又，所以当时，满足要求，所以.【小问2详解】由（1）得，令，得，因为，所以在上的对称轴为，作出与在上的大致图象，如图，结合图象可知，，，所以.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.22.“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”，已知函数．（1）证明：函数的图象关于点对称；（2）若函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意证明即可；（2）由题意可得：在上的值域是在上的值域的子集，根据题意二次函数分类讨论函数在0,1内单调性，结合对称性以及包含关系分析求解.【小问1详解】由题意可知：，且的定义域为，关于对称，因为，所以函数的图象关于点对称.【小问2详解】设在上的值域为，在上的值域为，由题意可知：，由（1）可知，因为，则，可得，所以，即，又因为的图象开口向上，对称轴为，则有：若，即时，可知在0,1内单调递增，可得，且函数的图象关于点0,2对称，则，可知在−1,0的，可知在的最大值为，最小值为，可得，且，满足，即符合题意；若，即时，可知在内单调递减，在内单调递