2024-2025学年广西壮族自治区高三年级上册12月模拟考试数学检测试题（含解析）

2024-2025学年广西壮族自治区高三上学期12月模拟考试数学

检测试题

一、单选题（本大题共8小题）

_4兀..兀

z=cos-----Fism—

1.复数55,则在复平面内z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.已知萩为单位向量，且&在%上的投影向量为了,贝俨一*（）

A.2B.3C.2拒D.26

3.某次数学考试后，为了分析学生的学习情况，从该年级数学成绩中随机抽取一个容量

为"的样本，整理得到的频率分布直方图如图所示，已知成绩在（50，60］范围内的人数

为60,则下列说法正确的是（）

B.这次考试的及格率（60分及以上为及格）约为85%

C.估计学生成绩的第75百分位数为80分

D.总体分布在（5°忑°］的频数与总体分布在（8°，9°］的频数相等

4.函数-—2X+2在区间H，3］上的图象大致是（）

-io\

A.B.

y.

5.已知直线4：2工+力_1=0与直线4：3G7+9=0,则“a=6”是人功的（

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.即不充分也不必要条件

22

E\---------=l（d>0,Z7口

6.已知双曲线/b2'的左、右焦点分别为耳工，过点片的直线/交

3

£的左支于A,3两点.依a=1°用（。为坐标原点），点。到直线/的距离为5",则

该双曲线的离心率为（）

A.应B.GC.出D.2

7.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边

形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻

面所成二面角都相等）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、

正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的

外接球与内切球的表面积的比为（）

8,已知aeR,6>0,若函数，（》）=（工一。心一》0,则“二的最小值为（）

]_

A.eB.1C.eD.3

二、多选题（本大题共3小题）

9.设函数/6）=4°$（8+夕）（//0,0>0,0<9<兀）的图象关于直线丫=-§对称，它的最

小正周期是兀，则以下结论正确的是（）

A./（X）的图象过点?，？［

712兀

B."x）在3」上是减函数

C./（龙）的最大值与A的取值有关

D./（X）的一个对称中心是112'°）

10.已知函数〃x）=/-3办+1,则（）

A./（X）必有两个极值点

B.存在实数无。使得了'（/）=/（/）

C.点（阴）是曲线>=/（x）的对称中心

4

D.若曲线，=/（无）有两条过点（2」）的切线，贝»=0或§

11.法国数学家加斯帕尔•蒙日是19世纪著名的几何学家，被称为“画法几何”创始人

“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中

22

E:「+七=l（a>6>0）

心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆«〃的蒙日圆为

C,x1+y2=-a2

3,过圆C上的动点M作椭圆£的两条切线，交圆C于RO两点，直线

尸°交椭圆E于42两点，则下列结论正确的是（）

V6

A.椭圆E的离心率为3

。因

B.若点1J）在椭圆片上，且直线的斜率之和为0,则直线ZB的斜率

V6

为6

（2_收>

C.点M到椭圆E的左焦点的距离的最小值为一3—

D.尸°面积的最大值为国

三、填空题（本大题共3小题）

_1771471

12.己知尸（九5）是角“一7"终边上的一个点，将0P绕原点。顺时针旋转7至0。，

则点。的坐标为.

13.己知等差数列应｝的前〃项和是打品>04<°,则数列“；｝中最小的项为第

项.

14.箱子里有大小相同的4种点数不同的纸牌各若干张，每次从中摸出4张纸牌为一

组，其中摸出恰有3种点数组合纸牌的不同取法为种：若要保证至少有

2组纸牌的点数组合是一样的，则至少要摸出组纸牌.（两空均用数字作

答）

四、解答题（本大题共5小题）

15.在锐角VN2C中，内角48,C对边分别为“，瓦。，已知

2bcos（7i-5）+acosC+ccosA=0

⑴求B；

（2）求cos/-cosC的取值范围.

16.为了调查某校学生喜欢跑步是否与性别有关，高三年级特选取了200名学生进行

了问卷调查，得到如下的2x2列联表：

喜欢跑步不喜欢跑步合计

女生a90120

男生b55k

合计m145200

（1）计算。，仇加水的值，并依据小概率值。=。/00的/独立性检验，判断性别与喜欢跑

步是否有关？

（2）从上述的200名学生中按性别比例用分层抽样的方法抽取10名学生，再在这10

人中抽取3人调查其是否喜欢跑步，用X表示3人中女生的人数，求X的分布列及数

学期望.

2_n(ad-be?

,(a+b)(c+d)(Q+c)0+d)

a0.1000.0500.0100.001

Xa2.7063.8416.63510.828

17.如图，在正三棱柱/8C-4且G中，侧棱与底面边长均为2,点瓦厂分别为

—►1—►

A「AD=—AB

/C，C£的中点，点。满足3.

（1）求证：综四点共面；

（2）求直线'4与平面尸所成角的正弦值.

18.已知点召（2/）在抛物线U-=2q（P＞0）上，按照如下方法依次构造点

々（"=2,3,4,…），过点匕一作斜率为一5的直线与抛物线C交于另一点。,T,作点关

于了轴的对称点P",记P"的坐标为（X"/"）.

（1）求抛物线0的方程；

（2）求数列｛七｝的通项公式，并求数列n的前〃项和北；

（3）求AP』"J"+2（〃6N*）的面积.

19.给出下列两个定义：I.对于函数＞=/（x）,定义域为。，且其在。上是可导的，

若其导函数定义域也为D,则称该函数是“同定义函数”.11.对于一个“同定义函数”

k小），若有以下性质：①r（x）=g0（x））；②"x）=〃（r（x））,其中

y=g（x）/="x）为两个新的函数，v=/'（x）是y=/（x）的导函数我们将具有其中一个

性质的函数＞=/（x）称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数＞=/（x）称之为

“双向导函数"，将y=g（x）称之为“自导函数”.

⑴判断函数"x）=2、和v（x）=l次是，，单向导函数，，，或者“双向导函数，，，并说明理由.

如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；

（2）已知函数"x）=G,〜+A.

（i）若/（X）的“自导函数”是尸一X,试求a的取值范围；

(ii)若a=b=l,且定义/(x)=/(x)siru-近，对任意不等式/(X)N°恒成

立，求上的取值范围.

答案

1.【正确答案】c

-4兀..兀

z=cos——+isin—z=cos

555

【详解】因为55,

兀八

cos—>0

5

-cos—,-sin—

因为15,所以在复平面内z对应的点I55人位于第三象限.

故选：C

2.【正确答案】C

lalcos^i^i=-S.1

【详解】设。与6的夹角为氏由题意得।।3,

所以=9/一+片=9-6X；+1=8.•忸一可=2A/I

故选：C

3.【正确答案】C

［详解］,•,（0905+0.010+2a+0.025+0.030）xl0=l,解得q=0.015,

所以成绩在（5°，60］范围内的频率为0.015x10=0.15,=“=60+0.15=400人，故A错误；

•.-1-（0.005+0.015）x10=0.8；所以这次考试的及格率（60分及以上为及格）约为80%,故

B错误；

成绩在［40,80］的频率为（0.005+0.015+0.03+0.025）x10=0.75?

所以估计学生成绩的第75百分位数为80分，故C正确；

样本分布在（50，6°］的频数与样本分布在（80,90］的频数相等，

但总体分布在（5a6°］的频数与总体分布在（8。，90］的频数不一定相等，故D错误.

故选：C

4.【正确答案】B

2(1)

x2-2x+2(x-1)2+1xw[-1,3]

【详解】因为

-2x-2

/(2+x)+/(-x)=(x+l)2+l+(-x-l)2+l

所以/（X）的图象关于点（1，°）的中心对称，故排除c,D,

/(3)=弓=：>0

又(3T)+1,故排除A.

故选：B

5.【正确答案】A

［详解］因为直线4：2尤+/〉-1=0与直线l2：3ax-y+9=0

若C2,贝I］2x3a+(-l)x“2=0,解得々=0或a=6,

所以“0=6”是，4的充分不必要条件.

故选：A

6.【正确答案】D

【详解】令双曲线E的半焦距为。，取的中点。，连接。。，由108闫°用，

3

得O"KB,则连接尸28,由。为片F2的中点，得BF/OD,

所以忸B|=2d=3aBF2±BFX闺同=忸工|-2a=a

因此忸尸2I+忸耳IT耳玛I,即(3a)2+/=(2C)2,整理得5a2=2C?,

cM

7.【正确答案】D

【详解】设正八面体的棱长为a,正八面体的中心到顶点的距离就是外接球半径R,

V2

R---Q,

•••2中心到面的距离就是内切球半径r,

rz_lV2,V23

V——XQXQXQX2-d

正八面体的体积323,

771g1Q（1,爪八。）3V6

V=—x5xr=—x8x—XQxaxsm60r=——ar=--a

3表w312J3,解得6

（亚Y

S[=4兀△2=4兀——a-271a2

根据球的表面积公式S=4“2,外接球表面积（2）

内切球表面积I6>

S|_27rq2_

S；=2T^=

则外接球与内切球表面积之比3"

故选：D

8.【正确答案】B

［详解］函数/(*)=(x-")@一作°,等价于(x-a)(xTn6)20,

即/_(a+ln6)x+aln此0在R上恒成立，

即A=(a+ln6)2-4Hnb=(a-lnb)2<0,..q=in6,则“+厂山"石，

g0)=lnb+q,(b>O)g，0)=；_g=^l,0>0)

令b，对其求导得一6//\),

当0<6<:.・g'(b)<0,.-.g(。在(。，1)上单调递减,当6>I,---g'(0)>。,二g(6)在(1,+8)单调

递增，

而二"+：)=(g(b)K=g(l)=l

所以I%。

故选：B

9.【正确答案】ACD

2兀_

【详解】••・函数"无)=/3$3+。)(/*0,0>0,°<“<兀)的最小正周期是兀，,•石一兀，

「.0=2,

兀7T2元

又D的图象关于直线、二对称，4(”)+。3皿)，—丁

八，，:•①=.，./'(%)=Zcos(2%+=]

qG<(p<R"3I3)

・••/(0)=/cos/V,图象过1°厂工)，故A正确；

•・•/的正负未知，故无法确定/(X)的单调性，故B错误；

显然/(X)的最大值与A的取值有关，故C正确；

•・•/，-普)=Ncos[=0,,、

I12)2,I12J是/(x)的一个对称中心，故D正确.

故选：ACD

10.【正确答案】BCD

【详解】对于A,因为/&)=3*2-3°,当。>°时，,GA。有两个不相等实数根，所以

/1)有两个极值点，

当a40时，/(X)20恒成立，所以/(X)无极值点，故A错误；

对于B,广(%)=3%2-3口,令/'(x)=/(x),贝”-3"+1-3/+3。=0,

令^g(%)=/-3%2—3a%+3〃+1g(D=F-3-3a+3。+1=—1<0当％—>+oogyj*g(%)>0

根据函数零点存在定理，存在实数X。e(l，+8)使得了'(X。)=/(%),故B正确；

对于C,由/(-x)+/(x)=f3+3办+1+/_3办+1=2,知/(X)的图象关于(0,1)中心对

称，

所以点（°』）是曲线N=/（x）的对称中心，故C正确；

对于D,/&）=/-35+1过（2,1）的切线的切点为（而，%）,

切线斜率为八X。）=34-3a,则切线方程为y-%-（3君-3a）（X70）,

把点（2，1）代入可得一只+3ax°=（3君_3〃）（2一与），化简可得2君-64+6〃=0,

令〃（％）=2d-6%2+6“jj］||u（x）=6x2-12x令/（%）=6f-12%=0可得1=0或%=2

〃'。）在（-8,0）和（2，+8）上大于零，所以“（X）在（一8，°）和（2，+°°）上单调递增，

"'（X）在（0,2）上小于零,所以“（X）在（0,2）单调递减，

要使“（x）=0有两个解，一个极值一定为0,

若函数〃（S=2/-6/+6。在极值点X=0时的函数值"（0）=0,可得。=0,

_4

若函数〃&）=2/-6/+64在极值点X=2时的函数值〃（2）=6"8=0,可得。一］,

4

所以若曲线y=/0）有两条过点（2,1）的切线，则。=°或故D正确.

故选：BCD

11.【正确答案】AB

【详解】对于A,依题意，过椭圆£的上顶点作了轴的垂线，过椭圆£的右顶点作

x轴的垂线，

则这两条垂线的交点（“力）在圆。上，

a2+b2=-a2e=-=

所以3，得/=3〃，所以椭圆£的离心率aa-3,故A正确;

=3

工+区=10,逅］X+2_=iF

对于B,由A可知/十记一，又过点I3J,所以/+/一,解得忖=1,

X22,

—+V=1

所以椭圆方程为3’,

因为点都在圆C上，且/尸儿@=90。，所以尸。为圆c的直径，

所以直线尸。经过坐标原点，易得点A,B关于原点对称，

V6V6

_yi--3-FF

kDB=

设/(%,%),则),x-±1,-Xj-1

V6_

+—v!---3_=oV6

一一,^DA+^DB

所以%]一]"1，所以亍，

k=k.外_-Ji-R

又x；+3y；=3,；.端=2,所以AB°A为#6

故B正确;

对于C,设屈（无。，%）,椭圆C的左焦点为/（—0）,

连接MF,

c1=a1-b1=—a1c=^-a

因为3,即3

222fl222

|A/F|=(x0+c)=x；+y；+2x0c+c=y+2x0x^«+-|tz=2a+^^-ax0

所以

\MF\2>\2-^-、

-空』。工空a

又33,所以7

2-V2

所以则M到左焦点的距离的最小值为qr",故c不正确;

对于D,因为点M，P，。都在圆C上，且NP"Q=90。，所以尸。为圆C的直径，则

1P01=2xJ#=

2\/5"

设点M到尸。的距离为右则—工、

c1IDCId/1IDCIR_214\/32V342

所以AM5。面积亍亍"亍”铲,故D不正确;

故选：AB

12.【正确答案】（°厂1°）

„、tana=tan"=tan（3兀一或=_tan]=一噂

【详解】设。（XJ）,因为6I6J63,

=£

由正切函数定义可得记，解得根二-56；

...|0刊=,6内1+52=10

x=lOcosf6z--=lOcosf^-^--—=lOcos-=0

所以I3J163）2,

j/=10sinfa-->|=lOsinf^-^--->1=lOsin—=-10

I3）I63J2

即点Q的坐标为（°，T°）,

故（。，-1。）.

13.【正确答案】5

r洋健】==9但;的）=9%<058=8（%丁8）=4（°4+。5）>0

且%>-。5>。，邛dl,故等差数列｛%｝为递减数列，即公差为负数，

二届>4,且°>。5>。6,.一。6>-。5>0,,所以数列归｝中最小的项是第5项.

故5.

14.【正确答案】1236

【详解】先计算取出一组的类型取法数，

取一组有1种点数的取法数：C：xl=4,

取-组有2种点数的取法数：C；x（C；+C；）=18,

取一组有3种点数的取法数：《xC；=12,

取一组有4种点数的取法数：C：xi=i,故共有4+18+12+1=35种不同的组合取法.

此时最不利的情况即每种组合各取一次，

接着再取一组，就一定可以保证有2组纸牌的点数组合一样，即所求为

35+1=36种.

故12；36.

兀

15.【正确答案】（1）§

fV39

2'2

⑵I；

［详解］（1）因为26cos（兀.8）+acosC+ccos/=0,

所以一26cosB+acosC+ccosA=0,

由正弦定理可得一2sinBcos5+sin4cosC+sinCcos4=0,

所以-2sin3cos8+sin（/+C）=0,即_2sin8cos8+sin8=0,

cosB=-

又sin8>°,所以2,

因为Be（O,兀），所以'一与；

cosA-cosC=cos^4-cos------A

(2)由(1)知I3)

=cosA+^-cosA-sinA=^cosZ-gsinZ-"+

2222k

八2兀,兀

0<-------A<—

<32

0<A<-

因为12,

71,71兀，兀2兀

<A<—<A+—<——

62,363

cos!Z+g卜

/.cosA-COSCG

22槃耍「胃贤夔爵围专22J

16.【正确答案】(1)。=30,,无关;

9

(2)分布列见解析，期望为5

【详解】(1)4=120—90=30w=200-145=556=55—30=25i=200-120=80,

零假设为小：性别与学生喜欢跑步无关,

Z2

由题意得

2

依据小概率值a=0.10°的％独立性检验，没有充分证据认为“。不成立,

所以判断性别与喜欢跑步无关;

(2)由题意，参与调查的200人中，女生有120人，男生有80人，

因为120:80=3:2,按性别比例分层抽样抽出10人，则女生抽6人，男生抽4人,

从10人中随机抽取3人，则X的取值可以为0/，2,3,

.4=1

尸(X=o)=

120-30

P(X=1)=-36二3

120-10

・60=1

尸(x=2)=

120-2

5

201

P(X=3)=-=

120-6

则随机变量X的分布列为

X0123

13]_

P

301026

E(X)=0/+得+2亭3弓].

17.【正确答案】⑴证明见解析

V30

(2)1°

【详解】(1)取为0中点"，过"作"GL/8于G,连接印"GC,

贝(]OG=G8,HGUBB/CF,液=翱1#,

所以四边形"GC户是平行四边形，..GC//HFt

—►1―►

AD=-ABAD=\AB=AB-IDG：.DG=\AB=AD

由3得3,3

又4E=EC,"DEIIGC,:.DEHHF,所以“，D,E,尸四点共面,

E,尸四点共面;

(2)由已知得如图，以E为原点，E4为％轴，匹为歹轴,

建立空间直角坐标系£一町巴则4(1,0,0),4(1,0,2),2(0,6,0),

即0,白，2),C(-l,0,0)；.•.尸(-1,0,1),

;丽=(-1,0,1),瓯=(0,6,2),

亢・EF=G=0

设平面。及耳的法向量为〃=(x,y,z),则由历-£耳=0,得2z=0

令y=-2\/^得x=z=3,二〃=(3,-26,3),

元6

?.cosn,AAX=

10

则可2x"+62⑸+3?

而

AAsinCOSH,

设直线"4与平面。跖所成角为巴则।10

18.【正确答案】⑴》2=外

T=3____1_______

(2产=2〃，〃~4~2(n+l)~2(n+2)

⑶2

【详解】(1)因为点.2，1)在抛物线u/=2加上，贝y'Zpxl,解得2=2,

所以抛物线C的方程/=4乙

(2)由4(2，1)可知苞=2,71=1,

2二匕

因为点2(X"，y")在抛物线C"=4/上，则为」彳，且%(f,%),

%2__j_f]

过寸)，”22,且斜率为一5的直线—41：、-¥=”—,

，尸十=一；(1"一。

联立方程M=4y,消去〉可得(X-XI)(X+X“T+2)=0,

解得工=斗_1或》=_为_|_2,:,-xn=-xn_i-2；可得x“=x”i+2,

所以数列支"是以首项为2,公差为2的等差数列，所以x“=2+2("-1)=2〃,

“占=城="2._==

x22n

又4一「4_,n+ynn+2n〃+2

=1(11—i---M=3--1______

2'+2n+\n