2024-2025学年广东省高二年级上册期中联合数学质量检测试卷（含解析）

2024-2025学年广东省高二上学期期中联合数学质量检测试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知A与8是互斥事件，且?（彳）=0.3,网8）=0.2,贝产（，U2）=（）

A.0.5B.0.6C.0.8D.0.9

2.已知直线叼-3=0的倾斜角为150。,则实数加的值为（）

_V3V3

A.一也B.3C.6D.3

3.已知坐标原点不在圆°：/+/+%+2卜+加=°的内部，则加的取值可能为（）

A.1B.TC.2D.-2

4.从三名男生和两名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生

和一名女生的概率为（）

2312

A.5B.5c.25D.25

5.已知空间向量L满足"2不+丘=。洞第第=1,

则苕与B的夹角为（）

A.30°B,150°c,60°D.120。

6.若过点4LD的直线/与圆C：Y+V-4x-8y+2=0交于M,NM,N两点，则弦长

的最小值为（）

A.4B.2及c.40D.872

7.已知点/（一4,4），2（-2,-3）,直线/：.7+%+1=0,若//位于直线/的两侧，则上的取值

范围为（）

A.I/）B.（T4）

C.（-℃,-1）口（4,+8）口（-°o,-4）U（l,+°o）

8.在“SC中"（T°）*S，3⑸CO，。），若动点“满足而•就=3,则照的取值范围

为（）

A.B,[0,4]c.艮7]口.同

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“两次掷出的点数之和是5”，事件B表示

“第二次掷出的点数是偶数”，C表示“两次掷出的点数相同”，。表示“至少出现一个奇数点”,

贝U（）

A.A与。互斥B.A与3相互独立

C.B与D对立D.B与C相互独立

10.如图，已知正方体4sCD-481G2的棱长为2,O为正方体48co-4sC12的中心,

点E满足42=4即1,则（）

A.40,平面48。B.EO//平面48。

___V2

c.在£%上的投影向量为々"1D.二面角。一48一/的余弦值为3

II.已知点尸在圆°：,+/=6上，点/（3,0）,8（0,3e），则下列说法正确的是（）

A.圆/：/+了2+4工+7/+1=°与圆。的公共弦方程为4》+7了+7=°

B.满足/尸，5尸的点尸有2个

3c-戈

C.若圆N与圆°、直线AB均相切，则圆N的半径的最小值为一2-

D.6|&|+3|必|的最小值是35

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.两个篮球运动员罚球时命中的概率分别是0.4和0.5,两人各罚一次球，则他们至少有一

人命中的概率是.

13.若点次°，4）和点8（T,3）关于直线/：〃?x+y+〃=0对称，则加+〃=

14.已知4U/），8（2,0，l）,C（l，°，2）是球M上三点，球心M的坐标为GO』），尸是球

M上一动点，则三棱锥尸-N8C的体积的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15,在四棱柱4s8一44001中，四边形ABCD为菱形，===

60°,E=3"=2,。为人©的中点

⑴用血乐石表示而，并求丽|

的值;

（2）求4°勿G的值.

16.已知圆M经过点。，4）和（3,2）,其圆心在直线-2=°上.

（1）求圆M的标准方程；

⑵若直线/过点尸0，°）且与圆M相切，求/的方程.

17.进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消

耗，具有社会、经济、生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分

类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概

率都为。，乙同学答对每题的概率都为且在考试中每人各题答题结果互不影响.已

j_5

知每题甲，乙同时答对的概率为5,恰有一人答对的概率为12.

（1）求。和q的值；

（2）试求两人共答对3道题的概率.

18.如图，在四棱台/'CD一中，"4,平面N8CD,底面为正方形，

AB=2AA'=244=4,点p在线段0。上运动.

(1)证明V°G

(2)求异面直线鸡与DR所成角的余弦值.

(3)求直线2P与平面所成角的正弦值的取值范围.

19.定义：P是圆C外一点，过点尸所作的圆C的两条切线("，N为切点)相互垂

直，记圆。经过点尸，“，N,C,则称尸为圆°的“伴随点,,，圆。为“C-尸伴随圆，，.已知。为坐

标原点，圆。/?+了2=26,尸为圆。的“伴随点,,，圆G为，，。-P伴随圆，，.

⑴求点尸所在曲线的方程.

(2)已知点尸的横坐标为6,且位于第一象限.

(i)求圆G的方程；

(ii)己知为过点尸所作的圆。的两条切线的切点，直线"N与工了轴分别交于点及厂，

aios_36W+M)

过点7(0,5)且斜率为左的直线/与圆G有两个不同的交点42,若13,

求/的方程.

1.D

【详解】由尸(彳)=0-3,可得尸(/)=1-尸0=0.7

由于A与8是互斥事件，

故尸(ZU5)=尸(/)+尸(3)=0.7+0.2=0.9

故选：D

2.C

【详解】直线叼-3=°的倾斜角为150。，

k=tan150°=------

所以斜率一定存在，且3,

13

oAy-xH—

直线x+里y—3=0即mm,

卜=_是=_=

所以斜率3m；gpm=y/3.

故选：C

3.A

5

［详解］依题意，方程/+/+工+2了+加=0表示圆，贝y+22-4加＞0,解得加＜7.

因为坐标原点不在圆c：x2+/+x+2y+加=°的内部，所以“N0.

0＜m＜—

综上所述，4,结合选项可知A符合题意.

故选：A

4.B

【详解】记三名男生为A,B,C,两名女生为1,2,

任意选出两人的样本空间为{.'AGALAZ,BC,B1,B2,C1,C2,12}＞共个样本点，

恰好一男生和一女生的样本点有6个，

6__3

所以选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率为历

故选：B.

5.C

【详解】设］与B的夹角为，由&+2B+血己=°,得@+25=-行］，

两边平方得+4限*+4后=7c2,所以l+4xlxlxcos0+4=7,

解得c°s，一5又6e[0,兀],所以6=60。.

故选：C.

6.C

【详解】/+/-4工-8夕+2=0可化为（x-2）2+（y-4）2=18,可得圆心C（2,4）,半径厂=

当CZ，/时，|MN|最小，此时点C至〃的距离痴，

所以|MN|的最小值为2J--相=2718-10=472.

故选：C

7.B

【详解】由心-y+无+1=°,可得於+1）一了+1=°,

所以直线/恒过点尸（T'l）,

由题意，直线只需与线段相交（不包括端点）即可，

故人的取值范围为（T'4）.

故选：B

8.C

[详解】设贝|j小.吹=（-]_羽_/）（]_》,一＞＞）=/_]+y2=3,即丁+/二彳

即点M的轨迹是以°（°，°）为圆心，2为半径的圆.

又忸0|=近前=5,所以M司的取值范围为艮71

故选：C

9.ABD

【详解】试验的样本空间。=｛（1，1），（1，2），0，3），（1，4），（1，5）,（1,6）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,

（2,4）,（2,5）,（2,6）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,0,5）,（3,6）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,

（4,5）,（4,6）,（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）,（6,6））

事件”=｛（1,4）,（4,1）,（2,3）,（3,2）｝,3=｛（1,2）,（1,4）,（1,6）,（2,2）,（2,4）,（2,6）,

（3,2）,（3,4）,（3,6）,（4,2）,（4,4）,（4,6）,（5,2）,（5,4）,（5,6）,（6,2）,（6,4）,（6,6））,

C=1l,1）,（2,2）,（3,3）,（4,4）,（5,5）,（6,6）｝

对于A,A与C没有公共的基本事件，A与C互斥，A正确；

对于B,

''369.362"八〃3618——与B相互

独立，B正确；

对于C,显然，3与。可以同时发生，c错误；

对于0,叱=｛（2,2）,（4,4）,（6,6）｝,尸⑻尸（CM/相互

独立，D正确.

故选：ABD.

10.AD

【详解】以。为原点，所在直线为x,y,Z轴建立空间直角坐标系如图，

2（0,0,2）,4（2,0,2）,。（0,0,0）,2（2,2,0）,A（2,0,0）,Q（0,2,2）,<9（1,1,1）,£f1,0,21

则12人

函=（2,0,2）,丽=（2,2,0）,丽=仪,1,-1],与=（一1,1,1）,DC,=（0,2,2）

所以12J

设平面48。的法向量为"=（x/，z）,

n•DA】=2x+2z=0,

<

则五•Z）5=2x+2y=0,令％=i,则几=（1,-1,-1）

因为方二一"所以平面480,A正确.

n-EO=—0

2所以EO不与平面平行，B错误.

DGD45

QG在。4上的投影向量为lD4l

C错误.

易知平面4AB的一个法向量为云=(1，°，°)，设二面角D-AB-A的大小为0,

cos8=|幽」.心

则悯愀63,口正确.

11.ABD

【详解】对于A,工2+/+4苫+7〉+1=°和/+/=6两式作差,

可得4x+7j+7=0,故A正确.

对于B,由可得点P的轨迹是以AB为直径，3为半径的圆,

+卜-用=3

圆心的坐标为卜),两圆的圆心距为八,I7

半径和与半径差分别为3+遥,3-遥，

由3+卡>3>3-布，得两圆相交，则满足条件的点尸有2个，故B正确.

x।一-1

对于C,直线AB的方程为§3也,即百x+y-3百=0,

3G

圆心°(0,0)到直线AB的距离为2,

36-2痴

所以圆N的半径的最小值为—4—,故c错误.

对于D,设存在定点C&°),使得点尸在圆。上任意移动时均有

设尸(")，则有9TP+力=6[(x-3)2+用，

J12-6/=0

化简得x2+/+(12-6f)x=18-3/.因为一+/=6,所以118-3产=6,

解得，=2,则C(ZO),所以两尸”|+3网=3(附+|PC|)2318cl=3后,故D正确.

故选：ABD

7

12.0.7##10

【详解】他们至少有一人命中的概率是1一0一°4卜(1-°5)=。-7

故。7

13.-2

【详解】因为点“(°，町和点次-1,3)关于直线/:mx+y+〃=°对称，

—3.-.4..(_加)=_1

所以/是线段的垂直平分线，由可得T-0,解得加=L

r1。17_n

又AB的中点坐标为I2,2人所以22,解得"=-3,

.故用+力=-2.

故答案为.-2

6+1

14.6

AB-AC_1

[详解]依题意，/8=(1，T°)，/C=(O，T，1),贝江48]=|/。|=0,35/=|48||次|2,

4」Mg邑2=2——

则3,V/8C的面积为222,M4=(0,l,0),则球”的半径R=|M4|=1

n-AB=x-y=0

设平面ABC的法向量为"=(x/Z,则〔心"=r+z=o,令了=1,得3=(1,1,1),

」\n-MA\1V3

则点新到平面ABC的距离J33,球面上的点到平面Z8C距离最大值为

d+R^—+\

3

1V3，V3V3+1

所以三棱锥尸-Z3C的体积的最大值为323-6

■+1

故6

—ABH—AD-AA.rz

15.(1)22…6

⑵-6

AX)=A,A+AO=-X4.+-AC=-AB+-AD-AA.

【详解】(1)由题意可知：222

----(I--------*I----►----►I

ABAA=2x3x—==2x2x—=2,"-AD=2x3x-=3

且X222,

/1—*11—*1—-11—,,—(,—(,—•,—*—,,

A-AB+-AD+AA+-ABAD-ABAA-AD-AA,

\441211

=71+1+9+1-3-3=V6.

(2)易知DC\=DC+CC]=4B+AA1

、葩・西二Q■方+；近—麴:宿+；而运

一怒.万一怒2+”.麴+g历京

33

=2+1—3—9+—+—=-6

22

16.⑴-3)2+(>-弁=4

(2)%=1或3%-4)-3=0

【详解】(1)设圆”的标准方程为(x-a)2+3-b)2=r2,

7l-a)2+(4-Z))2=r2

,(3-4+(2-6)2=r2

bi、12a—b—2=0

所以I,

解得a=3,b=4/=2,

故圆"的标准方程为（X-3）2+3_4）2=4.

（2）由⑴可知圆心为"G4）/=2.

①当直线/的斜率不存在时，易得直线/的方程为》=1,符合题意；

②当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为〉=跃》一1）,即丘-V-兀=0，

IB-.?_3

由题意，圆心（工4）到直线/的距离等于半径2,即病石，解得~4,

此时直线’的方程为版一"-3=0.

综上，所求直线/的方程为》=1或--4广3=0.

32

P=—q=—

17.（1）4,3

5

⑵12

【详解】（1）设4=｛甲同学答对第一题｝,3=｛乙同学答对第一题｝,则尸（/）=〃,

P（B）=q

设C=｛甲、乙二人均答对第一题｝,。=｛甲、乙二人中恰有一人答对第一题｝,

则C=AB,D=AB+AB.

由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以A与8相互独立，与初相

互互斥，所以尸（C）=P（"）=尸⑷尸⑸，夕。）=尸传+初）

二尸（45>0（^8）=尸（?）尸尸（B）=P（/）（1_P（3））+（1_P（4））P（8）

1

pq=3,

2）二五,

由题意可得

132

pq=3,夕=了Pf

1723

p+q=——.q=1好了

即12解得3或

32

p——q=—

由于〃＞夕，所以4,3

（2）设4=｛甲同学答对了，道题｝,片=｛乙同学答对了力道题｝,，=（）,1,2,

尸⑷，尸(」)=，3=2

由题意得，'"44448,',4416,

P⑻二」+L2J

,"33339

设片=｛甲乙二人共答对3道题｝,则£=4&+4月.

由于同和用相互独立，4名与44相互互斥，

34945

所以尸(E)=尸(4区)+/(44)=尸(4)尸(员)+尸(4)尸(4)=b§+诂、=正

5

所以，甲乙二人共答对3道题的概率为区.

18.(1)证明见详解；

(2)2；

［详解］(1)证明：因为平面/BCD,平面/geo,

所以44|，/尻4＜，/。，又N3C。为正方形，所以两两垂直,

以伊为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，

则4(0,0,0)；4(2,0,2),口(0,2,2),G(2,2,2),C(4,4,0),。(0,4,0),

所以函=(-2,2,0),西=(-2,-2,2),

贝°丽"M=_2x(_2)+2x(_2)=0,

所以BQJCG

(2)解：由(1)可得/4=(2,0,2),OR=(0,-2,2),

IcosAB,,DD,\=-j=^——；==—

所以।।2&x2拒2,

J_

故异面直线AB'与所成角的余弦值为2

(3)解：设#=X*(O42W1),因为京=(一2,2,-2),所以9=(一22,24一2㈤

贝IJ印=+qp=(2,0,0)+(-22,22,-22)=(2-22,22,-22)

由m可得葩'=(2,0,2),皿=(0,2,2).

设平面”用〃的法向量为"=(x,y,z),

ri•AB=2x+2z=0,

<X

贝ij[万./Z)i=2y+2z=0,取：=(1/厂1)

।一।\n-D^\

sin6=cos瓦2尸=-~~।.

设直线可与平面期2所成的角为0,则同|可|

|2-22+22+22|_|2+1|

V3X7(2-22)2+(22)2+(-22)2-义，3储-2几