2024-2025学年广东省深圳市九年级上学期期末数学试题及答案

试题

保密★启用前

2024-2025学年深圳市九年级期末模拟试卷

数学试卷

注意事项：

1.答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的

位置上，并将条形码粘贴好。

2.本卷考试时间90分钟，满分100分。考试范围：九年级上册

3.作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点

框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。作答非选择题时，用黑色字迹

的钢笔或签字笔将答写在答题卡指定区域内。作答综合题时，把所选题号的信息点框涂黑,

并作答。写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。

4.考试结束后，谙将答题卡交回。

一、单选题（24分）

1.下列方程是关于x的一元二次方程的是（）.

1,

A.—+x=2B.x2—2y=0

x

C.x1+2x=x1-\D.x2=0

2.如图，烧杯内液体表面NB与烧杯下底部CD平行，光线即从液体

中射向空气时发生折射，光线变成尸"，点G在射线环上.已知

ZHFB=20°,ZFED=60°,则NG"/■的度数为（）

A.20°B.40°C.60°D.80°

3.若关于x的方程--X+加=0没有实数根，则机的值可以为（）

1

A.-1B.——C.0D.1

4

4.如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数yi=kx+b（k、b是

常数，且HO）与反比例函数丫2=£（C是常数，且CW0）的图象相

交于A（-3,-2）,B（2,3）两点，则不等式yi>y2的解集是

（）

A.-3<x<2B.x<-3^x>2C.-3VXV0或X>2D.0<x<2

试题1

试题

5.如图，在平面直角坐标系中，直线43经过点/(6,0)、8(0,6),。。的半径为2(。为

坐标原点)，点尸是直线上的一动点，过点P作。。的一条切

线P。，0为切点，则切线长尸。的最小值为()

A.Vl4B.V?C.3

r)Ao

6.如图，以点O为位似中心，作四边形N8CD的位似图形HB'C'D',己知会=二，若四

OA'3

边形/BCD的面积是4,则四边形面积是()

7.近日，安徽省政府正式印发《支持5G发展若干政策》，加快布局5G基础设施，壮大5G

产业2020年底，全省将建成5G基站数量约1.5万座，按照计划，到2022年底全省5G基

站总数量将达到15万座，全省5G基站数量的年平均增长率为x,则下列方程正确的是

()

A.1.5(1+2x)=15B,1.5(l+x)2=15

C.1.5+1.5(l+x)+1.5(l+x)2=15D.1.5A：2=15

8.如图，四边形NO8C是平行四边形，点3在x轴上，C4的延长线与y轴交于点。，反

k

比例函数>=—(左>0,x>0)的图象经过点4(2)),且与边交于点£.若笄行四边M°BC=6,

x

S.AD=AC,则点E的横坐标为().

.V

*7

/

IZ__/.

C)Bx

试题2

试题

A.1+B.1+2A/2C.1+2A/5D.1+y/5

二、填空题（12分）

9.因式分解：ax2-9a=.

k

10.如果反比例函数y=的图象位于第二、四象限，那么左的取值范围是.

X

11.如图，正方形纸片的边长为12,E是边CD上一点，连接NE.折叠该纸片，使

点A落在4E上的G点，并使折痕经过点8,得到折痕3尸，点尸在4D上.若DE=5,则GE

的长为.

12.如图，已知的内接正六边形/8CDE/的边长为4,〃为边/尸的中点，则图中阴影

部分的面积是

三、解答题（60分）

（1）（5分）计算MT+1；）-（%一3.14）°

13.+V9；

/-4

（2）化简（3分）：

/—2。+1

14.（8分）关于工的一元二次方程一一2（加+l）x+/+2=0.

⑴若方程总有两个实数根，求加的取值范围;

⑵在（1）的条件下，若两个实数根不，％满足再+工2=再%2，求加的值.

试题3

试题

15.为了落实"作业、睡眠、手机、读物、体质"五项管理要求，了解学生的“读物"情况，某

校调查了一个班学生每周的课外阅读时间，绘制成了不完整的条形图.（6分）

⑴若本班学生每周课外阅读时间的平均数为2.5h,请补全条形图；

⑵嘉嘉参与了本次调查，在（1）的条件下，求嘉嘉的课外阅读时间不少于3h的概率.

⑶将每周课外阅读时间为4h的学生视为“阅读达人"，本班的"阅读达人”中一人为女生，其

余为男生，老师计划从中随机抽取两人参加市级的中学生诗歌大赛，小强认为选中的两名学

生都是男生的概率大，请用列表或画树状图的方法验证他的结论是否正确.

16.如图，在等边VN8C中，点。是边NC上一点，连接AD,将线段AD绕点B按逆时针

方向旋转60。后得到8E,连接NE.求证：（8分）

mAABE-CBD；

(2)AE//BC.

试题4

试题

17.如图，点/在反比例函数J，=£(x>0)的图象上，

轴于点8,AB=2,05=4.(6分)

(1)求反比例函数的表达式；

⑵若直线CD垂直平分线段4。，交40于点D,交y轴于

点C,交x轴于点E,求线段OE的长.

18.如图，已知48是。。的直径，C是。。上的点，点。在

的延长线上，NBCD=NBAC.(6分)

⑴求证：CD是。。的切线；

(2)若/。=30。，BD=4,求图中阴影部分的面积.

19.2023年杭州亚运会吉祥物"江南忆”，融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因，

三个吉祥物分别取名"琮琮"、"莲莲"、"宸宸"，造型形象生动，一开售就深受大家的喜爱，

据统计某电商平台7月份的销售量是5万件，9月份的销售量是7.2万件，(9分)

⑴若该平台7月份到9月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？

(2)市场调查发现，某一间店铺吉祥物公仔的进价为每个60元，若售价为每个100元，每天

能销售20件，售价每降价10元，每天可多售出20件，为了推广宣传，每个吉祥物的利润

不允许高于进价的30%,设销售吉祥物公仔每天的总利润为w(元)，那么每个吉祥物公仔

的售价定为多少元时该店铺可获得的利润最大？最大利润是多少元？

试题5

试题

20.【深度阅读】苏格兰哲学家托马斯•卡莱尔（1795-1881）曾给出了一元二次方程

/+乐+。=0的几何解法如图1,在平面直角坐标系中，已知点/（0，1）,以42

为直径作。P.若。P交x轴于点河（加,0）,N（n,0）,则加，〃为方程尤2+/+C=0的两个

实数根.（9分）

【自主探究】（1）由勾股定理得，AM2=U+m2,BM2=c2+（-b-m^,AB2=（\-^+b2,

在Rt”8加■中，AM2+BM-=AB2,所以12+疗+c?+（-6-加7=。一"+/,化简得：

m2+6加+。=0.同理可得_

所以7M,〃为方程/+6x+c=0的两个实数根.

【迁移运用】（2）在图2中的X轴上画出以方程/-3x-2=0两根为横坐标的点M,N.

（3）已知点40,1）,5（4,-3）,以N5为直径作。C.判断0c与x轴的位置关系，并说明

理由.

【拓展延伸】（4）在平面直角坐标系中，已知两点/（O,a）,B（-b,c）,若以为直径的圆

与x轴有两个交点M,N,则以点M,N的横坐标为根的一元二次方程是

试题6

试题

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数学试卷参考答案

12345678

DBDCABCD

1.D

【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键.根据一

元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二

次方程，逐项分析判断即可求解.

【详解】解：A.-+x=2,是分式方程，不是一元二次方程；故该选项不符合题意；

B.x2-2y=0,含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；

C.尤2+2》=元2一1,化简后为：2x+l=0,不是一元二次方程，故该选项不符合题意；

D.x2=0,是一元二次方程，故该选项符合题意；

故选D.

2.B

【分析】由题意知，AB//CD,则NGFB=NFED=60。，根据NGFH=NGFB-NHFB,计

算求解即可.

【详解】解：由题意知，AB//CD,

NGFB=ZFED=60°,

•••ZGFH=ZGFB-ZHFB=40°,

故选：B.

【点睛】本题考查了平行线的性质.解题的关键在于明确角度之间的数量关系.

3.D

【分析】根据关于x的方程/一x-加=0没有实数根，判断出△<(),求出加的取值范围，

再找出符合条件的别的值.

【详解】解：,•・关于x的方程,-工+优=。没有实数根，

A=-4xlx机=1-4加<0,

解得：m>：,

4

试题7

试题

故选项中只有D选项满足，

故选D.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，需要掌握一元二次方程没有实数根相当于判

别式小于零.

4.C

£

【分析】一次函数yl=kx+b落在与反比例函数y2=图象上方的部分对应的自变量的取值范

围即为所求.

【详解】•.•一次函数yl=kx+b(k、b是常数，且Q0)与反比例函数丫2=£(c是常数，且

X

80)的图象相交于A(-3,-2),B(2,3)两点，

・•.不等式yl>y2的解集是-3<x<0或x>2,

故选C.

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键.

5.A

【分析】连接OROQ,根据勾股定理知尸。=0尸-002,当0Pl.42时，线段。尸最短，

即线段尸。最短.

【详解】连接OROQ.

・•,尸。是o的切线，

.-.OQVPQ,

根据勾股定理知尸b=OP2-OQ2,

•••当时，线段尸。最短，

又「/(6,0)、3(0,6),

•.。=0=6,

试题8

试题

•1•AB=6A/2,

：.OP=LAB=3母，

2

■.-CQ=2,

•••PQ=y]0P2-Q02=V14,

故选：A.

【点睛】此题考查切线长定理，解题关键在于掌握切线长定理和勾股定理运算.

6.B

S四边形/BCO

【分析】本题主要考查了位似图形的性质.根据位似图形的性质可得

S四边形

即可求解.

【详解】解：•••四边形/BCD和四边形/BCD是位似图形,

•.•四边形/BCD的面积是4,

二四边形/2'CZ>'面积是9.

故选：B

7.C

【分析】设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为X,根据2020年底

及2022年底全省5G基站的数量，即可得出关于X的一元二次方程.

【详解】设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为X,

依题意，得：1.5+1.5(1+x)+1.5(1+x)2=15,

故选：C.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是(1)找准等量关系，正确列出一

元二次方程；(2)根据各数量之间的关系，求出按同一增长率2023年底全省5G基站数

量.

8.D

试题9

试题

【分析】由题意可得CD=2/D=4,再根据四边形403C是平行四边形求得2（2,0）,然后

根据S平行四边形4°BC=6可得歹=3,即C（4,3）,“（2,3）；进一步得到反比例函数为y=2、直线

X

BC解析式为y=1x-3,再将＞=£代入y=]x-3求得满足题意的X即可解答.

2x2

【详解】解：・・・Z（2峰）,AD=AC，

.'.CD=2AD=4f

•・•四边形ZOBC是平行四边形

：.AC=OB=2

・•・5（2,0）,

..v-6

,。平行四边形403c一0

2y=6,即y=3,

・・・C（4,3）,4（2,3）,

・••反比例函数为昨9,

X

设直线3c解析式为丁=丘+方（上片0）,

把3（2,0）,c（4,3）代入可得:

[4k+b=3k=-

八，解得：2,

2左+8=0,与

LW=-3

3

・•・直线5C解析式为＞=5%一3,

将y=9代入y=jx_3可得：-=|x-3,解得：x=l±V5,

x2x2

•・•点E在第一象限，

­•x=1+，

二点£1横坐标为1+后.

故选D.

【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合、平行四边形的性质等知识点，正确

求得反比例函数和直线2C解析式是解答本题的关键.

9.a（x+3）（x-3）

【分析】先提公因式然后再用平方差公式分解因式即可.

试题10

试题

【详解】解：ax2-9a

=a(x?-9)

=q(x+3)(x-3)

故答案为：a(x+3)(x-3).

【点睛】本题主要考查了分解因式，熟练掌握平方差公式/-/=（。+6）（。-6）是解题的关

键.

10.k<2

【分析】根据双曲线所在的象限，得至-2<0,求解即可.掌握反比例函数的图象是解题

的关键.

【详解】解：由题意，得：k-2<0；

・,・左<2；

故答案为：k<2,

49

11.——

13

【分析】先根据勾股定理得出AE的长，然后根据折叠的性质可得BF垂直平分AG,再根据

△ABM〜ziADE,求出AM的长，从而得出AG,继而得出GE的长

【详解】解：在正方形48c。中，ZBAD=ZD=90°,

.,.ZBAM+ZFAM=90°

在RQADE中，AE-yjAD2+DE2=7122+52=13

・•油折叠的性质可得△ABF=AGBF

.•,AB=BG,ZFBA=ZFBG

•e•BF垂直平分AG,

•••AMnMG,ZAMB=90°

.-.ZBAM+ZABM=90°

试题11

试题

.-.ZABM=ZFAM

△ABM〜△ADE

AMABAM12

•,一,,,

DEAE丁F

60120

.‘•AM二—,•‘•AG二---

1313

12049

•'«GE=13-----=—

1313

【点睛】本题考查了正方形与折叠，勾股定理，等腰三角形的性质，以及三角形相似的判定

和性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键

8

12.46+-兀

3

【分析】本题考查等边三角形性质，正六边形性质，扇形面积公式等.根据题意先计算出

打8〃的面积，再计算扇形面积及面积，即可得到本题答案.

【详解】解：过点H作〃交于点E,连接OC,O£>,

・•・。。的内接正六边形ABCDEF的边长为4,〃为边”的中点,

.­.ZCOD=60°,ZECO=60°,CO=OD=4,£为边CD的中点,

CE=DE=2,

■■OE=2^3,

■■EH=,

Srnff=—x4x4石=8G,

•・・扇形COD面积：丝对二9兀，

36003

SACOD=；x4x26=4A/3,

・•・阴影部分的面积：8百+（|兀-4G）=8G+|兀-46=46+|兀,

故答案为：4^6+|■兀.

试题12

试题

13.(1)V3+3;(2)----

a+2

【分析】(1)首先计算绝对值，负整数指数累，零指数累和算术平方根，然后计算加减;

(2)根据分式的混合运算法则求解即可.

【详解】(1)|V3-1|+|-(>T-3.14)0+V9

a—1(。-1)

(7—1(a+2)(a—2)

ci—\

a+2'

【点睛】本题考查了实数的运算、异分母分式的加减运算，涉及了算术平方根、负指数暴、

零指数塞的运算等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.

14.(l)m>|

(2)m=2

【分析】本题考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解题关键是将熟练掌握一元

二次方程的判别式与根的关系及两根之积与两根之和.

(1)由方程求出判别式A20即可.

(2)由一元二次方程根与系数的关系，用含入代数式表示两根之和及两根之积，进而求

解.

22

【详解】(1)解：A=[-2(W+l)]-4(m+2)=8m-4,

•••方程总有两个实数根，

/.8m-4>0,

/.m>—.

2

(2)由西+迎=再入2，

试题13

试题

2

vxx+x2=2（m+1）,x1x2=m+2,

•••2（m+1）=m2+2,

整理得m2-2m=0，

解得加i=0或加2=2,

1

'：m>—,

2

:・m=2.

15.⑴见解析

⑵2

20

⑶小强的结论不正确，理由见解析

【分析】（1）利用方程求出阅读1小时的人数，补图即可;

（2）运用列举法求概率即可；

（3）运用树状图求概率即可.

【详解】（1）解：设时间为1小时的人数为。人，则

1x67+2x9+3x6+4x3

--------------------=2.5,

a+9+6+3

解得：。二2,

经检验：。一2是原方程的解,

则补图为:

（2）解由（1）可知参加课外阅读的人数为2+9+6+3=20人，其中课外阅读时间不少于3h

的有6+3=9人,

6+39

・•・嘉嘉的课外阅读时间不少于3h的概率为

2+9+6+320

（3）解：画树状图得:

试题14

试题

开始

由树状图可知共有6种等可能结果，其中选中的两名学生都是男生的有2种，所以概率为

2_£

6"31

，小强的结论不正确.

【点睛】本题考查条形统计图，列举法求概率，画树状图求概率，掌握等可能事件概率的求

法是解题的关键.

16.⑴见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平行线的

判定，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平行线的判定

是解此题的关键.

(1)由旋转可知，NEBD=60。,BE=BD,由等边三角形的性质可得

NABC=NDCB=60。,AB=BC,进而可得NEB/=/D8C,根据全等三角形的判定可得结

论；

(2)由“BE知CBD可得NE4B=NDCB,进而可得NE48=N/8C,结合平行线的判定

可得/

【详解】(1)证明：由旋转可知，NEBD=60°,BE=BD,

是等边三角形，

NABC=ZDCB=60°,AB=BC,

ZEBD=ZABC=60°,

ZEBD-ZABD=ZABC-AABD,即NEBA=ZDBC,

LABE空LCBD(SAS)；

(2)证明：由(1)知，AABE为CBD,

NEAB=ZDCB,

ZABC=ZDCB=60°,

试题15

试题

/EAB=/ABC,

AE//BC.

8

17.d)y=-

x

(2)5

【分析】(1)由题意可得点/的坐标为(2,4),代入y=求出左的值即可；

(2)连接NE,过点/作/斤，于点尸，由直线8为线段04的垂直平分线可得AE=OE,

设线段的长为"?，则=EF=m-2,由勾股定理得/E?=/严+E尸？，即

m2=42+(m-2)2,求出加的值即可.

【详解】(1)解：轴，

:.AABO=W0,

AB=2,OB=4,

，点4的坐标为(2,4),

将42,4)代入＞=£

X

得左=8,

Q

・••反比例函数的表达式为歹=2.

X

(2)解：连接过点4作/尸，0E于点/，如图所示：

AE=OE,

设线段OE的长为m,则AE=m,

二点4的坐标为（2,4）,

.•./尸=4,OF=2,

・•・EF=m-2,

试题16

试题

在Rt“跖中，由勾股定理得，AE2=AF2+EF2,

即m2=42+(w—2)~,

解得："2=5,

.••线段OE的长为5.

【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数解析式、线段

垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

18.⑴见解析

(2)啊-4百

3

【分析】(1)连接OC,可得N5CO=NOC4,由于45是O。的直径，可得N/C5=90。，

从而得至(J/OC4+/OCB=/BCZ)+/OC5=90。，即可；

(2)设OO的半径为「，贝lJ/5=2〃，由于/。=30。,/。8=90。，可得到〃=4,

44。。=120。,5。=4,再求出/。=46，分别计算的4。的面积以及扇形的面积即可

求出阴影部分面积.

【详解】(1)证明:如图，连接。。,

-0A=0C,

•••/BAC=/OCA,

•・•/BCD=ABAC,

・•・/BCD=ZOCA,

・•・力5是OO的直径，

・•.NACB=90°,

・•.ZOCA+ZOCB=/BCD+ZOCB=90°,

・・・NOCZ)=90。，

・•,OC是半径，

・•.CD是OO的切线；

(2)设OO的半径为r,则OA=OC=OB=r,

试题17

试题

•••AB=2r,

•・・ND=30。,/OCD=90。,

・•.OD=2OC=2r,/COB=60°,

-OB=OC,

・•."OC是等边三角形，

:.BC=OC=r,

­.ZAOC=120°f

•・•BD=4,

OD=r+4

r+4=2r,

解得：一二4,

：.OA=BC=4,

•・•/ACB=90°,

・•.//=30。，

・•.AB=2BC=8

-AC=AB2-BC2=45

过点。作。于点E,

OE=—OA=2,

2

...S.A℃=；OE.AC=，

_120^-x42_16%

"扇形”℃――360—~~f

・•・阴影部分面积为S扇形“c-打℃=殍-4vL

【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，勾股定理，含30度的直角三角形的

性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

19.⑴月平均增长率是20%

（2）每个吉祥物公仔的售价定为78元时该店铺可获得的利润最大，最大利润是1152元

【分析】（1）设月平均增长率为〃?，根据7月份的销售量是5万件，9月份的销售量是7.2

万件列出方程，解方程即可；

（2）设每个吉祥物公仔的售价为x元，先根据每个吉祥物的利润不允许高于进价的30%,

试题