2024-2025学年沪科版数学八年级下册 第17章 一元二次方程 综合素质评价（含答案）

第17章综合素质评价

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)

1.下列方程中，是一元二次方程的是()

A.ax1+bx+c=0B.(x-l)(x-3)=x2

,2

C.-x2=0D1+3x-5=0

2.[2024•济南]若关于x的方程^-x-m=Q有两个不相等的实数根，则实数m

的取值范围是()

11

-

A<Bm>-

44C.m<-4D.m>-4

3.[2024•聊城二模]用配方法解一元二次方程X2+6x+3=0时，将它化为(x+m)2

=n的形式，则加-〃的值为()

A.3B.0C.-1D.-3

4.[2024•烟台期中]若x=-1是关于x的一元二次方程ax2+bx+l=0(aH0)的一

个根,则2023-3a+3b的值等于()

A.2027B.2024C.2025D.2026

5.[2024・合肥校级期中]据初步统计，合肥园博园自2023年9月26日开园至12

月26日，累计接待游客约632万人次，假设第1个月接待游客约105万人

次如果每月接待游客人次的增长率相同，设增长率为x则可列方程为()

A.105+105(1+x)+105(1+2x)=632B.105(1+x)2=632

C.105+105(1+x)+105(1+x)2=632D.1+(1+x)+(l+x)2=632

6.《代数学》中记载,形如l+8x=33的方程,求正数解的几何方法是："如图

①，先构造一个面积为%2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面

积为2x的长方形，得到大正方形的面积为33+16=49,则该方程的正数解

为7-4=3."小唐按此方法解关于x的方程x2+12x=加时，构造出如图②

所示的图形，已知阴影部分的面积为64,则该方程的正数解为（）

A.4B.6C.8D.10

7.若关于x的一元二次方程（加+2）x2+（2m+l）x+m=Q有解,则m的取值范围

是（）

1111

且

B2<声2

4-m4--

A.m<<4

8.已知xi,&是方程x2-x-2026=0的两个实数根，则代数式x31-2026xi+

-2的值为（）

A.4053B.4052C.2026D.1

3x-a17

9.若分式方程/丁+一匕=抚解,则实数a的值是（）

x-2xx-2A

A.0或2B.4C.8D.4或8

10.[2024杭州期中]对于代数式ax2+bx+c（a^0,a,b,c为常数）,下列说法正

确的是（）

①若b2-4ac=0,则加+bx+c=0有两个相等的实数根；

②存在三个实数m,n,，使得am1+bm+c=an2+bn+c=ah2+

bh+c]

2

③若ax+bx+c+2=0与方程（x+2）（x-3）=0的解相同,则Q+b=0.

A.①②B.①③C.②③D.①②③

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)

11.关于x的方程-3)--7-3x-2=0是一元二次方程，贝!Ja=.

12.三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程--6x+8=0的解，则此

三角形的周长是.

13.[2024合肥蜀山区期末]为了节省材料，某农场水产养殖户利用水库的岸堤(岸

堤足够长)为一边用总长为120米的围网在水库中围成了如图所示的①、②、

③三块长方形区域，且这三块长方形区域的面积都为225平方米，则图中a

的值为.

<---------a米------►

区率①

区域②区域③

岸堤

14.如果一个三位自然数abc的各数位上的数字均不为0,且使得关于x的方程

a^+bx+c=Q有两个相等的实数根，那么称这个三位数为该方程的"等根

数".例如:三位数441是方程4/+4x+1=0的"等根数’，则关于x的方

程ax2+乐+c=0的最小"等根数"是________；如果m是关于x的方程ax2

++c=0的"等根数"，记"附=后+62+c2,G(m)-a-c,若^^是整

数，则满足条件的m的最大值是________.

三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

15.[2024•合肥期中]解方程：

(1)3--6x+1=0(用配方法)；-(2)x(%-l)=x

3

16.已知关于x的一元二次方程x1-mx-2=0.

(1)求证：对于任意实数机,方程总有两个不相等的实数根；

(2)若方程有一个根为-2,求相的值.

四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

17.对于实数m,n,我们定义一种运算"※"：加※〃=〃，例如：国2

=1x24-1+2=5.

⑴化简：1%:；

⑵解关于x的方程：次(1刈)=3.

18.在等腰三角形ABC中,AB=AC,MBC的周长为11,且有(BC+1)2=4AB,

求AABC的腰长和底边长.

五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)

19.已知关于x的一元二次方程x2+4x-2a=0.

(1)若方程有两个实数根，求。的取值范围；

⑵在⑴中，设XI,%2是该方程的两个根，且2x1+2x2-3XIX2=0,求a的值.

20.[2024•合肥二模]高乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和灰色正

方形按一定规律搭建图形(如图),观察图形，回答下列问题：

△人△二「A

AAA

①②③④

1X(1+1)

⑴图①中的灰色正方形的个数为1+1=1+—2—；

2x(1+2)

图②中的灰色正方形的个数为1+1+2=1+——；

一3x(1+3)

图③中的灰色正方形的个数为1+1+2+3=1+—5—

5

4x（1+4）

图④中的灰色正方形的个数为1+1+2+3+4=1+—一-；...；

则图⑪中的灰色正方形的个数为；

⑵图①中，白色正方形比灰色正方形多1个；图②中，白色正方形比灰色正方

形多2个；图③中,白色正方形比灰色正方形多3个；…；则图0中的白色

正方形有个；

⑶若图信中灰色正方形比等边三角形多45个，求图㈤中白色正方形的个数.

六、（本题满分12分）

21."网络直播带货"已经成为时尚的销售方式，某带货主播准备销售一种防护

品，进货价格为每件20元，并且每件的售价不低于进货价.经过初期试销

售调查发现：每周的销售量＞（件）与每件的售价式元）之间满足如图所示的函

数关系.

⑴求每周的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式.（不必写出自变

量的取值范围）

⑵物价部门规定，该防护品每件的利润不得高于进货价的70%,该带货主播销

售这种防护品每周的总利润要想达到3360元，那么每件的售价应定为多少

元？

七、（本题满分12分）

22.根据以下素材，完成探索任务

探索果园土地规划和销售利润问题

某农户承包了一块长方形果园

ABCD,如图是果园的平面图,

其中AB=200m,BC=300

m.准备在它的四周铺设道路，

单位：m

上下两条横向道路的宽度都为l&D

素丁

^-\n\H

材2xm,左右两条纵向道路的宽

________eUc

1度都为xm,中间部分种植水

BxlJxC

果.已知道路的路面造价是50

元/n?；出于货车通行等因素的

考虑，纵向道路的宽度不超过

12m,且不小于5m.

7

该农户发现某一种草每销售前景比较不错，经市场调查发现，草每

素

培育一年可产果，已知销售每平方米的草售的平均利润为100兀；

材

果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，

2

每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用.

问题解决

解决果园中路面宽度的设计对⑴请直接写出X的取值范围；

任

种植面积的影响问题.(2)若中间种植部分的面积是44800

务

m2，则路面设置的宽度是否符合

1

要求？

解决果园种植的预期利润问⑶请用含x的代数式表示"路面造

任题.(净利润=销售草售的总利价费用“为__________元.

务润-路面造价费用-果园承包(4)经过1年后，该农户是否可以达

2费用-新苗购置费用-其余费到预期净利润为400万元？请说

用)明理由.

八、(本题满分14分)

23.如图所示,△ABC中,Z.B=90°,AB=6cm,BC=8cm.

(1)点P从点A出发沿AB边向点3以1cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿

BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果P,Q分别从A,B同时出发，线

段PQ能否将AABC分成面积相等的两部分？若能，求出移动的时间；若不

能，请说明理由.

⑵若点P从点A出发沿射线AB以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿射

线底以2cm/s的速度移动,P,Q分别从A,C同时出发,经过几秒，&PBQ

的面积为1cm2?

9

一、l.C2.B3.D4.D5.C

6.A【点拨】•••阴影部分的面积为64,

.1.X2+12%=64.

先构造一个面积为一的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为

3x的长方形,得到大正方形的面积为64+32x4=64+36=100，则该方程的

正数解为10-6=4,故选A.

7.D

8.A【点拨】由题意得x2i-Xi-2026=0,Xi+%2=1,X1X2=-2026,.1.x21

2

-2026=原式=xi(凸-2026)+X22=X2I+^2=(xi+%2)-2XIX2=1+

4052=4053.

♦I点方法〕在遇到求值问题时，遇到高次代数式，可根

据条件进行降次，再整体代值计算.

3x-a17

9D【点拨】'+二

去分母，得3x-a+x=2(%-2),

去括号、移项、合并同类项，得2x=a-4,

4

两边同时除以2,得x=—.

若原分式方程无解，则x(x-2)=0,

解得x=0或2.

<7-4

当x=0时，=0,解得tz=4；

(7-4

当时，解得

x=22=2,0=8.

「•〃二4或8.故选D.

10.B【点拨】,「△二加-4ac=0，:方程加+Zzx+c=0有两个相等的实数根

①正确；

,一一元二次方程ax2+bx+c=k(k为常数)最多有两个解，二②错误；

方程(X+2)(%-3)=0的解为xl=-2,^=3,

将元二-2代入ax1+Zzx+c+2=0得4〃-2b+c+2=0,即4〃-2b=-2-c；

将x=3代入ax1+6%+(:+2=0,得9〃+36+(:+2=0,即9〃+36=-2-c,

「.4〃-2b=9a+3b,BP5a+5b=0.

.,.a+b=0.

・•.③正确.故选B.

二、11.-312.1313.30

14.121；882【点拨】•.益丁是方程以2+汝+。二。的〃等根数〃，

.t.△=b2-4ac=0.

,即b=2\[ac.

••丽F为最小〃等根数〃，

=1,6=2.

/.c=1.

最小〃等根数〃是121.

'.'b2=4ac,

222222

F(m)a+b+ca+4ac+c(a-c)+6ac^ac

5冲a-ca-ca-ca-c

••型久旱教•修竺早教

,Gg)正年必'.〃./^走姒・

11

又=2\[ac,

:易知“9.

当a=8时，6=4后:b为整数，:c=2,满足包”是整数,此时6=8.

a-c

.--m的最大值是882.

三、15.【解】(lyTx2-6x+1=0,.'.Sx2-6x=-1.

c1

「X9-2x=-

22

/.x2-2x+1=,即(%-I)2=

#rr3+^63-^6

.'.x-1=±3,BPxi=-，X2=-3-

(2\.'x(x-1)=x,.*.x(x-1)-x=0.

.*.x(x-2)=O./.x=0或％-2=0,

BPxi=0,xi-2.

16.(1)【证明】e.,△=(-m)2-4x1x(-2)=m2+8>0，:对于任意实数m,方程

总有两个不相等的实数根.

(2)【解】若方程有一个根为-2,则(-2)2-(-2)m-2=0,解得m--1.

四、17.【解】⑴由题意得1※%=尤+1+%=2尤+1.

(2)二,元※(1刈)二3，.二次(2%+1)=3.

「•2X2+x+x+2x+l=3,

解得xi=-1+也，％2=-1-y/2.

18.【解】i§：AB=AC=x,贝U5C二H-2%.

2

/(BC+1)=4ABz/.(ll-2x+1)2=4%

整理，得%2-13%+36=0,

解得XI=4,X2=9(不合题目，舍去),

：.AB=AC=4,BC=3.

即腰长为4,底边长为3.

五、19.【解】⑴由题意得16+8tz>0,解得a>-2,

即a的取值范围为a>-2.

4

---2a

⑵由一元二次方程的根与系数的关系，得为+及=1--4,X1X2-

-2a.

.「2xi+2x2-3xiX2=0,-8-3x(-2a)=0,

4

解得a=y

n(l+n)

20.【解】(1)1+1+2+3+...+n=1+2

(n+2)(n+1)

⑵一2—

(3)由题图可知，图⑨中等边三角形的个数为(〃+1).

•.•图何中灰色正方形比等边三角形多45个，

n(l+n)

•,.1+2=n+1+45,

解得〃=10或〃=-9(舍去).

(〃+2)(〃+1)12x11

当〃=10时，=^-=66,

2

二图何中白色正方形的个数为66.

六、21.【解】⑴由图象可知每周的销售量>(件)与每件的售价式元)之间为一次

函数关系,

设其函数关系式为y=kx+仇ZN0),

13

将(30,300),(40,200)的坐标代入,

30k+b=300,\k=-10,

得V解得<

140左+5=200,[b=600,

,每周的销售量y(件)与每件的售价x(元)之间的函数关系式为y=-10x+

600.

(2)根据题意得(-10x+600)(%-20)=3360,

整理，得x2-80x+1536=0,

解得xi=32,%2=48.

•.,该防护品每件的利润不得高于进货价的70%,

.,.x<20x(l+70%),即尤434.

，x=48不合题意，舍去..,.%=32.

・•.当这种防护品每件的售价定为32元时，该带货主播销售这种防护品每周的

总利润可达到3360元.

七、22.【解】⑴54x412.

⑵根据题意得(300-2x)(