2024-2025学年江西省南昌市九年级上期末数学试卷（附答案解析）

2024-2025学年江西省南昌市九年级上期末数学试卷

一.选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1.（3分）在下列式子中，是一元二次方程的是（）

A./+xB.x1-5--x

,1

C.x~-6xy+8—0D.2%2一±=0

x

2.（3分）下列事件为随机事件的是（）

A.海底捞月B.刻舟求剑C.守株待兔D.水滴石穿

3.（3分）如图所示，在3义3正方形网格中,已有三个小正方形被涂黑,将剩余的白色小正方形再任意涂

黑一个，则所得黑色图案是中心对称图形的情况有（）

D.2种

4.（3分）如图，下列条件不能判定的是（）

ADAB

A.ZABD^ZACBB.ZADB^ZABCC.AB1=AD-AC

AB-BC

第1页（共23页）

6.（3分）二次函数y=ax2+6x+c（aWO）的图象如图所示.下列结论：①a6c<0；②庐-4ac>0；③2a+6

=0；④m为任意实数，则a+b^am2+bm；⑤（a+c）2>/.其中正确结论有（）

二.填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7.（3分）从-1、1、2、3这四个数中任取一个，作为二次函数>="2+/+<?的a值，则所得二次函数开

口向上的概率是.

8.（3分）若一元二次方程f-4x+l=0的两根分别为xi,如则xi+x2-2XLX2的值为.

9.（3分）已知/（1,-2）、3（m,n）两点，若/、B两点关于原点对称，贝U.

10.（3分）在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同.若从中

随机摸出一个球是白球的概率是g则黄球的个数为.

11.（3分）己知圆锥的母线长5,侧面展开图形扇形的圆心角是216°,则圆锥的高是.

12.（3分）如图，在△NBC中，N4CB=90°,ZABC=30°,将△48。绕顶点C逆时针旋转，旋转角

为e（0°<0060°）,得到△H9C.设/C中点为E,A'B'中点为P,/C=3,连接EP,£尸长（EP

长为整数）可能是.

第2页（共23页）

三.解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13.（6分）选择合适的方法解方程：

（1）X2-4X-1=0；

（2）x2-3x=2x-6.

14.（6分）“落霞与孤鹫齐飞，秋水共长天一色”，南昌是个好地方.某天甲、乙两人来南昌旅游，两人分

别从4,B,C三个景点中随机选择一个景点游览.

（1）求甲选择N景点的概率；

（2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率.

15.（6分）如图，。。为△NBC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1,图2中画出

一条弦，使这条弦将△NBC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）.

（1）如图1,NBAC=/ABC；

（2）如图2,直线/与。。相切于点P,且/〃3c.

16.（6分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,其顶点称为格点，△48C和△££0的顶

点都在格点上，则△/BC与△£打）相似吗？请说明理由.

17.（6分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利,

第3页（共23页）

尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天

可多售出2件，求：

（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？

四.解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18.（8分）如图所示，△/8C三个顶点坐标分别为/（-1,0）、3（-2,-2）、C（-3,-1）,请在所

给的正方形网格中按要求画图和解答下列问题：

（I）以/点为旋转中心，将△48C绕点/顺时针旋转90°得△/BiCi,画出△481。.

（2）画出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△/2比。2.

（3）若历C2可看作是由△A8C1旋转得来，则旋转中心坐标为.

19.（8分）为了倡导“节约用水，从我做起”，南昌市政府决定对直属机关500户家庭用水情况进行调查.市

政府调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（单位：吨），将调查结果制成了如下尚不

完整的统计表：

月平均用水量（吨）34567

频数（户数）4a9107

频率0.080.40b0.200.14

请根据统计表中提供的信息解答下列问题：

（1）填空：a=,b=.

（2）根据样本数据估计，直属机关500户家庭中月平均用水量小于5吨的约有多少户？

（3）市政府决定从用水最为节约的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享.请

用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、乙两户的概率.

第4页（共23页）

20.(8分)如图，已知在△/8C中，ZC=90°,BC=6cm,NC=8c加，点尸从点8开始沿3/边向点/

以2cm/s的速度移动，同时点0从点/开始沿/C边向点C以:km/s的速度移动.当尸、0两点中有一

点到达终点，则同时停止运动.设运动时间为fs.

(1)当/=时△E4Q与△48C相似；

21

(2)是否存在某一时刻/的值使得△山。的面积等于二cm92,若存在，求出/的值；若不存在，请说

明理由.

五.解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)

21.(9分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数>=履+6与反比例函数y=—怖的图象交于/(-1,M),

B(n,-3)两点，一次函数>=履+6的图象与y轴交于点C.

(1)求一次函数的解析式；

(2)根据函数的图象，直接写出不等式依+的解集；

(3)点P是x轴上一点，且△3OP的面积等于面积的2倍，求点尸的坐标.

22.(9分)如图，在△NBC中，N/C2=90°,点。是48边的中点，点。在边上，。。经过点C且

与AB边相切于点E,若/FBC=^ZADC.

(1)求证：AF是。。的切线；

(2)若/C=6,BC=8,求。。的半径及的长.

第5页(共23页)

F

c

DE

六.解答题（本大题12分）

23.（12分）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵

三倍点”.例如（1,3）,（-2,-6）都是“纵三倍点

（1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是；（填序号）

①y=-2x+l；②>=乌；@j=x2+x+l；@y=x2+x-3

（2）已知抛物线>=2/+%;什〃（m,〃均为常数）与直线y=x+4只有一个交点，且该交点是“纵三倍

点”，求抛物线的解析式；

（3）若抛物线丫=收+6%+楙（。,6是常数，a>0）的图象上有且只有一个“纵三倍点"，令卬=庐

-2b+6a,是否存在一个常数,,使得当/W6W/+1时，坟的最小值恰好等于K若存在，求出/的值；若

不存在，请说明理由.

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2024-2025学年江西省南昌市九年级上期末数学试卷

参考答案与试题解析

题号123456

答案BCCDBC

一.选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1.（3分）在下列式子中，是一元二次方程的是（）

A./+xB.x2-5=-x

C.x2-6xy+8=0D.2x2—^=0

【解答】解：不是等式，则N不符合题意；

x2-5=-x符合一元二次方程的定义，则2符合题意；

x2-6xy+8=0含有两个未知数，则C不符合题意；

2/一1=0不是整式方程，则。不符合题意；

故选：B.

2.（3分）下列事件为随机事件的是（）

A.海底捞月B.刻舟求剑C.守株待兔D.水滴石穿

【解答】解：海底捞月，刻舟求剑是不可能事件，水滴石穿是必然事件，守株待兔是随机事件，

故选：C.

3.（3分）如图所示，在3义3正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂

黑一个，则所得黑色图案是中心对称图形的情况有（）

【解答】解：根据中心对称图形的定义，可涂黑的小正方形的位置分别为第1行的第1个，第3个，第

3行的第3个，共3种，

故选：C.

第7页（共23页）

4.（3分）如图，下列条件不能判定△4D3s/S4gc的是（）

A.NABD=NACBB.ZADB^ZABCC.AB1=AD•ACD.—=——

ABBC

【解答】解：VZABD^ZACB,/A=/A,

：.△ADBsAABC,

故/不符合题意；

VZADB=ZABC,ZA=ZA,

：.△ADBs^ABC,

故8不符合题意；

'：AB2=AD'AC,

.ABAC

••—,

ADAB

又/A=/A,

：.AADB^AABC,

故C不符合题意；

根据77=77，不能判定

ADDC

故。符合题意；

故选：D.

5.（3分）若图中反比例函数的表达式均为y=事则阴影面积为2的是（

第8页（共23页）

y

y

o

x

匚

C.D.

【解答】解：选项4中，阴影面积=xy=4W2,故选项/不符合题意;

11_

选项5中,阴影面积为5=-x4=2,故选项B符合题思;

选项。中,阴影面积为2x4町/=2x±x4=4,故选项C不符合题意;

选项。中,阴影面积为4x*xy=4x*x4=8,故选项。不符合题意;

故选：B.

6.（3分）二次函数（QWO）的图象如图所示.下列结论：①qbc<0；②■-4QC>0；③2q+6

=0；④加为任意实数，则Q+62Q加2+b加；⑤（Q+C）2>炉.其中正确结论有（）

C.4个D.5个

【解答】解：・・•二次函数图象开口向下,

:二次函数的对称轴为X1,

一/j

：.b>Q,

・・•二次函数图象与〉轴的正半轴相交,

/.c>0,

abc（。,

第9页（共23页）

故结论①正确；

:二次函数图象与X轴有两个不同的交点，

.".ax2+bx+c^0有两个不相等的实数根，

A=b2-4ac>0,

故结论②正确；

h

•二次函数的对称轴为x=l,即一方=1，

••Z?=-2。，

・•2a+Z?=0,

故结论③正确；

..•二次函数图象开口向下，对称轴为x=l,

...当x=1时，7有最大值a+b+c,

•••加为任意实数，

当x=m时，am2+bm+ca+b+c,

a+b^am2+bm,

故结论④正确；

:二次函数图象对称轴为x=l,与x轴的一个交点在2〜3之间，

...与x轴的另一个交点-1〜0之间，

.,.当x=l时，a+b+c>0；当x=-l时，a-b+c<0；

a+b+c)(a-6+c)<0,

即(a+c)2-b2<0,

(a+c)2<Z>2,

故结论⑤不正确；

综上所述，结论①②③④正确，

故选：C.

二.填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

7.(3分)从-1、1、2、3这四个数中任取一个，作为二次函数y=ax2+bx+c的a值，则所得二次函数开

3

口向上的概率是

4

【解答】解：•.•从-1、1、2、3这四个数中任取一个，作为二次函数y=ax2+6x+c的。值，则所得二次

函数开口向上的有1、2、3,共3个，

第10页(共23页)

3

，所得抛物线开口向上的概率为7

4

3

故答案为：

4

8.（3分）若一元二次方程f-4%+1=0的两根分别为xi,%2,贝!]%1+%2-2XIX2的值为2.

【解答】解：:知，X2是一元二次方程--以+1=0的两根，

・・X1+X2=4,%1%2=1，

/.X1+X2-2X1X2

=（X1+X2）-2X1X2

=4-2

=2,

故答案为：2.

9.（3分）已知/（1,-2）、BCm,n）两点，若/、8两点关于原点对称，则加-〃=-3.

【解答】解：（1,-2）、B（%,〃）关于原点对称，

••加=11,〃=2,

:・m-n=-1-2=-3.

故答案为：-3.

10.（3分）在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同.若从中

随机摸出一个球是白球的概率是g则黄球的个数为3个.

【解答】解：设黄球的个数为x个，

62

根据题意得：=

6+x3

解得x=3,

经检验：x=3是原分式方程的解，

黄球的个数为3个.

故答案为：3个.

11.（3分）己知圆锥的母线长5,侧面展开图形扇形的圆心角是216°,则圆锥的高是4.

、2167rx5

【解答】解：扇形的弧长为：———=6m

180

则圆锥的底面半径为：*=3,

27r

由勾股定理得，圆锥的高为府二9=4.

故答案为：4.

第11页（共23页）

12.（3分）如图，在△NBC中，N4CB=90°,ZABC=30°,将△N5C绕顶点。逆时针旋转，旋转角

为。（0°<9<360°）,得到△/EC.设NC中点为E,A'B'中点为P,/C=3,连接EP,EP长QEP

【解答】解：连接CP,中点为E,AC=3,

13

：.AE=CE=^AC=J,

VZACB=90°,ZABC=30°,ZC=3,

*.AB=6,

,・/B'=AB=6,

"：A'B'中点为P,

CP='B'=3,

/.点P的运动路径是在以点C为圆心，心4为半径的圆上,

EP的最小值为CP-CE=3—2=彳

29

EP的最大值为CP+CE=3+2=2，

39

•••T<EP<

长（E尸长为整数）可能是2,3,4.

三.解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13.（6分）选择合适的方法解方程：

(1)x2-4x-1=0；

(2)x2-3x=2x-6.

第12页（共23页）

2

【解答】解：(1)X-4X-1=0,

x2-4x+4=l+4,

(x-2)2=5,

则x-2=±V5,

所以％1=2+V5/%2=2—V5.

(2)x2-3x=2x-6,

x(x-3)_2(x_3)=0,

(%-3)(x-2)=0,

贝！Jx-3=0或x-2=0,

所以xi=3,X2=2.

14.(6分)“落霞与孤鹫齐飞，秋水共长天一色”，南昌是个好地方.某天甲、乙两人来南昌旅游，两人分

别从B,C三个景点中随机选择一个景点游览.

(1)求甲选择N景点的概率；

(2)请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率.

【解答】解：(1)甲选择/景点的概率为g

(2)根据题意画树状图如下：

开始

:共有9种等可能的情况，其中甲、乙两人中至少有一人选择C景点的情况有5种，

甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率是京

15.(6分)如图，。。为△/8C的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1,图2中画出

一条弦，使这条弦将△/3C分成面积相等的两部分(保留作图痕迹，不写作法).

(I)如图1,ZBAC=ZABC；

(2)如图2,直线/与。。相切于点P,且/〃3c.

第13页(共23页)

p

（2）如图2中，弦40即为所求.

16.（6分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,其顶点称为格点，△48C和△£/明的顶

点都在格点上，则△/BC与相似吗？请说明理由.

【解答】解：△N5C与△££0相似，理由如下:

由勾股定理可得：

AB-Vl2+22=V5,

AC=V22+42=2V5,

BC—V32+42=5,

EF=Vl2+I2=V2,

ED=V22+22=2V2,

DF=V32+I2=V10,

.ABACBCV10

EF~DE~DF~2'

第14页（共23页）

...△ABCs^EFD.

17.(6分)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，

尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天

可多售出2件，求：

(1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？

【解答】解：(1)设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，则每件盈利(40-x)元，每天可以

售出(20+2x)件，依题意得：

y=(40-x)(20+2x)

=800+80x-20x-2x2

=-2/+60丫+800,

当>=1200时，1200=(40-x)(20+2x),

解得xi=10,X2=2O,

:要尽快减少库存，

***x=20»

答：每件衬衫应降价20元；

(2)V>=-2X2+60X+800=-2(x-15)2+1250,

...当x=15时，y的最大值为1250,

答：当每件衬衫降价15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250元.

四.解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)

18.(8分)如图所示，△/8C三个顶点坐标分别为/(-1,0)、3(-2,-2)、C(-3,7),请在所

给的正方形网格中按要求画图和解答下列问题：

(1)以/点为旋转中心，将△A8C绕点/顺时针旋转90°得△4B1C1,画出△/BiCi.

(2)画出△NBC关于坐标原点。成中心对称的△/2B2C2.

(3)若△/2比。2可看作是由旋转得来，则旋转中心坐标为(0,-1).

第15页(共23页)

yjk

【解答】解：⑴如图，△4BC1即为所求.

（2）如图，△，力2。2即为所求.

（3）连接442,BMCiC2,分别作线段442,BMC1Q的垂直平分线，相交于点P，

则232c2可看作是由△/以。绕点P顺时针旋转90°得来，

由图可知，旋转中心尸的坐标为（0,-1）.

故答案为：（0,-1）.

19.（8分）为了倡导“节约用水，从我做起”，南昌市政府决定对直属机关500户家庭用水情况进行调查.市

政府调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（单位：吨），将调查结果制成了如下尚不

完整的统计表：

月平均用水量（吨）34567

频数（户数）4a9107

频率0.080.40b0.200.14

请根据统计表中提供的信息解答下列问题:

第16页（共23页）

（1）填空：a=20,b=0.18.

（2）根据样本数据估计，直属机关500户家庭中月平均用水量小于5吨的约有多少户？

（3）市政府决定从用水最为节约的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享.请

用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、乙两户的概率.

【解答】解：（1）抽取的户数为4+0.08=50（户），

."=50X0.40=20,6=9+50=0.18.

故答案为：20；0.18.

（2）500X（0.08+0.40）=240（户）.

估计属机关500户家庭中月平均用水量小于5吨的约有240户.

（3）列表如下：

甲乙丙T

甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）

乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，丁）

丙（丙，甲）（丙，乙）（丙，丁）

T（丁，甲）（T,乙）（丁，丙）

共有12种等可能的结果，其中恰好选到甲、乙两户的结果有：（甲，乙），（乙，甲），共2种，

21

...恰好选到甲、乙两户的概率为r=--

126

20.（8分）如图，已知在△/8C中，ZC=90°,BC=6cm,4c=8cm,点P从点B开始沿54边向点4

以2cw/s的速度移动，同时点。从点/开始沿/C边向点C以:kw/s的速度移动.当尸、0两点中有一

点到达终点，则同时停止运动.设运动时间为fs.

4025

（1）当片五秒或7秒时△力。与AABC相似:

21

（2）是否存在某一时刻，的值使得△以。的面积等于Fcm2,若存在，求出/的值；若不存在，请说

明理由.

第17页（共23页）

A

【解答】解：在中，ZC=90°,BC=6cm,AC=^cm,：.AB=y/AC2+BC2=10(cm),

设运动时间为，秒，则5尸=2,c加，AP=AB-BP=(10-2/)cm,AQ=tcm,

APAQ

(1)当t时f，一=—,

ABAC

10—2tt

10-8’

当△N0Ps/^4Sc时，一=一,

AC

10-2t

8—10’

答：当UR秒或*7秒时，△口。与△45。相似;

故答案为：石秒或彳秒；

（2）不存在,

理由：如图，过点尸作尸于。，

：.PD//BC,

：.△APDsdABC,

PDAP

BC~AB"

PD10-2t

3

.*.PD=2(10-2t),

•PD=

整理得，於-5什7=0,

第18页（共23页）

,/A=25-28<0,

21

不存在f的值，使得△以0的面积等于三池2.

五.解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)

21.(9分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数>=依+6与反比例函数y=—9的图象交于/(-1,m),

B(M,-3)两点，一次函数>=履+6的图象与夕轴交于点C.

(1)求一次函数的解析式；

(2)根据函数的图象，直接写出不等式依+62-1的解集；

【解答】解：(1):反比例函数y=—1的图象经过点/(-1,机)，B(n,-3),

-1Xm=-6,-3n=-6,

解得加=6,n=2,

：.A(-1,6),B(2,-3),

把/、3的坐标代入y=fcc+6得：:二63，

解得《工3,

...一次函数的解析式为y=-3x+3.

第19页(共23页)

(2)观察图象，不等式kx+b2-［的解集为：xW-1或0<xW2.

(3)连接。/,0B,由题意C(0,3),

19

X3X1+X3X2=|,

1a

由题思丁惬卜3=yx2,

2乙

解得m=±6,

：.P(6,0)或(-6,0).

22.(9分)如图，在中，N/C2=90°,点。是48边的中点，点O在边上，。。经过点C且

1

与45边相切于点£,若/FBC//ADC.

(1)求证：2尸是。。的切线;

(2)若ZC=6,BC=8,求。。的半径及OD的长.

【解答】(1)证明：如图，作。〃，冲，垂足为点“，连接OE,

DE

第20页(共23页)

VZACB=90°,。是45的中点，

:.CD=BD=%B,

,：/ADC=ZCBD+ZBCD=2ZCBD,

又：NFBC=^ZADC,

：.ZFBC=ZCBD,

即BC是NFB4的平分线，

:点。在8C上，与N5相切于点E,

：.OE±AB,且0E是。。的半径，

：.OH=OE,0H是。。的半径，

•..AF是OO的切线；

（2）解：如图，在△NBC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,

；.4B=y/AC2+BC2=10,

■：AE,/C是。。的切线，

.\AC=AE=6,

.\BE=10-6=4,

设。。的半径为尸，则。。=。£=尸，

在RtZ\O£B中，由勾股定理得：