2024-2025学年江苏省苏州市高二年级上册期中数学检测试题（含解析）

2024-2025学年江苏省苏州市高二上学期期中数学检测试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知直线/i+N-2=（U：2x+S+l）y+2=0,若则a=o

A.或2B.C.或-2D.-2

【正确答案】B

【分析】由条件结合直线平行结论列方程求并对所得结果进行检验.

因为4//4,4：ax+N—2=0,4：2x+（a+l）y+2=0,

所以。（。+1）=1*2,所以/+”2=0,解得a=-2或a=l,

当。=一2时，4：2x—歹+2=°,乙&―y+2=°,直线4,乙重合，不满足要求，

当a=l时，4：x+J—2=°,/2：x+〉+l=°,直线/”，2平行，满足要求，

故选：B.

_12S13_

2.已知等差数列｛%）前〃项和为S“，若色”,则品（）

_9_1274

A.13B.13C.5D,3

【正确答案】D

【分析】根据给定条件，利用等差数列前〃项和公式、等差数列性质计算即得.

13（%+〃13）

S13_212_4

生上599（.+。9）9%9133

在等差数列｛%｝中，由生”，得2

故选：D

\<?S-S=-3,aaa=--

3.己知等比数列1J的各项均为负数，记其前〃项和为若646788,

则02=()

A.-8B.-16C.-32D.-48

【正确答案】B

1

%=--

【分析】利用等比数列的性质先计算2,再根据条件建立方程解公比求值即可.

设包｝的公比为““>°),

一J4一〃6+〃5—一十一一一$a6a7期=——=d]="=——

则由题意可知夕9,82,

+——6=0=>—=2—=—3

化简得qqq或q(舍去)，

。2=N=一；x25=_16

则42

故选：B

4.已知圆C的圆心在x轴上且经过"°」)，'G，-2)两点，则圆c的标准方程是()

2

A(X-3)+/=5B。-35=17

22

C(X+3)+J=17D,必+«+1)2=5

【正确答案】A

【分析】设出圆的标准方程，利用待定系数法计算即可.

因为圆c的圆心在x轴上，故设圆的标准方程>_")+'=户6>°),

又经过Z")以A2)两点，

(l-«)2+l2=r2,=3

所』(2-4+(-2)2=，,解得

所以圆的标准方程(a3)+/=5.

故选：A.

5.已知点((，),点A关于直线％-V+1=0的对称点为点B,在NBC中,

\PC\=42\PB\f则"8。面积的最大值为()

A.4V2B,3^2C.2&D,也

【正确答案】C

【分析】先根据对称的性质求出点8的坐标，设P(x/),再由忸0=及忸因可求出点

尸的轨迹方程，由图可知△尸8C中5c边上的高为圆的半径时，面积最大，从而可

求得结果.

居-2

二一1,C1

</+1/0=1

3+1=0=}=。

设8的坐标为(”°/°),则।2

2,则8的坐标为&°),

设尸(x/),\PC\=41\PB\n(x+1)2+/=2(x-1)2+2y2=%2+-6x+1=0

(X-3)2+/=8

6.已知点(')，(')，点尸是圆(x—3)+V=1上任意一点，则△尸45面积的最

小值为()

119/而

———o---------

A.6B.2C,2D.2

【正确答案】D

【分析】求出直线48的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点P到直线4B距

离的最小值即可求得最小值.

两点'(T°),B(0,3),则iy+32=而,直线方程为了=3X+3,

圆(X―3)2+/=1的圆心c(3,o),

半径r=l,

J126V10

d—/二—

点C到直线/8：3x-y+3=0的距离#+(-1)25,

,_6所.

Cl—r-------1

因此点尸到直线48距离的最小值为5,

'汨x(处—1)=6—回

所以△尸45面积的最小值是252.

故选：D

22

Fp—~yy=1(tz>0,b>0)斤斤

7.已知△和©分别是双曲线a，b的左右焦点，以为直径的圆与双

曲线交于不同四点，顺次连接焦点和这四点恰好组成一个正六边形，则该双曲线的离心率为

()

_亚+1

A.CB.也C.G+lD.2

【正确答案】C

【分析】设双曲线和圆在第一象限的交点为尸，根据正六边形可得点尸的坐标，然后再根据

点尸在双曲线上得到见80间的关系式，于是可得离心率.

由题意得，以片名为直径的圆的半径为10片卜°,

设双曲线和圆在第一象限的交点为尸(x，N),

cA/3C

%

由正六边形的几何性质可得22

［二叵］

二点尸的坐标为122J,

22

土—匕=1

又点尸在双曲线/〃上，

整理得c4-8a2c2+4a4=0,

.・._8/+4=0,解得/=4+2百或/二4一2百,

ye>l・/=4+2百

...e=m+1

8.己知数列｛""｝是各项为正数的等比数列，公比为q,在％，"2之间插入1个数，使这3个

数成等差数列，记公差为4,在出，%之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为

&，…，在°，，，4+1之间插入n个数，使这〃+2个数成等差数列，公差为d",则（）

A.当°<q<i时，数列｛""｝单调递减B,当q>i时，数列｛”"｝单调递增

c.当4〉乙时，数列｛."｝单调递减D.当4<.2时，数列｛4｝单调递增

【正确答案】D

【分析】根据数列况｝的定义，求出通项，由通项讨论数列的单调性.

数列｛4｝是各项为正数的等比数列，则公比为q>°,

d_4+UQT)

由题意%+i=%+(〃+DZ,得"〃+1”+1,

Z+i,G+i)1i

0<q<l时，么<0,有dnn+2,九〉4，数列双｝单调递增，A选项错误;

4+1_“〃+1)”〃+1),]

">1时，服>0,第n+2,若数列｛4｝单调递增，则n+2,即

〃+23

q>----、T*q>~

"+1,由〃eN，需要2,故B选项错误；

一(4-1)%式4-1)

4七时，23,解得2,

一+i="〃+1)+

q>i时，服〉°,由%"+2,若数列｛"”｝单调递减，则〃+2,即

q<"+2=1H——--\<q<—q<ld——--(weN*)

〃+1〃+1,而2不能满足〃+，亘成立，C选项错误；

q(q-1)<qq(q-l)〉3

4<d2时，23,解得°<9<1或2,由AB选项的解析可知，数列

｛""｝单调递增，D选项正确.

故选：D

思路点睛：此题的入手点在于求数列｛”/的通项，根据力的定义求得通项，再讨论单调性.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.己知圆C：Y+/=4,点尸为直线x+歹一4二°上一动点，过点尸向圆C引两条切线

P4、PB,A、B为切点、,则以下四个命题正确的是()

A.圆C上有且仅有3个点到直线/：X-V+0=°的距离都等于1

B,圆C与圆。2：必+/_6》_8卜+机=0恰有三条公切线，则m=16

C.不存在点P，使得N4PB=60°

D,直线48经过定点°,1）

【正确答案】ABD

【分析】A选项，圆心C（0'°）到/:%一了+血二。的距离〃=1,为半径的一半，A正确；

B选项，根据公切线条数得到两圆外切，从而由圆心距和半径之和相等，列出方程，求出

m=16.c选项，求出°F，直线》+了-4=°时，|0P|最小，此时/4P8最大，求出此

时/4尸8=90°〉60°,（:正确；D选项，°，4尸，8四点共圆，且°?为直径，设

尸（加,4一加），求出此圆的方程，两圆方程相减得到直线48的方程为

加（尸）+4-4%0,求出定点坐标.

A选项,U/+/=4的圆心为。（。，0）,半径为2,

|0-0+V2|

d—II—]

圆心C（0,0）到/：》7+夜=°的距离V1+1,为半径的一半，

故圆C上有且仅有3个点到直线/：X-V+拒=°的距离等于1,A正确；

B选项，圆C与圆02：（x-3）+3-4）=25-祖恰有三条公切线，

则两圆外切，即J。-。）+（4-。）=2+j25—m,解得加=16,B正确；

C选项，当点尸运动到。尸，直线x+J—4=°时，QPI最小，此时/NP8最大，

设尸（加,4-加），因为x+y-4=°的斜率为一1,

4-m_

则m,解得根=2,故尸（2,2）,尸|=2吟

PB

此时切线长E=\\=\听—22=2,故ZApQ=/BPO=45。，

故NZP5=90°〉60°,

故存在点尸，使得N4P8=60°,c错误；

4N

O\BI24\X

D选项，因为尸PB[OB,故0,4尸,8四点共圆，且。尸为直径,

m2+（4一加）

设尸（九4—%）,则°?的中点为

,半径为2

m2+（4-m）2

故以OP为直径的圆方程为I2J12J4L」，

化简得J—机”+/—（4—机）＞=°,

/一机工+＞2_（4_机）＞=0与C：/+y2=4相减后得到4-mx-（4-m）j=0

即直线43的方程为4_M_（4_M）y=0nm（y_x）+4_4y=0,

y-x=o

y~o~72~衣

直线48经过定点（U）,D正确.

故选：ABD

结论点睛：设“（久1%*（叼必），以线段48为直径的圆的方程为

（x-x1）（x-x2）+（^-y1）（j-j2）=0

P»+i__=卜

10.在数列MJ中，如果对任意〃'2（〃eN*）,都有pnpn_x（左为常数），则称数

列MJ为比等差数列，左称为比公差.则下列说法错误的是（）

A.等比数列一定是比等差数列，且比公差左=1

B.等差数列一定不是比等差数列

c.若数列｛%｝是等差数列，｛4｝是等比数列，则数列｛%,'｝一定是比等差数列

D.若数列""｝满足%=%=1,%+i=%+*（〃之2）,则该数列不是比等差数列

【正确答案】ABC

【分析】根据比等差数列定义直接验证可判断A；令2—1,依定义验证可判断B；令

4=°,4=1,然后依定义验证可判断C；根据递推公式求出前4项，然后依定义验证可

判断D.

%+i_%_

若为等比数列，公比9/°,则4,*,

--2=0=左#1

所以%,故选项A错误；

"=Q

若a=1,也｝是等差数列，则3,故也｝为比等差数列，故选项B错误；

4+也+i。也

令4=0,4,=1,则%也=0,此时anbn。”—也t无意义，故选项c错误;

a

因为数列｝满足=。2=1,0"+1=%+n-\（〃之2）,

aa

〃32_i3_]

a

所以%=2,%=3，故〃26%22,

所以｛%｝不是比等差数列，故选项D正确.

故选：ABC.

II.法国著名数学家加斯帕尔•蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线

的交点。的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.若矩形

G的四边均与椭圆54相切，则下列说法正确的是（）

A.椭圆°的蒙日圆方程为，+/=9

B.若G为正方形，则G的边长为3啦

C.若“是椭圆C蒙日圆上一个动点，过”作椭圆C的两条切线，与该蒙日圆分别交于

尸，°两点，则△”尸。面积的最大值为18

D.若尸是直线/：x+2y-3=°上的一点，过点尸作椭圆C的两条切线与椭圆相切于

_4

两点、,。是坐标原点，连接。尸，当/"PN为直角时，自P=°或3

【正确答案】ABD

【分析】A选项，求出厂=+加,可得到蒙日圆方程；B选项，设出边长，得到方程,

求出答案；C选项，=由基本不等式求出最值；D选项，直线

/:x+2y-3=°与/+/=9的交点即为所求点，联立后得到点坐标，进而得到左。尸.

22

二+3=1伍〉6〉0)

解：对于A,椭圆a，b的四个顶点处的切线，

恰好围成长、宽分别为2a和幼的矩形，蒙日圆为此矩形的外接圆，半径广=信+♦,

22

C：土+匕=122_Q

故椭圆54的蒙日圆方程为x+7故A正确；

对于B,由题意可知正方形G是圆必+丁=9的内接正方形，

设正方形G的边长为切，可得机2+机2=(2x3)2,解得m=3啦，

即正方形G的边长为3啦，故B正确；

对于C,由题意可得"PL”。，则0°为圆Y+/=9的一条直径，

2

则IPQ\=2r=6t由勾股定理可得IHP「+|HQ|=|PQ「=36,

…小叫心"二9

当且仅当I"PR"21=30时，等号成立，

因此，A"。。面积的最大值为9,故C错误；

对于D,过直线，：x+2y—3=（）上一点尸作椭圆C的两条切线，切点分别为M,N,

当为直角时，点尸在椭圆C的蒙日圆上,

即为直线/：》+2了_3=0与圆/+/=9的交点,

[9

X=——

I5

x+2y-3=0(x=3,12

由lX+.V=9，解得[片0或〔5,

即点尸的坐标为（3,0）或

_4

则直线。尸（。为坐标原点）的斜率为0或3,故D正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在V4BC中，4B=5,AC=7,BC=6,则以8,C为焦点，且过A点的双曲线的离心

率为.

【正确答案】3

【分析】由双曲线定义以及焦距、离心率公式即可列式求解.

2a=AC—AB=2,2c=BC=6=>tz=l,c=3=>e=—=3

由题意知a

故3.

faIa-1a2-3aa,+2o2,=06?>2,neN*）

13.数列MJ满足%-1,且"""T〃TV4则该数列前5项和可

能是（填一个值即可）

【正确答案】5（答案不唯一）

［分析］由条件可得（"〃一%T）（""_2%T）=°,即有％=""T或%=2%T,结合

4=1运算即可得.

片一3aMi+2举、=0〃eN*）

12179'J

即（%-%）（%-2%）=0,

所以%=4-1或%=2%i,

又”=1,故该数列前5项可能为：1、1、1、1、1,或1、1、1、1、2,

或1、1、1、2、2,或1、1、2、2、2,或L,或1、2、4、8、8,或1、2、4、8、16,

该数列前5项和可能是5、6、7、8、L、23、31.

故5（答案不唯一）.

14.已知直线I：乙一歹+3-3左=°的图象与曲线c：歹=J-/+2x有且只有一个交点，则

实数k的取值范围是.

,6-20

k-----------

【正确答案】1<k43或3

【分析】求出动直线所过定点，化简曲线为半圆，作出图象，数形结合可得解.

由日-y+3-3左=0可得后（x-3）-（歹-3）=0,即直线过定点尸G，3）,

由y=J-x?+2x可得J?+x」—2x=0（。N0）,即曲线c：（x_l）2+V=l（y»0）

作出曲线C与直线的图象，如图，

k,—3-0—°3k,――3-0——1,

当直线过点MR，。）时，斜率3-2,当直线过点°（°，°）时，斜率P°3-0

,\k+3-3k\,

a=—i—=1

直线与曲线C相切时，圆心到直线的距离<k-+l,

,6-2V3-6+26”

2k=----------k--------->3

即3H-12左+8=°,解得3或3(由图可知不符合题意，舍去)，

,6-273

k----------

由图可知，当直线斜率上满足1(左43或3时，直线与曲线只有一个交点.

,6-26

k—______

故1(左43或3

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知等差数列｛4｝满足02=3,旬=2&—5.

(1)求｛""｝的通项公式；

(2)设数列包｝的前〃项和为北,且D+1-也，若着〉36°,求加的最小值.

【正确答案】(1)2〃-1

(2)10

【分析】(1)设等差数列｛""｝的公差为"，然后利用公式构建基本量为'"的方程求解即可.

(2)先将等差数列｛4｝的通项代入，=心一成，得到数列也｝的通项，再求和，解不等式即

可.

【小问1详解】

设等差数列&"｝的公差为d,

+d=3

则£1+8"=2(%+51)-5解得%=1,d=2,

故%=%+("-l)d=2〃-1

【小问2详解】

由⑴可得%=2〃+1,则4=(2"+1)2-(2〃-1)2=8",

所以“一如=8(〃之2),则数列也｝是是等差数列，

（8+8”）〃

T“=\-------^-=4n7+4n

故2

因为*＞360,所以4丁+4加〉360,所以4G7+10）（%-9）＞0,

所以机＞9或加＜T0.

因为加eN+,所以冽的最小值是io.

16.已知直线过点“（4,1）.

1

（1）若直线在％轴上的截距是在歹轴上的截距的5倍，求直线的方程；

（2）已知V48C的一个顶点为A,AB边上的中线CM所在的直线方程为x—2y+2=°,

AC边上的高BH所在的直线方程为2》+-2=0.求BC所在直线的方程.

y——1工

【正确答案】（1）4或2x+y—9=0

（2）%一4y+10=0

【分析】（1）分直线在两坐标轴上的截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，将

“（4」）代入得到直线方程；

（2）根据垂直得到直线NC的方程为3x—2y+'=0,将N（4,l）代入，求出直线NC的方

程，联立直线CM和直线NC的方程求出C0，4）,再设以根,〃），则〔2'2

12'2J在直线x-2y+2=。，80〃）在2》+3了-2=0,从而得到方程组，求

出机，〃，得到^（―2,2）,利用两点式求出直线方程.

【小问1详解】

当直线在两坐标轴上的截距为0时，设直线的方程为^=.，k力0,

k=L

将”（4,1）代入得，4k=1,解得4,

1

y=­x

故直线的方程为“4,

=1

当截距不为0时，设直线的方程为。2。，

将44,1）代入得。2a，解得2,

故直线的方程为2x+y-9=0,

1

y—_JQ

所以直线的方程为4或2x+y-9=0；

【小问2详解】

因为高BH所在的直线方程为2》+3y一2=0,

所以设直线NC的方程为3》_2>+/=0,

将幺（4,1）代入3x_2y+f=0得，12-2+/=0,解得”—10,

故直线ZC的方程为3x_2j_10=0,

x=6

联立x_2y+2=0与3x_2y_]0=0得[y=4

故C（6M）,

设3的〃），则〔丁'亍1

/口山〕加+42x〃+k

（22J在直线x-2>+2=°上，故2=0

2©,

又5（以〃）在2x+3y-2=0上,故2加+3〃-2=0②,

m=-2

联立①②得，1〃=2,故8（—2,2）,

y-4_x-6

BC所在直线的方程为2—4——2—6,即x_4y+10=0

17.已知圆℃—2/+产=1

(1)直线过点PG，2)且与圆C相切，求直线的方程；

(2)圆0：一+/一3》一P=()与圆c交于幺、8两点，求公共弦长|幺回.

31

y——x—

【正确答案】(1)"44或x=3

(2)O

【分析】(1)根据直线斜率是否存在分类讨论，再结合点到直线距离及直线与圆相切列出关

系式求解即可得出答案.

(2)先联立方程组求出公共弦所在直线48方程；再根据点到直线距离求出圆心0(2，0)到

直线48的距离；最后根据弦长公式即可得出答案.

【小问1详解】

由圆C:(x-2)2+/=1可得：圆心坐标为°。，0),半径为

1。若直线斜率不存在，则直线方程为》=3,此时点C(2，0)到直线的距离为3-2=1=八，

故直线》=3与圆C相切，符合题意；

2。若直线斜率存在，设直线方程为>=—3)+2,即了=丘-3k+2.

由直线与圆C相切可得：&+父,解得4.

31

y=-x——

此时直线的方程为：“44,

31

y=-x——

综上直线的方程为："44或x=3.

【小问2详解】

(x-2)2+y2=l

<

联立〔/+/-3x-y=0,得：直线4B方程为x-y-3=°.

d」2-3匚亚

圆心°°，°)到直线Z3距离为V22,

\AB\=2i1-V=6

故公共弦长YIJ

18.若数列匕｝共有机e6*,近3)项，成村”也)都有lnc,+ln0,=R,其

中R为常数，则称数列｛'"｝是一个项数为加的“对数等和数列”，其中尺称为“对数等和常数”.已

知数列｛%｝是一个项数为冽的对数等和数列，对数等和常数为R.

(1)若加=9,%=］，％=4,求为的值；

b-“加+1T

(2)定义数列也｝满足：'%,2,3,…，m.

(i)证明：数列3"｝是一个项数为加的对数等和数列；

m

G।1

(ii)已知数列I，是首项为1024,公比为4的等比数列，若氏二°,求2的值.

【正确答案】⑴"9=16

20481

(2)(i)证明见解析；(ii)32

【分析】(1)由题干信息可得氏=历16,即可得答案;

(2)(i)注意到即可证明结论；

(ii)由题可得以表达式，后由裂项求和法可得答案.

【小问1详解】

依题音火=+仙。5-山16又火=In%+lna9

所以M49=R=In16即为=16

【小问2详解】

h—*+1h-%

Ui~Um+\-i.ii_i

(i)依题意%,贝U4+IT,因此“4心"1,

从而In”+ln*1=0,即数列也｝是一个项数为切的对数等和数列.

bm=n=1024（

3）依题意，1024⑷,

（/n°

即14）⑴，即加=11,则4=1024,1=4,1

又R=0,故Inq+In。冽+J=0,即=1,

65山=12」=4一

此时生%,即4，q=Z,

注意到以2-6=（1）2-5—02）2：

m111190d.21

E也=之「-2"6=.[（I/_«_2）2!-6]=10X26-（-1）X2-5=――

所以/=1T/=1”.

Jj?

19.已知椭圆0片+/-的左、右焦点分别为片、月川（-2,0）为椭圆的一

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