2024-2025学年九年级数学开学摸底考（湖南省专用）（解析版）

2024-2025学年九年级数学下学期开学摸底考

（湖南省专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡

±o写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：湘教版九年级上下册全部。

第一部分（选择题共30分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中,

只有一项符合题目要求的）

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.x+2y=lB.2x（x-l）=2x2+3C.3x+—=4D.x2=0

x

【答案】D

【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐个判断即可，能

熟记只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程

是解此题的关键.

【详解】解：A.方程尤+2了=1含有两个未知数，所以不是一元二次方程，故本选项不符合

题意；

B.2x（x-1）=2炉+3化简后得，3+2x=0是一元一次方程，故本选项不符合题意；

C.3X+,=4是分式方程，故本选项不符合题意；

X

D./二0是一元二次方程，故本选项符合题意；

故选：D.

2.由8个大小相同的立方块搭成的几何体如图所示，其主视图为（）

【答案】B

【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，得出相应视图的形状是正确判断

的前提.根据简单组合体三视图的意义，得出从正面看所得到的图形即可.

【详解】解：从正面看，共三层，底层是三个小正方形，中间是一个小正方形，上面也是一

个小正方形.

故选：B

3.甲、乙、丙、丁四个旅游团的游客人数都相等，且每个旅游团游客的平均年龄都是35岁，

这四个旅游团游客年龄的方差分别*=6,s：=1.8,s需=5,s彳=8,这四个旅游团中年龄

相近的旅游团是（）

A.甲团B.乙团C.丙团D.丁团

【答案】B

【分析】根据方差的意义可作出判断.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，

表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

【详解】，*=6,S；=1.8,s1=5,Sy=8,

•••1.8<5<6<8

・•・S；最小，

这四个旅游团中年龄相近的旅游团是：乙团.

故选：B.

【点睛】本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这

组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布

比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

4.若点（-4,弘）、（-2,%）、（3,%）都在反比例函数”;（上<0）的图象上，则有（）

A.必>%>%B.C.弘>%>%D.

【答案】B

【分析】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的图象与性质是

解本题的关键.利用反比例函数的增减性判断即可.

【详解】解：••・反比例函数y=£（左<0）,

・••反比例函数图象位于第二、四象限，且在每一个象限y随比的增大而增大，

•.•点（-4,必）,（-2,%）,（3,外）都在反比例函数y=々无<0）的图象上，且-4v-2<3,

x

y2>yl>%

故选：B.

5.如图，对折矩形纸片/8CD,使N8与。C重合得到折痕E尸，将纸片展平：再一次折叠，

使点。落到"上点G处，并使折痕经过点4展平纸片后4D/G的大小为（）

【答案】C

【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理、等腰三角形的性质、矩形的性质、直角三角

形的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键.

如图：由题意可得〃斯〃CD,DE=AE,Zl=Z2,ZMGA=ZD=90°,根据平行线等

分线段定理可得/N=〃N,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得

NG=^AM,即AN=NG,根据等腰三角形的性质可得/2=/4,根据平行线的性质可得

N4=N3,进而得到Nl=N2=N3=30。，最后根据角的和差即可解答.

【详解】解：如图:

M

DC

EF

AB

由题意可得：AB//EF//CD,DE=AE,=Z2,ZMGA=ZD=90°

vAB//EF//CD,

DEMN

••花一

DE=AE,

/.AN=MN,

-ZMGA=90°,AN=MN,

,-.NG=-AM,

2

AN=NG,

.•22=/4,

-EF//AB,

Z4=Z3,

Z1=Z2=Z3=-x90°=30°,

3

.•.N£UG=N1+N2=6O°.

故选：C.

6.己知圆心/到直线加的距离为d,GM的半径为r,若d、r是方程--7x+12=0的两个

根，则直线机和OA的位置关系是()

A.相切B.相离C.相交或相离D.相切或相交

【答案】C

【分析】本题考查了圆与直线的位置关系，因式分解法解一元二次方程，理解圆与直线的位

置关系，掌握因式分解法求一元二次方程的根是解题的关键.

根据一元二次方程根与系数的关系得到""的值，再根据圆半径，与圆心到直线的距离d的

关系“d〉r,相离；d=r,相切；d<r,相交”进行判定即可求解.

【详解】解:X2-7X+12=0,

.,.(x-3)(x-4)=0,

解得，再=3,%2=4,

・4、，是方程V-7x+12=0的两个根,

当d=3,厂=4时，直线掰和。/的位置关系是相交;

当"=4/=3时，直线加和ON的位置关系是相离;

故选：C.

7.如图，在△NBC中，AB=AC,以NC为直径的。。与分别交于点。,石，连接

AE,DE,若NBED=45°,AB=2,则阴影部分的面积为(

D.兀

【答案】A

【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，扇形面积的计算，连接

OE,OD,证明S.48=S.4ED，可得S阴影-S扇形04。,求解44OZ)=90。，再利用扇形的面积

公式计算即可.

【详解】解：连接OD,

・・・/c为。。的直径，

AAEC=90°,

■：AB=AC,

BE=CE,

即点£是3c的中点，

■:点。是4c的中点，

.•.OE是zUBC的中位线,

OE//AB,

SAAOD=S^AED，

S阴影=S扇形O4D,

•・•/AEC=90°,

・•./AEB=90°,

•••ABED=45°,

.•・/AED=45°,

・•.NAOD=90°,

.c_90兀xf_兀

•••3扇形O4D=一痛。—=W'

•••s阴影二—，

故选：A.

8.如图所示为长20米、宽15米的矩形空地，现计划要在中间修建三条等宽的小道，其余面

积种植绿植，种植面积为400平方米，若设小道的宽为工米，则根据题意，可列方程为

（）

nnn

A.X2+20X15-2X=400B.20X15-2X=400

C.（20一x）（15-2x）=400D.（20一2x）（15一x）=400

【答案】D

【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，合理列出方程是解题的关键.

设小道的宽为x米，贝U6个小矩形可合成长为（20-2力米、宽为（15-x）米的矩形，然后利用

矩形的面积公式列出关于x的一元二次方程即可.

【详解】解：设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为（20-2x）米，宽为（15-力米的

矩形，

根据题意知:（20-2x）（15-x）=400.

故选：D.

9.如图所示，MN是。。的直径，作AB1MN,垂足为点D,连接AM,AN,点C为弧AN

上一点，且弧AC=MAM,连接CM,交AB于点E,交AN于点F,现给出以下结论：

①AD=BD；@ZMAN=90"；③弧AM=MBM；④NACM+NANMNMOB；⑤AE=；MF,

【答案】D

【分析】根据AB1MN,垂径定理得出①③正确，利用MN是直径得出②正确，

AC=AM=BM，得出④正确，结合②④得出⑤正确即可.

【详解】「MN是OO的直径,AB1MN,

.■.AD=BD,AB=BM,ZMAN=9O。.（①②③正确）

■■AC=AM,

■■AC=AM=BM,

.•2ACM+NANM=NMOB（④正确）

,.,Z.MAE=zAME,

・・・AE=ME,ZEAF=ZAFM,

・・・AE=EF,

=（⑤正确）.

正确的结论共5个.

所以D选项是正确的.

故选D

【点睛】此题考查圆周角定理，垂径定理，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知

识.

10.抛物线>="2+必+&。工0）的对称轴为x=-l,与x轴的一个交点A在点（-3,0）和

（-2,0）之间，其部分图象如图，则以下结论正确的有（）

(1)abc>0；②3a+c<0；③若机，〃(机<〃)是方程ax?+3+2)x=x-c的两个根，贝！J

加（-1,外0；④图象上有两点P（X21）和。（工2，%），若西<工2,且W+Z>-2,则一定有M>y2.

C.3个D.4个

【答案】D

【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数对称轴和图象得出。、4c的符

号，即可判断①；由x=i时，y<o,即可判断②；画出函数了=一工的图象，根据图象可

判断③；根据二次函数性质可判断④；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.

【详解】解：•••抛物线的对称轴为x=-l,

._A_i

.2a=，

\b=2a,

•・・抛物线开口向下,

•••qv0,

6<0,

••・抛物线对称轴为X=-1,与X轴的一个交点A在点（-3,0）和（-2,0）之间,

...抛物线与x轴的另一个交点A在点（0,0）和（1,0）之间,

.•.抛物线与了轴的交点在了轴的正半轴上，

c>0,

abc>0,故①正确；

••・抛物线与X轴的另一个交点A在点（0,0）和（1,0）之间,

时，V<0,

即a+b+c<0,

.•.3a+c<0,故②正确;

由万本王cix+(b+2)尤=x—c彳导,ctx^+bx+c=-x，

画函数v=-x的图象如下，

由图象可知，直线了=-》与抛物线、=亦2+云+4。*0)相交于两点，交点横坐标满足

«(-1>〃)0,故③正确；

x=-l，

••・抛物线开口向下，图象上有两点「(国,必)和。(%，%)，对称轴为Xx<x2,且

%]+%2>-2,

二点Q(%2,y2)在对称轴x=-1右侧,

当占2-1时，在抛物线％=—1的右侧，了随x的增大而减小，

,•*X]<X?,

当不<T时，点。到对称轴的距离为超-(-1)=工2+1，点P到对称轴的距离为T-玉，

X,+1一(-1—&)=忆+&+2>0,

%2+1〉—1—Xj,

又•••抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴的越近，函数值越大，

必>%,

・••图象上有两点P(XQ1)和若再<》2，且再+三>-2,则一定有%>%，

故④正确；

二结论正确的有4个，

故选：D.

第二部分(非选择题共90分)

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）

11.已知？=3,则竺二1=_____.

%y+x

【答案】1/0.25

4

【分析】本题考查比例的性质、分式的化简，由题意得到y=3x,代入式子即可化简解答.

【详解】解:T=3,

X

•1•y=3x,

4x-y_4x-3x_x_1

y+x3x+无4x4-

故答案为：；.

12.为了了解某校九年级学生的身体素质情况，在该校九年级随机抽取50位学生进行一分

钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出频数分布直方图（如图，每组数据可含最小值,

不含最大值），如果在一分钟内跳绳次数少于120次的为不合格，那么可以估计该校九年级

【答案】72

【详解】【分析】首先应先求出一分钟内跳绳次数少于120次的学生人数，进而求出这50名

同学不及格的频率,在用样本估计总体的方法求出该校九年级300名学生中跳绳不合格的人

数即可解答.

【详解】由频数分布直方图可知，这50名同学中不及格的学生数为4+8=12,

频率为12-50=0.24,

该校九年级300名学生中跳绳不合格的人数约有300x0.24=72,

故答案为72.

【点睛】本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体，解题的关键是读懂频数分布直方图,

从中获取必要的信息.本题用到的知识点是：频率=频数+总数，用样本估计整体让整体x样

本的百分比.

13.设a,分是方程/一x-2024=0的两个实数根，则储一2026a1的值为.

【答案】2024

【分析】本题主要考查了根与系数的关系和方程的解等知识点，先利用一元二次方程解的定

义得到a2-a=2024,/-2024=。，再根据根与系数的关系得到a+-=1,然后利用整体

代入的方法计算即可得解，熟练掌握若再,马是一元二次方程。/+服+。=0(./0)的两根,

bc

则占+%=-2,X1.x2=-是解决此题的关键.

aa

【详解】解：.•・1是方程/-x-2024=0的实数根，

oc2—cc—2024=0,

a2-a=2024,a2-2024=a，

。，4是方程——%—2024=0的两个实数根，

a+月=1,

—2026a-夕+1

=2024-2)-£+1

=a(a-2)-尸+1

二。？-2a-，+1

=02—cc—cc—/7+1

=2024-(a+#+l

=2024-1+1

=2024,

故答案为：2024.

14.如图，直线与双曲线了="(左＞0)在第一象限内交于A、B两点，与x轴交于点C,

X

点8为线段NC的中点，连接。/,若△49C的面积为3,则左的值为.

【答案】2

【分析】设A点坐标为C点坐标为(40),求出B点坐标为(产,*],根据B点

在y=2(l>0)上可得当.上=左，整理得6=3%再根据三角形面积公式得或=3可

x22a2a

得k的值.

【详解】解：设A点坐标为C点坐标为S,0),

恰为4C的中点，

.一一3/a+bkA

B点的坐标为|,

I22aJ

k

.・"点在y=—(无>0)的图象上，

X

a+bk,

------=k

22a

6=3。

Sme=3

:.k=2

故答案为：2.

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征,

解题时注意：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式.

15.小聪家对面新建了一幢图书大厦，他在A处测得点D的俯角a为30。，测得点C的俯角

B为60。(如图所示)，量得两幢楼之间的水平距离BC为30米，则图书大厦CD的高度为

米.

【答案】20V3

【分析】作DH1AB于H,根据正切的概念分别求出AB、AH,计算即可.

【详解】作DH1AB于H,

则DH=BC=30,

在RSADH中，AH=DHxtana=10V3，

BC

在RtAABC中，AB=--------=30V3，

tan30°

则CD=AB-AH=20V3（米），

故答案为20V3.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐

角三角函数的定义是解题的关键.

16.规定：对于任意实数a、b、c,有*c=ac+b,其中等式右面是通常的乘法和加

法运算，如[2,3]*l=2xl+3=5.若关于x的方程[y+2次（小）=0有两个不相等的实数

根，则加的取值范围为

【答案】加＜：且仅工0

O

【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键是：根据题意正确列式.

]2—X2〉0

,求解即

{加/0n

可.

【详解】解:由题意得，[x,x+2]*1（mx）=x（mx）+x+2=o,

化简得：mx2+x+2=0,

•••有两个不相等的实数根，

...加〈一且加w0,

8

故答案为：加〈）且加片0.

O

17.如图，4D与8c相交于点£,点尸在2。上，旦ABI1EFUCD,若EF=2,CD=3,

则AB的长为

【分析】证明AZ3E尸SAD4B、^EF^NBCD,得到芸+要=1,代入计算得到答案.

ABCD

【详解】解：

NDEF^\DAB,

.EF_DF

…商一丽’

•;EF//CD,

:.ABEF^ABCD,

.EF_BF

'~CD~~DB'

EFEFDFBF.

•।_____।____]

ABCDDBDB'

.221

..1——I,

AB3

解得，AB=6,

故答案为：6.

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理

和性质定理.

18.如图，在边长为4的正方形48co中，点E、尸分别是8C、8的中点，DE、/尸交

Q

于点G,/尸的中点为万，连接3G、Dff.给出下列结论:①躯，座；②。G=《；③印％BG；

④NABGSDHF.其中正确的结论有.（请填上所有正确结论的序号）

【答案】①④

【分析】证明4ADF三ADCE,再利用全等三角形的性质结合余角的性质得到NDGF=90。，可

判断①，再利用三角形等积法ADxDF+AF可算出DG,可判断②；再证明

ZHDF=ZHFD=ZBAG,求出AG,DH,HF,可判定A/BG-AOT/F,可判断④；通过

AB，AG,得至IJ/ABG和/AGB不相等，贝！UAGBRNDHF,可判断③.

【详解】解：•••四边形ABCD为正方形，

.••ZADC=ZBCD=9O°,AD=CD,

•■•E和F分别为BC和CD中点，

•••DF=EC=2,

•••△ADFsADCE(SAS),

•­•ZAFD=ZDEC,ZFAD=ZEDC,

•••ZEDC+ZDEC=9O°,

•••ZEDC+ZAFD=90°,

.-.ZDGF=9O°,即DE1AF,故①正确；

vAD=4,DF=；CD=2,

.-.AF=742+22=275，

.♦.DG=ADxDF-AF=苧，故②错误；

•••H为AF中点，

.•.HD=HF=1AF=V5,

•••ZHDF=ZHFD,

•■•ABIIDC,

•••ZHDF=ZHFD=ZBAG,

•••AG=J/D2_DG2=W，ABM,

.ABAB4A/5AG

----=-----=------=-----,

DHHF5DF

:.AABG~ADHF,故④正确；

••2ABG=NDHF,而ABrAG,

则ZABG和Z_AGB不相等，

故NAGBpDHF,

故HD与BG不平行，故③错误；

故答案为：①④.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角

形的高，直角三角形斜边中线定理，知识点较多，有一定难度，解题时注意利用线段关系计

算相应线段的长.

三、解答题(本大题共8小题，满分66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

19.(本题6分)解方程：

(1)计算：V3cos300+3tan450-2018°；

⑵解方程：/_2x-2=0・

【答案】(1)；(2)%=1+6，X2=1-V3

【详解】试题分析：(1)第一、二项按照特殊角的三角函数解答，第三项非零数的零次方等

于1;(2)先把-2移到右边，然后两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方

的形式，然后开平方即可..

(1)原式=6x0+3xl-l=：

22

(2)配方得：(X-1)2=3

直接开平方得：=1+V3,X2=1-A/3.

点睛：本题主要考查了特殊角的三角函数值及配方法解一元二次方程方程，熟练掌握特殊角

的三角函数值及配方的方法是解答本题的关键.

20.(本题6分)已知关于x的一元二次方程/-2伍-1b+/-〃-2=0有两个不相等的实

数根巧,X2.

(1)求°的取值范围；

(^2)右X],x2y两足%+x2—x1x2=16,求a的值.

【答案】⑴"3

(2)a=-l

【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数之间的关系，解一元二次方程：

(1)根据方程有两个不相等的实数根得到A>0,列出不等式进行求解即可；

(2)根据根与系数的关系，得至1]西+迎=2(。-1),占々根据=16,

得到关于。的方程进行求解即可.

【详解】（1）解：由题意，得：△=[—2（a—1）]—4x1x（/_〃-2）>0,

解得：a<3；

（2）解：由题意，得：为+工2=2（。一1）,芭%2=〃一。一2,

.•・x：+x|_再工2=（再+、2）2-3再吃=[2（"1）1一3（/_Q_2）=16,

解得：％=-1,出=6,

Q<3,

CI——1.

21.（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+l的图象与x轴，y轴的交点

分别为点/，点3,与反比例函数了=&（4#0）的图象交于C,。两点，轴于点E,

连接OE,AC=3A/2.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求ACDE的面积.

【答案】（1）y=J⑵£

【分析】（1）根据一次函数表达式推出4CAE为等腰直角三角形，得到AE=CE,再由AC

的长求出AE和CE,再求出点A坐标，得到OE的长，从而得到点C坐标，即可求出k值;

（2）联立一次函数和反比例函数表达式，求出交点D的坐标，再用I乘以CE乘以C、D

两点横坐标之差求出aCDE的面积.

【详解】解：（1）•.・一次函数y=x+l与x轴和y轴分别交于点A和点B,

••.ZCAE=45°,即4CAE为等腰直角三角形，

•••AE=CE,

•■-AC=372，即AE2+CE2=@亚了,

解得：AE=CE=3,

在y=x+l中,令y=0,贝！Jx=-l,

.-.A(-1,0),

・・・OE=2,CE=3,

•••C(2,3),

••・k=2x3=6,

・••反比例函数表达式为：y=~；

X

y=x+l

(2)联立：I6，

y=-

lX

解得：x=2或-3,

当x=-3时，y=-2,

二点D的坐标为（-3,-2）,

•1•SACDE=_x3x[2-(-3)]=—

【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数综合，求反比例函数表达式，解一元二次方程,

三角形面积，难度不大，解题时要注意结合坐标系中图形作答.

22.（本题8分）为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展,

某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如

图所示的两幅不完整的统计图（其中/表示“一等奖”，2表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D

表示“优秀奖”）.

获奖情况扇形统计图获奖情况条形统计图

请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题:

(1)获奖总人数为人，m=/所对的圆心角度数是.

(2)学校将从获得一等奖的4名同学(其中有一名男生，三名女生)中随机抽取两名参加全

市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率.

【答案】(1)40,30,36

【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，树状图法求概率:

(1)B的人数除以所占的比例求出总人数，利用条形图中的数据求出C的人数，再除以总

人数求出小的值，360度乘以A的人数所占的比例求出圆心角的度数即可;

(2)画出树状图，利用概率公式进行计算即可.

【详解】(1)解：获奖总人数为8-20%=40(人),

40-4-8-16

加％=-----------x100%=30%,即加=30；

40

4

“所对的圆心角度数=360°x而=36。；

故答案为：40,30,36

(2)画树状图为:

开始

男女女女

小小个小

女女女男女女男女女男女女

共有12种等可能的结果,抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数为6,

所以抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率

23.(本题9分)如图，在口/BCD中，/E与8c的延长线交于点E,与BD、CD分别相交

求CG的长;

(2)求证：AF2=FGFE,

【答案】(1)CG=1

⑵见解析

【分析】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判

定定理和性质定理是解题的关键.

（1）根据平行四边形的性质得到证明△EGCS/XE/B,根据相似三角形的性质

列出比例式，代入计算即可；

（2）分别证明△。尸MAFDs丛EFB,根据相似三角形的性质证明.

【详解】⑴解：・・・四边形/5C。是平行四边形，

/.AB//CD

・•・△EGCS^EAB,

CGECCG2

——二——,即Rn——=----

ABEB32+4

解得CG=1；

(2)证明：•••45〃C。，

・••/\DFG^/\BFA,

FGDF

AD//CB,

:./\AFDs4EFB,

AF_DF

••花—而‘

AFFG

''~FE~~FA"

BPAF1=FGFE.

24.（本题9分）如图是某种可调节支撑架，5c为水平固定杆，竖直固定杆活

动杆力。可绕点力旋转，CD为液压可伸缩支撑架.已知=10cm,=20cm,40=50cm.

图1图2

⑴如图1,当活动杆/。处于水平状态时，求：sin//。。的值;

3

(2)如图2,当活动杆4。绕点/由水平状态按逆时针方向旋转角度且tana=w(。为锐

角)，求此时可伸缩支撑杆CD的长度(结果保留小数点后一位).(参考数据：逐取2.236)

【答案】(1)噜

(2)44.7cm

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加

适当的辅助线是解题的关键.

(1)过点C作垂足为£,根据题意可得：AB=CE=Wcm,BC=AE=2Qcm,

从而可得ED=30cm,然后在RtACED中，利用勾股定理进行计算出CD=10&dcm,即可解

答；

(2)过点。作。尸±BC,交2c的延长线于点尸，交于点G,根据题意可得：

AB=FG=\Qcm,AG=BF,ZAGD=90°,然后在RSADG中，利用锐角三角函数的定义

可设。G=3xcm,贝l]2G=4xcm,从而利用勾股定理进行计算可求出/G和。G的长，进而

可求出。尸和CF的长，最后在RMCED中，利用勾股定理进行计算，即可解答.

【详解】(1)解：过点C作垂足为E,

,E

_D

BC

・・,活动杆/。处于水平状态，

/.AD//BC,

又•:ABLBC,

・•・四边形45C£是矩形，

AB=CE=1Ocm,BC=AE=20cm,

AD=50cm,

:,ED=AD-AE=50-20=30cm,

在RtAC£Z»中，CD=ylcE2+DE2=7102+302=1oVlOcm，

CFioM

・•.sin^ADC=——二

CDioVio10

(2)解：过点。作。尸1BC,交5C的延长线于点尸，交于点G,

D

A

B

F

解：由题意得：AB=FG=10cm,AG=BF,ZAGD=90°,

4-DG3

在Rt/k/Z)G中，tanoc------——,

AG4

••・设DG=3xcm,则/G=4xcm,

AD=yjAG2+DG2=7(4X)2+(3X)2=5xcm,

AD=50cm,

/.5x=50,

解得：x=10,

AG-40cm,DG=30cm,

O/=DG+尸G=30+10=40cm,

/.BF=AG-40cm,

,/BC=20cm,

...CF=BF-BC=40-20=20cm,

在RGCFD中，CD=yJCF2+DF2=A/202+402=20A/5~44.7cm，

，此时可伸缩支撑杆CD的长度为44.7cm.

25.（本题10分）如图，N3是。。的直径，C为。。上一点，连接C4并延长至点。，使得

AD=AB,连接AD交。。于点E,连接/E,CE,BC.

⑴求证：NDAE=NBCE.

12

(2)若/5=26,tm^BAC=—,求瓦)的长.

【答案】（1）见解析;

(2)12713.

【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角可得：2EB=90。,再利用等腰三角形的三线

合一性质可得：ZDAE=ZBAE,然后利用同弧所对的圆周角相等可得：NBAE=NBCE,

从而可得ZDAE=ZBCE；

（2）利用直径所对的圆周角是直角可得NNC3=90。，在中，利用锐角三角函数

的定义可设8C=12a,则/C=5a,从而利用勾股定理可得48=13。=4D,进而可得

CD=36,再利用勾股定理列出方程进行计算即可解答.

【详解】（1）证明：连接NE,

「48是。。的直径，

AAEB=90°.

AD=AB,

・•・ZDAE=ZBAE.

•・•ZBAE=ZBCE,

ZDAE=/BCE.

(2)解：•・•/§是。。的直径，

・•.NACB=90°,

Be12

■:在RtZ\/5C中，tan/_BZC---——,

AC5

・••设5C=12q,则4C=5a,

••AB=^AC2+BC2=13a

又AB=AD=26,

13a=26,

••・a=2,

••・4C=10,BC=24,

-，DC=AC+AD=10+26=36,

.•.在RtADSC中，BD=^DC2+BC-=,36?+24?=12而.

【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，