2024-2025学年九年级数学开学摸底考试卷（江苏徐州专用）（全解全析）

2024-2025学年九年级数学下学期开学摸底考

（江苏徐州专用）

全解全析

（考试时间：120分钟试卷满分：140分）

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共24分）

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.为落实阳光体育活动,学校鼓励学生积极参加体育锻炼.已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单

位：小时）：1,1.5,1.4,2,1.5,这组数据的中位数和众数分别是（）

A.1.5,1.5B.C.1.48,1.5D.1,2

【答案】A

【分析】本题主要考查中位数和众数，根据中位数和众数的定义求解即可

【详解】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：1,1.4,1.5,1.5,2,

则中位数是1.5,

1.5出现次数最多，故众数是1.5.

故选：A.

An0

2.如图，在△N8C中，DE//BC,且分别交48,/C于点。，E,若莉。,则下列说法不正确的是（）

AE_24DE_2

C.D.

ABAC~EC~3S四边形O3CE2]5C-3

【答案】D

【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利

用相似三角形的性质解答问题.

根据题意可以得到然后根据题目中的条件即可推出选项中的说法是否正确，从而可以解

答本题.

【详解】解：DE//BC,

ZADE=NB,ZAED=ZC,

:.AADEs4ABC,

ADAT7

,故A说法正确，不符合题意；

ABAC

r）pjoo

*=故D说法错误，符合题意；

nCAnJ

4FAD?

故B说法正确，不符合题意；

ECDB3

4

S"CVAB）25'

故选：D.

3.我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托,

折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则

绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长了尺，

根据题意得（）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托=5尺）

y—x=5—x-y=52%=歹+5

22

【答案】A

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量

竿，则绳比竿短5尺列方程组即可.

x-y=5,

【详解】解：由题意得1二

yx=5.

12

故选A.

4.二次函数y=（x+2m）2-l,当xW5时了随x的增大而减小，则加的取值范围是（）

A.m<——B.m>——C.m>--D.m<--

【答案】D

【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数>=。1-力）2+左的性质是解答本题的关键.当

。>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧夕随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；

当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧了随x的增大而减小.

【详解】解：y=（x+2wj『-l开口向上，对称轴是直线x=-2加，

•.•当x《5时了随x的增大而减小，

・••-2m>5,

m<.

2

故选D.

5.如图，。。是边长为4。的等边三角形/3C的外接圆，点。是部的中点，连接BZ）,CD.以点。为

圆心，8。的长为半径在。。内画弧，则阴影部分的面积为（）

A

D

A.—B.4兀C.竺^D.16K

33

【答案】C

【分析】过。作DEL3C于E,利用圆内接四边形的性质，等边三角形的性质求出/8DC=120。，利用弧、

弦的关系证明2D=CD,利用三线合一性质求出3£=，8。=2有，NBDE=L/BDC=60。,在RtABDE

22

中，利用正弦定义求出2。，最后利用扇形面积公式求解即可.

【详解】解:过。作DE_L8C于E,

A

D

:是边长为46的等边三角形/5C的外接圆,

50=473>4=60°,Z5DC+//=180°，

.■.ZBDC=nQ°,

・点。是前的中点,

•・BD=CD，

BD=CD,

：.BE=-BC=2^,ZBDE=-ZBDC=60°,

22

BE至=4,

BD=---------

sinNBDEsin60°

1207r4167r

,,,'阴影=

3603

故选：C.

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，解直

角三角形等知识，灵活应用以上知识是解题的关键.

6.如图，在4x4的网格中，以点。为圆心作圆，点B,C都在圆周上，其中C为格点，则N/8C

的正切值为（）

V2

DR.-----C.1D.不确定

2

【答案】C

【分析】本题主要考查了求正切值，圆周角定理.取格点。，连接4G，。，则。为圆。的直径，根据正

AT

切的定义可得tan"）八而=1,再根据圆周角定理，即可求解.

【详解】解：如图，取格点连接/C4D,则CO为圆。的直径,

根据题意得：AC=^12+12=2A/2,JD=722+22=272，

AQ

：.tmZADC=——=1,

AD

・；/ABC=ADC,

tan/ABC=1。

故选：C

7.在同一坐标系内，一次函数＞=◎+△与二次函数y=a/+8x+6的图像可能是

【分析】x=0,求出两个函数图像在.y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出。＞0,然后确

定出一次函数图像经过第一、三象限，从而得解.

【详解】x=0时，两个函数的函数值

所以，两个函数图像与y轴相交于同一点，故B、D选项错误;

由A、C选项可知，抛物线开口方向向上,

所以，a＞0,

所以，一次函数厂办+6经过第一三象限,

所以，A选项错误，C选项正确.

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数图像，一次函数的图像，熟练掌握一次函数和二次函数图像特征和系数的关

系是解题的关键.

8.如图，以G(0,1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点,

点E为OG上一动点，CF1AE于F,当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的

路径长为()

A.%

B.今c.2D.去

4

【答案】B

【详解】分析：连接AC,AG,由OG垂直于AB,利用垂径定理得到。为AB的中点，由G的坐标确定

出OG的长，在直角三角形AOG中，由AG与OG的长，利用勾股定理求出AO的长，进而确定出AB的

长，由CG+GO求出OC的长，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出AC的长，由CF垂直于AE,得

到三角形ACF始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半径，如图中红线所示，当E位于点

B时，CO1AE,此时F与O重合；当E位于D时，CA1AE,此时F与A重合，可得出当点E从点B出发

顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长,在直角三角形ACO中，利用锐角三角函数定义求出NACO

的度数，进而确定出N5所对圆心角的度数，再由AC的长求出半径，利用弧长公式即可求出彩的长.

详解：连接AC,AG,

•••GO1AB,

.•.O为AB的中点，即AO=BO=1AB,

•.G(0,1),即OG=1,

.•.在Rt^AOG中，根据勾股定理得：AO=J/G2_0G2=5

.,.AB=2AO=2V3，

又CO=CG+GO=2+1=3,

.•.在R3AOC中，根据勾股定理得：AC=7^O2+CO2=2A/3-

•••CF1AE,

••.△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，

当E位于点B时，CO1AE,此时F与O重合；当E位于D时，CA1AE,此时F与A重合,

・•・当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长AO，

在RtAACO中，tanzACO=迎=@,

CO3

••.ZACO=30°,

:员）度数为60°,

•.•直径AC=2V3.

•­AO的长为一访一=T万，

1OU3

则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长走万.

3

故选B.

点睛：此题属于圆综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长公式，

以及圆周角定理，其中根据题意得到点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长施是解

本题的关键.

第二部分（非选择题共116分）

二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

9.一元二次方程/一2025x=0的解是.

【答案】为=0,Xz=2025

【分析】本题主要考查解一元二次方程.运用因式分解法即可求出方程的解.

【详解】解：,・,/_2025无=0,

x（x-2025）=0,

.,・％=0,x-2025=0,

%]—0,%2=2025,

故答案为：尤]=0,%2=2025.

10.圆锥的底面半径是4cm,母线长是6cm,则圆锥的侧面积是cn?（结果保留兀）.

【答案】247t

【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式计算即

可.

【详解】解：，•圆锥的底面半径为4cm,

・•・圆锥的底面圆的周长=2兀・4=8兀,

・,・圆锥的侧面积=/x8兀x6=24兀（cm2）.

故答案为：24兀.

【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇

形的半径为圆锥的母线长.也考查了扇形的面积公式：S=y-1-R,（1为弧长）.

11.小红沿坡比为1：石的斜坡上走了120米，则她实际上升了米

【答案】60

【分析】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，灵活运用勾股定理是解本题的关键.根据题意设

铅直距离为X,则水平距离为后，根据勾股定理求出X的值，即可得到结果.

【详解】解：设铅直距离为X,则水平距离为Gx,

根据题意得：x2+(V3x)2=1202,

解得：x=60,

则她实际上升了60米，

故答案为：60

12.如图，。。的半径是2,N5是0。的弦，点C在0。外，连接4C,BC,OC.若48=30。，乙4cB=

90°,则OC长的最大值为.

【答案】1+V3/V3+1

【分析】当8C与。。交于点。时，连接04OD,AD,过点。作于E,连接CE,由圆周角定理

得到/ZOD=2/A8C=60。，则可证明是等边三角形，得到/。=。/=2,则£是/O的中点，

AE=1,由勾股定理得到OE=^OA2-AE2=V3，再由直角三角形的性质得到CE=^AD=1,根据OCMOE+CE,

可得当C、E、。三点共线，且点E在线段OC上时，OC有最大值，最大值为1+VL,当直线5c与。。交

于点。，在优弧4)上取一点7,连接/T,DT,连接04OD,AD,过点。作OEL4D于£,连接CE,

根据圆内接四边形对角互补求出/?=30。，则//。。=2/7=30。，同理可得CE=1,OE=C,贝U

OC<OE+CE<43+1，据此可得答案.

【详解】解：如图所示，当5c与。。交于点。时，连接04OD,AD,过点。作OELND于£,连接

CE,

•・•//5C=30。，

；./40D=2/ABC=60°,

OA=OD,

.•・△40。是等边三角形，

AD=OA=2,

•••OE1ADf

.•・£是4D的中点，

*'.AE=1,

*',OE=VOA2—AE2=5/3，

■■■ZACD=90o,

.-.CE=-AD=\,

2

:OC<OE+CE,

・•.当C、E、。三点共线，且点E在线段OC上时，0c有最大值，最大值为1+G；

如图所示，当直线8c与。。交于点。，在优弧40上取一点7,连接ZT,DT,连接CM,OD,AD,过点。

作OE_L4D于E,连接CE,

=30°,

：.AABD=\5G°,

.-.zr=30°,

.-.ZAOD=2ZT=30°,

同理可得CE=1,0E=/,

故答案为：i+S'.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，一点

到圆上一点的距离的最值问题，利用分类讨论的思想求解是解题的关键.

13.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽8米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面4m,水面

上升3m时，水面的宽度为m.

【答案】4

【分析】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关

键.根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把>=3代入抛物线解析式得出水面宽度,

即可得出答案.

【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过48,纵轴了通过4B中点。且通过C点，则通过画图可得

抛物线以N轴为对称轴，且经过A,B两点,和可求出为48的一半，即4米，8(4,0)，力(一4,0)，抛物

线顶点C坐标为(0,4),

通过以上条件可设顶点式>+4,其中。可通过代入A点坐标(-4,0)到抛物线解析式得出：a=-;，

所以抛物线解析式为y=+4,

当水面上升3m,通过抛物线在图上的观察可转化为：

当了=3时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线>=3与抛物线相交的两点之间的距离，

可以通过把V=3代入抛物线解析式得出：

3=--x2+4,

4

解得：x=±2,

所以水面的宽度为2+2=4m,

故答案为4.

14.二次函数y=2x?+8x+加的图像与x轴有两个公共点，则小的取值范围为

【答案】m<8

【分析】本题考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数与无轴由两个公共点，即A>0,从而求出加的范围,

即可求解.

【详解】解：二次函数y=2/+8x+加的图像与x轴有两个公共点，

方程2X?+8X+加=0有2个不等实数解，

A=Z>2-4ac=64-8/M>0,

m<8,

故答案为加<8.

15.在比例尺为1：2000的地图上，测得A、B两地间的图上距离为4.5厘米，则其实际距离为米

【答案】90

【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离.

【详解】解：设A,B两地的实际距离为xcm,

贝l|,1：2000=4.5：x,

解得x=9000,

9000cm=90m.

故答案为：90.

【点睛】本题考查了比例尺的定义.要求能够根据比例尺由图上距离正确计算实际距离，注意单位的换算.

16.如图，△48C与A。所是位似图形，点O是位似中心，OB-.BE=1,若工,=2,贝”口即=.

【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方

是解题的关键.根据位似图形的概念得到BC//EF,证明。尸，求出一，

EF

根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.

【详解】解：=

/.OB:OE=1:2,

•・・"5。与△£班户是位似图形，

:AABCS^DEF,BC//EF,

:.ABOCs/\EOF,

.BCOB

,^F~~OE~2,

••・*=&］即n

解得：S&DEF=8，

故答案为：8.

17.已知。是方程x2+x-3=0的一个根，则2035-5/-5a的值为.

【答案】2020

【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值及恒等变式问题，熟练掌握和运用代数式求值及恒等

变式的方法是解决本题的关键.

首先根据。是方程无2+无-3=0的一个根，可得/+0=3,再把代数式2035-5/-50进行恒等变式，化为

含有的式子，据此即可解答.

【详解】解：是方程一+工一3=0的一个根，

"+ci—3=0，

/+。=3，

2035—54—5a

=2035-5（/+。）

=2035-5x3

=2020,

故答案为：2020.

18.二次函数y=ax2+bx+c和一次函数y=mx+n的图像如图所示，则ax2+bx+c<mx+n时，x的取值范围是.

【答案】-2<x<l

【分析】求关于X的不等式办2+云+C4+〃的解集，实质上就是根据图像找出函数y=a/+bx+C的值小

于或等于>=««+"的值时x的取值范围，由两个函数图像的交点及图像的位置，可求范围.

【详解】解：依题意得求关于x的不等式+加x+〃的解集，

实质上就是根据图像找出函数y=ax?+法+c的值小于或等于y=mx+n的值时x的取值范围，

由两个函数图像的交点及图像的位置可以得到此时x的取值范围是-2WxWl.

故答案为：-2<x<l.

三、解答题：本题共9小题，共76分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

19.（1）计算：卜国-（万-2025）2sin60。+

2

（2）解方程：x-4x-5=0.

【答案】（1）1；（2）xy=-1,x2=5,

【分析】本题主要考查实数的混合运算及特殊角的三角函数的计算，解一元二次方程，熟练掌握各个运算

法则是解题关键.

(1)先化简绝对值，零次塞及负整数指数塞的运算，代入特殊角的三角函数值，然后计算加减法即可；

(2)根据因式分解法求解一元二次方程即可.

【详解】解：(1)|-V31-(-2025)°-2sin60°+

=V3-l-2x—+2

2

=6-1-6+2

=1;

(2)x2-4x-5=0,

因式分解得。+1心-5)=0,

x+1=0,x-5=0,

解得玉=-1,x2=5.

20.学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试(满分100分).己知七、八年级各有200人，现

从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩尤(单位：分)进行统计：

七年级86947984719076839087

八年级88769078879375878779

整理如下：

年级平均数中位数众数方差

七年级84a9044.4

八年级8487b36.6

根据以「二信息，叵答下歹U问题：

⑴填空：a=,b=.

A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是年级的学生;

(2)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数;

(3)你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由.

【答案】(1)85,87,七;

(2)220

(3)八年级，理由见解析

【分析】(1)根据中位数和众数的定义即可求出答案；

(2)分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可；

(3)两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可.

【详解】(1)解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71,76,79,83,84,86,87,90,90,

94,

根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为。=汽匹=85,

八年级10名学生的成绩中87分的最多有3人，所以众数6=87,

A同学得了86分大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生；

故答案为：85,87,七；

(2)^x200+^x200=220(人)，

答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220人；

(3)我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好，

理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以

八年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好.

【点睛】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计

算方法是解题的关键.

21.学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，

于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加.规则如下：将牌面数字分别为1,2,3的三张纸牌(除牌面

数字外，其余都相同)背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀,

小红再从中随机摸出一张.若两次摸到的数字之和大于4,则小明胜；若和小于4,则小红胜；若和等于4,

则重复上述过程.

(1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸至犷1"的概率是；

(2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平.

【答案】⑴g

(2)树状图见解析，该游戏对双方公平

【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：

(1)根据概率计算公式求解即可；

(2)画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于4和小于4的结果，

再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论.

【详解】(1)解：••・一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同，

二小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是:，

故答案为：—：

(2)解：画树状图如下所示:

开始

和234345456

由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4

的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种，

・•・小明获胜的概率为：3=二1，小红获胜的概率为3：=彳1，

6262

••・小明和小红获胜的概率相同，

二该游戏对双方公平.

22.某农场拟建矩形饲养室48CD,一面靠现有墙（墙长为30m）,另外三面及中间用围栏围起来（中间的

围栏E尸把矩形/BCD分成两个小矩形），并在如图所示的三处各留1m宽的门，已知可用围栏（不包括门）

的总长为54m,若建成的矩形饲养室MCD总面积为264m"求围栏N3的长.

【答案】围栏的长11米；

【分析】本题考查一元二次方程解决形积问题，根据总长表示出长宽，列方程求解即可得到答案;

【详解】解：由题意可得设宽为X米，则长为：54+3-3x=（57-3力米，由题意可得，

x(57-3x)=264,

解得：X]=8,%=11,

当国=8时，57-3尤=33>30不符合题意,

当马=11时，57-3尤=24<30符合题意,

"8=11,

答：围栏48的长11米.

23.如图，等腰△ABC中，AB^AC,。是3c中点，ZEDF=/B.

(1)求证：ABDEsADFE；

(2)已知3E=2,EF=3,求DE的长.

【答案】(1)见解析

Q)DE=a.

【分析】本题考查相似三角形判定与性质.

(1)先证明得到比例式竽=匹，等量代换得到匹=处，由/EDF=/B,从而证明

CDDFDEDF

出LBDEsADFE；

RFDF

(2)由ABDEs^DFE,推出==代入数据计算即可求解.

DEEF

【详解】(1)证明：・•・Z3=ZC,MDF=AB,

；./B=/C=/EDF.

vZEDC=ZEDF+ZFDC=NB+/BED,

；"BED=/FDC,

•••/\BDEsACFD,

BEDE

,'CD~^F'

又・；BD=CD,

BE

—,gp—=—

访DFDEDF

,；ZEDF=/B,

•••ABDEsADFE；

(2)解：，：XBDEs4DFE,

BEDE

,,京—/'

vBE=2,EF=3,

2DE

二，

DE3

DE=V6.

24.杨靖宇将军纪念馆是河南省文物保护单位、河南省中小学教育基地、河南省国防教育基地，纪念馆自

开放以来，平均年接待参观人数30余万人、参观团体数百个，较好发挥了爱国主义教育基地作用，为树立

驻马店良好形象做出了较大贡献.兴趣小组到杨靖宇将军纪念馆测量将军塑像的高度.如图所示，塑像。E

在高2m的基座EC上，在/处测得塑像底部£的仰角为17。，再沿/C方向前进0.85m到达8处，测得塑像

顶部。的仰角为60。.

D

（1）求将军塑像的高度；

（2）对比铭牌数据，可知计算结果与实际高度稍有出入，请你写出一条减少误差的建议.（精确到0.1m.参考

数据：sinl7°名0.29,cosl70»0.96,tanl7°«0.30,73»1.73）

【答案】（1）将军塑像DE的高度约为8.1米

（2）多次测量求平均值（答案不唯一）

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰俯角的问题，熟练掌握知识点是解题的关键.

CF2

（1）先解RM/CE,求得4C=--------=——«6.67,贝ij6C=ZC—=5.82,再角星RMBCQ,求得

tanl700.30

CD«10.07,即可求解；

（2）建议为：多次测量求平均值（答案不唯一）.

【详解】（1）解:由题意得：/EAC=17。，/ABC=60。，EC=2,43=0.85,ZACE=90°,

0CE2

在RM4CE中,AC=--------=------b6.67

tanl700.30

•・.AB=0.85,

'.BC=AC-AB=5.82,

在RM5c。中，tan6（）o=—=百，

BC

:.CD=抠BC-1.73x5.82«10.07,

DE=CD-E,C=10.07-2«8.1m.

答：将军塑像。£的高度约为&1米.

（2）解：建议为：多次测量求平均值（答案不唯一）.

25.如图，48是。。的直径，C是圆上的一点，CDLAD于点。，4D交。。于点尸，连接ZC,若NC

平分N04B,过点F作/G148于点G,交/C于点H.

⑴求证：是。。的切线；

FH

⑵延长与。。交于点。若AE=4BE,求工的值.

AF

【答案】（1）见解析

【分析】对于（1）,连接0C,根据等腰三角形的性质得由角平分线定义得

ZDCA=ZOAC,等量代换得/DC/=//。。，根据平行线得判定定理得到4。〃0C,由平行线得性质得

出答案；

对于（2）,设BE=x,则/5=3x,/E=4x,即可得。及CD的值，再根据勾股定理求出CE的值，证明

△AHFs八ACE,可得答案.

【详解】（1）连接。。，

-OA=OC,

：.ZCAO=ZACO.

•••/C平分,

；.ND4C=NO4C,

ZDAC=/ACO,

；.AD〃OC.

-CDLAD,

AOCVCD.

•••oc是。。的半径，

・•.CD是。。的切线；

(2)・.・AE=4BE,OA=OB,

设BE=x,则AB-3x,AE=4x,

OC=OB=1.5x,OE=2.5x.

-OC1CE,

EC=4OE2-OC2=7(2.5X)2-(1.5X)2=2%.

•:FG1AB,

•.ZAGF=90°f

,-.ZAFG+ZFAG=90°.

-ZCOE+ZE=90°,/COE=/DAB,

・•・ZE=ZAFH.

•；/FAH=/CAE,

・•.AAHFS八ACE,

FH_CE_2x_\

..AF~AE~4x~2'

【点睛】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线

的性质和判定等，连接圆心和圆上一点的线段是证明切线的常用方法.

26.在△43。中，点。在边48上，若CD2=AD-DB,则称点。是点。的“关联点”.

(1)(2)

⑴如图(1),在△/BC中，若//匚8=90。,。。，42于点。.试说明：点。是点。的“关联点”.

(2)如图(2),已知点。在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个△42C,使其同时满足下列条件

①点。为点C的“关联点”；②△/2C是锐角(保留作图痕迹，不写作法).

(3)若△/BC为钝角三角形，且点。为点C的“关联点”.设40=2,08=4,直接写出NC的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)图见解析

(3)273<AC<2+2V2或272-2<AC<2

【分析】(1)证△48"△eg。，根据“关联点，，的定义即可得结论；

(2)以48为直径作。。，过点。作48的垂线，交。。于P,由圆周角定理可得/4P5=90。，由(1)可

得DP2=4D-DB，以。为圆心，DP为半径作圆，在直线。尸左侧、点/的右侧的。。上取点C作△ABC

即可得答案；

(3)分类讨论，根据第二问可得出钝角三角形时C的位置，再利用勾股定理求出临界值范围即可.

【详解】(1)证明：••・CD，43,

；"CDA=NCDB=9。。,

.■.ZA+ZACD=9Q°,

NACB=90°,

.-.ZBCD+ZACD=90°,

■,ZA=/BCD,

•••ZCDA=NCDB=90°,

:.AACDS/XCBD,

CDAD

"^D~~CD'

CD2=ADDB,

.••点。是点C的“关联点

(2)解：如图，①作线段42的垂直平分线，交42于点O；

②以。为圆心，为半径作圆；

③过。作。交0。于点尸；

④以。为圆心，。尸为半径画圆，在直线。尸左侧、点N的右侧的。。上取点C,连接/C、BC,△ABC

即为所求，

(2)

证明：连接的，BP,CD,

(2)

・••P在以AB为直径的圆上运动，

.•.//尸2=90。，又PDA.AB,

由(1)可知：DP2=ADDB>

,:DC=DP,

CD2=ADDB,

.•.点D为点C的“关联点”；

•・•点C在。。上且在直线PD的左侧、点A的右侧，

・•.△ZC3是锐角三角形.

(3)解：①如图，结合第(2)问，当点C在。。上且在直线。尸右侧时，△NC8是钝角三角形,

,・•点D为点C的“关联点”，

■■DC2=DADB,SLAD=2,DB=4,

DC2=DP2=8,

当点C与P重合时，ZACB=90°,

止匕时AC=AP=^AD2+DP2=A/22+8=273；

当点。在线段80上时，ZACB=1SO°,

此时/C=/O+OC=2+说=2+20，

••-2V3<^C<2+272；

②如图，当点C在点N的左侧时，△/C3是钝角三角形,

当/CJ.NB时，ZCAB^90°,止匕时NC==2，

当点C在胡的延长线上时，ZCAB=180°,止匕时/。=。。一/。=2a-2，

•••2亚-2</C<2，

综上，满足条件的/C的取值范围为26</。<2+2后或2拒-2</。<2.

【点睛】本题主要考查了尺规作图，圆周角定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握

相关知识和正确理解题意，分类讨论和数形结合是解题的关键.

27.抛物线>=«?-赤+6交x轴于/,8两点（N在8的左边），交y轴于C,直线y=f+4经过8,C两

点.

图①