2024-2025学年人教版九年级数学下册专项突破：相似三角形

专题27.15相似三角形中考真题分类专题（综合类）（专项练习）

第一部分【题型目录】

一、选择与填空

【题型1】判断辨析...........................................................1

【题型2】尺规作图+判断求值.................................................4

【题型3】反比例函数+三角形相似..............................................7

【题型4】黄金分割..........................................................10

【题型5】三角形相似的应用举例..............................................12

【题型6】利用三角形相似的性质与判定求函数关系式............................14

【题型71利用相似三角形性质与判定求面积....................................16

【题型8】利用相似三角形性质与判定求角度...................................20

【题型9】利用相似三角形性质与判定求线段长.................................23

【题型10】利用相似三角形性质与判定解决规律、最值、圆的问题................26

二、解答题

【题型n】三角形为背景相似三角形问题.......................................30

【题型12】特殊四边形为背景相似三角形问题...................................32

【题型13］圆为背景相似三角形问题...........................................35

【题型14】反比例函数为背景相似三角形问题...................................39

【题型15］二次函数为背景相似三角形问题....................................42

第二部分【题型展示与方法点拨】

【题型1】综合判断辨析

［例1］（2024•江苏连云港・中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1,阴影部分图形分别记作甲、

乙、丙、丁，其中是相似形的为（）

A.甲和乙B.乙和丁C.甲和丙D.甲和丁

【答案】D

【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，

进行判断即可.

解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是

相似形.

故选D.

【变式1】（2024・湖南•中考真题）如图，在VA3C中，点O,E分别为边AB,AC的中点.下列结论中,

错误的是（）

A

L

B----------------xc

A.DE//BCB.AADE^AABCC.BC=2DED.SAADE=—SAABC

【答案】D

【分析】本题考查了三角形中位线的性质,相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断A、C；

由相似三角形的判定和性质可判断B、D,掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质是解题的

关键.

解：回点O,E分别为边AB,AC的中点，

^DE//BC,BC=2DE,故A、C正确；

SDE//BC,

SAADE^AABC,故B正确；

^AADE^AABC,

SUcJbJ"

=

团^hADETSAA6C，故D错误；

故选：D.

【变式2］（2024・山东威海・中考真题）如图，在口ABCD中，对角线AC,BD交于点。，点E在上,

点尸在CD上，连接AE,AF,EF,政交AC于点G.下列结论错误的是（）

AD

A.若丁=——，则£F〃5DB.若AE_L5C,AFLCD,AE=AF,则£F〃5D

CFAB

C.若EF〃BD,CE=CF,则NE4C=/E4cD.若AB=AD,AE=AF,则EF〃由）

【答案】D

【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，垂直平分线的性质，全等三角形的性

质与判定；根据相似三角形的性质与判定即可判断A,根据题意可得四边形C4是/BCD的角平分线，进

而判断四边形ABCD是菱形，证明RtAACE/RtAAFC可得CE=CF则AC垂直平分EF,即可判断B选项,

证明四边形ABC。是菱形，即可判断C选项，D选项给的条件，若加上尸，则成立，据此，即可求

解.

解：回四边形ABCZ）是平行四边形,

SAD^BC,AB=CD

A若条＞，即器夸，又NECF—CD,

0△CEFsACBD

团NCEF=/CBD

aEF〃BD,故A选项正确，

B.若AE_L3C,AF±CD,AE=AF,

团C4是/BCD的角平分线，

国NACB=NACD

^AD//BC

^ZDAC=ZACB

^ZDAC=ZDCA

aAD=DC

团四边形A6CD是菱形,

^ACIBD

在RUACE,RtAAFC中,

AE=AF

AC=AC

ERtAACE^RtAAFC

0CE=CF

又回AE=AF

&EF//BD,故B选项正确，

C.I3CE=CF,

QNCFE=NCEF

6EF〃BD,

HZCBD=ZCEF,ZCDB=NCFE

®NCBD=NCDB

QCB=CD

回四边形ABCZ）是菱形，

SAC1BD,

又回£F〃3D

^AC^EF,

团CE=CF,

ISAC垂直平分£F,

SIAE=AF

SZEAC=ZFAC,故C选项正确；

D.若=则四边形A5CD是菱形，

由AE=AF,且=£加时，

可得AC垂直平分所，

&ACJ.BD

@EF〃BD,故D选项不正确

故选：D.

【题型2】尺规作图+判断求值

【例2】（2024•四川成都.中考真题）如图，在口ABCD中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当

长为半径作弧，分别交54,于点Af,N；②分别以Af,N为圆心，以大于;的长为半径作弧,

两弧在—ABC内交于点。；③作射线8。，交AD于点E,交CD延长线于点尸.若CD=3,DE=2,下

列结论错误的是（）

BE5

A.ZABE=ZCBEB.BC=5C.DE=DFD.——=—

EF3

【答案】D

【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综

合.先由作图得到互为的角平分，利用平行线证明NAEB=NABE,从而得到AE==CD=3,

BE3

再利用平行四边形的性质得到BC=4）=AE+ED=3+2=5,再证明△AEBS/XDEF,分别求出一=—,

EF2

DF=2,则各选项可以判定.

解:由作图可知，跖为—ABC的角平分，

团/ABE=NCBE,故A正确；

回四边形ABC。为平行四边形，

团AD=BC,AB=CD,AD||BC,

^\AD//BC

田NAEB=NCBE,

0ZAEB=ZABE,

团AE=AB=CD=3,

^BC=AD=AE+ED=3+2=5,故B正确；

BAB=CD,

国NABE=NF,

^ZAEB=ZDEF,

回△八丽s△力所,

BEABAE

0==,

EFDFED

BE33

团-=一,

EFDF2

RF

回？f=93，DF=2,故D错误；

EF2

SDE=2,

SDE=DF,故C正确，

故选：D.

【变式】（2024•吉林长春•中考真题）如图，在VABC中，。是边A8的中点.按下列要求作图:

①以点8为圆心、适当长为半径画弧，交线段3。于点。，交8C于点E；

②以点。为圆心、BD长为半径画弧，交线段。4于点F;

③以点尸为圆心、DE长为半径画弧，交前一条弧于点G,点G与点C在直线A8同侧；

④作直线OG,交AC于点下列结论不一定成立的是（）

BE

A.ZAOM=ZBB.ZOMC+ZC=180°

C.AM=CMD.OM=-AB

2

【答案】D

【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的

关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出NAOM=N5,根据平行线的判定得出根据平行

AI\4AO

线的性质得出NOMC+NC=180。，根据平行线分线段成比例得出工二二==1,即可得出AM=CM.

CMOB

解：A.根据作图可知：NAOM=N3一定成立，故A不符合题意;

B.^\ZAOM=ZBf

^\OM//BC,

团NOMC+NC=180。一定成立，故B不符合题意;

C.回。是边A3的中点,

团49=50,

^OM//BC,

团=一定成立，故C不符合题意;

D.OM=gAB不一定成立，故D符合题意.

【题型3】反比例函数+三角形相似

【例3】（2024•江苏宿迁・中考真题）如图，点A在双曲线％=&（x>0）上，连接A。并延长，交双曲线

X

%=£（x<0）于点B,点C为x轴上一点，S.AO=AC,连接BC,若VABC的面积是6,则k的值为（）

4x

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】本题考查了反比例函数的左的几何意义，掌握反比例函数的上几何意义是解题的关键.

An

过点A作轴，过点8作族，x轴，根据相似三角形的判定和性质得出y=2,确定OC=2QD,

BF

然后结合图形及面积求解即可.

解：过点A作AD_Lx轴，过点3作BF_Lx轴，如图所示:

^\AD//BF,

团△AOD^^BOF,

kk

回点A在双曲线Vjx>。）上'点B在必=元（彳<°）,

k

回c_k《_4_

2,ABOF2g

△AOD_4

4\BOF

/A。./

0(—)=4,

Dr

AD「

团----=2,

BF

^\BF=-AD,

2

团AO=AC,AD」_x轴,

团OC=2QD,

^\-ODxAD=-k

22f

田ODxAD=k,

BOCxAD=2k

EIS=S+S=-OCxAD+-OCxBF=-OCx(AD+BF)

△ARoCAAOCCZARDCO/C222、/

1333

=-OCx-AD=-OCxAD=-k=6

2242

团左=4,

故选：C.

19

【变式1](2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题)如图，双曲线y=一(%>0)经过A、B两点，连接Q4、A5,

x

过点B作轴，垂足为。，5。交。4于点且E为A0的中点，贝的面积是()

A.4.5B.3.5C.3D.2.5

【答案】A

【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，过点A作垂足为E设

(12、AFAFFF

A。，一，证明有==根据E为AO的中点，可得ZW=QD,EF=DE,

VaJODOEDE

进而有EF=£>£1=4尸=0。=!力=9,可得%=0。=9,xB=2a,则有2石=2。一。石=3。,

222aa2

问题随之得解.

解：如图，过点A作AFL3。，垂足为死

设A一，a>0,

团5Z)_Ly轴，AFLBD,

团A尸〃y轴，DF=a,

0AAFESQDE,

_A_F___A_E_—_E__F

°ODOEDE'

此为AO的中点，

团AE-OE,

回AF=QD,EF=DE

^EF=DE=-DF=-a,AF=OD=-y.=-

222a

^OD=yB,

回为=OD=—

团4=2。，

团BD=xB=2af

3

团BE-BD—DE——a,

故选：A.

【变式2］（2024•黑龙江绥化•中考真题）如图，已知点A（-7,0）,5（%,10）,C（-17,y）,在平行四边形43co

k

中，它的对角线。8与反比例函数y=,（人中0）的图象相交于点。，且。9:QB=1:4,则后=.

【分析】本题考查了反比例函数与平行四边形综合，相似三角形的性质与判定，分别过点氏。，作x轴的

垂线，垂足分别为EE,根据平行四边形的性质得出3(-24,10),证明△ODES/XOBF得出OE=6,

DE=2.5,进而可得。(-6,2.5),即可求解.

解：如图所示，分别过点氏。，作x轴的垂线，垂足分别为EE,

团四边形AOCB是平行四边形，点A(-7,0),8(x,10),C(-17,y),

BOA=BC=7,

0x=-24,即3(-24,10),则OF=24,BF=10

EIDE_Lx轴，3氏_1_%轴，

团DE〃BF

^△ODEsAOBF

OEODDE1

OF~OB~BF~4

SOE=6,DE=25

0£)(-6,2.5)

0^=-6x2.5=-15

故答案为：-15.

【题型4】黄金分割

【例4】(2021・四川巴中•中考真题)两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，

点尸是线段AB上一点(AP>BP),若满足空=空，则称点P是AB的黄金分割点.黄金分割在日常生

活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好.若舞台长

20米，主持人从舞台一侧进入,设他至少走尤米时恰好站在舞台的黄金分割点上,则了满足的方程是（）

APB

A.（20-x）2=20XB.X2=20（20-尤）

C.x（20-x）=2C）2D.以上都不对

【答案】A

RpAp

【分析】点P是A3的黄金分割点，且PBVHl,PB=x,贝l]P4=20—x,则大二不，即可求解.

APAB

解：由题意知，点尸是的黄金分割点，

且PB=x,则以=20-x,

BPAP

团---=---，

APAB

0（20-%）2=20%,

故选：A.

【点拨】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关

键.

【变式】（24-25九年级上•全国•课后作业）黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格

书写的汉字"晋"端庄稳重、舒展美观.己知一条分割线的端点A,2分别在习字格的边MN,尸。上，且

"晋"字的笔画"、”的位置在的黄金分割点C处，且空=避二1,若NP=2cm,则8C的长

AB2

为cm（结果保留根号）.

【答案】（逐一1）/卜1+石）

【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，先证明四边形A3PN是矩形,

根据黄金分割的定义可得生=更二，据此求解即可，熟记黄金比是解题的关键.

AB2

解：回四边形削尸。是正方形，

团N2V=NP=9O。，

又回

团NB4N+NN=180。，

团NE4N=90。，

团四边形ABRV是矩形,

团AB=NP=2cm.

又回收=工，

AB2

0BC=（遂-'em,

故答案为：&1.

【题型5】三角形相似的应用举例

【例5】（2024•江苏镇江•中考真题）如图，小杰从灯杆48的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他

在灯光下的影长CD=3米,然后他转身按原路返回到点8处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（）

DCB

A.4.5米B.4米C.3.5米D.2.5米

【答案】D

【分析】本题考查相似三角形的应用举例，设回过程中小杰身高为微，连接AF并延长交BC于点G,根

据题意得到CE〃FH〃AB,证明石6:54力/7/64加4,得至|JJ=J,—=—,由CE=FH

ABBDABGB

推出52=器，即可得出结论.

DDCJD

解：设回过程中小杰身高为FH,连接AF并延长交BC于点G,

根据题意得到CE//FH//AB,

/JJCEs/JJBA,QHFsGBA,

.CECDFHGH

一商―茄’花一而‘

•zCE=FH

.CDGH

一法一布’

,/BD>GB,

:.CD>GH,

vCD=3米，

AGH<3,

返回过程中小杰在灯光下的影长可以是2.5米，

故选：D.

【变式】（2023•山东潍坊・中考真题）在《数书九章》（宋•秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图

所示，表示塔的高度，CO表示竹竿顶端到地面的高度，斯表示人眼到地面的高度，AB.CD、EF在

同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上.己知AC=20米，CE=10米，CD=7米，所=1.4米，人

从点/远眺塔顶8,视线恰好经过竹竿的顶端D可求出塔的高度.根据以上信息，塔的高度为米.

【分析】如图，过歹作产于。，交CD于H,可得斯=7-14=5.6,证明AEDHSAEB。，可得

察=瞿，可得=16.8,从而可得答案•

BQFQ

解：如图，过尸作/Q_LAB于Q,交CD于H,

贝!|m=CE=10,QH=AC^20,FQ=AE=AC+CE^30,EF=CH=AQ=L4,

回£>H=7-1.4=5.6,

B

国小FDHs小FBQ,

DHFH

团---=----,

BQFQ

=解得：QB=16.8,经检验符合题意；

JU{JJD

0AB=AQ+QB=1.4+16.8=18.2（米）；

故答案为：18.2

【点拨】本题考查的是相似三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建相似三角形是解本题的关键.

【题型6】利用三角形相似的性质与判定求函数关系式

【例6】（2024・湖南长沙•中考真题）如图，在菱形ABC。中，AB=6,/3=30。，点E是BC边上的动点，

连接AE,DE,过点A作AF1DE于点F.设=AF^y,则y与x之间的函数解析式为（不考虑

自变量x的取值范围）（）

1836

A.y=—B.y=——c.y=—D.y=——

xx

【答案】C

【分析】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，利用相似三

角形的性质求解x、y的关系式是解答的关键.过。作交2c延长线于X,则"HE=90。，根

据菱形的性质和平行线的性质得到CD=AD=AB=6,ZADF=ZDEH,ZDCH=ZB=3O°,进而利用含

14FAD

30度角的直角三角形的性质DH=-CD=3,证明△々3△/汨£得到"=—,然后代值整理即可求解.

2DHDE

解：如图，过D作交BC延长线于〃，则NDHE=90。，

团在菱形ABC。中，AB=6fNB=30。，

团AB〃CD,AD//BC,CD=AD=AB=BC=6,

国/ADF=NDEH,ZDCH=ZB=30°f

在RtZXCD〃中，DH=gcD=3,

0AF1DE,

SZAFD=ZDHE=90°,又ZADF=ZDEH,

团AAFD^ZJJHE,

AFAD

0-------------,

DHDE

团DE=x,AF=y,

_y6

回上二一，

3x

18

团y=——，

X

故选：C.

（法二：同理，DH=3,BC=6,

^\AD\\BCf

团S^AED=~S菱形ABCO，

^\-DEDF=-BCDH,

22

国DE=x,AF=y,

团孙=6x3=18,

18

Eiy=—,

尤

故选：c.）

【变式】（2024•江苏无锡•中考真题）如图，在VABC中，AC=2,AB=3,直线C河〃AB,E是BC上

的动点（端点除外），射线AE交CM于点。.在射线AE上取一点尸，使得AP=2£D,作交

射线AC于点Q.设4。=尤，PQ=y.当％时，CD=；在点E运动的过程中，＞关于*的函数表

达式为

cM

J

AB

3尤2

【答案】2

8—2无

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例.

易得CZ)||P。，则△APQSAAZJC,得出竿=黑，代入数据即可求出8=2；根据△APQSAADC,

ACLD

得出CO=2,设DE=t,则AP=2f,通过证明ACDESABAE,得出乌=%，则AE=^,进而得出

xABAE2y

4。=4£+。£=丝巨，结合△APQSAADC,可得婴=芈，代入各个数据，即可得出》关于x的

2yACAD

函数表达式.

解：^\CM//AB,PQ//AB,

团C0|PQ,

回AAPQ^AADC,

嘿喘艮喋急

团工=》,

0CD=2；

团/\APQ^Z\ADC,

4f=篝即台方，

整理得：CD二曲,

x

设DE=t,

BAP=2ED,

团AP=2"

BCM//ABf

团卫DEs加AE,

CDDE

回一=一，BRPnxf

ABAE=

3AE

3xt

整理得：AE=—

2y

3xt，（3x+2y）

BAD=AE+DE=——+/=△-------2，

2y2y

团/^APQ^Z\ADC,

x_2t

0AQ=AP即f（3x+2y）,

ACAD-^7,——-

2y

整理得：y=3—，

-8-2尤

故答案为：2,y=^—.

-8-2尤

【题型7】利用相似三角形性质与判定求面积

【例7】（2024•广西・中考真题）如图，边长为5的正方形ABC。，E,F,G,H分别为各边中点，连接AG,

BH,CE,DF,交点分别为M,N,P,Q,那么四边形MNP。的面积为（）

A.1B.2C.5D.10

【答案】C

【分析】先证明四边形脑\乎。是平行四边形，利用平行线分线段成比例可得出。。=尸。，AM=QM,证

明AADG四△84”（SAS）得出=则可得出NQ肱V=ZAMB=90。，同理NAQ£>=90。，得出平行四

边形MNPQ是矩形，证明AADQ丝AAIA^AAS）,得出OQ=AM,进而得出OQ=4W=PQ=QM,得出矩

形MNPQ是正方形，在Rt^ADQ中，利用勾股定理求出QM?=5,然后利用正方形的面积公式求解即可.

解：国四边形ABC。是正方形，

^AB=BC=CD=DA,AB//CD,AD//BC,ZDAB=ZABC=ZBCD=ZCDA=90°,

SE,F,G,H分别为各边中点，

0CG=DG=—CD=AH,AE=—AB,

22

^DG=CG=AE,

回四边形AECG是平行四边形，

BAG//CE,

同理。方

国四边形MNPQ是平行四边形,

团AG〃CE,

团DQ=PQ,

同理=,

⑦DG=AH,ZADG=ZBAH=90°,AD=BA,

团△APG^AB4H(SAS),

^\ZDAG=ZABH,

团NZMG+NG4B=90。，

^\ZABH+ZGAB=90°,

^\ZQMN=ZAMB=90°,同理NAQD=90。，

回平行四边形MNP。是矩形，

^\ZAQD=ZAMB=90°,ZDAG=ZABH,AD=BA,

团^ADQ^BAM(AAS),

团DQ=AM,

又DQ=PQ,AM=QM,

团DQ=AM=PQ=QM,

回矩形MNPQ是正方形，

在RtA4。。中，AD=DO+AQ"

052=eA/2+(2gAf)2,

0gM2=5,

回正方形MNP。的面积为5,

故选：C.

【点拨】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理等知

识，明确题意，灵活运用相关知识求解是解题的关键.

【变式1】(2024•甘肃临夏・中考真题)如图，等腰VABC中，AB=AC=2,NR4c=120。，将VABC沿

其底边中线AD向下平移，使A的对应点A满足AA!=^AD,则平移前后两三角形重叠部分的面积是.

【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定和性质，三线合一,根据平移的性质，推出KNEFS求BC,

根据对应边上的中线比等于相似比，求出跖的长，三线合一求出A'。的长，利用面积公式进行求解即可.

解:回等腰VA3C中，AB=AC=2,ZSAC=120°,

0ZABC=3O°,

团&£)为中线，

^AD-LBC,BD=CD,

团AZ)=—AB=1,BD=#)AD=#),

EIBC=2。

团将VABC沿其底边中线AD向下平移，

0B'C//BC,B'C=BC=273,AG=AD=1,

EIAAEFSAAEC',

EFA'D

团----=----

B'CAG

^AAr=-AD,

3

222

BDA,=-AD=-A,G=-

3339

EFArD2

回前7一冠一§,

SEF=-B'C=^-,

33

OS阴影=’£^.4£>=工义延、2=述

阴影22339

故答案为：逑.

9

【变式2](2024•山东淄博•中考真题)如图，在边长为10的菱形A3CD中，对角线AC,8。相交与点。,

OF5

点E在BC延长线上，0E与CD相交与点尸.若则菱形ABCD的面积

FE6

为.

【答案】96

【分析】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识.作OH〃BC交C。于点

H,则ADOHSADBC,求得OH=；BC=5,再证明^OFH^EFC,求得EC=6,再证明ZOEC=NCOE,

则OC=EC=6,利用勾股定理求得OB的长，再利用菱形的面积公式求解即可得到问题的答案.

解:作OH〃BC交CD于点H,则

回四边形ABC。是边长为10的菱形，对角线AC,相交于点O,

B1BC=1O,OD=OB=-BD,OA=OC,ACJ.BD,

2

OHOP\

ZBOC=90°,

BC~BD~2

0OH=-BC=5,

2

OF5

⑦OH〃BC,——=-,

FE6

团/\OFHs/\EFC,

OHOF_5

回

ECFE~6

0EC=-OH=-x5=6,

55

团四边形ABCD是菱形，且/ACD=2/OEC,

0ZACB=ZACD=2ZOEC=/COE+/OEC,

⑦NOEC=NCOE,

团OC=EC=6,

^OB=Vsc2-OC2=7102-62=8>

回即=203=16,AC=2OC=12,

团6菱形ABS=|BDAC=|xl6xl2=96,

故答案为：96.

【题型8】利用相似三角形性质与判定求角度

【例8】（2024•湖北•中考真题）ADEF为等边三角形，分别延长FD,DE,EF,到点AB,C,使

DA=EB=FC,连接AB,AC,BC,连接所并延长交AC于点G.若AD=DF=2,则1。8尸=

FG=.

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理.利用三角形的外角性质结

合£B=砂可求得/。跖=30。；作CW，8G交3G的延长线于点//,利用直角三角形的性质求得CH=1,

FH=6,证明AAG尸SACGH,利用相似三角形的性质列式计算即可求解.

解：回房）£尸为等边三角形，DA=EB=FC,

@AD=DF=EB=EF=2,ZDEF=ZDFE=60°,

0/DBF=ZEFB=-ZDEF=30°,ZAFB=ZEFB+Z.DFE=90°,ZEFB=Z.GFC=30°,

2

作CHLBG交BG的延长线于点H,

0ZAFB=ZH=90°,

^AF//CH,

⑦AAGFSACGH,

AFFG4FG

团=---，BnPn-T~—尸，

CHGH1V3-FG

解得产G=：g,

故答案为：30°,乎.

【变式】（2024•山东烟台,中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E,尸分别为对角线比＞,AC的三等

分点，连接AE并延长交C。于点G,连接所，FG,若NAGF=c，则/E4G用含a的代数式表示为（）

45。—a90°-a45。+。a

A.B.C.D.

2222

【答案】B

【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角

性质.证明求得NOFE=45。,证明AABESAGDE,证得。G=gc_D=CG,推出

ADEG^ACFG（SAS）,得到GE=GF,据此求解即可.

解：回正方形ABCD中，点E,尸分别为对角线3DAC的三等分点，

0OD=OC,ZODC=ZOCD=45°,DE=CF,

^OE=OF,

OEOF

BZEOF=ZDOC,——=——,

ODOC

田AEOFsADOC,

团ZOFE=ZOCD=45°,

团点区户分别为对角线J5DAC的三等分点，

团正方形ABC。,

团AB〃CD,

团AABES^(J~DE,

DGDE1

0——=

ABBE2

SDG=-CD=CG,

2

团AOEG四△CPG(SAS),

^GE=GF,

0NGE/=；(18()o-ZAG/)=90。-；。,

1i900-a

[?]ZFAG=ZGEF-ZAFE=90°——a—45。=45。一一a=---------

222

故选：B.

【题型9】利用相似三角形性质与判定求线段长

【例9】(2024•四川眉山•中考真题)如图，VABC内接于。。，点。在A8上，AD平分N3AC交0。于

D,连接30.若AB=10,BD=275,则3C的长为.

【分析】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判

定和性质，延长AC,BD交于E,由圆周角定理可得NADB=NADE=90。，ZACB=ZBCE=90°,进而

可证明AA瓦注AAED(ASA),得到BO=DE=2君，即得班=4君，利用勾股定理得4。=46，再证明

八WE,得到案二黑,据此即可求解,正确作出辅助线是解题的关键.

解：延长AC,BD交于E,

•.•钻是。。的直径,

:.ZADB=ZADE=90°,ZACB=ZBCE=90°,

•.•AD平分N3AC,

:.ZBAD=ZDAE,

又闻AD=A£>,

0AAB£^AAED（ASA）,

:.BD=DE=2遂,

.­.BE=4A/5，

■：AB=W,BD=275,

；.AD=J102_（2扃=4下,

•1•ZDAC=ZCBD,

5^ZBAD=ZDAE,

^ZBAD^ZCBD,

-.■ZADB=ZBCE=90°,

:.AABD^ABEC,

BE_BC

'AB-AD'

.4小BC

104A/5

:.BC=8,

故答案为：8.

【变式1】（2024•四川眉山•中考真题）如图，菱形ABCD的边长为6,NB4D=120。，过点。作OE,3C,

交5c的延长线于点E,连结AE分别交。于点/，G,则FG的长为.

/jXf/

G

BCE

【答案】红白用

55

【分析】此题考查了菱形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知

识点.

首先根据菱形的性质得到AD=5C=CD=6,AD//BC,=120°,然后勾股定理求出

DE=JCD?-CE?=3拒，AE=ylDE2+AD2=3>/7-然后证明出,得到喋=挈=4='，

rtLDr,yJ

求出A尸=5自，然后证明出AAG£>SA£GC,得到些=券=《=2,求出AG=2A/7,进而求解即可.

5EGCE3

解：・.,菱形ABC。的边长为6,ZBAD=120°,

.\AD=BC=CD=6,AD//BC,NBCD=120。,

ZDCE=60°,

•：DEVBC,

:.ZDEC=90°.

在RtVOCE中，•/ZCDE=90°-Z.DCE=30°,

:.CE=-CD=3

2f

:.DE=dC!f-CE2=35

:.BE=BC+CE=9,

AD//BE,

ZADE=180。—/DEC=90°,

在RtziADE中，AE=JDE?+心=小⑹?+©=3币,

AD//BE,

..^AFD^AEFB,

AFAD_6_2

,~FE~^E~9~3f

/.AF=-AE=-x3T7=,

555

-AD//CE,

/.AAGD^AEGC,

-AG=AD=—6=2,

EGCE3

/.AG=-AE=-X3T7=2A/7,

33

:.FG=AG-AF=2y/l-^-=^-.

55

故答案为：生女.

5

【变式2】（2024•河南•中考真题）如图，在口45仪＞中，对角线AC,8。相交于点。，点E为OC的中

点，EF//AB交BC于点、F.若AB=4,则砂的长为（）

【答案】B

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段

中点定义可得出CE=[AC,证明△CEFSAGR,利用相似三角形的性质求解即可.

解：解能四边形ABC。是平行四边形，

0OC=-AC,

2

回点E为OC的中点，

0CE--OC=-AC,

24

^EF//AB,

(EACEF^ACAB,

EF

团一=

ABAC44

回石尸=1,

故选：B.

【题型10】利用相似三角形性质与判定解决规律、最值、圆的问题

【例10】（2024•四川宜宾•中考真题）如图，在平行四边形ABC。中，AB=2,AD=4,E、F分别是边CD、AD

上的动点，且CE=D尸.当AE+B的值最小时，则CE=.

【答案】|2

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质.延长

BC,截取CG=CD,连接G£,AG,证明尸丝△GCE,得出CF=GE,说明当AE+EG最小时，AE+CF

最小，根据两点之间线段最短，得出当A、E、G三点共线时，AE+EG最小，即AE+C/最小，再证明

△AEDs^GEC,根据相似三角形的性质，求出结果即可.

AG,如图所示:

团四边形ABCD为平行四边形,

团AB=OC=2,AD=BC=4,AD//BC,

©ND=NECG,

©CD=CG,DF=CE,

⑦ACDF咨AGCE,

BCF=GE,

田AE+CF=AE+EG,

团当AE+EG最小时，AE+C尸最小,

团两点之间线段最短,

即AE+C/最小，且最小值为AG的长,

回皿|CG,

^\/\AED^/\GEC,

ADDE口口42-CE

0一=一,即一=-----

GCCE2CE

2

解得C£=§.

2

故答案为：—

【变式1】（2024•山东淄博•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，作直线尤=班=1,2,3,…）与x轴相交

于点A，与抛物线y=相交于点瓦.，连接A4+一gA+I相交于点C,,得AaBC,和△4向+G,若将其

面积之比记为%=的时,则a202A=.

%+岛C

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，根据题意，易证,

得到,进行求解即可.

△A+i^z+iQ

解：团作直线户币=1,2,3,…）与x轴相交于点A,,与抛物线y=相交于点与，

团44」X轴，且瓦

1

团44=/29，

团AB：//AMBM,

团△44—血风]G,

回a=/A-]=产

's…1a+4+J卜+1)[

,(20242Y20244

4：

回%。24-120252J-2025

20244

故答案为:

20254

【变式2】（2024•四川眉山•中考真题）如图，VA2C内接于O。，点。在48上，AD平分NA4c交0。

于。，连接50.若AS=10,BD=2A/5