2024-2025学年人教A版高一数学同步训练：幂函数

3.3寨函数

目录

【题型归纳］....................................................................2

题型一：幕函数的概念............................................................2

题型二：求函数解析式............................................................3

题型三：定义域问题..............................................................3

题型四：值域问题................................................................4

题型五：幕函数的图象............................................................6

题型六：定点问题................................................................9

题型七：利用塞函数的单调性求解不等式问题........................................9

题型八：比较大小...............................................................11

题型九：幕函数性质的综合运用...................................................12

【重难点集训I】.................................................................17

【高考真题】...................................................................29

【题型归纳】

题型一：募函数的概念

1.（2024•高一■河北沧州•期末）下列函数是幕函数的是（）

,1

A.y=2x2B.y—~

x

C.y=—x-1D.y=2"

【答案】B

【解析】B项可化为＞=92,根据幕函数的概念，可知函数是幕函数，即函数了=占是幕函数.ACD

均不是暴函数.

故选：B.

2.（2024•高一•河北•期中）下列函数是幕函数的是（）

A.y=x2-lB.y=0-3尤C.＞=岳D.y^x03

【答案】D

【解析】因为函数y=x"叫做幕函数，其中x是自变量，。是常数，

对于A,»=--1是二次函数；

对于B,y=0.3x是一次函数；

对于C,v=^2x=）由x?前的系数不为1，故y=不是幕函数；

对于D,满足幕函数的概念，故是幕函数.

故选D.

3.（2024・高一・陕西•期中）下列函数是幕函数的是（）

A.y=--B.y=x+lc.y=y[xD.y=2x2

x

【答案】C

【解析】根据嘉函数的定义：形如＞=而了=6=[,符合幕函数的定义,正确.

ABD在形式上都不符合幕函数定义，错误.

故选：C

4.（2024•高二・陕西咸阳•期末）现有下歹（J函数:①y=②U；©y=4x2；@y=x5+l；©y=（x-l）2；

@y=x；⑦了=/（。＞1）,其中幕函数的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】哥函数满足y=x"形式，故了=/,N=x满足条件，共2个

故选：B

题型二：求函数解析式

5.（2024・高一・浙江杭州•期中）若函数/（尤）是幕函数，且满足=则/'（4）的值为

【答案】16

【解析】设=由/⑻《卜房可得8。*仁］=4。=16可得0=2.

故/（x）=x2,则/（4）=16.

故答案为：16

6.（2024・高一・浙江杭州•期中）若弃函数的图像过点（27,3）,则此函数的解析式是/（"=.

【答案】［

【解析】设〃x）=x",由图像过点（27,3）可得3=27"=33。，解得

故答案为：，

7.（2024・高一・北京•期中）已知幕函数>=/（无）的图象过点（2,旬，贝吐（x）=,/（9）=

【答案】£3

【解析】事函数V=/（x）的图象过点（2,收），设=

则有了（2）=2。=也，解得a=；,

所以“X）3,/（9）=3,

故答案为：x2:3.

题型三：定义域问题

8.（2024・高一•福建龙岩・期末）若幕函数〃x）的图象过点（4,2）,则.=〃亍5”的定义域是（）

/（X）

A.（-2,0）B.（0,2］C.［0,2］D.（-2,2）

【答案】B

,、11

【解析】设=依题意可得4a=2,解得a=］，所以/（x）=x5,

所以/（x）的定义域为［0,+s）,值域为［。,+8）,且"0）=0,

对于函数了="":）,则12一，"。，解得0<xV2,

/（x）x>0

即函数y="j：："的定义域是（o,2],

故选：B

9.（2024•高一•广东广州•期中）塞函数/（x）图象过点2,\-,则夕=/（云）+/（2-冈）的定义域为（)

\7

A.（0,2）B.（0,2]C.[0,2]D.（-2,2）

【答案】A

【解析】设幕函数为〃x）=x",则"2）=2。=等，故。=-；，/（x）=x4,

则〃x）的定义域为（0,+旬，

故y=〃x）+/（2-附满足]一同〉。，解得0〈尤<2.

故选：A

+、口二的定义域为（

10.（2024•高一•黑龙江绥化•期末）函数/（x）=（x-1）,)

\x+2

A.(1，+<»)B.(-2,+oo)C.(-2,1)u(1,+<»)D.R

【答案】B

【解析】由已知」>0解得x>-2,所以｛x）的定义域为（-2,也）.

故选：B.

11.（2024•高一・湖北•期中）函数〃x）=（l-xa+（2x-l）°的定义域是（）

A.（-oo,l]B.C.D.Q,1

【答案】B

【解析】因为/。）=。-x）W+（2x-l）°=万三+（2》7°，

A/1-X

则有解得X<1且x《，因此/（无）的定义域是

故选：B.

题型四：值域问题

4

12.（2024・高一•全国•课后作业）（1）函数巨的定义域是，值域是

（2）函数丫_丁3的定义域是，值域是；

y-A------------------------------------------

3

（）函数的定义域是，值域是；

3y一九----------------

(4)函数的定义域是，值域是

y-A-------------------------------------------

【答案】R[0,+»)(-°o,0)U(0,+oo)(0,+功[0,+oo)[0,(0,4-09)

(0,+s)

【解析】(1)嘉函数了=尤：图像如图所示，定义域为R,值域为[0,+s),

2

(2)幕函数y图像如图所示，定义域为(-8,o)U(o,+⑹，值域为(o,+动,

3

(3)幕函数了=/图像如图所示，定义域为[。，+8)，值域为[。，+8),

3

(4)幕函数y=图像如图所示，定义域为(°，+力)，值域为(°，+°°),

故答案为：(1)R;[0,+oo),

(2)(-oo,0)U(0,+00)；(0,+(»)5

(3)[0,+oo)；[0,+oo),

(4)(O,+e)；(O,+e).

13.(2024・高二.辽宁抚顺•阶段练习)已知函数〃力=廿-2,且44)-15〃2)=16.

⑴求;'(x)的解析式；

⑵求函数g（x）=/（2x）-4^+3在11,2]上的值域.

【解析】（1）因为f（4）-15/（2）=16,所以4'12-15X2*2一16=0，

整理得（2%2-16）（2*2+1）=0,即2%2=16或=一1（舍去）,

贝！|〃z-2=4,故〃x）=/.

（2）由（1）可知，83=16/毋2+3=16,『-4》2+3=16卜-£|+1.

因为xc[T2],所以，x2e[0,4],所以U243.

故g（x）在11,2]上的值域为*243.

题型五：塞函数的图象

14.（2024•高一・广东茂名•期末）若嘉函数/■（无）=x"的图象经过第三象限，贝段的值可以是（）

A.-2B.2D.3

【答案】D

—7,图像为:

x

故B错误;

故选：D

15.（2024・湖南岳阳•模拟预测）如图，已知事函数了=/,y=，,>=X。在（0,+8）上的图象分别是下降，急

C.c<a<bD.a<b<c

【答案】B

【解析】由题意结合图象可知a<0<c〈l<b.

故选：B.

16.（2024・高一•全国•期中）已知幕函数/（x）的图象经过点（8,4）,则函数〃x）的图象大致为（）

c.D.

【答案】A

22

【解析】设幕函数/（x）=x",贝1|8"=4,即23o=22,解得。=§,即〃月=户，

22.12

/（X）的定乂域是R,/（-%）=（一工尸=［（_%y?=卜2p=x3二/卜），函数为偶函数,

由0<：<1,则/（X）在［0,+8）上递增且越来越慢.

故选：A.

x~2,x<0,

17.（2024•高一•山东济南•期末）已知函数/（'）=1则>=-/（'）的图象大致为（）

x^,x>0,

【解析】结合题意可得：当x<0时，易知/卜）=针=（•为塞函数，在（-叫0）单调递增;

当时，易知==«为幕函数，在［。,+8）单调递增.

x~2,x<0

故函数/（%）={_i，图象如图所示：

x%>0

要得到y=-/（无），只需将y=/（X）的图象沿龙轴对称即可得到.

故选：C.

题型六：定点问题

18.(2024・高一•陕西渭南•阶段练习)已知函数/卜)=2+，(〃为不等于0的常数)的图象恒过定点尸，则

2点的坐标为.

【答案】(1,3)

【解析】因为y=x"的图象恒过(1,1),

所以/(x)=2+，的图象恒过定点尸(1,3).

故答案为：(13)

19.(2024・高一・上海静安・期中)不论实数。取何值，函数y=(x-l)"+2恒过的定点坐标是.

【答案】(2,3)

【解析】因为1"=1，故当x-l=l,即x=2时，y=3,

即函数卜=(》-1)"+2恒过定点(2,3).

故答案为：(2,3).

20.(2024・高一・北京・期末)幕函数y=/(x)的图象恒过点,若基函数了=/(力的图象过点(2,4),

则此函数的解析式是.

【答案】(1,1)/(x)=f

【解析】由幕函数的性质知：在第一象限恒过(LI),

设幕函数〃x)=x",则2"=4，即〃=2,故/(幻=工2.

故答案为:(1,1),f(x)=x2.

21.(2024・高一•全国•课后作业)函数y=(x-l)"+l(a<0)恒过定点.

【答案】(2,2)

【解析】当=即x=2时，>=2,.•.函数恒过定点(2,2).

故答案为：(2,2),

题型七：利用募函数的单调性求解不等式问题

22.(2024・高一・天津•期中)若幕函数了=--21⑺©N*)的图象关于，轴对称，且在(0,—)上单调递减，则

满足(a+l)f>(3-2°厂"的。的取值范围为.

【答案】"

【解析】因为哥函数了=尤”匕为-3(机©N*)在(。,讨)上单调递减，

所以加2_2加一3<0,解得-1<加<3,

又加cN*,所以加=1或2,

当加=1时，幕函数为了=xY,图象关于y轴对称，满足题意；

当加=2时，幕函数为了=旷3,图象不关于y轴对称，舍去，

所以加=1,不等式g+1）->（3-2a）-m为（。+1尸>（3-2a）-1,

因为函数了=/在（―,0）和（0,包）上单调递减，

所1以。+1<3-2a<0或^3—2〃〉。+1〉0或^3—2Q<0<a+1,

23

解得一1<。<彳或〃〉不

32

故答案为：.

23.（2024•高一•四川南充•期末）若（"1尸<（2〃+11,则实数。的取值范围为.

【答案】（-0°,-2）口

【解析】考虑函数了=二.

因为函数了=/的单调递减区间为（0,+（»）和（-°0,0）.

Q—1<0(Q—1>0

11CL—1<0

所以不等式(。-1)<(2a+If'等价于2a+l<0或者+1>0或者'2〃+1〉0,

Q—1〉2〃+1Q—1〉2Q+1

解得：a<—2或—<6/<1.

2

所以实数°的取值范围为：

故答案为：（-oo,-2）U^-^-,l^

24.（2024・高一・重庆永川・期中）已知幕函数f（x）=（疗+3*9）婷在（0,+“）上是减函数，加©R.若

（2-a向>（2°-1向，则实数。的取值范围为

【答案】（1,2）

【解析】由函数〃》）=（病+3*9）婷为幕函数得病+3加一9=1，解得/=2或切=-5,又

函数在（0,+8）上是减函数，则加-1<0,即加<1,

所以冽=-5,所以/（%）=%-6=!；

所以不等式为（2-a产>（2〃-1疗,

设函数g（x）=；3，则函数g（x）的定义域为（0,+e）,且函数g（x）在（0,+8）上单调递减，

2—Q〉0

所以<2a-l>0,解得l<a<2,所以实数。的取值范围是(1,2).

2—a<2〃—1

故答案为：(1,2).

25.(2024・高一•江苏盐城•阶段练习)函数〃尤)=x-3,则不等式〃2》-1)>〃尤+1)的解集为

【答案】

【解析】由题意知，幕函数/(x)=—在(0,+8)上单调递减，

2%—1<x+1

由f(2x-l)>/(x+l),得｛2x—1>0,

x+1>0

11

解得Q〈尤<2,即不等式的解集为弓,2).

故答案为：(—,2)

题型八：比较大小

22

26.(2024・高一・广东佛山•阶段练习)若Q=［『，6H

，则。、b、c的大小关系是(

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c

【答案】D

2212

211?

又9_/在第一象限内是增函数，

”尤533

222_

所以［J即b<a<c.

故选：D.

27.(2024・高一,云南昆明,期中)已知幕函数且,则下列选项中正确的是()

A./（*</■电）”9W）B.⑺</（叫

D.『小卜小2）”（才加

【答案】c

【解析】因为;>0,所以/(X)在(0,+")上单调递增,

又因为0<。<6<1,

所以>1>b2>a1>0,

ab

所以心"："⑺

故选：C.

28.⑵24.高一.黑龙江双鸭山.阶段练习)若”需，^2022x(^024)2023x(20242+2025)

2024^

则()

A.c<b<aB.b<c<a

C.a<c<bD.a<b<c

【答案】B

【解析】设函数〃x)=(xf(x：+x+l)则/卜)=11=1_3在(0,+8)上单调递增,

故〃2023)</(2024)<l,即6<c<l,又a>l,^b<c<a.

故选：B.

题型九：然函数性质的综合运用

29.(2024・高一・陕西西安・期末)已知幕函数/(x)=(疗-3根+3卜3为偶函数，g(x)=〃x)+x+2.

⑴求y=/(x)的解析式；

⑵若g(x)2丘对于xe[1,2H亘成立，求k的取值范围.

【解析】(1)因为幕函数/(》)=(/-3加+3)产|为偶函数，

所以比2-3冽+3=1,解得加=1或加=2,

当加=1时，f(x)=x2,定义域为R,f(-x)=(-x)2=x2=f(x),

所以/(x)为偶函数，符合条件；

当机=2时，f(x)=x3,定义域为R,f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),

所以/(x)为奇函数，舍去；

所以/(x)=/.

(2)因为g(x)=/(x)+x+2=x2+x+2,

所以g(x)Z履对于工式10恒成立，即f+x+22米对于工410恒成立，

7

等价于+=对于xe[10恒成立，

X

因为后，当且仅当片多，即》=后时，等号成立，

XVXX

所以x+-]=2&,故1V20，则人42凤1.

30.(2024・高一•安徽阜阳・期末)已知嘉函数/(x)=1]2/卜的图象过点(一口]

⑴求实数小的值；

⑵设函数g(x)=/(x)+[〃x)『，用单调性的定义证明：g(x)在(1,+⑹上单调递增.

31

【解析】(1)由基函数的定义可知--2病=1,解得冽=土；，

22

111/、

当加=5时，=又/(%)=户的图象不过点(-2,〃)，显然不满足题意;

11/、1_1

当机=一5时，〃x)=”，将点(2/)代入〃尤)=”得〃=22=/-,

综上所述，

2

(2)由(1)可知，=>贝1Jg(x)=-/=+X，

sjx

任取再"2£(1，+8)，且不<%2,

因为％2>演>1，所以再一不2<0，北'〉嘉〉1,则喜+y]xxX2>1,

>0

1

所以(百—%)1-<0,

则g(xj—g(x2)<0，即g(xj<g(x2)，

故g(x)在(L+8)上单调递增.

31.(2024・高一・广西河池•期末)已知幕函数/(x)的图象过点(；,：).

⑴求函数〃x)的解析式；

⑵设函数g(x)=2/(x)-8x-a+2,若8。)>0对任意》日-3,2］恒成立，求实数。的取值范围.

【解析】(1)设函数"x)=xa,eeR,由〃x)的图象过点(g,：),得解得&=2,

所以函数“X)的解析式是/(x)=%2.

(2)由(1)矢口，/0)=/,则g(x)=2/-8x-a+2,由g(x)>0,得2/一8x—a+2>0，

即a<2/-8x+2,令人(x)=2f-8x+2,依题意,任意xe［-3,2］,a<h(x),

而函数/x)在［-3,2］上单调递减，A(x)min=A(2)=-6,因此a<-6,

所以实数。的取值范围是a<-6.

32.(2024•高一•江苏淮安•期末)已知/(x)是定义在R上的函数，满足：/(-%)+/(%)=0,/(-%)=/(2+^),

且当xe［0,l］时，/(x)=x2+x.

⑴求d?的值；

(2)当xe［-1,0］时,求/(x)的表达式；

⑶若函数/⑺在区间［a,"(a<6)上的值域为［2“,2可，求a+6的值.

【解析】(1)因为/(r)+/(x)=0,/(-x)=/(2+x),

所以/(-x)=-/(x)=〃2+x)n/(4+x)=-/(2+x)=/(x),

故「(X)是奇函数，且4为其一个周期，且关于x=l轴对称，

(2)结合(1)的结论可令一无40』，贝ij/(r)=x2-x=-/(x),

所以/(x)=r2+x(xw[-l,0])；

x2+X,XG[0,1]

(3)由(1)(2)可知〃力=<

_+%,XG[—I,。)

由二次函数单调性可知/(x)在［-1』上单调递增，且/(x)max=2,/(x)mn=-2,

/(a)=2<7

所以则

"6)=26

—/+Q=2Q卜二T

若。<6V0,贝ij2止匕时a+b=—\

-b+b=2b^[b=0f

a2+a=2aJa=O

若0«Q<6,则b2+b=2b^[b=l'此时a+b=l,

—a~+a=2a—1

若。<0<b,b2+b=2bn)=l止匕时a+6=0.

故6的值为-1或1或0.

33.(2024・高―广西钦州•开学考试)若函数G在机4》《〃(加＜〃)上的最大值记为九取，最小值记为^

且满足Nmax-Vmin=1，则称函数G是在m4X4”上的“美好函数”.

⑴函数①y=x+l;②，=|2小③＞=/,哪个函数是在1VXV2上的“美好函数”，并说明理由;

(2)已知函数G:y=ax2-2ax-3a^aw0),

①函数G是在14x42上的“美好函数”，求。的值；

②当。=1时，函数G是在/VxVf+1上的“美好函数”，求r的值.

【解析】(1)①因为1VXV2,所以24x+143,所以％1ax=3,ymin=2,

得乂nax-Nmin=1，故，=》+1是在14X42上的“美好函数”;

②因为1WXW2,所以242》44=＞2引2耳44,所以y1mx=4,ymin=2,

得ymax—min=2,故了=网不是在1WXW2上的“美好函数”；

③因为14x42,所以所以了max=4,Nmin=l，

得Xnax-Nmin=3，故＞=/不是在14X42上的“美好函数"

(2)①由题得y=ax2-lax-3a=a^x1-2x-3),

当14x42,可知-44X2-2X-3W-3

所以，当。＞0时，-4a4。(厂-2x-3)4-3。，此时Vmax=-3a,ymin=-4a,

因为函数G是在1VXV2上的“美好函数”

所以有一3°-(-4°)=1=＞。=1；

当。＜0时，一4a±a(x?-2x—3)»—3。，止匕时Zmx=-4。，加广一。，

因为函数G是在1VXV2上的“美好函数”

所以有-4。-(-3。)=1=。=-1；

故。=±1

②由题可知此时，函数G:y=x2-2x-3,可知此时，函数y=Y_2x-3的对称轴为x=l且开口向上；

当/+1V1时，此时函数y=x~—2x—3在+1］上单调递减，止匕时Nmax=厂—2/—3,ymin=(?+1)—2(/+1)-3,

因为函数G是在/VxV/+1上的“美好函数”

所以有T一2-3)-［6+1)2-2«+1)-3卜1,解得:0；

当1＜1＜/+1时，此时函数了=/一2》-3在上』上单调递减，在(1J+1］单调递增，所以当x=l时，ymin=-4

因为函数G是在f4xWf+l上的“美好函数”

所以有乂皿=-3；

令/_2》-3=-3，解得x=0或x=2

所以此时，=0=>xe［0,1］(舍去)，，+1=2=>xe［1,2］(舍去)

22

当此1时，此时函数了=x?-2r-3在，J+1］上单调递增，止匕时，ymax=(Z+1)-2(?+l)-3,=t-2t-3

因为函数G是在区xO+1上的“美好函数”

所以有［(，+1)2_2«+1)―3,(/一2/3)=1,解得”1；

综上所述：f=0或=1

34.(2024・高一•贵州六盘水•期末)对于定义域为。的函数y=/(x),如果存在区间，同时满足:

①/(x)在［加,〃］上是单调函数;②当时，f{x)^［m,n\,则称卜%司是该函数的“优美区间”.

⑴求证：［0,3］是函数〃x)=的一个“优美区间”；

⑵求证：函数g(x)=l-1不存在“优美区间”；

(3)已知函数“(X)=(“2+：卜一%eR,a片0)有“优美区间'伽山，当"-加取得最大值时求。的值.

【解析】(1)•."(x)=$3在区间［o,3］上单调递增，又/⑼=OJ(3)=3,

.•.当xe［0,3］时，/(x)=|x3e［0,3］，

根据“优美区间”的定义，［0,3］是#的一个“优美区间”；

(2)g(x)=l--(x^0),设［%,〃上{尤IxwO},可设［相，"仁(-8,0)或［人"仁(0,+8),

则函数g(x)=1-:在［m,n］上单调递增.

L1

1---=m

若［加洌是g(x)的“优美区间”，贝IJ；，加，〃是方程--x+l=o的两个同号且不等的实数根.

1—=n

、n

x2-x+1=0方程无解.

函数g(x)=l-J不存在“优美区间”.

(3)=(---J-----(aeR,aw0),{x|xW0},设［弧〃仁{xlx#0}.

有“优美区间”［孙〃］,

［m,〃仁(一人0)或［私〃仁(0,+℃),

/?(x)=3以-」一在［加,"］上单调递增.

aax

/z(tn)—JTI

I力5)=",

222

二九”是方程3-I=x,^ax-(a+a)x+\=o(*)的两个同号且不等的实数根.

aax''

.".△=(“2+4)—4a2=“2(q+3)(q—1)>0,

二.Q>1或。<一3,

由(*)式得加+〃=":"=1+▲,冽〃二」.

aaa

QQ〉1或a<-3,

.•.当。=3时，〃-加取得最大值.

a=3.

【重难点集训】

1.（2024・高f河南郑州•阶段练习）已知函数小）=「『：2"「'”<°在区上单调递增，则“的取值范围

[x+1,X>0

是（）

A.（-«,0]B.[-1,0]C.[-U]D.[0,+oo）

【答案】B

【解析】函数/（x）=[：,2依八在R上单调递增，

+1,无20

当xNO时，>=/+1单调递增，当x<0时，>=---2<7尤-°也需要单调递增，

-->0

所以<—2,解得—故B正确.

03+1>-02-0-6Z

故选：B.

2.（2024・高一•四川绵阳•开学考试）若0<x<l,则x2、x、«—这四个数中（）

X

A.X最大，公最小B.彳2最大，五最小

C.X最大，，最小D.，最大，犬最小

XX

【答案】D

【解析】当0<x<l,结合幕函数图象,

故选：D.

3.（2024・高二・湖南•学业考试）已知且函数小）=[（：一"）：-1'无"。'在（-叫+⑹上是增函

L2J[x,x〉0

数，贝匹=（）

1

A.-2B.-1C.-D.3

2

【答案】C

【解析】因为函数/（"=八："）；I"*。'在（f,”）上是增函数，

1—。〉0

所以<〃>0,解得0<4<1,

-1<0，

乂所以a=〈.

故选：C

4.（2024・高一・湖北•阶段练习）己知幕函数/3=m+2”『小€2）是偶函数，且/'⑺在（-？0）上是增函数,

则切=（）

A.-2B.-1C.0D.3

【答案】B

【解析】因为函数/'（x）是偶函数且在（-吃0）上是增函数，

所以函数/'（X）在（0,+8）上单调递减，

所以加2+2加-3<0，即（加-1）（加+3）<0,解得-3<小<1,

又因为相£Z,所以加=-2或加=一1或加=0,

当"?=0或〃?=-2时，/（力=尸，此时“X）为奇函数，不满足题意；

当%=-1时，/(力=/，此时/(尤)为偶函数，满足题意；

所以加二一1.

故选：B

5.(2024・高一•广东茂名•阶段练习)设/(x)为定义在R上的奇函数，当xNO时，/(x)=x3+or2-«+1(a

为常数)，则不等式/(3x+5)>-2的解集为()

A.(-8,-1)B.(-1,+<»)C.(-oo,-2)D.(-2,+oo)

【答案】D

【解析】•・•/(X)为定义在R上的奇函数，

因为当xNO时，/(x)=x3+oT-a+\,

所以/(。)=1-。=0，故。=lj(x)=/+x2

在［o,+co)上单调递增，

根据奇函数的性质可知/(无)在R上单调递增，

因为=所以==

由不等式/(3X+5)>-2=/(-1)可得，3x+5>-l,解得，x>-2,

故解集为(-2,+8).

故选：D.

6.(2024・高一・吉林延边•期末)已知幕函数〃x)=(--5俏+5卜馍是R上的偶函数，且函数

g(x)=〃x)-(2”6)x在区间［1,3］上单调递减，则实数。的取值范围是()

A.(-<»,4)B.C.［6,+oo)D.(一℃,4］U［6,+co)

【答案】C

【解析】因为哥函数/(尤)=(/-5加+5b"-2是R上的偶函数，

则加2一5用+5=1,解得加=1或加=4,

当加=1时，/(x)=x-1,该函数是定义域为｛小*0｝的奇函数，不合乎题意；

当加=4时，/(x)=x2,该函数是定义域为R的偶函数，合乎题意.

所以/(可=/,则g(x)=--(2a-6)x,其对称轴方程为x=a-3,

因为g(x)在区间［1,3］上单调递减，则a-323,解得心6.

故选：C.

7.(2024・高一・江苏常州•期末)已知幕函数“X)的图象经过点J,：),则/(x)()

A.为偶函数且在区间(0,口)上单调递增

B.为偶函数且在区间（0,包）上单调递减

C.为奇函数且在区间（0,包）上单调递增

D.为奇函数且在区间（0,口）上单调递减

【答案】B

【解析】设幕函数为/（x）=J,

因为幕函数〃无）的图象经过点卜,,

所以2。=。，解得&=_2,

4

故〃x）=x-2,定义域为{x|xw0},定义域关于原点对称，

/（-x）=（-x）-2=x-2=/（x）,所以为偶函数，

又因为-2<0,所以/（X）在区间（0,包）上单调递减，

故选：B.

8.（2024・高一・甘肃庆阳•期末）已知定义在R上的奇函数/（可在x>0时满足〃x）=（x+l）3,且

/■（尤+切）48/5）在xe[l,3]有解，则实数加的值可以为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】ABC

【解析】当x>0时，函数f（x）=（x+l）3单调递增，值域为（1,+8）,

由〃X）在R上为奇函数，则x<0上函数也递增，值域为（-8,-1）,旦"0）=0,

综上，“X）在R上单调递增，

因为xe[l,3],所以8/3=8（丫+1）3=[（2尤+1）+厅=/（2尤+1）,

所以/（x+机）4/（2x+l）,所以X+/MV2尤+1,即mVx+1在无©[1,3]有解，

当xe[l,3]时（x+1）皿=4,所以加V4.

故选：ABC

9.（多选题）（2024・高一・福建福州•阶段练习）下列说法正确的是（）

A.若a>6,c<0,则a2c<氏B.若a>6,c<0,则a3c<6%

、_国+5

C.若a<6<0,则D.函数।,的最小值是2

出+4

【答案】BC

【解析】对于A选项，取。=2,b=—3,c=-\,则42cA/。，故A错误；

对于B选项，由。〉6,根据募函数y=/的单调性知/>〃，又。<0,则故B正确;

对于C选项，由。<6<0,则/>仍，ab>b2,即故C正确;

对于D选项，函数>=，不［=桐*+而;7，令JlH+4e［2,+o>),

由函数y=f+；在te［2,+s)上单调递增，则y22+；=g,故D错误.

故选：BC

10.(多选题)(2024・高一・广东佛山•阶段练习)已知函数/(月=^图象经过点(4,2),则下列命题正确的有

()

A.函数为增函数

B.函数为偶函数

C.若尤>1,则〃x)>l

D.若。<再。2,则/叫Sy—T

【答案】ACD

【解析】将点(4,2)代入函数/&)=^得：2=4。，则a=；.

所以/(无)=x-

显然/(x)在定义域［0,+功上为增函数，所以A正确.

「(X)的定义域为［0,+8),所以/(力不具有奇偶性，所以B不正确.

当X>1时，Vx>1,gp/(x)>l,所以C正确.

即/(xJ；/(X2)</(汉卫)成立,所以D正确.

故选：ACD.

11.(多选题)(2024・高一•江苏镇江•阶段练习)关于幕函数〃x)=x-3,下列结论正确的是()

A.的定义域为(-m,0)U(0,+s)

B.的值域为R

C.〃x)在区间(0,包)上单调递减

D.“X)的图象关于点(0,0)对称

【答案】ACD

【解析】对于选项A,因为/(久)=广3=当所以.0,得到/(x)的定义域为(F,0)U(0,+S),所以选项

A正确，

对于选项B,由/■(久)=g知/(尤)wO,所以选项B错误，

对于选项C,任取国,马€(0,+00)，且不</，则/•(久J—f3)=L受，=3=

2

(X2-XI)[(X2+|XI)+|XJ]

因为国,迎e(0,+oo),所以“再>0，xl-xf>0,又3+11)2+|芯>0,

所以〃西)-的2)>0,即/(再)>/(3),所以选项C正确，

对于选项D,因为定义域关于原点对称，又/(一乃=品=一/=一/0),所以/(x)为奇函数，故选项D

正确，

故选：ACD.

[(<2—1)X+1,X<0

12.(多选题)(2024・高一・福建•期中)已知函数/(%)=,,八，则以下说法正确的是()

A.若。=-1,则/(x)是R上的减函数

B.若。=0,则/(x)有最小值

C.若。=g,则/(x)的值域为(0,+®)

D.若(7=3,则存在％e(l,+8),使得/(%)="2-%)

【答案】BC

[~2x+l,x<0

【解析】对于A,若。=7,/(%)=-:，

[x,x>0

/(X)在(-哂0)和(0,m)上单调递减，故A错误；

f—x+l,x<0,

对于B,右。=0,/(x)=<,

[l,x>0,

当xVO时，f(x)=-x+l,〃x)在区间(-甩0]上单调递减,

/(X)>/(0)=1,则/(X)有最小值1,故B正确；

1—x+l,x〈0,

对于C,若。=彳，/(%)=12,

21

x2,x>0,

当xV0时，/(x)=-1x+l,/(x)在区间(一*0]上单调递减，/(%)>/(0)=1；

当x>0时，〃x)=£，〃x)在区间(0,+e)上单调递增，/(x)>/(0)=0,

则/(x)的值域为(0,包)，故C正确;

对于D,若-3,/（%）=J-

[x>0,

当/£（l,+oo）时，/（Xo）=%o>1;

3

当2—%£（0,1）,即1</<2时，/（2-x0）=（2-x0）e（O,l）；

当2-%£（-oo,0],即/22时，/（2—%）=3—%w（―8,1],

即当2-%£（一8,0]时，/（2-%）E（-oo,l],

所以不存在与£（1,+8）,使得/（%）=/（2-%）,故D错误.

故选：BC

13.（2024・高二糊南•开学考试）已知幕函数〃x）=（川+"?-5卜~|在（0,+8）上单调递减，贝！]%=.

【答案】-3

【解析】由题意可得了（可=（加+%-5卜恒7为幕函数，则/+加一5=1,解得加=一3或冽=2.

当机=2时，/'（x）=x为增函数，不符合题意；

当机=-3时，/（无）=%7在（0,+8）单调递减，符合题意.

故答案为:-3.

14.（2024•高一•四川内江•阶段练习）若用函数了（力过（2,16）,则满足不等式/（2-°）>/（2a-1）的实数。的

取值范围是—.

【答案】

【解析】设〃x）=x\aeR,

由题意可得：2。=16,解得a=4,即/"（x）=/,

可知/（x）=x4为定义在R上的偶函数，且在（-8,0）内单调递减，在[0,+8）内单调递增，

若/（2-a）>/（2a-1）,可得